Приближенное вычисление интеграла с помощью ряда Тейлора. 2-ой пример.

Из этого видео вы узнаете, как найти приближенное значение неберущегося интеграла от функции e^(x^3) на отрезке от 0 до 1. Для этого будет использовано разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора-Маклорена.
Как получить разложение для e^x в ряд Тейлора можно посмотреть здесь: • Разложения e^x и sin(x...
Еще один пример нахождения приближенного значения интеграла с помощью ряда на примере функции sin(x)/x: • Приближенное вычислени...

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за способ оценки погрешности вычислений.

[@alexandergretskiy5595]

Спасибо, что обращаете внимание на практическое применение интегралов, поддерживая традицию советских академиков.

[@criocpeer]

Спасибо, очень круто все объяснил!

[@NikitaBotnakov]

Все очень хорошо объясняется, спасибо! Было бы интересно узнать, почему этот или какие-то еще интегралы не выражаются в элементарных функциях

[@VSU_vitebsk]

спасибо, пригодится

[@smolka_124]

С S' оригинально получилось, даже сначала не понял, но потом допер)

[@moody-user]

Интересно

[@user-bq8ng3mn7b]

согласен

[@moody-user]

Неплохо

[@user-bq8ng3mn7b]

поддерживаю

[@user-fw9ej9gj1h]

А что имеется ввиду, когда мы записываем +- в погрешности. Просто, как я понимаю, все члены ряда положительны, следовательно сумма ряда возрастает, т. е. значение лежит между (1,341, 1,341+6,21*10**(-4))?

[@Hmath]

да, пусть будет просто + а еще лучше тогда просто половину от "погрешности" сразу прибавить к результату, а со 2ой половиной написать +/-

[@user-fw9ej9gj1h]

@@Hmath Да, понятно. Спасибо за ответ.

[@Hmath]

Решил еще добавить. Суть этой части решения была доказать, что погрешность не превосходит заранее заданного числа. И из решения видно, что мы заменяем сумму на значительно большую, так что фактический результат всё равно получился точнее.

[@akakiypetrov1853]

!

[@barackobama2910]

Да. Но можно открыть эксель и за в 5 раз меньшее время просто численно посчитать с лучшей точностью. При нулевой стоимости вычислений эти навыки обесценены.

[@Hmath]

вы уже писали под другими видео, что лучший способ вычисления интегралов - метод прямоугольников. Ваш способ - отбросить 300 лет развития математики и в любой ситуации использовать самые примитивные методы вычисления, надеясь, что компьютерные мощности и так всё вытянут. Это наивные размышления. Разные задачи требуют разных подходов. Если бы все придерживались таких же убеждений, вы бы до сих пор не могли фотографировать на телефончик, например.

[@barackobama2910]

@@Hmath Все же нет. Но по аналогии развитие автомобилей обесценило 5000 лет развития коневодства. Лошади остались , но в транспорте и военном деле практически не используются. Так и тут. Навыки Эйлера, Лапласа, Коши остались, и именно на них и были созданы компьютеры как на конной тяге строились заводы Форда. Но времена поменялись.

[@Hmath]

вы используете неверные аналогии. То что вы хотите сказать: "если у вас есть автомобиль, его не обязательно самому ремонтировать - можно отдать в автосервис", а то, что вы на самом деле говорите: "приделайте к автомобилю колеса от телеги - он все равно поедет" Да, автомобиль поедет и с колесами от телеги, но в этом случае он будет телегой!

[@barackobama2910]

@@Hmath Интересно, как удешевление вычислительных мощностей (грубой арифметической силы) связано с колесами от телеги? Контрпример. Еще 50 лет назад ответы в задачах надо было приводить к "виду удобному для логарифмирования" ибо ручные расчеты на сложение были проще а логарифмы затабулированы. После появления ЭВМ нужда в этом пропала. Сейчас пропала нужда в изощренных аналитических вычислениях и спецфункциях-зачем сводить к ним если можно мгновенно получить нужное число и нужный график? Да, отменить теорию вычетов не выйдет -они все равно будет востребована, но ценность сложений рядов безусловно снизилась. Математика уйдет в области, недоступные компьютерам.

[@Hmath]

я же не говорю нигде, что нужно всё на счётах складывать. Это вы утверждаете, что раз есть компы, значит можно на них вычислять, используя самые примитивные методы, потому что не хочется узнавать другие. Прошлый раз вы писали похожий комментарий и говорили, что интеграл, для которого я получил ряд, нужно просто вычислять методом прямоугольников. В отношении того интеграла, как и в отношение этого: хорошо, если "прямоугольниками" получится только в 1000раз медленнее. На это вы, конечно, скажите: "да какая разница? пусть в 1000раз медленнее, все равно ведь интеграл за секунду вычислится" При этом вы не учитываете, что возможно необходимо будет найти, например, 10^20 значений похожих интегралов с разными пределами, или с другими изменяющимися параметрами, и это нужно сделать в ограниченных по времени рамках. Я не утверждаю, что каждый в мире должен уметь находить интегралы, сейчас можно воспользоваться для этого готовыми программами, в которых за вас уже умные люди всё продумали для этого. Но настаивать на том, что все эти "ваши" методы не нужны, давайте ограничимся в математике тем, что научимся до 10 считать, для меня звучит несуразно :)

[@marik5990]

ыкс

[@marik5990]

ыкс в третьей 🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

[@YahontAction]

В этом ролике удручает, то что анализ погрешности по вычислениям и объему рассуждений превышает объем вычислений исходной суммы ряда. С практической точки зрения, это жутко неэффективный алгоритм вычисления интеграла. Я уже молчу, о том если потребуется организовать вычисление этого интеграла с полной мантиссой числа Float (около 11 верных знаков) или Double (около 16 верных знаков), там вообще утонуть можно. А как считать этот интеграл с помощью рядов Тейлора, для больших чем единица значений верхнего предела интеграла? В общем уважаемый, автор тема, полезная и ценная для программистов практиков, но в вашем ролике она недостаточно раскрыта на примере такого простого интеграла... да и алгоритм не практичный.

[@Hmath]

это учебная задача по мат. анализу. Никакой цели показать что-то там для программистов и не стояло, у меня в принципе канал другой тематики. А так вы все равно не пояснили в чём именно "неэффективность" и какой метод видится "эффективнее"

[@YahontAction]

@@HmathДаже учебный материал, должен быть выверен. Собственно учебный материал этот нужен програмистам и инженерам которые заняты созданием научно-технического софта. Вы наверное согласитесь в том, что никто в здравом уме сегодня не будет считать интеграл, на клочке бумажке с калькулятором в руках. Тем паче в реальных задачах, где интеграллы могут быть такие что одну подинтегральную функцию вычислять будет накладно. Для этого пишут программы, ... даже не програмисты а инженеры. Вот, и я как бывший фанат интегралов, в свое время решил по приколу реализовать функцию вычисления Si(x), полагая, что это элементарная задача.. И очень удивился с букетом проблем когда начал это реализовывать. Нужно было реализовать функцию вычисления Si(x), с точностью Double т.е. чтобы все знаки мантисы были верными. При этом конечно-же численные методы Симсона, треугольников и прочих сразу дали осечку, только ряд Тейлора. Но и с рядом Тейлора, все было хорошо до определенного аргумента (уже не помню какого, но скажем ~10). При задании большего значения аргумента, ряд Тейлора схолился с неправильной суммой, по причине особенности хранения чисел в ЭВМ. К тому же с увеличением аргумента растет и число элементов ряда.. а значит задача имеет привязку к аргументу. Решение в итоге было найдено, оригинально, и с помощью того ряда Тейлора. Но это уже была не функция вычисления Si(x) а целый класс функций и данных для вычисления Si(x). В итоге был получен класс, вычисляющий Si(x) c точностью в Double (16 знаков мантисы), со сложностью вычислений многочленна восьмой степени P8 - независимо от величины аргумента. Это и есть эффективность вычислений. Когды ты можешь в итоге спец подготовки, вычислить интеграл в любой точке по формуле многочленна 8-10степени. (но для этого надо хранить в памяти опорные точки и т.д.) Для достижения этого пришлось идти на различные хитрости, например применять ряд Тейлора только для отрезка длиной 0.1, соотвественно отрезок интегрирования разбить на сегменты длиной 0.1, .. потом реализовать алгоритм вычисления индекса нужного сегмента по аргменту, храниь в памяти массив данных многочленнов для кадого сегмента, на больших аргументах применить асимтотическую формулу (предварительно выбрав величину аргумента при котором ее сложность не будет превышать сложности многочленна степени 8). Короче в коменте я не смогу тебе описать всего к сожалению. Si(x) как и erf(x) и им подобные "школьные" интеграллы самые простые.. куда "веселее" решать подобную задачу для несобственных интегралов зависящих от аргумента например производная Nго порядка для гамма функции.. но это уже совсем другой разговор.

[@Hmath]

отлично, вы уже столько работы проделали, значит теперь не составит труда сделать хорошо выверенный учебный ролик на 9 минут и описать в нем все вот эти проблемы и трудности и как из них выйти. Я с удовольствием посмотрю.

[@YahontAction]

@@HmathЯ это делал .. 8лет назад..

[@marik5990]

е в ыкс