Polynômes d'Hermite-EP2-Agrégation interne-2019

[@jamiloldtaleb4826]

@phil caldero je vous propose une maniere simple de montrer orthogonalite des polynôme d'hermite. 1) montrer pour tout polynômes P, =

[@philcaldero8964]

@@jamiloldtaleb4826 j'approuve

[@marsupilable]

Bonjour, Passionnant, avec beaucoup de points assez subtils, où on ne voit pas bien comment faire sans algèbre linéaire ! L'anti lemme de Rolle est en effet assez délicat : on sait H_n' = -2n H_{n-1} mais on veut montrer que H_n est scindé à racines simples, donc Rolle ne nous aide pas. Parfois dans ce genre de contexte, il y a des récurrences en duplication P(n) => P(2n) et P(n) => P(n-1), mais ici, on ne dirait pas. C'est juste un peu dommage d'avoir choisi pour noyau exp(-x²), alors que la densité de la loi normale centrée réduite nous tendait les bras : 1/sqrt(2pi) * exp(-x²/2), pour se débarrasser des 2^n et de l'expression bizarroïde de H_0 ! Si on normalise bien avec le (-1)^n, et éventuellement le 2^n, on récupère une suite d'Appell : p_n' = n * p_{n-1}. Et à ce moment-là, on a une formule de translation calquée sur la formule du binôme-formule de Taylor exp(aD) = T_a pour un opérateur de dérivation modifié. C'est très bien expliqué dans Fonctions de la variable réelle de Bourbaki ! L'aparté sur la quadrature de Gauss est fascinant, faudra que je le re-regarde ! Un autre truc incroyable de calcul numérique c'est le noeuds de Tchebychev qui donnent la meilleure façon d'interpoler (pour la norme de la convergence uniforme), et donc ça se fait grâce aux polynômes de Tchebychev de 1ère espèce, autre famille orthogonale, mais qui, eux, ne sont pas une suite d'Appell, puisque justement il y a 2 espèces ! C'est vrai que c'est un peu fou, le calcul numérique, on se dit que ça va juste nous casser les pieds avec des epsilon/delta, mais en fait on tombe sur une mine d'or de formules secrètes et miraculeuses !

[@philcaldero8964]

@@marsupilable Gauss est derrière tout ça et ça en est impressionnant. La ou il passe, il reste le maître pendant des décennies !

[@marsupilable]

@@philcaldero8964 Oui et d'ailleurs, j'ai pas fait la remarque, mais évidemment, Gauss était déjà mort depuis 10 ans quand les polynômes d'Hermite ont été isolés par Chebyshev puis Hermite. Mais bon, (et pour cause !) Gauss connaissant quand même bien la loi normale et la gaussienne, donc peut-être qu'il avait pris 5 minutes pour réfléchir à ses dérivées successives, qui ne crèvent pas forcément les yeux, mais qui semblent intrigantes. (mais je m'avance un peu car 1: je ne connais pas les résultats de la quadrature de Gauss 2: je n'y connais généralement rien en histoire des maths !)

[@philcaldero8964]

@marsupilable 😊