Résistance des matériaux : le théorème de Castigliano

Démonstration et application dans un cas simple du théorème de Castigliano qui est un théorème énergétique pour la recherche de déplacements ou efforts aux appuis en RDM.
Le dernier exemple traité est tout de suite beaucoup plus lourd, je ne développe que les premiers calculs et la méthode de résolution.

[@malbiog1088]

Il est important de préciser à 3:35 que l'effort tranchant T est négligé car on décide de travailler sous le modèle d'Euler-Bernoulli (qui néglige le glissement des sections). On aurait pu utiliser le modèle de Timoshenko, qui lui prend en compte le fait qu'il y ait des glissements entre les sections ^^

[@landrynoune2897]

Rien que pour la formule de l'énergie potentielle, je m'abonne😭❤️

[@fatehmammari1930]

Bravo ! Explication assez satisfaisante !

[@mathildebermel4319]

Merci infiniment!! Vos explications sont très claires! :)

[@nasreddinenasro4140]

Salut si c possible je vous contacte

[@nasreddinenasro4140]

Salut si c possible je vous contacte

[@knyk1586]

Merci infiniment

[@traoremoussa8618]

Merci beaucoup monsieur mais je veux bien voir la suite de la vidéo avec le résultat de la flèche en utilisant les intégrales de Mohr svp

[@Education-and-beyond]

Bonjour, merci pour l’explication mais j'ai une remarque pour la minute 4:25 concernant le signe du moment partant du principe (+ce qui est à droite) (-ce qui est à gauche) , ça devrait être : -(L-x)F ?

[@FredericBruyeremeca]

Ai¨ë je me rend compte de votre message maintenant. Il s'agit du moment qui s'applique sur le tronçon de droite afin d'équilibrer l'effort F. Le sens est donc trigo avec x+ à droite et y+ verticale ascendant donc de x vers y soit positif. Bien entendu si on isole le tronçon de gauche alors vous avez raison. Ces histoires de repères et de tronçons isolés sont assez déstabilisants. Le plus simple est de bien poser votre repère et de décidé vous même quel côté à isoler. Les signes tomberont d'eux même. Il faut, a mon avis, oublier les règles toutes faites (genre trigo est positif) car en changeant de repère on change tout et reposer le problème méthodiquement.

[@amelmezali2296]

Mrc

[@noegodde5095]

Bonjour Petite question, est il possible d'utiliser Castigliano pour une surface de poutre variable en fonction de x ? J'ai une poutre identique à la vôtre (dans la première partie de la vidéo), seulement, hauteur de la poutre de section rectangulaire, diminue linéairement en fonction de x

[@FredericBruyeremeca]

Oui c'est "simplement" 😅 qu'il faudra aussi intégrer l'expression de Ig en fonction de x pour le calcul de l'énergie de déformation.

[@lowkeydiva8080]

est-ce- que le théorème de Castigliano soit appliqué , il faut que le point à calculer soit un point d'application de charge répartie ou bien de charge ponctuelle ?

[@FredericBruyeremeca]

Plutôt de charge ponctuelle.

[@Vince-dv2yx]

Bonjour Frederic et merci pour vos super videos. Pourquoi à 11:20 ne peut on pas déterminer le déplacement avec cette premiere formule du moment de flexion et est on obligé de rajouter une force fictive ? N'a on pas déjà un diagrame avec la force répartie. Je commence à bien cerner les étapes mais j'avoue que la je ne saisi pas encore.

[@FredericBruyeremeca]

Car on va être coincé quand on va en faire la dérivée. Il faut faire la dérivée par rapport à la force ponctuelle qui se trouve à l'endroit où l'on cherche la flèche. Comme il n'y en a pas dans le problème de base on en créé une "fictive". Si on ne cherche pas son impact sur l'énergie potentiel élastique quand on va faire la dérivée on va donc dériver une constante et on sera bien embêtés. Méthode bien astucieuse que cette dernière.

[@Vince-dv2yx]

@@FredericBruyeremeca Je comprends. Auriez-vous le résultat final de ce problème avec la méthode de Castigliano afin d'avoir un déroulé complet ?

[@maximemaxime2042]

Bonjour, si l'on a une poutre encastrée avec une réaction d'appui hyperstatique en un point, qui bloque le déplacement au point, plus une charge repartie de long de la poutre, comment déterminer l'expression de cette réaction verticale avec le theoreme de castigliano ? En partant donc du principe que la flèche est nulle? Je suis bloqué dans un exercice. Merci d'avance

[@FredericBruyeremeca]

Le plus simple est de procéder par superposition de problèmes isostatiques. On ote l'appui ponctuel et calcul avec Castigliano le déplacement pour la charge repartie seulement, puis on fait de même pour la charge ponctuelle (sans la charge repartie) et enfin on fait de même en remplaçant l'appui par un charge inconnue de réaction et ôtant la charge ponctuelle et repartie. La somme des déplacements dans ces 3 cas=0 cela permet de lever l'inconnue de réaction.

[@maximemaxime2042]

Mais la charge ponctuelle est déjà mon inconnue que je cherche à déterminer, est on obligé de calculer 3cas ?

[@maximemaxime2042]

La réaction d'appui vertical de mon appui simple est l'inconnu à déterminer, ce n'est pas la même chose de déterminer le déplacement créé par la charge ponctuelle puis le déplacement créé par cette réaction d'appui ?

[@chaima229]

Mais comment je vais savoir si j'utilise se théorème ou le théorème de mėnabrea ou maxwell ou l'intégration direct j'ai besoin d'aide svp

[@FredericBruyeremeca]

Bonjour, Il n'y a pas dé réponse simple. Chaque méthode possède des avantages et certaines ne s'utilisent pas seules. Menabrea c'est un théorème de Castigliano dans un cas hyperstatique où l'on souhaite lever les inconnues dans les liaisons hyperstatiques en imposant dU/dx =0 (Castigliano avec un déplacement nul). Castigliano est une méthode assez globale qui toute seule ne permet de trouver que des déplacements qui travaillent : donc aux points d'application des forces extérieures. Muller Breslau (ou charge unitaire, j'ai fait une vidéo dessus) c'est un Castigliano un peu "bidouillé" qui permet quand même de trouver des déplacements en des points de la poutre ou aucune Fext n'est appliquée. Associé avec les intégrales de Mohrs c'est une méthode assez rapide à mettre en oeuvre et plutôt simple mathématiquement (aucune intégrale ou dérivée à faire si on se rapporte aux tableau des intégrales de Mohrs, mais rien n'empèche de quand même faire les intégrales pour ceux qui aiment ça) Le théorème de Clapeyron (j'ai aussi fait une vidéo dessus) et très proche d'un théorème de Castigliano tout simple, c'est une autre approche énergétique du problème, à utiliser quand on veut trouver un déplacement qui travaille (au point d'application d'une force). Maxwell c'est une autre approche énergétique d'un problème de RDM. Avec seulement lui on ne va pas très loin, effectivement on va exprimer un état d'équilibre entre les travaux (force.déplacement) des 2 états de chargement d'une même poutre. Pour s'en servir il faut donc au moins connaitre les déplacements dans 1 des états (donc avec une autre méthode). Par contre ça devient intéressant ensuite car on peut déterminer les déplacements dans l'autre état de chargement en appliquant ce théorème très simple de mise en oeuvre. L'intégration directe c'est du classique ça marche bien même dans des cas hyperstatiques (il suffit de remplacer les liaisons hyperstatiques par des forces inconnues qui produisent de déplacements nuls) mais ça peut être parfois plus lourd mathématiquement que les méthodes énergétiques. Après ce qui est bien avec les méthodes énergétiques c'est qu'il n'est pas bien plus compliqué de tenir compte de sollicitations composées alors que par intégration directe c'est un peu plus costaud. En espérant avoir été clair.

[@chaima229]

@@FredericBruyeremeca Merci beaucoup

[@chaima229]

@@FredericBruyeremeca j'ai oublié quelque chose et le théorème des travaux virtuels !!

[@chaima229]

@@FredericBruyeremeca ta pas un compte Facebook ou je peux vous envoyer des exercices !!

[@FredericBruyeremeca]

@@chaima229 En MP je peux vous donner mon mail. A la base je produisais des vidéos pour mes étudiants mais comme j'ai bouclé ce que je souhaite faire et qu'il y a une demande je vais creuser un peu la question de la RDM un peu avancée dans de futurs vidéos avec la méthode d'intégration de Verechtchaguine, sans doutes de théorème de Maxwell Betti, les cercles de Mohrs etc... Par contre je ne souhaite pas reproduire des vidéos déjà existantes sur YT ni produire trop de vidéos sur un sujet (l'abondance nuit à la clarté).

[@souysf9926]

SVP pourquoi énergie potentielle élastique ?

[@FredericBruyeremeca]

Car la poutre déformée PEUT (potentiel) retourner dans sa configuration libre si on relâche la charge (élastique). On fournit une énergie de déformation pour la déformer et elle se transforme en énergie potentielle.

[@beoutqbeoutq4986]

Slt, veuillez expliquer d'où viens N, T, S et E Veuillez détailler plus car moi personnellement j'ai pas pu comprendre . Merci bien

[@FredericBruyeremeca]

bonjour il s'agit des composantes du torseur de cohésion et du module de Young (cf mes autres vidéos sur les torseurs de cohésion)

[@beoutqbeoutq4986]

@@FredericBruyeremeca bonjour, si j'ai bien compris il faut que je vois tes vidéos torseurs de cohesion

[@aymendebbashe9931]

Bonne journée, je suis étudiant en master en génie mécanique, je recherche un livre RDM avancé

[@FredericBruyeremeca]

J’aime bien le livre : mécanique des systèmes et des milieux deformables. De Luc Chevalier chez Ellipses. Il n’y a pas que de la Rdm mais chaque chapitre est très poussé tout en étant malgré tout « assez » compréhensible mathématiquement (petit formulaire en fin de livre etc...).

[@aymendebbashe9931]

@@FredericBruyeremeca Télécharger le lien s'il vous plaît

[@FredericBruyeremeca]

www.amazon.fr/M%C3%A9canique-syst%C3%A8mes-milieux-d%C3%A9formables-exercices/dp/2729818596/ref=mp_s_a_1_1?dchild=1&keywords=mecanique+des+systemes+et+des+milieux&qid=1611588798&sr=8-1

[@stephaneholbach2052]

j'ai essayé de comprendre mais faut déjà un bon niveau ,dommage pour moi

[@FredericBruyeremeca]

Oui effectivement il y a beaucoup de notions à maîtriser avant de passer aux théorèmes énergétiques. Vous pouvez vous aider de ma playlist de rdm pour cela.

[@traoremoussa8618]

Merci beaucoup monsieur mais je veux bien voir la suite de la vidéo avec le résultat de la flèche en utilisant les intégrales de Mohr svp

[@FredericBruyeremeca]

Bonjour, ce n'est pas tout à fait avec Castigliano mais voici une application des intégrales de Mohrs kzbin.info/www/bejne/nHPCmqJjmZWSrcU