Propriedades do Produto de Matrizes. | 04. Álgebra Linear.

[@PauloRSF]

Respondendo à questão, eu acredito que deve ter um jeito mais fácil, porém fiz na brutalidade aqui: | A_11 A_12 | * | 1 1 | = | 1 1 | * | A_11 A_12 | | A_21 A_22 | | 0 1 | | 0 1 | | A_21 A_22 | (A_11 + 0) (A_11 + A_12) = (A_11+A_12) (A_12 + A_22) (A_21 + 0) (A_21 + A_22) = (A_21 + 0 ) ( 0 + A_22) A_11 (A_11 + A_12) = (A_11+A_12) (A_12 + A_22) A_21 (A_21 + A_22) = A_21 A_22) Note que A_22 = A_22 + A_21 ⇒ A_21 = 0 substituindo e lembrando que A_11 e A_22 = 1, pois Identidade de nxn = 1 1 y 0 1 sendo y ∈ R Verificando temos: (1 , y) (1 , 1) = (1 , 1) (1 , y) (0 , 1) (0 , 1) = (0 , 1) (0 , 1)

[@PauloRSF]

Continuando: 1 1+y = 1 1+y 0 1 = 0 1 Meu deus bem que poderia ter um compilador .tex nos comentários do youtube, fica muito feio desse jeito e ele não aceita de eu mandar tudo no formato .tex, por isso tive que editar.

[@LCMAquino]

@Paulo Roberto , o caminho é este mesmo que você fez. Muito bem! Só que a resposta final será: [[x, y], [0, x]], com x e y números reais quaisquer. Nessa resposta, [x, y] é a primeira linha da matriz e [0, x] é a segunda linha. Nas contas do seu produto de matrizes que você escreveu aqui teremos A_{11} = A_{11} + A_{12}, mas deveria ser A_{11} = A_{11} + A_{21}. Obs.: o meu canal no KZbin já tem 10 anos e durante todo esse tempo eu queria ter o LaTeX funcionando aqui nos comentários… 😂 Provavelmente isso não vai rolar, pois isso é algo muito específico da área de Exatas para o KZbin pensar em implementar.

[@kratos11ist]

Difícil achar uma aula gratuita com um conteúdo tão rico como esse, parabéns professor, ganhou mais um fã!

[@francinaldodaconceicaodasi5813]

Professor Aquino, boa tarde! Excelente didática. Suas aulas tem contribuído muito para minha formação.

[@LCMAquino]

Opa, que legal! 🤩

[@yagocaetanopadua5834]

Vídeo aula FANTÁSTICA.

[@moisessantos9665]

Muito bom. Mais uma aula concluída. Grato!

[@LCMAquino]

Disponha!

[@arystonviana177]

Professor sua didática é excelente muito bom suas aulas 👏👏👏. Agora devo admitir que essas partes de provar as propriedades dá um nó na minha cabeça 🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

[@LCMAquino]

A parte de provar geralmente "buga" a cabeça das pessoas! Eu tenho um curso de Introdução ao Pensamento Matemático que pode ajudar a lidar com demonstrações. Veja as aulas no link: kzbin.info/aero/PLa_2246N48_pq6LfZsbUuwGuJicAUL8sb

[@moisessantos9665]

@@LCMAquino Olhei a ementa do curso, fiquei impressionado com a quantidade de temas e mais ainda por desconhecê-los. Para quem o curso se torna mais essencial ?

[@LCMAquino]

@@moisessantos9665 , o meu curso de Introdução ao Pensamento Matemático é fortemente recomendado para qualquer aluno de um curso na área de Exatas. Isto é, alunos que precisam fazer disciplinas como Cálculo, Geometria Analítica, Álgebra Linear, etc.

[@moisessantos9665]

@@LCMAquino obrigado pela atenção. Achei bastante interessante... Vou adicionar para fazer quando possível... Estou concluindo segundo semestre de Engenharia.

[@antoniocarlosribeiro5635]

Gostei

[@yagocaetanopadua5834]

Professor, tudo bem? Eu pretendo estudar para a OBM Universitária pelos seus vídeos. Você conhece essa olimpíada? Obtendo uma boa colocação é possível ganhar notoriedade (ganhar uma bolsa para pós - graduação por exemplo)? PS.: não estou no universidade no momento. Mais uma pergunta: é possível ser matemático autodidata?

[@LCMAquino]

Olá Yago, eu conheço a OBM, mas não acompanho com frequência. Em relação à notoriedade com uma colocação, eu não sei informar exatamente. Eu sei que os medalhistas da OBMEP (que é uma outra olimpíada de Matemática) participam de cursos de iniciação científica nas universidades (com bolsa), mas sem estar matriculados na graduação. Em relação à pós-graduação, é possível você cursar mesmo antes de fazer a graduação. O Arthur Avila (que ganhou a Medalha Fields de 2014) é um exemplo disso. Em 1995 ele ganhou uma medalhe de outro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO, na sigla em inglês) e acabou chamando a atenção de um professor do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Ele fez mestrado no IMPA enquanto ainda estava no ensino médio. Veja mais sobre a história do Artur: pt.wikipedia.org/wiki/Artur_Avila . Sobre ser um Matemático autodidata, sim isso é possível. Mas vale lembrar que podemos ser autodidata em qualquer área do conhecimento.

[@yagocaetanopadua5834]

@@LCMAquino VALEU PROFESSOR.

[@evaristodasmangas168]

...estou a gostar da viagem...

[@josecarlosgama6239]

Professor, tu podes resolver esta questão abaixo? Determinar as matrizes Q e P tal que: QR=PR = [ 4 5 6] e Q#P [-1 0 -1]

[@LCMAquino]

Primeiro note que esse exercício possui infinitas soluções. Como nada foi dito sobre a matriz R no enunciado, vamos começar supondo uma matriz R. Seja R a seguinte matriz 4×3: R = [[1, -1, 1], [1, 1, -1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]] Desejamos determinar duas matrizes diferentes Q e P com ordem 2×4 (pois os produtos QR e PR devem ser uma matriz 2×3). Suponha que: Q = [[a, b, c, d], [e, f, g, h]] Calculando QR e igualando à matriz [[4, 5, 6], [-1, 0, -1]], obtemos os sistemas: a + b + c + d = 4 -a + b + c + d = 5 a - b + c + d = 6 e + f + g + h = -1 -e + f + g + h = 0 e - f + g + h = -1 Note que foi conveniente escolher Q com ordem 2×4 e R com ordem 4×3, pois no final formamos sistemas lineares que são possíveis e indeterminados (isto é, possuem infinitas soluções). Resolvendo os sistemas obtemos: S1 = {(a, b, c, d) | a = -1/2, b = -1, c = -t + 11/2, d = t, com t ∈ ℝ} S2 = {(e, f, g, h) | e = -1/2, f = 0, g = -t - 1/2, h = t, com t ∈ ℝ} Escolhendo diferentes valores para o parâmetro t, podemos determinar as matrizes Q e P. Por exemplo, escolhendo t = 0 podemos obter: Q = [[-1/2, -1, 11/2, 0], [-1/2, 0, -1/2, 0]] Além disso, escolhendo t = 1 podemos obter: P = [[-1/2, -1, 9/2, 1], [-1/2, 0, -3/2, 1]] Desse modo, nós determinamos duas matrizes Q e P que são diferentes e cujo os produtos QR e PR são iguais à [[4, 5, 6], [-1, 0, -1]]. Ficou claro a resolução? Comente aqui.

[@evaristodasmangas168]

Ganhando altura na viagem...

[@mayaralopes8061]

Boa tarde. Estou com uma questão que não consigo resolver de jeito nenhum.. Os elementos de uma matriz quadrada A de ordem n são dados por: aij = (i+j). Deduzir a expressão indicial que fornece os elementos de A^2(A ao quadrado). Poderia me ajudar??

[@LCMAquino]

Veja a resolução nesta postagem: kzbin.infoUgkxOYRLrRifF41P9ywjBTyBmYw07vyt26FX

[@RobsonPereira009]

Professor, primeiramente ótima aula, parabéns, agora em relação a resolução do exercício do final do vídeo, eu tentei achar uma matrize com números genéricos, como posso explicar?... tipo, fazendo umas matriz C atribuindo valores para cada elemento dela e multiplicando por uma matriz A que cada elemento era uma letra, aí seguindo essa linha de raciocínio não deu certo. Então a única resposta que eu consegui pensar para a matriz A seria a própria matriz identidade 2x2.

[@LCMAquino]

Olá Robson, a ideia é começar supondo uma matriz genérica A = [[a, b], [c, d]] (isto é, a primeira linha é [a b] e a segunda linha é [c d]). Daí você calcula AB e BA para comparar termo a termo. Como B = [[1, 1], [0, 1]], temos que: AB = [[ a, a + b], [c, c + d]] BA = [[ a + c, b + d], [c, d]] Comparando termo a termo, vamos ter: a = a + c a + b = b + d c = c c + d = d Da primeira equação temos que c = 0. A segunda equação fica a = d após simplificar. A terceira equação podemos desconsiderar. E a quarta equação também vai nos dar c = 0. Isso tudo nos diz o seguinte sobre o formato de A: 1) o termo a deve ser igual ao termo d; 2) o termo b pode ser qualquer número real; 3) o termo c deve ser igual a 0; Sendo assim, a matriz A tem o seguinte formato: A = [[a, b], [0, a]], com a e b números reais quaisquer. Essa é a resposta final. Mas só para ilustrar, se a = 1 e b = 2, temos que A = [[1, 2], [0, 1]]. Outro exemplo, se a = 2 e b = 5, temos que A = [[2, 5], [0, 2]]. Podemos dar infinitos exemplos numéricos específicos, bastando para isso escolher os valores de a e b. Tem alguma dúvida nessa resolução? Comente aqui.

[@RobsonPereira009]

@@LCMAquino Deu certo, tive que fazer passo a passo para entender bem, mas deu tudo certo. Muito Obrigado, muito bem explicado.

[@guidsongarcez1844]

boa tarde, Alguém se habilita a responder essa questão? Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Suponha que A e B satisfazem a equação A(B+B²)=0. Se a soma dos elementos da diagonal principal de AB é 6,1, então quanto é a soma dos elementos da diagonal principal de A(B^(2∗1004))?

[@LCMAquino]

Seja B = - I (onde I é a matriz identidade de ordem n×n). Para qualquer matriz quadrada A de ordem n×n, temos que A(B + B²) = 0 (onde 0 é a matriz nula de ordem n×n). Supondo que a soma dos elementos da diagonal principal de AB seja 6,1, como AB = A(- I) = - A, temos que a soma dos elementos da diagonal principal de A vale - 6,1. Por outro lado, temos que: A(B^(2·1004)) = A((- I)^(2008)) = A(I) = A Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal de A(B^(2·1004)) vale - 6,1.

[@amumu2760]

eita 40tão vou ter q passar por cima. vou ver depois quando tiver um pouco mais de tempo.