극한을 정의하는 가장 세련된 방법

0.9999…=1을 해결한 아이디어, 엡실론-델타 논법 (ε - δ argument)을 소개한 영상입니다. 흥미 위주의 짧은 영상이 아닐뿐만 아니라 학교수학이나 입시에 응용하기에 어려운 개념입니다. 하지만 현대 수학이 어떻게 극한을 바라보는지 그리고 미적분의 엄밀성을 확보하기 위해 어떻게 노력했는지 조금이나마 알려드릴 수 있는 기회가 되었으면 좋겠습니다.
script - rayc20.tistory.com/105
#극한 #엡실론 #델타 #수학 #무한
무한 1편 - • 자연수와 정수 중 누가 더 클까? (무한의 개수)

[@shaunthesheep2]

학원쌤이 엄밀한 정의는 대학가서 배우라하고 넘어가려는데 애들이 가르쳐달라고 하도 찡찡대니까 결국 봉인풀어버린 그때의 당황스러움과 싸발적인 느낌을 잊을수가 없다

[@user-qj1je4ds1e]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@johnsmith-co7zz]

ㅋㅋㅋ

[@handle189]

근데 대학가도 대충 알려줌 ㅋㅋㅋㅋㅋ

[@user-kn9zd5bi6t]

역시 찡찡이들은 팩폭으로 응징이 답 ㅋㅋ

[@Orbit_Cadi]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@user-oz8wl8ux5o]

대학 들어가고 1-1 미적분학에서 제일 처음 배우는 내용.. 교수님께서 몇 번이나 강조하시길래 예제 많이 풀어갔는데 시험이나 과제엔 코빼기도 보이지 않았음 개념적으로는 아주 중요한 내용이 맞긴 합니다

[@goon5590]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 증명외워갔는데 한문제도 안나와서,,,ㅠ

[@Nyangpunch_gimozzi]

수학과 컴온

[@Breakingbadwhiteman]

@@Nyangpunch_gimozzi 수학과는 증명하라고함..

[@hhh-pd1rn]

해석학1때 앱실론델타 배우고 해석학트리 바로 버림ㅋㅋㅋ 차라리 편미방이 낫더라

[@user-ez9rd3ww9y]

왜 우리는 "다들 아시죠? 대충 읽어보시면 이해할 거에요. 자 그럼,,, 풀어보죠?" 하는거지

[@usgim9844]

와 보편 양화사, 존재 양화사 요런 게 있다는 걸 이 영상을 보고 알았습니다. 너무 암호같아서 구글링 하고 다시 영상을 봤네요 ㅠㅠ 감사합니다. 덕분에 미분이 더 재밌어 질 거 같아요.

[@ChartreuseAzure]

[엡실론 델타 논법, 쉽게 이해하기] 엡실론, 즉 원하는 오차가 아무리 작아도, 그 엡실론을 만족시킬 수 있는 델타가 *항상 존재한다는 것을 증명할 수만 있다면,* 함수의 극한값을 일정한 값 L로 정의한다

[@user-qf2vd8hw3r]

여기서 오차라는게 lim x->a 라고 할 때 x와 a의 차이를 말하는건가요?

[@ChartreuseAzure]

@@user-qf2vd8hw3r 아뇨 여기서 설명하는 오차는 함수값 f(x)과 극한값 L의 차를 뜻합니다

[@doejohn539]

반대로 하면 안되나요? 델타랑 엡실론을 바꿔서요...

[@abcde-zs1jc]

@@doejohn539 네.. 반대로 하면 안된다고 알고있어요

[@peng317]

​​@@doejohn539 ​​모든 양의 실수 델타에 대해서 어떤 양의 실수 엡실론이 존재한다. 0

[@user-ul4zx7ug1w]

목소리도 좋으시고 영상도 깔끔하고 설명도 정확하고 상세해서 바로 구독 눌렀습니다 ^^

[@877over5]

설명 잘해주셨네! 잘 보고 갑니다.

[@mathharvest]

사실 제가 중2때 고민했던 순환소수와 극한과의 관계를 이렇게 이루어 주시니, 정말 흥미롭게 보게되었습니다. 채워지지않은 부분이 있었는데, 딱 그 부분은 영상에서 채워주셨습니다. 감사합니다. =) 감기조심하세요!

[@mathamour]

수학이 제일 싫어하는 게 말자난이죠. 여기 1개의 빵이 있는데 0.999...99... 무한개의 빵이 있다고 하면 무한대로 맞아야 함

[@user-yy5nk1be7d]

대학교 수학과 입학하고 나서 배운 내용인데 오랜만에 봐서 재밌네요

[@dammyenglishtv]

선생님~ 오늘 뵈어서 반가웠습니다😊 다음 번에 또 뵙겠습니다~^^

[@Ray수학]

반가웠습니다. 담에 또 봬요!

[@user-yo6cz6xn2o]

처음 엡실론 델타논법을 알게된게 수열의 극한에서인데 그때는 뭔소리야 하면서 넘겼는데 다시보니 어느정도 제가 사고하는 극한의 유도과정을 한번 더 떠오르게해주는 명강의였습니다😊 덕분에 코시수열까지 덤으로 알고가네요😆 감사합니다~

[@user-zx7rt3qi5g]

기..기다렸어요..너무 기다려졌던 2주..

[@user-sb7ck7kw2c]

제가 선생님께 여쭤보고 했지만 여쭤보지 못한 내용이였네요 ㅎㅎ 감사합니다!

[@jisu020207]

엡실론-델타 논법이군요. 대학수학의 첫 과정에서 등장하는 내용인데(즉, 미적분학의 앞부분), 이해가 확실하게 되지 않아서 그냥 그렇구나.. 라고 받아들여요 ㅋㅋ

[@user-yw1ru3bq3c]

AP미적분의 꽃이죠

[@user-pt1wj8hf5p]

와 개꿀잼이다 ㅋㅋ 2탄 ㅈㄴ 기다렸는데 3탄은 언제,, ㅠㅅㅠ

[@wanzeu6535]

너무 재밌다 진짜 경이롭다

[@user-xv3wx5ke7u]

제가 보던 다른 채널에서 입실론델타논법을 올리다가 마셔서 이게 무엇인지 잘몰랐는데 이렇게 정리해주시니 잘알것같네요

[@nayahun2]

영상 너무 좋으시네요. 인공지능을 위해 수학을 다시 보고 있는데, 혹시 그런 사람들을 위해서 미적분, 행렬, 로그 등 기본적인 기존 내용을 하나의 플레이리스트로 만드시면 많은 유저들이 유입될 수 있을 것 같습니다.

[@buryourpride]

두세 번 정도 설명을 들으니까 이해가 가는 것 같네요 ㅎㅎ 좋은 영상 감사합니다 수2 배우는데 재미있네요

[@JohnSmith-wi9ed]

기생수 호감고닉 할리타고질주 화이팅!!

[@user-of5ls5bv5w]

고등학교 극한을 더 잘 이해할수 있지 않을까? 싶어서 나무위키에서 혼자 찾아본 내용인데 그걸 어떻게 아시고 이렇게 영상으로 만들어주시네

[@user-vs8ur9op6b]

현 고2 이거 발표하려고 자료 찾아봤는데 영상 올려주셔서 갑사합니다 이거 이해하느라고 몇일 걸렸네요;;

[@RyeedAglan]

예전에 어디서 봤는지 기억이 잘 나진 않지만.. 엡델논증은 카드게임처럼 생각하면 편하다합니다. 상대방이 내는 패를 보고, 그것에 맞는 패를 내는 것이지요. 상대방이 내는 그 엡실론 값이 무엇이든 조건을 만족하는 델타 값을 낼 수 있다면 함수는 연속적이라고. 저 비유를 해석학을 듣기 전에 알았다면 참 좋았을텐데 아쉽네요 ㅎㅎ

[@kychoi2653]

"양의 엡실론이 그 무엇이든".. 여기에 우리가 일반적으로 표현하는 L에 무한이 가까운 f(x)의 경우를 포함한다는 점이죠.

[@user-tz4ti8xn1t]

오 혹시 같은 학교에서 수업 들으신건가

[@user-ek8rv2pu5u]

입실론 델타 논법이, 극한의 엄밀한 정의를 학생들이 알아야 한다고 수학자들이 고등학교 과정에 넣으라고 하는데, 절대 이해하는 학생이 없어 안넣는 전설의 논법.. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@EEcircuits]

수능에서 절대 못 나오고 편입시험에서도 연세대 수학에서 증명 문제로만 나옵니다 ㅋㅋㅋ

[@panxc_220]

이해 개어렵긴 함 ㅋㅋ

[@KANGMinCherry]

많은 사람이 이해하고 있는 직관적인 사실은 문자로 표현하다 보니... 근데 여러 번 반복적으로 듣다 보면 익숙해짐. 미적분 계산하는 거랑 같음. 방법대로 하다보면 나중에 이해가는 그런 느낌 ^^

[@user-hs8uc6vg1y]

근데 진짜 넣어야한다고 생각함...

[@user-pv1hy8mp9h]

해석학 분야에서 거의 근간이 되는데 이해 하긴 어려워도 이해하면 대부분에 구조가 보이죠

[@user-xn5rh2jf7v]

오.................... 대학에서는 전혀 이해하지 못했는데, 처음으로 이해했어요~ 감사합니다~ㅎㅎㅎ

[@user-rb2sf6lk3b]

드디어..!

[@user-cb4fe9ck9u]

얼마 전에 학교 동아리에서 선생님이랑 친구들과 얘기했던 내용인데, 여기서 보니까 반갑네요

[@wkomw5395]

그렇게 정의하자는건 이해했습니다. 근데 결국 시간을 포함시키면 그래프에서는 극한의 궤적이 생기지 않나요? 대응점들을 반복한 시간에 대응해서 극한 값들이 움직인 궤적이 생길것 같아요.

[@lovelymelody9245]

니가 어떤 ε을 가져와도 난 그보다 더 작은 δ를 만들 수 있다 ε과 δ가 같아지는 경우는 오직 ε=δ=0 뿐이고, 그 말인 즉슨 0.999...와 1의 차이가 0이다 = 똑같은 수다

[@user-bn6dn4yf9o]

이것도 보통위상이라 가능한 일이죠.. 지금 여긴 특수한 세상이기 때문에 이를 알았을때 제가 수학을 조금이라도 잘한줄 알았다는 것에 부끄러움을 느끼게 됐답니다.

[@bms-gf8fv]

그러니까 기존에는 극한이 하나에 수에 접근하는 정적인 관계로 봤기때문에 어떤수가 와도 맞는지는 확실히 알수없지만 엡실론 델타는 동적으로 접근하는 과정을 정의함으로서 함수에 어떤 수가와도 정의 될수있기때문에 극한히 정의 되었다는 소리같은데 결국 볼수는 없는 수네 ㅠㅠ

[@ashrumtaxcal7668]

그러네요! 그래서 무한은 수가 아니다! 라는 얘기가 나오는가 봅니다. 여러 생각을 하게 되네요

[@user-wn8kj7eu4z]

뭔가 상태가 아닌 이에대해 항상 오류없는 계속 결과를 제시할수있다면~의 느낌이라 그냥 다른관점을 배운거로 받아들여지네여

[@user-tm2fy1sh4k]

수학을 포기한지 오래지만 0.9999999 = 1 이라는 식은 아날로그와 디지털을 잇는 다리의 역할을 하겠네요. 생각해보니 이렇게 되면 거시적 관점에서 봤을 때, 소수는 어떤 수와 같다는 것 같아요. 실수도 자세히 들여다 봤을 때, 실수 나름의 소수 패턴이 있을 텐데 그걸 1과 같다고 설명하였으니까요. 실수도 소수의 개념이 있는지부터 알아봐야 될 것 같아요. 있나요?

[@jdjdnjxnjs9656]

울 대학교수는 극한의 개념을 가르쳐 줄 때 오차의 인정이라고 했는데... 예를들어 0.1의 오차는 인정한다면 0.9=1이고 0.01의 오차를 인정한다면 0.99=1 ~~~해서 0.000001의 오차를 인정해도 만족할 수 있고 이렇게 나아가다 보면 모든 사람이 결국 0.99....=1 이다. 라고 해서 그렇구나 했는데 이 영상을 보니 그 교수님도 우리가 이해하기 미친듯이 간략하게 설명 해주신거였구나

[@chrispine245]

사실 중딩에게 유리수/무리수까지만 언급하고 고딩때 급수를 배운다음에 무한소수를 다시 살펴보는게 좋지 않을까 싶다. 초딩 벗어나자마자 얼마 안 가 무한소수 들이대서 10x-x=9x=9 이해강요하는 것도.. 생략이 많고 다소 억지스럽다. 급수가 항상 수렴한다는 고정관념을 들게하고, 급수간의 덧셈 뺄셈이 유한에서처럼 자명한것 처럼 느끼게 한다.

[@user-sb9fw3uk4o]

역시 아름답다! 이게 내가 수학교수하려는 이유지ㅋㅋ

[@hys1299]

역시 입델논법은 레이샘이 말씀하셔도 어렵군요 ㅋㅋㅋ 교수학적변환이 참 힘드네요

[@감전붐은온다]

칼큘1 배울때 가장 처음 배운 내용이었던지라... 이것이 대학수학? 이라는 생각으로 두려워 했던 내용 중 하나죠 ㅋㅋ

[@sjch7899]

ㅋㅋㅋ 이것도 넣으면 알아서들 열심히 고등학생화 해서 알려주게 되있음... 다만 문제화하는게 까다로워서 그릏지. 애들 생각보다 똑똑한데, 뭐가 무서워서 이거 저거 빼는지 모르겟어

[@user-li1id6oj7e]

아리스토텔레스가 경고한 무한의 개념이 바로 실무한이죠 영상을 보다 보니 페르마가 미분했던 방식도 떠오르네요 확실히 쉬운 내용이 아니네요

[@user-zc8ef3ow5v]

극한값을 배우며 생겼던 의문을 풀어주는 영상입니다 감사합니다.

[@LaMagra578812]

12:35 사족이지만 [-logε]보단 ]-logε[을 쓰면 식 전개가 좀 더 깔끔해집니다. K가 자연수라는 전제라서 [-logε]로 설정해도 논리적으로 문제는 없겠지만(아마도요?) 최종적으로 n＞K＝[-logε]에서 출발해서 식을 변형하면 -logε≥K 이라서 |a_n－α|＜ε≤1/10^K 인 모양새가 나와 영 찝찝하거든요. K＝]-logε[라 놓으면 -logε≤K＜n이므로 ε≥1/10^K＞1/10^n으로 깔끔하게 |a_n－α|＜ε인 관계가 얻어집니다.

[@lIilIi0iIliIl_lIi0iIl_li0il_10]

나 사족 좋아하네

[@Sullyoon_A]

저는상추!

[@user-te1bj8ty5s]

​@@lIilIi0iIliIl_lIi0iIl_li0il_10그래서 어제 밤에 길거리에서 사족보행하신거구나

[@42_cloud]

@@user-te1bj8ty5s뜬금없이 터져서 댓글 남깁니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@4pplejam]

​@@user-te1bj8ty5s 그런데 갑자기 닌자가 나타났다...

[@user-xq7hy6qf4q]

슬슬 본색을 드러내는군요 너무좋아요 형

[@asavg]

드디어 원하고 원하던 엡실론 델타ㅠㅜㅠ

[@sammak1745]

그래서 이런 걸 저는 기억하기로는 이 논법에 대해 어떤 입실론을 '챌린지'했을 때 거기에 맞는 델타를 항상 찾을 수 있는지로 기억하고 있네요 ㅋㅋ 대충이지만 어느 정도 도움이 됐던...

[@user-xj3lp7mq3g]

4분24초 즈음 수식에서 X가 a로부터 d만큼 떨어졌다고 설명해주셨는데 그래프에서는 a-d와 a+d의 사이값은 a로 적혀있는데 x가 들어가야하는거아닌가요??

[@user-gp4ln1db7n]

안녕하세요. 학교 수업에서 극한에 대해 배웠는데 정의가 궁금하여 이 영상을 보게 되었습니다. 질문이 있습니다! 수능에서는 예를 들어 f(g(x)) 합성함수에서 x=1-일 때 g(x)의 함숫값은 5-기 때문에 f(x)에 5-를 대입하면 f(5-)는 3이다. 답은 3. 이런 식으로 다가간다는 개념으로 문제를 푸는 경우가 많습니다. 제가 잘 이해한 건지는 모르겠지만 극한은 어떤 값과 같다고 하셨는데 제가 제시한 이런 경우에는 극한의 정의로 어떻게 설명해야 할까요?

[@weinswein]

뭐라노 그냥 닥쳐라 제발

[@cdyttt]

이건 입실론 델타 논법을 두번 쓰면 됩니다. 임의의 e(입실론)이 주어졌을 때, 0

[@fghfs]

@@weinswein 느금마나 닥치라해

[@user-ng7uy9rj7g]

점은 있는가 선은? 평면은? 0 은 무엇일까 우주의 끝은 있는가 그 너머엔 뭐가 있고 그 다음은? 이런 개념은 사치가 아니라 수학과 철학의 근본인데 공식부터 드립다 외우고 시작하는 현실이지요 이제야 그런 고민을 하는 50대 아재입니다

[@redoxionism]

제 기억이 맞다면, 적어도 7차 교육과정 중학교 수학에서 10s-1s=9를 이용한 증명을 가르치지는 않았던 것으로 기억합니다. 아마 순환소수를 분수로 표기하는 테크닉을 증명 없이 설명하고, 그 특별한 경우로 0.99...= 9/9 = 1 임을 보였던 것 같습니다. 요즘은 어떤지 모르겠습니다만 ㅎㅎ...

[@makgulli]

요즘도 가무한과 실무한이 충돌하는 문제가 있어서 안 합니다

[@Melki-zedek]

@@makgulli 조금 더 자세히 설명 부탁드려도 될까요?

[@wydudhdu5024]

저 7차 교육과정인데 중2때 순환소수 배울때 정확히 10s-1s=9로 증명했던거 기억나요 교과서에요

[@redoxionism]

@@wydudhdu5024 교과서에 나왔을 수도 있을 것 같아요. 다만, 직관적인 이해를 돕기 위한 일종의 덤으로 나왔을겁니다. 아마도요. 메인 증명을 그 방식으로 하지는 않았을거에요. 그 내용은 중학교 수준의 교과서에 싣기에는 약간 엄밀성이 부족합니다.

[@homology2284]

상용로그를 쓰는것 보다는 베르누이 부등식으로 설명하는걸 전 조금더 선호한답니다!

[@Han-ws8he]

요기서,, 한단계 나아가 메트릭을 정의하는데까지 이르면 바로 위상수학으로 점프하겠죠. 극한과 연속을 정의하는데 있어서 사용된 거리라는 개념을 추상화하는거라 하겠습니다.

[@gyuhyun0919]

재미있는 엡델논법!

[@user-ib4jq2ws4p]

ㅋㅋㅋㅋ 이거 자과대 입학하면 미적할때 첫시간에 바로 배우는건덴.. 첨에 먼소리지 하는데 감사합니다 ㅋㅋㅋ

[@xiaoyaojianghu]

저의 불면증을 고칠 수 있을 것 같습니다. 감사합니다.

[@user-un2vc4bi8v]

넘 좋당

[@user-mf9zu3sn1n]

수열의 극한에서 극한값이 L이라면, n>N을 만족하는 자연수 N은 입실론과 L에 관한 함수로, 함수의 극한에서는 양수 델타를 어느 한 점 a와 입실론에 관한 함수로 표현가능하지 않나요?

[@user-ye6hg6bj3e]

와… 너무 재밌어요… 항상 부족했던 학교와 인강 설명에 화가났었는데 감사합니다

[@MahdiPreece960828love]

부족한게 아니라 수능공부 내신공부 수준에서 필요가없는거임

[@user-ye6hg6bj3e]

@@MahdiPreece960828love 필요없었는데 약간의 모순점과 야메로 푼다는 느낌이 강했었어요

[@user-lf9qu2uv8c]

화가 왜나요 애초에 고딩한테 엡델을 안 가르치는게 정상적인 교육인데

[@user-ye6hg6bj3e]

@@user-lf9qu2uv8c 이해가 되지 않는 그저 직관이라는 말로 버무려서 이야기 하는거에서 가끔 납득이 되지 않을때가 있었거든요.. 학교수업이 잘못됐다는건 아니에요

[@user-vi6gy6it1o]

@@user-lf9qu2uv8c 학문의 원리적인 부분을 가르침으로써 학생들의 흥미를 유발하는 것도 교육의 큰 목적 중 하나라고 생각합니다.

[@graycain]

애초에 이 세상에 1, 2, 3 같은 정수는 없음. 정수를 가장한 무리수들로 이루어져 있는거지요. 그러니 무리수 세상에 살면서 정수로 무한소수를 정의 하려니 정의가 되나. 당장 Pi도 무리수로 쓰는세상인데. 전우주에 딱 맞아 떨어지는 1이라는 숫자에 딱 맞아 떨어지는 수리학적 무언가가 있을까요?

[@supyoo]

극한을 개념적으로 쉽게 이해하는방법 계란 10개가 가득차있는 바구니가 있는데 꽉껴서 계란이 절대로 안빠짐 그리고 또다른 바구니는 꽉찼지만 하나를 빼면 빠지는 대신 동시에 하나가 바로 생성되서 채워짐 이 두바구니는 언제나 둘다 꽉찬 바구니인가? 첫번째바구니는 당연히 고정된 꽉찬 바구니이고 두번째바구니는 항상 꽉차지는게 가능한 바구니이지만 우리는 이걸 고정된 꽉찬 계란바구니로 볼수도 있음

[@ndslw]

안녕하세요 레이님 영상 잘 보고 있는 시청자입니다. 다름이 아니라 궁금한게 생겼는데요, 100번의 시행에서 1번의 사건이 일어나면 그걸 1퍼센트로 정의 할 수 있다고 배웠습니다. 하지만 만약 시행이 무한이라면 어떻게 되나요? 확률을 정의할 수 없나요? 아니면 무한속에서 각 사건의 확률이 존재하는 건가요? 새벽에 갑자기 생각하다 궁금해서 잠을 못잤습니다 ㅠㅠ

[@user-fx3hh1oc7x]

양자역학에서 슈뢰딩거 방정식의 해가 임의 지점에서 엡실론 델타 논법을 통해 연속성을 증명하는 괴수들도 있지요. 그런것 볼 때마다 진짜 헛웃음밖에 안나옵니다. 그러므로 저도 학문에 계속 정진해야겠습니다. 참고로 뉴턴 양반의 우덜식 미적분학은 시공간이라는 좌표계가 너무나 사기적이기에 가능했지요. 그렇기에 물리학에서 쓰는 수학이 생각 이상으로 단순해집니다.(양자역학등의 학문에서는 머리깨지기는 똑같지만)

[@techwe1261]

8:00 아무런 양수 하나 생각했는데 저도 1을 생각했는데 레이수학님도 1을 써서 깜짝놀랐습니다. 다른 많은 사람들도 '야무런양수 --> 1'을 생각할까요?? 문득 궁금해지네요

[@user-mi6ln6gy4k]

저도요! 제 생각에는... 앞의 설명을 들었으면 작은 수를 생각해야 할텐데, 자연수를 생각하는게 편할테니 자연수 중 가장 작은 1을 생각하는 게 아닐까요?

[@user-sl4sp8es4i]

보통 입실론 1부터 잡는 경우가 많아요 물론 1로 잡으면 안풀리는 함수들도 많음

[@user-he4xr6xm1r]

@@user-sl4sp8es4i 그..논점 파악

[@user-ut3hm6wf6i]

@@user-he4xr6xm1r ?

[@user-he4xr6xm1r]

@@user-ut3hm6wf6i '다른 사람들도 심리적으로 아무런 양수라고 했을 때 1을 생각할까?' 라는 질문이면 '1이 제일 먼저 배우는 수여서이지 않을까' '1이 제일 대표적인 수여서이지 않을까' '나도 1을 생각했다' '그러네 궁금하다' 보통 이런 답변이 달려야 질문에 맞지 '수학에서 1로 잡는 게 관습적이고, 1로 해서 안 되는 경우도 있다'라는 답변이 달렸는데 안 이상함?

[@user-sf9cq1qk8q]

내 예상으로 사람들이 입델논법을 헷갈려하는 첫번째 원인은 필요.충분조건 뭐였는지 바로 기억안나서임ㅋㅋㅋㅋㅋ

[@dokangmath]

레이 수학님 잘 보고 갑니다. 영업비밀인데.. 사실 s.t 바로 다음에 임의의 x in R, 이 들어가야 해요~ 부정명제를 적용함에 훨씬 깔끔해질겁니다. (함수 극한의 수열 판정법의 증명에서도 그것이 있어야 증명됨을 알 수 있지요~) 좋은 유익한 영상 감사합니다^^

[@Ray수학]

조언 감사합니다^^

[@dokangmath]

@@Ray수학 코멘트 영광입니다~

[@arynm9021]

p.s. 애초에 “p이면q이다”에서 임의성이 내포되어있습니다

[@dokangmath]

@@arynm9021 p.s. 맥락은 그렇지만.. 기호적으로 엄밀하게 정의하는 것이 목적으로 보이므로 모든 문자에 대해 한정(전칭,존재)을 해줘야하겠군요~ 아마 이 경우에는 생략하면 안되겠습니다. x가 어떤 실수로 존재할지, 임의로 가져온 실수인지 구별이 되질 않죠~^^

[@arynm9021]

@@dokangmath 아니죠 => 를 쓴 순간부터 이미 x의 임의성이 명확하기 때문에 굳이 존재성이냐 임의성이냐 따질 것도 없죠. 물론 기호적으로 쓰면 좋긴하지만 그러면 임의성을 또 써야하니까 조금 복잡해보이기도 하고 번잡하거든요 물론 맞는 말씀이신게 대부분이 오해를 자주 하는게 그저 p->q를 p->q 그 이상 그 이하도 아니라고 생각하는데 사실은 엄밀히 따져서 p가 성립하는 모든 경우에 대해 q가 성립해야한다로서 받아들여야 하는 거라 이런 엄밀한 형식적 표현을 한 번쯤은 다뤄볼 필요가 있다고 생각합니다. 좋은 댓글 감사합니다~

[@bms735]

0.333…=1/3 따라서0.999…=1 가장 잘 와닿고 확실한 증명..

[@numnam5229]

lim(θ→+½π) tanθ＝∞ 이건 ε-δ 논법으로 어떻게 어떻게 증명하나요? 정의역애서 lim(θ→a) tanθ＝tanａ 이건 기하학적으로 증명할 수 있는 sin(θ→0) sinθ / θ ＝1 성질과 tan＝cos/sin 등 삼감함수의 각종 성질을 이용해 증명할 수 있는데요.

[@obov6222]

무한대에 대한 정의를 먼저 내려야합니다 입실론 델타와비슷함 모든 자연수에대해 그보다큰 수가 존재한다고 가정하고 그걸 무한대로 정의,, 증명해야하는 것은 모든 자연수에 N에 대해서 (파이/2-델타,파이/2) 범위의 모든 치역이 N 보다 커지는 델타가 항상 존재 한다는 걸 증명하면됩니다. 방법은 그렇습니다

[@user-ej1nj5ry6l]

s.t.아래에서 δ는 임의의 상수라고 주고 Exist절에서는 0보다 큰 δ(ϵ) 이 존재한다는게 무슨말인가요..? δ(ϵ)이건 함수값 아닌가요? 함수의 정의에서, X를 Y에 대응시키는 함수 f를 f:X->Y 또는 y=f(x)로 나타냅니다. 그런데 지금 δ(ϵ)를 "임의의 ϵ과 관련한 δ가 존재한다"는 용어로 사용하는건 엄연히 잘못된 표현같은데 아닌가요? δ(ϵ)은 '정의역 ϵ이 어떤 함수 δ에 의해 공역(또는 치역)으로 대응된 값'을 표기하는 것이라고 생각합니다. 해외 사이트를 찾아봐도 엡실론 델타논법에 Exist δ(ϵ)>0으로 표기한 곳이 없습니다.

[@disopp]

이해하시는 분들 부럽...

[@user-ii5wm5ob1u]

와우. 여긴 엄청난 분들이 모여 있네요. 화이팅~

[@mineless2467]

수학쌤이 올바른거 고르는 문제에서 ㄱㄴㄷ이 틀렸으니까 ㄹ이 맞겠지? 하고 넘어가길래 왜 맞아요? 물어보니까 한숨쉬면서 입실론델타로 한 4줄 풀이 적어주셨습니다. 이해못했지만 좀 충격적이었습니다 ㅋㅋ

[@dqkor3405]

알렉교수님께서는 입델을 싫어하셨지... 대학교 1학년 첫 미적분학을 배우며 알렉 교수님께 왜 입델로 안알려주고 radius of convergence로 알려주냐고 묻자 몹시 불쾌한 표정으로 입델 공식 띡 적어주고 바로 지워버린 알렉 교수님. 그곳에서는 사랑하는 위상수학과 함께 행복하게 계시길...

[@user-gi3zl7nv9t]

대학와서 이거 배우고 한참동안이나 왜 이렇게 되는지 이해를 못함. 나중에 여기저기 찾으면서 다시 공부하다 보니까 왜 이런식으로 정의를 했는지 겨우 이해함. 근데 이해를 하고 나면 정밀하게 극한을 정의했다는게 느껴짐.

[@user-pv1hy8mp9h]

화이팅 입니다

[@choseongho32]

7:10 여기부터의 20초간의 설명은 사족(오류).... 극한값과 L의 차이가 임의의 양수보다 작으니 극한값이 L이라는 설명이지만, 그건 어디까지나 극한값이 존재할 때이고, 극한 정의의 핵심은 극한값의 존재성에 있는 것이다.

[@horn2476]

대학교 1학년 미적분학 수학과 수업들었다가 첫 퀴즈에서 입실론델타 내신다고 죽어라 풀었던 기억이나네요. 교수님 감사합니다! 퀴즈는 맞혔어도 아직도 델타 못잡겠네요...... ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@CobalT941]

엡실론델타논법 ㅋㅋㅋ 대학교에서 처음 바로배우는거 추억이니ㅔ

[@user-fk2wg3ys4n]

ㅎㅎ 수학전공자들 맛집이네요. 저 역시 전공자라 못지나가고 글남깁니다.

[@user-dz5im1vt6h]

수학시간에 보고서 과제로 이거 발표했는데... 분명히 난 다 이해했다고 생각했었는데 설명하려니까 머리속이 하예졌음 ㅋㅋㅋㅋ

[@레드벨벳슬기]

S=0.999••• 일 때 10S를 9.999•••라고 가정하는 거면 10S=S+9 라는 전제를 미리 두고 하는 건데 그럼 결국 증명하려고 하는 0.999•••=1을 전제에 이미 두고 증명을 하는 거 아닌가요 그저 표현의 한계가 있는 무한소수의 특성에 의존한 국한된 숫자 장난은 아닌가요 그리고 만약 0.999•••를 가우스 기호 안에 넣으면 0으로 봐야해요? 1로 봐야해요?

[@user-kq4ry4jj1x]

1. 10S=9.999•••는 10S=S+9라고 가정하는 게 아니고, 우리가 10을 곱하면 소수점 자리를 하나 뒤로 미는 성질이 무한소수에도 될 것이다라는 가정입니다. 2. 1을 가우스 기호에 넣으면 당연히 1입니다.

[@user-ed8ce2cg4l]

음 오늘도 역시 이해하기 쉽지 않네요...ㅋㅋ

[@btty871]

? 해석적으로 표현할 때 저걸 함수의 극한으로 보이나요? 저건 애초에 집합론에서 유리수 정의할 때 순환소수 성질들에서 증명 가능한 것들인데, eventually constant냐 periodic이냐 하는 것들로요

[@qhwlzlr]

4:25 0

[@user-mf9vd2rn4v]

7:28에서 0이면 노란 밑줄 뒤에거에서 0

[@__light8__]

현 고등학생으로 교제에 소개 되어 있어서 검색 도중 발견해 도움이 많이 됐습니다. 혹시 엡실론-델타 논법으로 발산하는 극한도 정의 할 수 있을까요? 교제에서는 f(x)가 f(x)∈(a-δ, a+δ)에서 정의되고 임의의 양수 ε에 대하여 00)을 만족 시키는 δ>0이 존재할 경우 x->a일 때 f(x)는 양의 무한대로 발산한다고 설명 되어 있습니다, 이해 안되는 부분은 정의(발산하는 극한의)에서 ε의 역할입니다. 00)에서 ε은 보이지 않는데 말이죠.. +번외: f(x)

[@yhsh4994]

먼저, 입실론은 사실 단순히 양수인 수이나 무한소에서 유래?한 것이어서 아주 작은 양수라는 맥락이 잇기때문에, 겁나 큰 양수가 필요한 양의 무한대 정의에서 입실론 e 기호는 잘 사용하지 않슴다. 선술하신 한점에서의 무한대 정의는, ".... 임의의 양수 M에 대하여 .... f(x)>M 을 만족..."이 돼야하는데, 교재가 앞뒤를 다른기호로 쓰니 학생분이 헷갈려하시네용. 그 교재를 갖다ㅂ...읍읍 한점에서의 무한대를 알아봣으니, x->+무한대 일때 f(x)가 양의무한대로 발산하난 경우 어떻게 정의할지 고민해보시면 재밋으실듯

[@user-jx6eb9bs3u]

0에수렴하는 극한으로 나누는 것은 어케 설명이 가능할까요??

[@junyeung_427]

궁금해서 물어보는건데여.. (문과입니다 지나가는 수학과 있으면 훈수좀 해주시죠) 0과 1사이에는 무수히 많은 소수가 있다고 알고 있습니다 순환소수라고 칭해져있는 0.99999..도 0과 1사이에 존재하기 때문에 1이 아닌 0.99999..로 정의한 것 아닌가요? 그런데 순환소수 0.99999..가 현재까지 정의되어 있는 극한에서는 1이라고 칭해진다면 왜 0.99999..라는 기호가 생긴건가요? 0.99999..는 1보다 0.000000....1만큼 작은 수인데 서로 다른 수가 계산식을 만들었다고 해서 같은 수로 정의할 수 있는지 궁금하네요 진짜진짜 제발 훈수부탁해요 학생때 이거랑 똑같이 쌤한테 질문했다가 답은 못듣고 맞을뻔했네요

[@g04jee]

역함수가 존재하는 구간에서만 극한이 정의되나요?

[@MBVLC]

네~ 이해했습니다

[@chzidm]

헷갈리는게 있어 질문드립니다. 5:10 범위 안에 넣을수 있다면 극한이라 하셨는데 그 영역이 겹쳐도 되는건가요? 즉 9:10에서 델타 = 엡실론 이라 선정할수 있는건가요?

[@Ray수학]

상관은 없는데 겹치게 만들 수 있다면 상수배로 나누어 안으로 넣는 것을 명확하게 보여줄 수 있어 일반적으로 안으로 넣는 방법을 사용합니다. 함수가 어려워질 수록 여러개의 델타범위를 잡고 그 중 가장 작은 델타를 잡게되는 스킬을 사용하거나(마지막에 K를 max로 둘 중 큰 K를 잡는 것처럼) 델타끼리의 연산이 필요한 경우가 생기는데 정확히 겹치면 조작할 여유가 줄어들기에 상수배로 나누어 안으로 넣어버립니다.

[@chzidm]

@@Ray수학 답변 감사합니다!

[@user-sm3di9qh2t]

항상 문제 풀때마다 극한을 정밀하지 못하게 값을 그냥 밀어넣고 풀어도 되는건가 의문이 많았는데 역시 극한은 매우 신중히 논리적으로 증명해야

[@TV막혀]

입실론 델타가 아니라 엡실론 델타 아닐까요? 입실론은 Υ,υ 이게 입실론이죠… 괜한 테클인거 같기도 하고, ^^; 미국에서 그렇게 발음하는지는 몰라도 헷갈리네요^^

[@user-zj9xv1gt8l]

무한하다라는것은 계속 계산을 하기때문임 끝이라는 E를 적용해야 정확한 이미지가 나옴 양자역학의 완성은 끝을전제로 시작을 찾는 완성의 분해가아니라 완성의 시작이 양자컴퓨터임-결과인 과거로부터-

[@user-wc8nm4st9s]

수학과 진학 희망중인 현 고3입니다. 제가 이해한 바로는 이 논법은 극한값을 찾는 것이 아니라 주어진 값이 극한값인지 아닌지 엄밀하게 검증해주는 논법이라는 느낌이 드는데 맞나요? 그럼 극한값은 고등학교 때 배운대로 lim로 구하고 그게 극한값인지 증명하는 과정에서 쓰이는 논법이라고 보는 것이 맞을까요?

[@Ray수학]

정확합니다. 더하여 추측으로 구한 극한값을 정당화하거나 검정할 때도 사용합니다.

[@user-wc8nm4st9s]

@@Ray수학 오 직접 답글까지 감사합니다ㅜㅜ 영상 항상 잘 보고 있어요 저 근데 혹시 실례가 안된다면 극한값이 아닌 값이나 극한이 존재하지 않는 함수를 입실론델타 논법을 통해 반증하는 영상도 올려주실 수 있을까요 궁금합니다.

[@Ray수학]

준비중인게 있어 조금 오래걸릴 것 같지만 나중에 꼭 다루어보도록 하겠습니다^^

[@user-wc8nm4st9s]

@@Ray수학 와 감사합니다 다음 영상도 기대하고 있을게요 항상 감사합니다 구독자 100만 되는 그날까지 응원할게요

[@user-kf8wh1in9n]

@@user-wc8nm4st9s 정확하지 않은 함수극한에 대해서는 귀류법으로 보일 수 있어 보이고, 단순한 발산 같은 경우에는 '충분히 큰 M에 대해 0

[@user-yc3ie6xs8l]

수학과 연 없는 지나가던 언어학도입니다. 엡실론(ε)과 입실론(υ)은 다른 문자입니다ㅠ.ㅠ 영상에서 엡실론을 계속 입실론으로 발음하셔서 남깁니다...!

[@user-pz5pi3dp1s]

그냥 다들 입실론이라고 부릅니다,,,다른 문자더라도 그냥 이해해주쇼! 몰라서는 아닙니다

[@o_8637]

12:46 여기서 로그값 취하면서 식을 전개하는 부분에서 이해가 잘 안 갑니다.. ㅠㅠ 설명해주실 분 계신가요?? 고2 수준에서요 ㅠㅠ

[@CPTKNG]

그 앞에서 입실론이 1/10^4이면 n은 4보다 크면 되는걸 보였죠. 그런데 이건 4일때만 되는게 아니라 아무 입실론에 대해서 그 지수에 해당하는 log입실론 어쩌구..의 값에 대해서 항상 성립합니다. 결론적으로 앞이랑 같은 식입니다.

[@user-jw6me6cp5u]

오래 전 영상이라 보실지는 모르겠지만… 7:06 에서부터 전개되는 논리에서 입실론 값이 |limf(x) -L|/2 일 때 모순이 생기는 것에 대해서는 동의합니다만… 이것이 이 입실론을 이용한 정의 방식에 논리적으로 문제가 있는지 아니면 이 정의는 맞으니, |limf(x) - L|=0 일 수밖에 없는 건지가 궁금합니다… 그리고 L값이 정확히 무엇을 의미하는지도요… 이 방법은 극한이 존재하는지를 물어보는 것이기에, 극한값을 L이라 둘 수는 당연히 없고, 그 지점에서 연속이라는 조건도 없기에, 함숫값이라고 볼 수도 없는 것 같아 보이는데 말입니다 ㅠㅠ

[@jeon110]

애초에 저식은 함수값을 대입해야하는데 수럼하는 극한값을 대입한다는게 말이 안된다고 생각합니다. 극한값은 그 수에 수렴해서 그 수를 나타낸것이지 그 위치에서 함수 값이 아닙니다. 처음부터 저기 에는 lim f(x)가 들어갈 수가 없습니다.

[@ricksnow6997]

0으로 나누면 안되는 이유라는 영상에서는 극한 값을 특정한 수에 한 없이 가까워지는 것이고 무한대는 발산하는 개념이지 절대적인 수가 아니라고 했는데 이 영상에선 무한대의 개념으로 실무한을 제시하니 두 가지가 상충 되는 건 아닌가요?

[@user-kq4ry4jj1x]

무한은 숫자의 개념이 아니지만 어떤 변하고 있는 상태가 아니고 하나의 고정된 정의된 개념이라는 것입니다. 0나누기 영상은 안봤지만 그런 의미일 겁니다. 표현에 따라 이상해보일 수 있긴 합니다.

[@user-dv6ff7eg8o]

안녕하세요 ㅠㅠ 학교에서 극한의 엄밀한 정의라는 주제로 발표하려고 하는데,, 델타와 입실론 움직이시는 영상 부분만 발표목적으로 사용해도 될까요?

[@Ray수학]

자유롭게 사용하셔요

[@user-nv8to5dk9v]

7:20 왜 입실론이 2분의 절댓값 뭐시기로 놓는 건가요?…

[@seongminlee1730]

01:27 교과서에서 정의할때 'a가 아니면서' a에 한없이 가까워진다는 표현을 쓰긴 합니다.

[@user-jl2jk6tf3s]

극한이란 한문을 알면 쉽게 이해됨 한계를 다하다 다할 극자와 한계 한 즉 무한한 과정을 다해버린 한계 즉 무한의 끝이 극한인 겁니다 수학의 개념을 일상적으로 쉽게 이해할 수 있게 설명해야죠

[@mymai616]

델타는 엡실론에 관한 1차함수여야 합니다. 즉 일대일 대응관계에 있죠. 마치 델타를 일정 범위를 가지는 가변적인 수이므로 그 범위중에 아무거나 택해도 된다는 취지로 설명하신 것이라면 오해하고 계신 것입니다. 들고계신 예제에서 엡실론이 1이면 델타는 1일 수 밖에 없고, 1보다 작은 수 아무거나 1/2을 선택할 수 있다던가 하는 설명은 잘못되었다는 것입니다. ㅣx-aㅣ는 물론 가변적입니다. 변수 x를 사용하였기 때문이지요. 하지만 델타는 엡실론에 대한 함수이지 임의로 선택할 수 있는 변수가 아닙니다.

[@Ray수학]

델타가 왜 엡실론에 관한 일차한수여야만 한다는건지 이해가 되지 않습니다. 그리고 아무런 델타라는 표현은 델타에 상수배만큼 곱하거나 나누어도 되기에 해당표현을 사용했습니다. 오해의 소지가 있을 수도 있었다는 생각이 듭니다. 델타 범위를 간단히 표현하고 엡실론에 상수배해서 증명하는 경우도 많이 있기에 해당 표현을 사용했습니다.

[@mymai616]

@@Ray수학 코시의 정의가 이렇게 생길 수 밖에 없는 이유를 설명하기는 너무 길기도 하고 어렵습니다. 다만 어떤 구조를 직관하여야 한다는 것을 말씀드릴 수 밖에 없습니다. 그 구조를 직관하기 위해 힌트를 몇가지 드리겠습니다. 우선, 엡실론은 그냥 오차가 아닙니다. 허용된 오차 또는 감내할 수 있는 오차입니다. 그것은 요구되는 정도에 따라 임의로 선택할 수 있지만, 최소한의 것일 수록 좋다는 것입니다. 따라서 애초에 상당히 큰 수의 엡실론은 고려하지 않고 정의된다는 것입니다. 그러나 델타는 반대로 가능한 큰 값일 수록 좋습니다. 비유를 하자면, 어느 정도의 발열과 성능이 동시에 요구되는 cpu를 만들기 위해서 몇나노의 공정으로 만들 것이 필요한가를 생각할 때, 물론 가능한 최소 공정으로 만들면 좋지요. 하지만 기술적 비용적 문제 때문에 어느 일정 정밀도보다 적은 것을 요구할 수 없기때문에 최대 어디까지가 허용되는가를 계산할 것이 필요한 것 처럼, 델타는 요구되는 정밀한 정도를 나타내는 것입니다. 결국 엡실론-델타 논법은 허용오차와 정밀도에 관한 문제입니다. 이 둘간에 함수관계를 정립해야 극한이 정의되는 것입니다. 최소한의 오차를 허용하려면 어느정도 정밀할 것이 필요한가를 묻는 것이므로 정밀도 델타는 반드시 한개의 값만 가지고 여러 후보중 선택할 수 있는 것이 아닙니다. 그리고, 이처럼 작은 값인 엡실론과 델타간에 함수관계는 반드시 일차함수일 수 밖에 없습니다. 왜냐하면, 정의에 의해서 엡실론이 아주 작은 값에 대해서도 정의되어야 하므로, 함수 f(x)가 어떤 복잡한 모양을 하고 있던지 a근처로 스케일을 무한 확장하여 정밀 검토해야하고, 그 결과 함수가 직선에 근접해지기 때문입니다. a에서의 미분계수를 생각하시면 편할 것 같습니다. 중간값의 정리를 알고계시면 적절히 그림을 그리기 편할 수 있습니다. 코시가 이처럼 복잡한 정의를 사용할 수 밖에 없던 이유는 당대 이미 잘 사용하고 있던 미분계수를 설명하고자 하기 위함이었고, 그 성질은 이미 정립되어있었기 때문에, 같은 결론을 내기 위한 필요조건이 모두 들어간 정의가 필요해서이렇게 누더기같은 정의가 탄생한 것입니다. 따라서 이미 엡실론이 정해지는 순간 델타는 엡실론 나누기 ㅣf'(a)ㅣ으로 결정되어 있었던 것이지, 증명하는 과정에서 새로 발견하거나 선택하는 것이라 생각하면 안되는 것입니다.물론 대학교재에서도 이렇게 안가르치는 경우가 많을 것입니다. 코시의 권위를 인정하시는 입장이면 제 이야기를 무시하시면 됩니다. 저는 코시의 이 정의는 더 분명하고 깔끔하게 바껴야한다고 생각하는 편이고, 어떤 특정한 학파에 의해서 도그마처럼 숭배되어서는 안된다고 생각하기 때문에 남들이 하지 않는 말을 좀 해봤습니다.

[@Ray수학]

대학교재에서도 항상 일차함수로 나타내지는 않아서 별로 문제될 것이 없다 생각했는데 말씀하신 것을 들어보니 왜 일차함수여야만 하는지 납득이 되는 것 같습니다. 그렇다면 적당한 함수를 이용해 오차를 나타낸 각 점의 기울기(?)를 이용하여 다시 일차함수로 환원되는지를 보아야 한다는 것으로 이해해도 될까요?

[@mymai616]

@@Ray수학 아니요. 숨기는 것 없이 보다 직접적으로 말씀드려야겠네요. 엡실론과 델타의 비율은 곧 a점에서의 접선의 기울기입니다. 즉, lf'(a)l= ε /δ 입니다. 코시는 숨기고 있지만, 코시의 정의에서 곧바로 이 식이 도출됩니다. 따라서, 어떤 경우에도δ=ε/ lf'(a)l라고 직접적으로 설명하지 않는 교과서는 잘못되었습니다. 예를 들어 어떤 극한의 즉명문제를 푸는 와중에 δ=ε^2이라는 결론이 나왔다면, 그 자체로 정의에 의해서 틀린 것이 됩니다. 그것은 a점에서의 미분계수가 a와는 관계없는 변수에 의해 변한다는 것을 뜻하는 것으로 받아들일 수 없는 모순이 되기 때문입니다. 애초에 코시는 극한의 정의를 처음 만들때부터 공명지조 의도를 가지고 만들었습니다. 즉, 내가 틀렸다면 너도 틀릴 수 밖에 없다는 사슬로 미분과 운명을 같이하도록 한 것입니다. 미분의 효용성과 당대 뉴튼을 부정할 수 없는 학계의 풍조를 생각하면, 코시의 극한의 정의는 대담하면서도 영리한 것입니다. 그러나 그 의도가 드러나지 않도록 숨기는 과정에서 사정읠 충분히 이해하지 못한 후대에 오해가 쌓이고 있습니다.

[@Ray수학]

이렇게까지 깊게 생각해보지 못했는데 세세하게 알려주셔서 정말 감사드립니다.^^ 저 하나만 더 질문 드려도 될까요? f가 x는 유리수에서 y=x, x가 무리수에서 0인 함수가 있다고 하면 0에서 극한값은 존재하지만 f'을 정의하기에는 힘들 것 같은데(물론 x를 미분한 1로 정의해도 무리가 없을 것 같지만) 이런 경우는 어떻게 해야할까요? 이 예시와 같이 f'을 정의하기 어려운 함수에서 극한을 설명할때는 어떤 방식으로 접근해야하는지 알고 싶습니다.