Числа Фибоначчи: формула Бине, предел отношения и сходимость ряда

Из этого видео вы узнаете, как получить формулу, выражающую числа Фибоначчи в явном виде (формула Бине), как найти предел отношения последовательных чисел Фибоначчи, а также как исследовать на сходимость ряд, состоящий из чисел, обратных к числам Фибоначчи.
Исследование на сходимость рядов 1/n^s можно посмотреть в этом видео: • Исследование сходимост...

[@AbDmitry]

Удивительным образом наткнулся на этот замечательный канал и теперь я стал его постоянным гостем. Благодарю за лаконичность и математическую строгость. Низкий поклон.

[@yuldashevbaburbob5624]

Лема о двух миллиционерах,лучшая и любимая вещь в математике. Просто и гениально!

[@AlexeyEvpalov]

Всё подробно. Спасибо за видео по числам Фибоначчи.

[@user-my4fl4ty1r]

Наконец-то понятно обьяснили, с точками графика супер круто! Самое лучшее объяснение, спасибо!

[@karomismatov6790]

Четко и подробное объяснение спасибо за труд

[@Hmath]

рад, что понравилось!

[@fedorlozben6344]

Я бы по-другому их сумму ввёл в формулу. Заметим,что наше уравнение позволяет расслаивать функцию на слагаемые,для которых оно выполнено. Это сразу видно из того,что тут всё линейно и нет особо помех. Тогда как раз из двух корней делаем суммой вариацию на две переменные,дальше можно про ранг матрицы поговорить или просто для 0,1 начальных данных прогнать,как вы и сделали. А вообще круто вы вот так неспеша дали такой мощный аппарат,ведь он реально почти все такие уравнения решает,если только корни не совпали)

[@Ams-sv5bf]

Вывод формулы Бине прост и гениален! но предел отношения следующего и текущего члена последовательности фиббоначи можно найти и без нее. Если это x, то из определения ряда Фиббоначи легко выводится, что x=1+1/x, дальше решается простое уравнение, решением которого является фи

[@Hmath]

если находить таким способом, то нужно еще доказать сначала, что предел вообще существует, иначе такие манипуляции лишены смысла :) а доказательство существования будет не меньше, чем вывод формулы для явного вида чисел фибоначчи :) А тут всё разом получилось, одно из другого

[@derschwarzerabe9848]

Интересный исследовательский подход с использованием графики. Если бы Ейлер имел такой инструментарий, то он нам подарил множество изящных формул. Вы это сделали изящно.

[@user-klepikovmd]

Эйлер вывел множество формул опередивших время. Например преобразование Фурье и быстрое преобразование Фурье. Только в его время эти алгоритмы были совершенно бесполезны и их вывели заново спустя много лет. А потом обнаружили, что Эйлер уже это сделал.

[@qwert3682]

Спасибо большое, разобралась, самое понятное объяснение!

[@user-jn4qs5ms1p]

Очень интересно, спасибо за видео!

[@Hmath]

рад, что понравилось!

[@ashotdjrbashian9606]

Ochen xoroshee video. Ya znal formulu, no nigde ne videl dokazatelstvo: prosto i chyotko

[@VSU_vitebsk]

освежили в памяти, спасибо

[@MishaTavkhelidze]

Замечательное видео! Огромное спасибо!

[@user-gf4mt7qf6d]

Спасибо большое!

[@dima_math]

В конце каждого ролика Вы осторожно предполагаете, что Ваши видео нравятся зрителям. И каждый раз у меня возникает вопрос: "А разве это кому-то может не понравиться?"

[@Hmath]

сейчас я все чаще говорю: "если вы досмотрели до этого момента, тогда вам ТОЧНО понравятся и другие видео" :)

[@kuntsevochess]

отличное видео

[@ruslankinzibaev4480]

Нахождение формулы Бине очень похоже на решение дифференциального уравнения. F_{n} = y. F_{n+1} = y'. F_{n+2} = y''. Потом (по сути почти эйлеровой подстановкой) находим корни уравнения и используем начальные значения :) В этом смысле даже логичнее задавать F_{0}=0, а не F_{1}=0. Потому что y^(0)=0

[@inketroll5984]

Удивительное решение. Вроде бы всё так просто и логично, и даже вызывает чувство "как же я сам не додумался до этого". У меня по итогу возник один вопрос: Почему используется именно такая последовательность? А именно F₁=1; F₂=1; F₀=0. Ведь по идее можно было изначально выбрать другую последовательность, вернее взять ту же последовательность, но сдвинутую на один шаг. То есть F₁=0; F₂=1; F₃=1. Да и вообще существуют ли такие же формулы для других последовательностей Фибоначчи? Скажем для последовательности 2;1;3;4;7;11...?

[@Hmath]

наверно есть формулы, я не интересовался этим вопросом :)

[@hktundra]

Последовательность можно начать любыми числами, предел отношения (n+1)-ого члена к n-ому останется прежним

[@alexandermorozov2248]

Существуют, но a и b будут уже другие. Вы сами их можете найти для вашего случая ;)

[@user-es6hc4qk3t]

существуют замкнутые формулы для любых линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами

[@alanturing487]

В восторге от качества контента! Спасибо за прекрасный ролик, очень интересная тема Хотел узнать какой у вас математический бэкграунд, какой вуз оканчивали, какие книги читали?

[@Hmath]

физтех на урале. Но в плане математики там только какую-то небольшую базу дали, больше я потом сам уже изучал. Хотя, если честно говорить, то изучал что-то только в тех разделах, которые уже знал с вуза. Так что база всё-таки играла роль :)

[@alanturing487]

@@Hmath здорово! я сам с вмк, но такие интересные ряды нам не давали)

[@igorsoftvariant]

👍

[@user-jg3dh7tc1n]

Спасибо за видео! Можете сказать, в какой программе пишите карандашом на экране?

[@Hmath]

любой графический редактор + захват экрана. мне привычнее писать в фотошопе, но думаю, что это не самый оптимальный вариант :)

[@user-jg3dh7tc1n]

Понял. Спасибо!

[@user-jg3dh7tc1n]

Я думаю, что Фотошоп - хороший вариант!

[@akakiypetrov1853]

👍.

[@paulstartsev2891]

Вы случайно не собираетесь делать видео по линейной алгебре?

[@Hmath]

не знаю, но точно не в ближайшее время

[@joytre6587]

Возможно вопрос туповат, но почему в качестве добавки решили попробать пси(почему в плане полуинтуитивном(логическом), ну как с графиком например похож на показательную функцию, может её попробуем), просто для меня эт не очевидно. Заранее спасибо за ответ и за столько хороших роликов

[@Hmath]

пси - второй корень уравнения, значит будет а итоге удовлетворять тому же рекуррентному соотношению. такая может быть логика :)

[@user-wb6wc2ru9u]

формула Бине еще в механике есть

[@nobugsnohugs6040]

Wolfram Alpha выдал некий результат (его очень долго переписывать, можно найти по запросу "sum 1/Fib, n=1 to inf") Не могу точно судить, но он давльно конкретный (то есть там конкретные стоят цифры, а значит, можно вычислить и точное значение... теоретически) Или это не то?

[@Hmath]

он выдал ответ через специальные функции, которые по сути, тоже задаются через ряды :) под "точной суммой" я имел в виду, что не найдена сумма в виде алгебраической комбинации известных констант и чисел (или хотя бы через элементарные функции типа синуса косинуса и тп) Т.е например сумма ряда 1/n^2 равна пи^2/6. А для этого ряда с обратными числами Фибоначчи ничего подобного не нашли. Как пишет википедия, доказали только, что сумма этого ряда иррациональное число, причем не так давно доказали. en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_Fibonacci_constant Понятно, что если ряд сходится (как в данном случае), то его сумму можно найти с любой точностью, все зависит от того, сколько просуммировать слагаемых из бесконечной суммы :)

[@MrYaroslav210]

​@@Hmathну, для суммы ряда обратных квадратов тоже ведь хитрость, что он сводится к "точному" значению) Для пи точно так же невозможно получить точное значение, и вся эта неточность прячется под греческую букву. Просто константа фи, возможно, самостийная, и через другие константы не выражается, не имеет с ними связи

[@ahsevfawejkfvweavf4618]

извините,но как вы построили график чисел фибоначчи ?

[@Hmath]

в каком смысле? нарисовал систему координат и отложил точки :)

[@SurGainNoPain]

Досмотрел до конца и решил посчитать сумму этих чисел. Пока я вижу только то, что эта сумма стремится к 3,36

[@Hmath]

сумму каких чисел? чисел фибоначчи?

[@Hmath]

видимо вы про сумму обратных к числам фибоначчи. всё, что известно: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8

[@thebishop3588]

что значит точную сумму никто не нашёл? это же иррациональное число.. или нет?)

[@user-es6hc4qk3t]

"иррациональное число" это не ответ

[@thebishop3588]

@@user-es6hc4qk3t вот именно. А как иррациональное число может быть точным?) можно всего лишь найти его и потом обозначить, как, например корень из двух, а точного то корня из двух тоже никто не нашёл

[@nickolayfilippov9985]

​@@thebishop3588корень из двух можно, например, однозначно представить в виде периодической цепной дроби, что позволит найти с любой заданной наперед точностью

[@dmitryramonov8902]

Вывод интересный, однако получается, что предел отношения чисел Фибоначчи сам уже не является рациональным числом. По сути, бесконечность упрятали в иррациональное число, которое нужно знать с бесконечной точностью, чтобы рассчитать прямо таки для любого n. Тем интереснее, что для числа фибоначчи есть явная формула и в целых числах.

[@Hmath]

предел от последовательности рациональных чисел и не обязан быть рациональным числом. Собственно, иррациональные числа так и можно определить, как предел последовательности рациональных чисел. А что за "явная формула в целых числах"?

[@dmitryramonov8902]

@@Hmath с подвохом, матрица [1 1, 1 0]^n. Но в степень можно возводить быстро, поэтому легко хоть миллионный член расчитать.

[@Hmath]

и где же это формула в явном виде? :) как же эту матрицу в 10 степень возвести, не вычисляя последовательным умножением 10 матриц? я только один способ знаю, как можно еще возвести матрицу в степень. Для этого нужно будет найти диагональную матрицу из собственных чисел, а они то как раз и будут с корнями - совсем даже не целые :) а так, конечно, числа фибоначчи можно и по рекуррентной формуле искать - там все с целыми числами будет, и ничего изобретать не нужно дополнительно

[@dmitryramonov8902]

@@Hmath быстрая степень это стандартный алгоритм, метод аддитивных цепочек. Квадрат, квадрат и т.д.

[@Hmath]

так я ж не про "скорость", я про рекуррентность. Как найти 100 степень матрицы, не находя при этом значения этой матрицы в меньшей степени? Если же нужно для этого найти хоть одну такую матрицу (в меньшей степени) - значит это уже рекуррентная формула по определению.

[@FeelUs]

только если вычислять на компьютере с double, начиная 72 го числа вычисленные в лоб и по формуле Бине числа начинают различаться.

[@dclxviclan]

Я до сих пор не понииаю, откуда берется корень из 5

[@thebishop3588]

из корней квадратного уравнения)