Pourquoi une fonction injective continue sur un intervalle est-elle strictement monotone?

On donne trois preuves pour cet énoncé. Une fausse (ou disons trop imprécise), une pour le niveau licence, et enfin une, assez séduisante, mais qui demande quelques bases de topologie de L3.
L'internaute attentif aura certainement remarqué que la vignette est (inconsciemment) inspirée de Staying Alive.

[@lapichfamily7595]

Je ne connaissais pas la preuve 3 mais elle est effectivement très élégante.

[@MrRaphaelThiers]

Je crois bien avoir été intoxiqué aussi par la preuve incomplète au début des années 90( je tempere car la science semble nous dire qu'il l est très difficile de se fier à de vieux souvenirs). J' adore la preuve topologique ! Merci !

[@philcaldero8964]

@@MrRaphaelThiers oui, c est une preuve qui motive la topologie

[@philcaldero8964]

@@MrRaphaelThiers mais je comprends bien l'intoxication, c'est un vrai piège cette fausse preuve

[@DedenK]

Attention. La négation de strictement monotone n'est pas correcte. On a f(x1)>=f(y1) et non pas >, car on peut être croissant au sens large. Toutefois, ça ne change rien à la preuve qui reste valide avec Phi(1)

[@DedenK]

Si je ne dis pas de bêtise, on a le même problème avec la preuve 3 où X n'est alors plus réunion disjointe de Y et de Z. Il faudrait éliminer préalablement le cas de monotonie large grâce à l'hypothèse d'injectivité, non ? Ça permet dans un second temps d'être strict partout comme dans vos preuves.

[@DedenK]

J'ajoute que sans ça, on a une preuve 3 qui n'utilise pas l'hypothèse d'injectivité... Ce qui est problématique. 😁

[@pierrechruterkraft8136]

à 3:22 , tu as une idée de comment montrer que l'on peut se ramener à ce cas ? J'ai essayé mais je n'ai pas abouti :(

[@philcaldero8964]

@@pierrechruterkraft8136 Ben non en fait. Je pense que c est faisable, mais à quel prix ?

[@pierrechruterkraft8136]

J'ai essayé de montrer que l'on peut se ramener au cas où on trouve un z dans la première démo en utilisant que I est un intervalle , mais je n'y suis pas arrivé, une idée ?

[@philcaldero8964]

@@pierrechruterkraft8136 je n'ai pas compris ce que tu cherches

[@draaagoo7799]

J'ai essayé de faire ma propre preuve , en supposant que f nest pas st monotone , on peut dire que lensmeble A des point de I dont la derivée s'annule nest pas vide . et puis on utilisons la continuite de f sur i jai construit un voisinage autour dun point a de A ou il existe deux element forcement v1 ,v2 v1

[@philcaldero8964]

@@draaagoo7799 mais tu supposes la fonction dérivable ?

[@draaagoo7799]

@@philcaldero8964 Mais pourquoi cest pas le cas?

[@philcaldero8964]

@@draaagoo7799 ça ne fait pas partie des hypothèses en tout cas

[@draaagoo7799]

@@philcaldero8964 my baad🤦‍♂️, en tout cas j'essayerai de comprendre la preuve topologique cest vraiement troop elegant . Mercii pour ta reponse !!

[@bixive2525]

C'est toujours un peu confus brouillon dans mon esprit cette partie des maths. J'ai un peu de mal a saisir les subtilités. Si un espace a une norme il a une distance et s'il n'a pas de norme il faut regarder s'il est métrisable pour pouvoir définir une distance. Et la topologie est là pour généraliser les résultats enseignés en L1 par l'analyse réelle a des espaces non métrisables sur lesquels ont ne peut ni définir de norme ni définir de distance? Et la dernière preuve c'ets l'utilisation de la généralisation pour faire la preuve? il faut dire que mon souvenir s'arrete sur les espaces de Banach qui il me semblent etaient complets vectoriel et normés. Peut etre qu'il me manque une partie du cours pour bien comprendre toutes ces notions

[@philcaldero8964]

@@bixive2525 il y a une partie du cours de topologie qui est une refonte de ce que tu connais sur R et même sur les espaces vectoriels normés.

[@nicolasranke2806]

Bon courage aux physiciens qui regardent la vidéo 😉

[@philcaldero8964]

@@nicolasranke2806 où ceux qui ont confondu avec un remake de staying alive

[@hugoschmitter7331]

⁠@@philcaldero8964la blague est en cours de description

[@philcaldero8964]

@@nicolasranke2806 mais blague à part les physiciens doivent bien connaître la topologie comme par exemple le groupe de Lorentz qui est la composante connexe de l'identité dans le groupe O(3,1)