ПЕРВАЯ ЗАДАЧА НОВОГО ГОДА!

[@GeometriaValeriyKazakov]

УТОЧНЕНИЕ: Из равенства площадей 3 и 3, следует, что высоты тр-ков ABC и NBC к общей стороне BC равны, а тогда уже равны прямоугольные тр-ки и равны гипотенузы AC=CM.

[@pojuellavid]

Равенство высот двух жёлтых огрызков у меня слямзили?

[@DmitriyFinozhenok]

Можно подойти немного иначе. Проводим BM паралельно AC. Тогда треугольники ABC и BCM равны, как половины парелелограмма. Но так как площади треугольников BCM и BDM равны, то BM - это медиана.

[@stanislavfalkovich2872]

Я так же сделал.

[@Vadim-h7f]

ВМ- общее основание тр-ков ВМС и BMD. Их площади равны 3 и 3. След-но и высоты их равны. Высота тр-ка ABC - h, а высота тр-ка CDE -H=2h. Если высота больше в 2 раза, то площадь больше в 4 раза. 3х4=12

[@gregevgeni1864]

Happy New Year to everyone!🎉

[@GeometriaValeriyKazakov]

Thank you! Congratulations to you too!

[@Khlopov.Stanislavv]

Добрый день. Высота, проведенная из В для желтого и розового треугольника одинаковая, соответственно длина катета зеленого тоже понятна... решение устное. Автора с новым годом и успехов в 2025г. и спасибо за Вашу работу.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это было в 1-й моей версии, затем я перешел на высоты из A и M, но они также равны из-за общей стороны и равенства площадей. Спасибо.

[@Alexandra_Marchenkova]

Практически сразу видно, что площадь зеленого ∆-ка равна 12. Чтоб объяснить, лучше ввести обозначения. Первый ∆-к АВС площадью 3. Второй ВCD площадью 6. Третий CDF, площадь которого надо найти. ------ Проведём от вершины В вправо параллельную отрезку АF прямую. Точку пересечения с DС назовем М. ∆-ки АВС и ВСМ равносторонние по построению. ➡️ площадь ∆-ка ВСМ равна 3. Тогда площадь ∆-ка BMD равна 6-3=3. Мы видим, что высоты у ∆-ка ВСМ и ВМD одинаковые (перпендикуляр из В на СD общий). ➡️ При равных площадях ∆-ков ВСМ и BMD (каждая =3) и одинаковых высотах - СМ=МD. А, значит, площадь искомого ∆-ка CDF будет в 4 раза больше (следует из формулы площади равностороннего ∆-ка S=a^2×√3/4), чем площадь ∆-ка АВС 3×4=12 💐

[@ВладимирФомин-щ1к]

Тоже считаю, что ВМ надо проводить как параллельную основанию, а не как медиану(затягивает решение).

[@pojuellavid]

Всех с новым годом! Задачка устная, неисчисляемыми способами решаемая . Все линейные размеры в равностороннем треугольнике имеют линейную зависимость, а площади -- квадратичную.Пусть высота троешного равна трем (потом должок вернем). Из В проводим параллельную АЕ насквозь. Желтый делится на два с общим основанием, равным основанию красного и высотами равными трем ( от того, что их площади поврозь равны красному). Высота зелёного равна шести, т е. в два раза больше высоты красного. Площадь зеленого равна четырем площадям красного Ответ:12

[@НадеждаГлавина]

По формуле S=absin60°/2 .определяем, что в=2а, т.е. СD=2BC. В ∆СВD

[@RomanLvivUkraine]

1. Доказываем, что желтый треугольник - прямоугольный 2. Высота DM 3. Треугольники DBC и DMC равны 4. Площадь DEC = 2 * DBC = 12

[@AllZo-uk6gk]

Ну вы ващще... Даже после новогоднего бодуна за секунду решается. У треугольников 3 и 6 есть общая сторона, высоты отличаются вдвое. "Ну всё..." С Новым годом!!!

[@NataliaKalashnikova-xc6gv]

Спасибо. А у меня другое решение. Используется формула площади треугольника, как полупроизведение сторон на синус угла между ними. У желтого и розового треугольников одна сторона общая, к ней прилегают одинаковые углы, а площадь желтого в 2 раза больше. Значит, другая сторона желтого треугольника в 2 раза больше их общей стороны. Значит, сторона зеленого равностороннего треугольника в 2 раза больше стороны розового равностороннего треугольника. То есть площадь зеленого в 4 раза больше площади розового.

[@MikhailGromov33]

Как вариант: достроить треугольник BCD до равностороннего, он будет равен искомому. Вроде проще получается?

[@ИгорьТ-п2д]

Все вроде бы понятно сразу, но обоснование не снисходило, сказывались вредные последствия празднества. Сидел с гостями, а задачка периодически крутилась в голове в промежутках между тостами, И докрутилась таки! Решил как маэстро.

[@nikolaysharapov6298]

Паралель основанию АЕ. . В большом ∆, четыре маленьких треугольника = 4×3= 12.

[@Артьомдругартем]

Задача решается устно практически без вычислений. Прямая через вершину розового тр--ка параллельно основанию,отсекает от жёлтого тр--ка равный розовому тр--к. Его площадь 3,площадь оставшейся части тоже 3.А поскольку основания у этих половинок общее,то и высоты тоже равны. В итоге зелёный(экологически чистый)тр--к в два раза выше розового,и его площадь 12

[@Diph64]

Продлил вверх отрезки AB и DE до их пересечения в точке K. Получился большой равносторонний треугольник AКE. Пусть сторона розового равна a, зеленого b. Поскольку BCDK - параллелограмм со сторонами a и b, состоящий из двух одинаковых желтых треугольников, то его площадь равна 12. По формуле площади параллелограмма она равна a*b*sqrt(3)/2. Площадь ABC=3, поэтому a^2=4*sqrt(3). Отсюда можно вычислить, что b^2=16*sqrt(3), а значит площадь зеленого b^2*sqrt(3)/4=16*3/4=12. Некрасивое решение, просто как вариант.

[@FastStyx]

Да, это наиболее очевидный и универсальный вариант - через формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

[@valentinaivanova4806]

Применяя формулу площади треугольника как половину произведения длины двух сторон на синус угла между ними, сразу находим, что CD=2AB. Остальное понятно.

[@ОлегПолканов-д1н]

Треугольник АБС зеркально отобразим относительно стороны БС. Его сторона АС совпадет со стороной зелёного треугольника СД. Получим что у треугольника жёлтого и повернутого красного одна высота из точки Б и основания начинаются в одной точке С и лежат на одной прямой. Но раз площадь жёлтого в два раза больше, то и его основание в два раза больше. А дальше подобия, раз сторона зеленного в два раза больше стороны красного, то площадь больше в 4 раза. И будет 12.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

От точки В лево продлить отрезок ВС на длину=ВС. Получим равносторонний ∆ со сторонной ДС. Новый ∆ по площади будет равен зеленому , и =6*2=12.

[@ЛекаКузнец]

С Новым Годом, с новым счастьем, и "да здравствует ГЕОМЕТРИЯ!", самая интнресная

[@denisi2310]

А почему сразу не провести ВМ параллельно АС и получить равносторонний треугольник площадью 3, как равный АВС? А то, что это будет медиана, уже следует из того, что та оставшаяся площадь тоже 3.

[@ИраДжи]

С Новым годом! Желаю Вам творческих успехов и всего самого доброго. Продолжайте радовать нас красивыми задачами. Эта задача мне понравилась своей изящный простотой. Она устная, конечно, но при этом очень полезная для школьников .

[@ЛарисаСлюсаренко-щ3ы]

А можно же проще решить : исходя из формулы площади равностороннего треугольника, найти квадрат стороны розового, потом квадрат стороны желтого, а потом квадрат стороны зеленого, а потом по формуле площади равностороннего треугольника

[@Валерия-ы8х5р]

Спасибо. С Новым годом!

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

Второй способ . Новогодний. ВМ медиана ∆СВД. ВМ=МС ( стороны ромба) =МД. ∆СВД прямоугольный.ВС×2=СД=СЕ. (катет, лежащий против угла в 30°),тогда ДБ = высоте равнобедренного зелёного ∆. Площадь ∆СДЕ = 2* на площадь ∆СВД = 12. Спасибо Тренеру и комментаторам. Всем ЗДОРОВЬЯ и много новых идей.

[@constantinfedorov2307]

Задачка сама собой решается проведением медианы к гипотенузе розового треугольника. Но можно пойти более извилистым путем, но более наглядным. Если продолжить "боковые стороны" до пересечения, а потом разбить получившийся правильный треугольник на (уж простите!) желтые треугольники параллельными сторонам линиями, то всего будет 9, а на долю зеленого придется 4.

[@helg4579]

Формулой площади по двум сторонам и углу между ними задача решается с произвольными значениями площадей розового и желтого. Обидно только, что ответ - не 2025.

[@GeometriaValeriyKazakov]

А квадратных в ролике 2025

[@UssrMegaNolik]

Треугольник BCD можно перевести симметрично CD

[@alexanderikhteiman1459]

Площадь зеленого треугольника равна удвоенной площади жёлтого, т. е 6×2 =12.

[@ivayloivanov7179]

Пусть странъй равностраннъх треугольников будут a и b. Въйсота маленького труголника будет √3/2 a . Тогда въйсота жолтого труголника будет √3а. Спускаем въйсота в зеленом треуголнике. Легко доказъйваетса что половина зеленого и част желтого - одинаковъйе - одна страна общая , по одном углом на 60 и одном по 90 градусов. Тогда въсота зеленого тоже √3а. Из питагоровой теоремъй следует, что b^2=(b/2)^2 + (√3a)^2. Упрошчаем и получаем, что а=b/2. Все.

[@A2-pq5rx]

Валерий Владимирович, с Новым годом! Спасибо! Продолжайте! Любимый канал! Что у Вас написано на свитере?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Еще не читал!

[@sv6183]

С Новым годом!! Проводим из точки С перпендикулярно АВ высоту h. AB//CD, тогда Sabc =AB*h/2=3 Sbdc = CD*h/2=6=2*Sabc, откуда СД = 2*АВ Втр-ке CDE из вершины Е проводим высоту H к стороне СД. Тр-ки АВС и СДЕ подобны (равносторонние), тогда СД/АВ = Н/h = 2 Scde = CD*H/2 = 2*AB*2*h/2 = 4*Sabc = 4*3 = 12 Ответ: S = 12

[@dmytrosotnichenko5970]

Вот блин, как просто! А я провел высоты в равносторонних треугольниках и решал через площадь получившейся трапеции и зависимость высоты от основания с коэффициентом ✓3/2 Результат, конечно тот же, но как-то из Киева в Бердичев через Ашхабад 😮

[@cosmik-q3k]

Всех и, персонально автора, с Новым Годом! Мое решение: Пусть S(роз)=1/2a*a*sin(60);S(зел)=1/2b*b*sin(60); Желтый угол С=60; Тогда S(жел)=1/2*a*b*sin(60); Но тогда S(жел)*S(жел)=S(роз)*S(зел).Все.

[@CosaNostra-s7x]

4:26 Погодите, а чего вдруг катеты в треугольниках равны? Вы доказали, что придете в одну и ту же точку, если проведете высоты?

[@Александр-д6р2е]

Провёл высоту в равностороннем треугольнике ABC, а затем соединил точку M пусть будет с точкой H (точкой, куда «падает» высота треугольника ABC). Ну вот и все. MH будет и высотой в треугольнике MHC, потому что уголки-то смежные.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, вы правы. Нужно было проводить две другие высоты из вершинки В (что я сделал в 1-й версии), потом решил упростить и попался!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, нужно добавить еще 1 шаг: Так как площади равны, то и указанные высоты к общей стороне BC равны, а отсюда уже равны тр-ки по катету и противолежащему 60 и шипотенузы AC=CM. Спасибо за бдительность!

[@CosaNostra-s7x]

@@GeometriaValeriyKazakovДада)) Я-то знаю, но канал смотрят и детишки. Я своим еле внушила, что все, что написано, должно иметь основание. Или из условия, или сообразно аксиоме, лемме, теореме, ну или доказать надо. А тут так хорошо, уважаемый человек просто написал)))

[@pojuellavid]

2:11 но ведь из параллельности ВМ и АЕ равенство ВМ=АС (и СМ=АВ) доказывается проще, чем параллеьность ( как у вас) ВМ и АЕ из (дополнительно доказываемого) равенства СМ=АВ?

[@stvcia]

Последовательность 3, 6, 12, которая пропорциональна ряду a^2, ab, b^2 в формулах площади.🎅

[@ald6980]

Как-то долго и сложно. Из площадей 3 и 6 и формулы S =absin(gamma)/2 сразу следует, что СD = 2BC и Sискомая = 2*2*3.

[@pojuellavid]

А мы тута не синусами извращаемся, а из седьмого класса в восьмой перезодим

[@ald6980]

Вроде бы теорема Фалеса как раз в седьмом классе и проходится, ее хватит, чтобы не упоминать синусы всуе.

[@AK-qj8ti]

Достроить СВД до прямоугольника.получим разделение СВЕ на два равных треугольника. Отрезок проведенный под прямым углом из вершины к основанию в равностороннем треугольнике является высотой биссектрисой и медианой. Значит делит на два равных треугольника. Значит площадь зеленого треугольника равна двум площадям желтого. Равно 12. В одно действие

[@pojuellavid]

Откуда СВД -- прямой?

[@AK-qj8ti]

@ 30 в желтом нашли и 60 в зеленом т к равносторонний

[@pojuellavid]

@@AK-qj8ti если 30 найден, то да

[@fahimcihansin2250]

Ответ вычисляется за 2 секунды, но потом нужно подумать, как проще доказать то, что и без доказательства вполне очевидно.

[@barsa2701]

Задача решается за одну секунду😂 и не надо те высоты. Ведь красная делить треуг. на два равновеликих, значит и высоты к ней равны, значит она и средняя линия для зеленого. Все , задача практически решена,

[@АнатолийВикторов-х9л]

АВ=а; СD=b; B ∆ ABC, S(ABC)=(1/2)*a²*sin60◦; 3=(1/2)*a²*(√3/2); a²=4√3; a=√(4√3). B ∆ BCD, ∠BCD=180◦-(∠ACB+∠DCE); ∠BCD=180◦-(60◦+60◦)=60◦; ∠BCD=60◦. S(BCD)=(1/2)*BC*CD*sin∠BCD; 6=(1/2)*√(4√3)*b*sin60◦; 6=(1/2)*√(4√3)*b*(√3/2); b=4√(√3). S(CDE)=(1/2)*b²*sin60◦; S(CDE)=(1/2)*(4√(√3))²*(√3/2)= =(1/2)*16√3)*(√3/2)=4*3=12; S(CDE)=12. Ответ: S(CDE)=12.

[@gladossystems2147]

Ну конечно заморочился! сторона тр. АВС будет х, тогда СД будет 2х т.к. площадь больше в два раза и из S=2*(a*a*sin60 это треугольник АБС) одна сторона общая угол тот же значит вторая сторона у тр БСД больше в два раза. И значит площадь треугольника СДЕ больше в 4 раза чем АБС и равна 3*4= 12.

[@alexanderikhteiman1459]

Если треугольникВСД согнуть по линии СД, то сторона ВД окажется высотой зеленого треугольника ДСЕ.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

С наступившим Новым годом. Биссектриса

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

Жёлтый треугольник прямоугольный, т.к. ВМ медиана = половине основания СD. Значит, Площадь ∆ BMC = половине ∆ CDE. ВД = высоте. ∆ СДЕ Площадь CDE= 12. Спасибо Тренеру и подписчикам канала.

[@АнатолийКрымский-х5ъ]

Ну, на глаз кажется, что четыре розовых поместятся. То есть 3 * 4 = 12

[@Evgen-i6z]

Первое января. Геометрия хорошо, но пиво лучше.

[@anahitsimonyan2140]

S(ABC)=>BC^2=4✓3=>BD^2=12✓3=>DC^2=16✓3=>S(CDE)= =(16✓3x✓3)/4=12 ОТВ.12

[@КонстантинВинников-р6б]

3, 6, 12, .... Не останавливайтесь, до конца 2025 года, времени достаточно! С Новым годом!

[@MRG10357]

Большой зелёный треугольник состоит из 4 маленьких с площадью 3. 3×4=12. Всё

[@makshiki]

А нельзя ли провести с точки D висоту к стороне CE и триугольники равни, S(CDE)=2BCD=6*2=12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вначале нужно доказать, что угол CBD = 90. Иначе почему они равны? Идея замечательная. Доказываем, что CBD=90!

[@makshiki]

​@@GeometriaValeriyKazakov так же как на видео, триуг. MBD равнобедрений, т.к. CMB ровностор.триугольник, ABC=CBM, угол BMD=120, т.к. CMB=60, а на два приходится 60 градусов, по 30. CBM+MBD=90, проводим висоту DK, триуг. DBC=DKC, т.к. DC общая, угол DCK=BCD, B=K=90, значит 6*2=12🎉

[@soul_njdeh716]

С новым годом 🎉

[@pamir_uz]

откуда 60 взялся? на глаз вычислил? так на глаз тоже вижу 2 равносторонних и 1 прямоугольного треугольников

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, на глаз развернутый 180 и -60 -60. "Закусывать надо!

[@UssrMegaNolik]

Я и без красного треугольника узнал что площадь 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Если убрать красный, то сторона CD может быть любой длины при площади 6. И тогда площадь зеленого не определена.

[@ОлегКозловский-о8е]

Правой угол жёлтого переместим в правой зелёного. Зелёный вдвое от розового. 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Пока непонятно, но спасибо.

[@sv6183]

А может не вдвое,а вчетверо😊 И это еще доказать надо.

[@ЛекаКузнец]

Из всех наук!

[@arxippp-lb2tv]

Проводим высоты в треугольниках. Быстрое решение при ограничении времени.

[@Judah_Loew_ben_Bezalel]

Лёгкая, устно решается...