Pourquoi une fonction injective continue sur un intervalle est-elle strictement monotone?

[@folkswell]

La troisième preuve paraît évidente une fois que vous l'avez montrée. Merci

[@philcaldero8964]

C'est ça les belles maths!😊

[@rachidnajib1013]

Cette question a été posé dans le sujet 2 agrégation interne 2011 Question I-3 a avec l'indication : En étudiant le signe de la fonction Delta : (x,y) ---> f(x)-f(y) sur le demi plan x < y: (Solution: comme f est injective Delta ne s'annule pas sur le demi plan connexe , elle est de signe constant car l'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe : L'image du demi plan est un connexe de R qui ne contient pas 0 )

[@philcaldero8964]

Bien vu

[@alexandrezarpas6287]

J'ai pas bien compris dans la preuve 1 pourquoi le fait que I était un intervale, nous permettait de déduire qu'on pouvait se ramener à la première définition

[@nonostromo1404]

Comment peut on savoir que phi est bien définie sur [0,1] comme f n'est pas forcément definie sur tout R ?

[@philcaldero8964]

f est définie sur un intervalle. Donc si elle est définie sur deux règles elle reste définie sur le segment

[@nonostromo1404]

@@philcaldero8964 okay merci

[@corbonmaths9597]

Bonjour Monsieur Caldero, Merci pour cette vidéo. Peut-on utiliser la preuve 3 dans la leçon 204 de l'Agreg externe sur la Connexité afin de montrer la puissance et l'efficacité de cet outil sur un cas simple (par rapport à la preuve 2 qui est plus "laborieuse" et surtout qui utilise de façon cruciale un argument de convexité qui sert immédiatement et directement à "dire" que X est connexe dans la preuve 3). Est-ce que du coup dans les questions de jury, on pourrait demander à démontrer rigoureusement que Convexe entraîne Connexe ? Par ailleurs, je trouve ce format de comparaison de preuves à différents niveaux et pour illustrer la puissance d'un outils très intéressant, toujours pour l'oral de l'agrégation . Vous serait-il possible d'en réaliser d'autres à l'occasion ? Merci beaucoup, c'est toujours un plaisir de vous suivre !

[@corbonmaths9597]

Pour convexité entraîne connexité, cela découle de la connexité par arc (qui est elle-même une conséquence directe de la définition d'un convexe, vous l'avez bien signalé), mais ça marche aussi parce qu'on est dans un espace affine réel...

[@philcaldero8964]

Quand j ai fait la video, Luca, qui a fait la video d hier, trouvait que c etait parfaitement a sa place pour cette leçon! Encore une coïncidence? Sinon convexe implique connexe par arc qui implique connexe.

[@philcaldero8964]

Ce format de preuve comparative est intéressant à plus d'un titre, mais pas évident à faire à la demande.

[@corbonmaths9597]

Merci @@philcaldero8964. Hé oui, les élèves en veulent plus, toujours plus...Mais c'est peut-être parce que le prof est bon 😁(comme Leconte ?).

[@twentyc192]

Eh bien merci à vous

[@ukungena7345]

Pourquoi dans le "sinon" on suppose pas plutôt qu'il existe x0 < y0 tq f(x0) = f(xy1) ? (je comprends pas pourquoi on garde des inégalités strictes alors qu'on veut contredire justement une stricte monotonie)

[@philcaldero8964]

Justement parce que la fonction est injective

[@ukungena7345]

@@philcaldero8964 ahh je croyais qu'on ne le supposait pas dans la preuve pour faire une contraposition au temps pour moi

[@bardamu9662]

La troisième preuve est top...o.

[@philcaldero8964]

@@bardamu9662 elle est dans la dernière version de CVA

[@aouheykokd9374]

j'aime beaucoup la derniere preuve

[@philcaldero8964]

Moi aussi. Très classe!

[@workstation7101]

je regardais des preuves avec le premier argument en me demandant d'où les valeurs x y z sortaient

[@philcaldero8964]

Et pour une somme modique, je peux prévoir le probleme du concours se ton choix 😊

[@workstation7101]

@@philcaldero8964 mais non

[@workstation7101]

banque pt?

[@workstation7101]

quelle coïncidence folle