QUESTION TYPE DU BAC #21: Équation d'un plan

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Dans cette vidéo de révision du BAC 2022 épreuve de spécialité Maths, on répond à la question type n°21 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à l'aide d'un vecteur normal de ce plan.
On rappelle la méthode pour déterminer une équation cartésienne d'un plan puis on corrige un exercice tombé au bac en mettant en avant formules réflexes et rédaction attendue.
Thèmes et notions abordés :
- Géométrie dans l'espace
- Coordonnées d'un vecteur
- Produit scalaire dans l'espace
- Vecteurs orthogonaux
- Vecteur normal à un plan
- Equation cartésienne d'un plan
- Rédaction attendue le jour du bac

[@paolkerboul9127]

Pour l’énoncé on trouve b = 1 ; c = -1/3et d = - 2 une équation cartésienne du plan est donc x + y - 1/3 z - 2 = 0

[@poof65]

Ça me donne presque envie de repasser le bac de math (pas les autres matières faut pas déconner non plus)

[@pascalfrancois9688]

@poof65 : J'irai aussi jusk'à la chimie Mais point de philosophie. Voilà voilà, 😊

[@martin.68]

C'est hallucinant quand on y réfléchi un peu. Rien d'étonnant que le taux de réussite au Bac approche les 100%. Si on compare à ce qui se faisait dans les années 70 ou 80. En terminale on avait deux gros manuels de plus de 700 pages, écrits en tout petit (une page correspondait à 2 ou 3 pages d'aujourd'hui). Et c'était du condensé. En trois ou quatre semaines on faisait plus que le programme complet d'une année de terminale d'aujourd'hui. Le programme de seconde à l'époque en lui seul contenait plus que toute la scolarité (en maths) d'un élève actuellement. D'ailleurs le niveau seconde était très largement au dessus de ce qui se fait en terminale actuellement.

[@jean-baptistecilio1443]

Entièrement d’accord, moi bac en 74.

[@MrDev68k]

Je comprend enfin pourquoi en ayant quasi tout juste à mon bac math (il y a fort fort fort longtemps), à très fort coef (10) un simple 10/20... Je n'étais pas assez verbeux...

[@angepro4894]

Trop fort grand prof,ça me rappelle ma classe de 3e...Big up.les enfants ont besoin de votre méthode ❤

[@elalaouimhamdi3367]

Prendre le point C à la fin est plus rapide. Bravo cher Maitre.

[@michelbernard9092]

Vous citez correctement au début qu'il faut que les deux vecteurs AB et AC ne doivent pas être colinéaires pour justifier la normalité par le produit scalaire, mais vous ne le montrez pas dans l'exercice. Même si sur ce coup c'est évident, il est nécessaire de le dire (par exemple que les coordonnées de l'un et de l'autre ne sont pas proportionnelles).

[@MrJasoon13]

L'équation dans l'exo final est fausse. Une équation valide est : x + y - (1/3)z - 2 = 0

[@Adodo_1234]

Il y a plusieurs possibilités ...

[@mv6034]

@@Adodo_1234 Comment tu fais pour trouver cette possibilité ? J'ai tout essayé, même en prenant un vecteur avec des coordonnées (1;-2;1) ça marche pas

[@timotheecascella5265]

en effet, légère erreur dans l'énoncé, et ta solution est bien une équation cartésienne du plan

[@timotheecascella5265]

@@mv6034 justement, le vecteur (1;-2;1) n'est pas normal au plan. c'est précisément là l'erreur de l'exo

[@Adodo_1234]

@@mv6034 j'ai fait une connerie

[@AArrakis]

Wow… j’avais complètement oublié ça…

[@chris.f.700]

Pour trouver, je pense que le plus simple aurait été de prendre le point C, car on a le y qui s'annule.

[@philippegibault6889]

Je ne connaissait pas la formule selon vecteur normal, mais je pense qu'elle se retrouve. Notamment par la suite de mon commentaire. Je regrette que l'on ne parle pas de produit vectoriel. Soit v = AB ^ AC. v = (-5,20,-5). On remarque que v = -5 n => que n est orthogonal au plan (définition du produit vectoriel). Soit M(x,y,z). AM(x - 1, y - 1 z - 4). Je pense que l'on retrouve la formule. Effectivement, M appartient au plan AM.v = 0. Soit -5(x - 1) + 20(y - 1) - 5(z - 4) = 0. On simplifie: (x - 1) - 4(y - 1) + (z - 4) = 0 ce qui donne x - 4y + z - 1= 0.

[@patrickjacquiot9073]

De mon temps on disait "coordonnées" d'un point et "composantes" d'un vecteur. Patrick, 74 ans.

[@themieljadida4459]

On disait et on dit toujours les "coordonnées " dun "vecteur". Ceci étant, on ne doit pas confondre "coordonnées " et "composantes " d'un vecteur.

[@patrickjacquiot9073]

@@themieljadida4459 Pouvez-vous préciser ?

[@themieljadida4459]

@@patrickjacquiot9073 une composante d'un vecteur est un VECTEUR qui est caractérisé par une direction, d'un sens et d'une norme(sa longueur). Exemple: le vecteur poids P d'une boule posée sur un plan incliné se décompose en: * une composante normale Pn(vecteur) qui compense la réaction du plan, *une composante tangentielle Pt(vecteur) qui est responsable de son mouvement. Ainsi vecP=vecPn +vecPt. Une coordonnée d'un vecteur est un SCALAIRE cad un REEL n'a ni direction ni sens mais juste une valeur.

[@patrickjacquiot9073]

@@themieljadida4459 Merci. Soit un vecteur V ⃗=Xu ⃗+Yv ⃗+Zw ⃗ où u ⃗, v ⃗, w ⃗ sont les vecteurs unitaires des 3 axes. Comment appelez-vous les scalaires X, Y, Z ? Et comment appelez-vous les vecteurs Xu, Yv, Zw ?

[@themieljadida4459]

@@patrickjacquiot9073 respectivement coordonnées, composantes du vec V

[@julieng.4375]

Mais du coup , il faut démontrer que les vecteurs ne sont pas colinéaires, non ?

[@martin.68]

Oui, il aurait fallu prouver que les vecteurs du plan ne sont pas colinéaires ou que les trois points ne sont pas alignés.

[@themieljadida4459]

Oui, c'est indispensable. D'autre part, ici le plan est défini par trois points donc il faut vérifier qu'ils ne soient pas alignés: vectAB et vectAC non colinéaires. Finalement, cette condition est nécessaire pour tout le problème (existance du plan, son vecteur normal).

[@julieng.4375]

Alors je comprends pas pourquoi il ne l'a pas fait

[@martin.68]

@@julieng.4375 Il y a deux explications possibles. Vu la situation qu'il y a eu avec le Covid les programmes ont été allégés au maximum alors il est possible que dans l'énoncé original on a affirmé que les trois points définissent un plan, si c'est bien le cas, ils ne peuvent être alignés, donc ce serait inutile de le prouver. La deuxième explication serait simplement qu'il a oublié. Quoi qu'il en soit une fois qu'on connaît les coordonnées des deux vecteurs du plan ça ne coûte pas grand chose de dire que les coordonnées ne sont pas proportionnelles et qu'en conséquence les vecteurs ne sont pas colinéaires.

[@themieljadida4459]

@@julieng.4375 il n'est pas prof de maths.

[@Omar_Aly_]

Cool

[@jeannetsr4896]

bac dans 5 minutes inshallah

[@themieljadida4459]

Bonne chance inchallah.

[@jeannetsr4896]

@@themieljadida4459 j’ai éteint le sujet

[@themieljadida4459]

@@jeannetsr4896 j'avais pas compris que ce sujet était une bougie: tu t'es pas brûlée au moins ?

[@jeannetsr4896]

@@themieljadida4459 laisse c’est une ref à benzema

[@GgGg-rz4qd]

@@jeannetsr4896 ta eu combien

[@phobos1963]

C’est tellement plus simple à la fac qu’au lycée. T’as pas de vecteur normal au plan ? u vectoriel v et en voilà un vecteur normal tout frais 😂

[@francoisp3625]

mais quel couillon, je viens juste de comprendre 1 truc.... y'a pleins de sujet "bac" ces jours ci .... bha oui on est en mai ... j'avais pas fait le rapprochement :D :D :D mais ça fait du bien de revoir tout ça même quand on est vieux :) ou bientot vieux

[@louvedor9442]

haha le bac c'est passé pour toi on dirait

[@francoisp3625]

@@louvedor9442 yy a bien longtemps oui ...

[@martin.68]

J'ai vu qu'un extrait de la vidéo mais on dirait bien que tu as oublié de montrer que les deux vecteurs du plan ne sont pas colinéaires. Si c'est le cas ta démonstration est incomplète et ne prouve pas que n est normal au plan.

[@themieljadida4459]

Excellente remarque. Bravo.

[@mehditkt3233]

Un plan est définis par 3 points non alignés ou 2 vecteur non colinéaire, là il admettent que A,B,C définissent le plan donc le vecteur AB et AC sont pas colinéaire. Remarque inutile..

[@TFGGG]

@@themieljadida4459 Pas du tout, suffit de savoir lire l'énoncé pour comprendre que cette remarque est tout sauf "excellente"...

[@themieljadida4459]

@@TFGGG savoir lire ne suffit pas . Le vec n est normal au plan (ABC) si : { AB et AC ne sont pas colineaires , n orthogonal à AB, n orthogonal à AC } Les dernières ont été VÉRIFIÉES mais pas la 1ère poutant l'énoncé ne donnait pas les vec AB , AC mais on les a calculés: il serait donc plus RIGIUREUX de vérifier qu'ils ne sont pas colineaires. D'ailleurs, on ajoute souvent une 1ère question : 1. Justifier que lest points A,Bet C définissent un plan P(unique). Toujours question de rigueur : "si a(1+x^2)=5 alors a=5/(1+x^2)" , c'est pas mal mais il serait plus RIGOUREUX d'ajouter " car 1+x^2 0 qlqsoit x réel même si évident. Le correcteur tient compte de cette rigueur .

[@TFGGG]

​@@themieljadida4459 Mais, j'vois ce que tu veux dire, mais ça reste tout autant inutile : Dans le cours, trois points A,B,C définissent un plan ssi A,B,C ne sont pas alignées ssi AB =/ k AC (donc non colinéarité) Je ne vais rien t'apprendre car tu dois certainement être meilleur que moi en math, mais les "ssi" ("" si tu préfères) sont des équivalences logiques. Et la définition d'une équivalence logique est que on peut déduire le membre de droite à partir du membre de gauche (et réciproquement gauche à partir de droite). Ainsi si on prend : 3 points définissent un plan AB =/ k AC. D'après la définition d'une équivalence logique nous pouvons déduire que si A,B,C définissent un plan, alors AB et AC ne sont pas colinéaires. Donc faire une phrase pour le préciser (et pour faire comprendre au correcteur que l'on a compris cela) oui, ça, ça pourrait s'apparenter à de la rigueur, mais vérifier qu'ils ne sont pas colinéaire alors que ils le sont pas car ils définissent un plan, c'est se rajouter du travail inutile... Cependant je suis tout à fait d'accord avec ton deuxième exemple, autant prouver que AC et AB ne sont pas colinéaires est inutile selon moi, autant préciser que 1+x²=/0 est utile et même "obligatoire". La rigueur est quelque chose de très important, j'suis d'accord avec toi et j'ai essayé d'être le plus rigoureux possible tout à l'heure durant l'épreuve, cependant il ne faut pas confondre rigueur et justification inutile.

[@maissakhalloufi1892]

Pk tu parle trop j’ai lnpressiont de jouer