Сумма ряда 1/n^2. Олдскульный способ Эйлера для решения Базельской задачи

В этом видео будем находить сумму ряда обратных квадратов: 1/n^2. Это знаменитая Базельская Задача, впервые решенная Леонардом Эйлером. Сейчас обычно находят сумму такого ряда, используя разложения в ряды Фурье, но во времена Эйлера они еще не были открыты. Здесь рассмотрим один из способов нахождения суммы ряда 1/n^2, который предложил Эйлер, т.е будем использовать только те инструменты, которые были известны в 18 веке.
В этом видео получено разложение в ряд для (1+x)^a: • Дифференциальное уравн...
В этом видео найден интеграл Валлиса от (cos x)^n: • Интеграл (cos x)^n. Об...
В этом плейлисте собраны видео с другими способами нахождения суммы 1/n^2: • Сумма ряда 1/n^2. Базе...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

[@drcoungrations]

Гениальность Эйлера не знает границ хд

[@M.Davit613]

Самый лучший математик в мире.

[@chu6275]

воистину!

[@AlexeyEvpalov]

Хорошее, подробное объяснение. Очень красивое решение. Большое спасибо.

[@AlexAB113]

Очень красивое решение! Так из далека зашли, что в середине ролика я забыл конечную цель, что мы ищем сумму обратных квадратов, спасибо за видео)

[@ЗакарянАрсен]

Спасибо за видео. Когда ум сочетается с прекрасным голосом это сплошное наслаждение

[@DicoDicoBimBim]

Крутяк так то. Жеский типчик был этот Эйлер.

[@vikivanov5612]

Решение понятное, и не очень сложное. Но как до него догадаться, вот это загадка.

[@Ivan2]

Фурье с автоматом впечатляет! :)

[@OlegParunev]

Отличное объяснение. Спасибо. Сложное доказательство стало понятным.

[@One-androgyne]

Спасибо большое, лучшее обьяснение, добавлю в избранное!!

[@ilhamisgndrov6180]

Блогадарью за все

[@chu6275]

спасибо за шикарное видео!

[@АлександрСергеевич-й8х6х]

Прекрасно!

[@aastapchik8991]

Здорово! А как догадаться до такого интеграла?)

[@Hmath]

да нужно просто было всякие разные пробовать найти, а потом раз: ооо, я где-то уже такой ряд видел :) я на него так и наткнулся, а потом в книге нашел, что это уже придумали 3 века назад :)

[@klepikovmd]

​​@@Hmathна самом деле, вся современная математика уже описана в ещё не расшифрованных дневниках Эйлера. Ну или Абеля. (На самом деле нет, но близко 😅)

[@VSU_vitebsk]

Эйлер провел большую работу по исследованию разных рядов. Кто интересуется, можно почитать его известный труд "Введение в анализ бесконечных"

[@Hmath]

да, только хотя и есть издание на русском языке середины 20 века (сам Эйлер писал вроде такие книги только на латыни, как было принято в те времена), всё равно нужно быть готовым к обозначениям и изложению, свойственным 18 веку :) Я бы сказал, что это скорее интересно с исторической точки зрения, чем с математической :)

[@ИльяДубинин-з2о]

Что ни откроют, дедушка Эйлер все это уже открыл раньше)

[@БунёдШаюнусов-б7х]

здравствуйте. можно еще видео суммы обратных факториалов ? в русскоязычном ютьюбе я не нашёл видео с объяснением

[@Hmath]

если такую: sum 1/n! , то у меня есть подобное. одно из самых первых видео на канале: kzbin.info/www/bejne/oaSZqGeNq5uKjKM

[@БунёдШаюнусов-б7х]

@@Hmath , не увидел. спасибо

[@Hmath]

сейчас заметил, что дал ссылку не на то видео :) там в следующем нужная сумма была найдена :) коротко: используется разложение e^x в ряд тейлора: e^x=sum(x^n/n!) (n от 0 до бесконечности) => sum(1/n!) = e

[@БунёдШаюнусов-б7х]

@@Hmath , по вашей вчерашней ссылке я понял, что такой ряд точно сходится). через разложение в ряд тейлора я понял, но я думал есть какой-то более интересный способ разложить и найти конкретную сумму

[@Hmath]

нее, ну другому-то числу сумма не будет равна всё равно :)

[@КириллСмирнов-ч7г]

Хорошо. А вы не хотите записать видео на какую-нибудь тему из линейной алгебры? Это было бы замечательно

[@Mathematics_and_physics]

++

[@vintik1688]

Если что, есть еще одно доказательство - kzbin.info/www/bejne/d5qkdpSBiK1rgdk. Эдакий комплексно-тригонометричски-комбинаторный микс, но в итоге все сводится к теореме "О двух милиционерах".

[@elenagaranina5904]

все члены исходного ряда положительны и больше нуля. Разве это не значит, что сумма ряда равна бесконечности?

[@Hmath]

нет, а почему это должно быть так? простой пример, сумма геометрической прогрессии: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+... = 2

[@elenagaranina5904]

@@Hmath а почему нет? Разве сумма бесконечного количества положительных чисел не должна увеличиваться с каждым новым членом? То есть, она и увеличивается бесконечно, хоть и на малую величину.

[@elenagaranina5904]

@@Hmath Или иначе. Допустим, мы как-то определили, что сумма равна конечному числу. Но ведь сумма ряда будет увеличиваться с каждым новым членом. Что помешает превзойти конечное число?

[@Hmath]

откройте хотя бы википедию и посмотрите, что такое сумма ряда. Сумма ряда, это предельное значение, вы его никак не "превзойдете" сколько не суммируйте. Любое ваше суммирование - это суммирование конечного числа слагаемых, и эта частичная сумма будет всегда меньше предельного значения (которое и называется суммой ряда)

[@ouTube20]

Не понимаю. Если количество слагаемых бесконечно, то как можно вычислить их точную сумму? Мы же не знаем последнего слагаемого?

[@Hmath]

начните с изучения того, что такое предел. Может тогда станет понятнее, потому что бесконечная сумма - предельное значение суммы конечного числа слагаемых.

[@ouTube20]

@@Hmath Передел - это значение к которому стремится последовательность, но не равняется ему.

[@bbooss7572]

​@@Hmathзачем человеку это изучать, если можно просто объяснить

[@Hmath]

@@bbooss7572 Так что же тогда просто не объяснили?

[@orhan771]

@@ouTube20 ravnyayetsya predel. predel...

[@alexandermorozov2248]

А разве не проще найти сумму обратных квадратов через обычный интеграл?

[@Hmath]

не знаю, что значит через "обычный интеграл", но здесь плейлист, в котором собраны различные способы нахождения суммы этого ряда: kzbin.info/aero/PLK_CvALNo5MdfH4FPOB0nKO697K5aWfBM

[@alexandermorozov2248]

О, супер, спасибо! 👍

[@РикСанчез-й8ш]

Настоящие тру ищут по Эйлеру

[@proninkoystia3829]

А ведь по такому принципу замены и ряд 1-1+1-1+... тоже находится и равен 1/2 🤔

[@arsenypogosov7206]

Тут важно что мы знаем что ряд сходится. Он сходится например потому что монотонный => можно сравнить с несобственным интегралом от 1 до бесконечности от x^(-2)dx, который сходится.

[@bbooss7572]

​@@arsenypogosov7206ак гармонический ряд тоже монотонно убывает, однако он расходится

[@arsenypogosov7206]

@@bbooss7572 из монотонности не следует сходимость, из нее следует признак сравнения с интегралом. Который в данном случае говорит что ряд сходится.

[@СергейПавленко-х5я]

Ну если Эйлер и Риман не вывезли гипотезу Римана, то никто не сможет.

[@sacredabdulla5698]

шок контент. я бы даже сказал пздц.