Планиматрия. Задания для подготовки к экзамену.

[@gorleghado2938]

рассмотрим гомотетию с центром в точке касания двух окружностей и коэффициентом 2 ( так как диаметр малой к большей 1:2),тогда малая окружность перейдёт в большую, точка B в точку N, точка A в точку M а дальше можно через средние линии. Ещё можно было доказать, что KC биссектриса: доказываем параллельность AB и MN, откуда получаем, что OC это серпер к AB, откуда KC биссектриса чтд.

[@gorleghado2938]

правда я не знаю пойдёт ли такое решение с гомотетией на ЕГЭ

[@mathmix1057]

К сожалению, гомотетии нет в школьной программе. А так было бы красивое доказательство.

[@gorleghado2938]

@@mathmix1057 вот насчёт того, что гомотетии в школе нет не уверен! в геометрии мерзляка она есть вроде

[@mathmix1057]

Надо посмотреть.

[@DNN9991]

Это задача с реального экзамена, есть альтернативное решение. а) Если на общей касательной взять точку E со стороны KM, то ∠EKA = ∠KBA, ∠EKM = ∠KNM. Собственно, этого достаточно для доказательства параллельности AB и MN - соответственные углы равны по сути одному углу. При этом ∠KLB = ∠KCN, тогда ∆KLB ∾ ∆KCN: LB/CN = KL/KC. ∠KAL = ∠KMC, ∠KLA = ∠KCM, поэтому ∆KLA ∾ ∆KCM: KL/KC = AL/MC. Следовательно, LB/CN = AL/MC, или AL / LB = MC / CN. б) AB = 2r * sin ∠BKA, MN = 2R * sin ∠NKM, поэтому MN = 2 * AB, то есть AB - средняя линия ∆MKN, KB = BN = a. Тогда в ∆CKN LB - средняя линия, KL = LC = b, а AL - средняя линия ∆MKC. AL = 3m, LB = 7m, MC = 6m, CN = 14m. ∠KBA = ∠KCA = ∠KNM = α. ∠BAC = ∠BKC = ∠BCN = β. ∆BLK ∾ ∆NBC: LB/BN = KB/CN, 7m / a = a / 14m, a = 7m√2, KN = 14m√2. ∆LAC ∾ ∆LKB: LC/LB = AL/LK, b / 7m = 3m / b, b = m√21, KC = 2m√21. Cos α = (KN² + CN² - KC²) / (2 * KN * CN) = (392 + 196 - 84) / (2 * 14√2 * 14) = 9 / 7√2. KM² = KN² + MN² - 2 * cos α * KN * MN = m² * (392 + 400 - (9√2 / 7) * 14√2 * 20) = 72m², KM = 6m√2. Cos ∠MKN = (KM² + KN² - MN²) / (2 * KM * KN) = (72 + 392 - 400) / (2 * 6√2 * 14√2) = 4 /21, sin ∠MKN = 5√17 / 21. MN = 4r * sin ∠MKN = 4√7 * 5√17 / 21 = 20√119 / 21.

[@mathmix1057]

Да, я видела как раз такое доказательство, как у Вас. Появилось желание найти другой способ доказательства.

[@DNN9991]

@@mathmix1057 Я же его Вам и присылал.

[@mathmix1057]

Я помню. Видела в других источниках.

[@DNN9991]

Посмотрел ещё раз на конструкцию и не нашёл более лаконичной идеи для доказательства. Можно только немного сократить вышеуказанное решение во втором пункте (не выражать b и применить теорему косинусов только один раз), если доказать, что KC - биссектриса: ∠BKC = ∠BCN = β, AB || MN, ∠BCN = ∠ABC = ∠AKC = β. Тогда в KB = a = 7m√2, BA = 10m, AK = 3a/7 = 3m√2 и можно вычислять нужный угол из ∆ AKB.