三角形的五心你知道？但三角形的费马点你肯定不知道！李永乐老师讲三角形的“心”

[@TchLiyongle]

有字幕 视频禁止搬运

[@陈康-h3i]

老师。我最近看了一步电影，是周冬雨演的《动物世界》。这电影将剪刀石头布玩出花样来了，这里面有很多推理。在看电影时和看完之后我都在自己算数。但一部分能算明白还有一部分完全蒙了。我给您推荐一下，如果感觉可以给大家讲讲。谢谢🙏

[@ueyj4041]

老师老师，突然想到个问题，如何证明三角形3条中线两两间的交点为同一个点？

[@陈康-h3i]

苏易 你去看看初中的数学书就知道了

[@曾子宸-s4n]

@@ueyj4041 塞瓦定理就可以了哦

[@l452002882]

有限元计算里三角形单元的高斯积分点在哪

[@SL7172]

很感謝李永樂老師給我們講解這麼多有趣的問題，身為一個曾經的理科生，每個視頻都讓我重新溫習並有新的所得。感謝您。

[@連思惠]

喜歡永樂老師！我擔任初中的家教快十年了，聽永樂老師的課更明白如何深入淺出的教學！

[@andyann8972]

連思惠 好一个深入浅出

[@andyann8972]

好一个深入浅出

[@HGL-no5co]

更方便简易的证明，以黑板右上角的△ABC为例，把△APB绕A点逆时针旋转60°，得到△AP'B'，易得CP+AP+BP=CP+PP'+P'B'最短。根据两点之间直线段最短可知，CPP'B'共线，因而可得出三个角均为120°。

[@Diegoscomeback]

我知道！我知道！三角形的五个心分别为 力量之心，心灵之心，空间之心，时间之心，现实之心 和灵魂之心！

[@TchLiyongle]

哈哈

[@urakurai6527]

我數到6個@@

[@陳勝天-y4b]

@@urakurai6527原因同點解佢會答錯呢條數學題一樣，睇得marvel太多冇專心上數學堂，哈~

[@urakurai6527]

@@陳勝天-y4b 我是指樓主說的那些心 有6個

[@下上-n2n]

你这不是6心么。。

[@cwcmfus75]

Really enjoy Master Lee's smooth presentation of complicated concept,, even after 50 years after I graduated from High school. Even we experienced the age of transparency, power point, I would say black board is just the right media to me, the old generation, I just got more time to pondering all the concenpt, on the blackboard. My way of thinking is just more in line with the blackboard writing

[@lihan9289]

解决这道题很简单，就是消灭这个小朋友！ 步步高打火机，哪里不懂点哪里，你值得拥有

[@lootingboy]

畢達哥拉斯

[@ve7yan]

現在誰不用地圖，GPS 導航，但是你敢讓電腦幫你開車？ 你不三不五時確認地圖說左邊有個池塘，前面有個橋？物理（實驗）就是兩腳著地，數學永遠只是個輔助工具，上帝愛咋地咋地，你數學能把他綁著咯？

[@zy107]

好办法，解决不了问题，就解决提出问题的人！ ：）

[@vinciarts]

经历了上次的画歪事件后，每次看李老师画线我都格外谨慎…

[@TchLiyongle]

哈哈 可以的

[@ailovsea]

想看上次画歪事件的案发现场!

[@vinciarts]

@@ailovsea 就是上一集哦

[@matthewdiao6075]

解决问题最好的方法就是解决提出问题的人。

[@紀阿霸]

到底誰家的小朋友這麼上進會去研究費馬點啊？

[@lloydhuang8472]

是啊，每次都是小朋友提出了各种高深的问题。看来小朋友不简单啊

[@haruki_zhang]

有关部门他们家的

[@jw888wj]

他不能说博士或教授提出这样的问题吧。

[@6h7ty19]

五大神秘团体，别人家的孩子，外国的人民，隔壁的老王，敖厂长的哥们，李老师的小朋友。

[@youwuli]

阿霸紀 young Sheldon

[@鸷鸟]

前排报道，老师讲多点几何的，很喜欢几何！！！

[@TchLiyongle]

嗯呀

[@martinw6112]

有事沒事看一看...學點知識

[@蔡淳佑-q8y]

我是民國76年次的台灣人，只有前面四個心國中有教過，其他的從來沒聽過讓我大開眼界。

[@段昌敏-u4t]

關於三角形內的點其實還有很多 如gergonne點 nagel點 steiner點 miquel點 speiker點 tarry點和rigby點 對於任意三角形來說 內部存在一點使得到三邊距離的平方和最小值的點是類似重心(通常用K表示) 類似重心是20世紀大爆炸的犧牲品之一 但是可以它算得上是近代幾何學的一顆寶石. 關於它的定義，類似重心實際上是三條類似中線的交點 而三條類似中線是每一個三角形的中線的等角共阨. 一般來說 在英國和法國地區稱類似重心為Lemoine點 而在德國稱之為grebe點. 類似重心最有意思的性質是''該點到三邊距離比等於對應邊長度比'' 它的比例等於2Area(ABC)/a^2+b^2+c^2. 利用這一性質 就可以證明出一開始所說的性質. (註解: 點K到三邊的距離設稱之為x y z 三角形對應邊長稱之為a b c . lemoine本人在證明這一性質時候用到了這個恆等式: (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^+z^2)=(ax+by+cz)^2+(bx-ay)^2+(cy-bz)^2+(cx-az)^2.)

[@徐瑞斌-i8o]

這一題其實有另一種說明方法。 我們先固定在T = PA +PB. 那麼， 所有讓PA+PB爲定數T的P點， 形成一個以A,B爲焦點的橢圓E。在已知PA+PB=定數T的條件下， P在哪裏會讓 PA+PB+PC最小呢？ 因爲PA+PB已經固定了。 那麼就讓PC最小即可。 C到E的最近處， 也就是從C畫一個跟E相切於一點的圓。 令切線的法向量爲N， N方向其實就是PC方向。 橢圓因爲有焦點反射到另一焦點的性質， 也就是法向量與PA,PB的夾角會相同。 所以可知， 角CPA = 角CPB。 如果這時候， 角CPA 不等於 角APB, 意味着， 我們轉過來看B,C爲交點的橢圓E2時， PA不是A到 E2的最近點。 這就說明， 如果不是3個角相等的位置， 必定不是費馬點。 （因爲可以利用上述方法找到不是最近橢圓的那一段， 改成最近橢圓的那個圓與橢圓的切點， 會讓PA+PB+PC更小）。

[@徐瑞斌-i8o]

筆誤： ”我們轉過來看B,C爲交點的橢圓E2時“ 應讀爲 “我們轉過來看B,C爲焦點的橢圓E2時”。 焦點誤植爲交點， 請留意。

[@wudahu1979]

就叫费心好了。。。

[@YSC430]

辛苦了

[@ve7yan]

用物理倒過來證明數學的昏招 8:28，我在大二時候幹過，我修數學系的向量分析，考試有一題不會，但是直觀可行，我開題就假設老師接受太陽光在任何距離穿過的總能量一樣。。。。 結果老師給零分，但是她拿給其他數學和物理系的老師看了，鬧個不大不小的事，數學系的都認為不給零分是動搖根本，物理老師都樂得很，後來課堂上說了不要去數學系修課，他們一半時間證明存在唯一，另一半三維推到 N 維，推到張量，電磁需要的數學工具，物理老師立刻教立刻用就是

[@HerHappyWhyNot]

別讓老師糟蹋你的天賦

[@Xedice8897]

应该给0分，因为考试的目的绝不是把题做出来，那没有任何实际作用，而是检测你是否掌握老师教的内容。既然不会，那就是没有掌握老师教的内容，故给0分是反应真实情况。但是抛开单次考试的目的来说，应该提出特别表扬，因为你有独立解决问题和思考的能力，这正是教育的终极目标，价值要超过一次考试。

[@AlienPhoto]

没看到你说的问题和你的解题思路

[@ve7yan]

Garden Yuen 三十幾年前的事，題目想不起來了，想起來就來回复

[@YY-ms1dz]

物理方法解数学题确实也是一种思路啊

[@城北徐公-m8h]

出自九陰真經中九陰神爪篇，三花聚頂，五心朝天，三花者，練精化氣，練氣化神，練神還虛!五心者，頭頂心兩掌心兩腳心是也

[@robertnull6653]

8:29 這個“顯而易見” 就是物理證明省下一堆功夫的關鍵

[@concretelesso2622]

关键数学是理论化工具，物理是实践化工具，现代物理一大特点就是实践必须配理论数据，爱因斯坦相对论定型解释必须搭配定量公式

[@michaeldang8189]

垂心和重心两个字黑板上看着一样的写法。

[@zhilihuang6609]

这个使用物理原理来证明数学定理实在是太美妙了

[@Kai-sq1wv]

李老師：內心呢 我們用字母愛來表示❤

[@stefanchen909]

费马只提出问题，从来不解决问题

[@chihfeng1975]

報到，但老師的小朋友們都好牛

[@TchLiyongle]

哈哈

[@user-rq3iu7sb4c]

李永乐老师 那些小朋友真的都存在嗎？農曆七月可別嚇我啊

[@kelee5010]

可证明 其实AA'=BB'=CC'=P'A+P'B+P'C 若P不在P'上，那么通过绕A'旋转使得三角形PCA'边A'C与BA'重合 很容易证明 PC+PB大于PA'所以PC+PB+PA大于PA'+PA 而P不在直线AA'上 所以必然大于AA'

[@zhps01]

好赞！李老师，讲讲三心共线第那个定理吧～～

[@河南老李]

李老师，能否用物理或者数学解释一下：为什么去程感觉远，而归程感觉近呢？

[@washingtongeorge7079]

这个在我考虑房地产时候，学校，工作单位，选居住地，我用QGIS 分析的，这个有用

[@CalvinJKu]

這個是歐式距離，實用性比較低，因為你沒辦法穿牆去上班。買房子要考慮曼哈頓距離才行。

[@bobo-n6x]

老師好，我是台灣的粉絲，希望老師也能介紹計算機數學方面的科普，像是複雜度，P問題，NP問題，P=NP?問題

[@soonlee7962]

请找身边台湾老师🤒🤒🤒

[@chaosun5200]

原来你就是李老师经常提到的小朋友啊，失敬！

[@angkok]

唔講真系唔知三角型有咁多個心, 忘記晒中學老師教過的東西了,謝謝李老師

[@浅洛晨]

老师讲的很好，提出一个问题，您讲的是锐角三角形的情况证明，那对于钝角三角形，怎么用物理学角度（也就是拉力的合力为0）解决钝角三角形的费马点在钝角顶点呢？

[@chudq]

李老師讓我開眼界，除了知道五心之外，實際上三角形還有其它更多的心：en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center

[@rockieune1846]

李老师，之后哪期能讲讲著名的五圆定理么？

[@boweizhou3814]

李老师每次都是先发油管，再微博！

[@carolinalee1683]

上海软土地基建房子，重心不落在地基中心，会引起房子不均匀沉降，时间一长房子会倾斜，屋面和冲凉房的水流不到落水口。😄

[@鏡祖]

李老师布置了大家的课后作业，看哪位是老师的老铁好学生！

[@lucasshaw5086]

李老师，可以解释一下宇宙形状为什么可能有平面，圆球，和马鞍三种形状吗？我看还有一些是像救生圈形状的，研究好久都不懂

[@overthere3692]

老師您好 請問一下虛數I在實際生活應用的方面有哪些

[@虛空-t7v]

很喜歡這集~用物理解釋數學~帥氣

[@explorerc607]

请问如何证明 任意三角形一定有内切圆（内心）跟外接圆（外心）？如何证明任意三角形的三条中线一定共点（重心）？如何证明一个任意三角形的三条垂线一定共点（垂心）？

[@xywang1030]

This is very good. Thank you.

[@cmk105]

老師可否介紹一下「scutoid」新發現的形狀！

[@kelee5010]

四角形的费马点最简单 在对角线的交点上 五角形的费马点在哪 唯一吗 n个城市中找一个到这n个城市距离和最短的点 存在吗 唯一吗 如果是连续的闭合图形 找一点到这个闭合图形上每一点距离和最短 你会发现 图形内每一点到闭合图形上所有点的距离都相等 等于图形的面积

[@kelee5010]

距离和

[@xinshanpang2360]

我名字中有与旁心同音字 初中那节课必须被调侃 然后我就形成了角度刁钻的特性

[@陈康-h3i]

老师。我最近看了一步电影，是周冬雨演的《动物世界》。这电影将剪刀石头布玩出花样来了，这里面有很多推理。在看电影时和看完之后我都在自己算数。但一部分能算明白还有一部分完全蒙了。我给您推荐一下，如果感觉可以给大家讲讲。谢谢🙏

[@TchLiyongle]

好的 我回去看下

[@raylee1994]

陈康 沒準下次你就是那個小朋友😂😂

[@陈康-h3i]

Ray Lee 你有见过上大一的小朋友吗？

[@koury5103]

你可以翻下赌博默示录的漫画慢慢想

[@zhilihuang6609]

太强了，第一次看见还可以用物理证明几何问题的，可能是我太孤陋寡闻了吧

[@ShiongleHuang]

李老師，找不著您的早期視頻，請問能給連結嗎?謝謝！

[@TchLiyongle]

以前的视频效果没现在好

[@ShiongleHuang]

李老師，我相信很多學生與海外華人都想看^_^

[@TchLiyongle]

微信公众号李永乐老师里面有全部旧的数学课

[@rachelgao9961]

老师可不可以讲一些关于trigonometry的?

[@RichardChen]

其实李老师画三角形三个外等边三角形的时候好像还有个拿破仑定理，就是这三个等边三角形的中心构成的也是一个等边三角形，不知如何证明

[@AntonioYan]

永乐大帝威武！

[@千仞之溪]

Antonio Yan 你讓朱棣老師情何以堪😂😂😂

[@ee3ee2ee]

@@千仞之溪 judy不就是永樂帝嗎

[@chc0803]

老師您好，請教一下可否證明人和人之間six degrees of separation的理論呢？

[@hwilee6192]

李永乐真的太牛了。

[@吴涛-o2u]

每次看完内容都要再看一遍留言，留言更可爱😂😂😂

[@jiejie9609]

老師，可否請您講解微積分呢？

[@蓉兒很乖]

老師能不能講個高中/高級數學的入門啊 如函數f

[@minmax6958]

是以前考研的数学老师李永乐吗？

[@岳吴-y4k]

看李老师的视频总有种跟着跟着跟丢了的感觉。

[@ve7yan]

只有複習的能不跟丟

[@俞浩锋]

强烈要求李老师讲讲五角星五点共圆！！！

[@tzulinchin8]

老师，能不能给小朋友讲解五点共圆的证明

[@nabuyay]

老师，请问球体表面上取四点，它们处于同一半球面上的概率要怎样计算？

[@yiou7892]

这个神秘的小朋友到底是谁，问的问题都那么有深度的？

[@oni6707]

其實這種圖形運用在生活功效不錯，比其他數學領域實用

[@JAY-zt7mo]

老師您好，我是台灣的粉絲，想聽您解說TREE的含義

[@yorktickey258]

李老师是一根粉笔打遍天下，建议像涉及图形用相应的软件输出呈现。国外数学网站上几何题图案都有很好的视觉效果。

[@royli4658]

粉笔的感觉好，他3别亲切

[@熱愛物理的男孩]

可以請問大部分三角板中間幹嘛都要挖洞嘛? 怎麼回事

[@올림피그]

松哥 好拿吧

[@6h7ty19]

节约材料，每3个三角板就可以挤出来材料做第4个三角板。

[@partyhu]

Yang Su 初中用的都是小三角板，可以挖很大空，学建筑的那种大三角板，很多就只有中间一个小小的圆孔，只是为了好拿，因为洞太大三角板容易坏掉。而且质量好的小三角板也是只给中间挖一个小圆，不会弄很大空，所以洞只是为了好拿。

[@tasingchak3916]

不挖洞，能好用吗

[@成龙-x5n]

试想一下，如果没有洞而且三角板做工非常平整，放到一个非常平整的桌面上，是不是不好拿起来？这算不算挖洞的理由之一？

[@cx1300]

求助：桶装电热水器泄压阀 会发出怪声音 很大很尖 有什么解决方法吗？（除了降水压，条件制约）经常会出现在水压高或者不稳定的building

[@Jeff-pb2fl]

李老师班上的小朋友放学别走，我得好好跟你们聊聊

[@JH-wo6zd]

好简单，全部竟然看懂了

[@spbuster8060]

我永远喜欢李永乐老师👨‍🏫

[@jorkoter]

李老师，费马点的知识可以单独做个视频。您讲的是当三角形最大内角＜120度的情况，如果最大内角≥120度时，钝角的顶点就是费马点。

[@tasingchak3916]

如果等于120度，费马点就是钝角顶点，如果大于120度，费马点就在三角形在，费马点距离三个顶点距离仍然相等。好像也没毛病，没有规定只能在三角形内。

[@lufei7860]

李永乐老师，给小朋友讲一下汽车自动挡的原理，油管上看的都不明白，只能老师亲自出马讲解一下，谢谢老师

[@RD-fp3cy]

自动挡不难吧？ 无非是液力变矩器、双离合变速器、无级变速器三大类。 除这几类外还有还有汽车邪门科技：轮上电机驱动无级变速。 如果看不懂，先去复习下中学物理就好了。

[@lufei7860]

行星齿轮的 自动挡原理

[@周傳凱-k3r]

小朋友們提出很多厲害的問題，老師每次都把那些問題做成影片了

[@yorktickey258]

以前一直想三角形是不是还有一些心没有被发现？如果没有了，有这样的证明吗？

[@chuanguonining]

请问李老师，如何证明三角形的一个顶点和重心连线的延长线会平分对边？

[@王林雨]

根号a乘以根号b,a和b可以同时小于0吗？

[@user-swq623]

我们用爱来表示内心

[@tomcat720]

没看懂y1/y2/y3指的是什么

[@rainbowcnay1]

李老师喜欢回答小朋友的问题

[@余洋-r6t]

还是希望李老师讲一讲TREE3

[@余洋-r6t]

感谢！

[@TchLiyongle]

OK 准备一下

[@吳育宏-j3u]

老師下次能講尤拉線嗎？

[@TchLiyongle]

Jackson Wu 那是啥

[@吳育宏-j3u]

老師，是歐拉線啦，翻譯問題，zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AD%90%E6%8B%89%E7%B7%9A

[@吳廷軒-j5g]

假如有一個角大於120度是不是就無法用三個正三角形求出三角形內的費馬點？(點會跑到三角外)

[@judyyangjing]

軒吳Tim 跑到外面也是这个三角形的费马点 就像重心也可以在 钝角三角形外面是一个道理

[@袁野-l1n]

最后那里突然冒出个y1，y2，y3，想了一下才知道是绳子垂出三角形的余长，这里感觉老师再解释一下会比较好

[@今非昨]

我也没有明白

[@HerHappyWhyNot]

感謝有你

[@平民-s7b]

三角形顶角到对边中点，分开的两个三角形，面积一样大呗？😇

[@longzhou803]

受力平衡不是势能最低的充分条件，还需要证明是稳定平衡点。--隔壁班的学生

[@RD-fp3cy]

稳定平衡也不一定保证是最低点。 只能说是局部极小值。

[@aladamir9747]

最難的是人的心

[@doli99sjyiao73]

只愿得一人心？白首部分离？？

[@555sinfor]

原來是費馬點。當年的東京大學考題裡面有一個這個題目。

[@StingJia]

人大附中校训： 少壮不努力，老大去隔壁（人民大学）

[@CalvinJKu]

老師你是在幫三體人的小朋友上課嗎？怎麼有這麼強的小朋友什麼都知道～

[@zwz3852]

费马点很实用啊，最短路径。

[@jiachengyang3973]

为什么那三条线一定会交于一点呢？

[@风雨中飘摇]

又来小朋友😂

[@steevek]

有人说道人生几何，不知道为什么就没有好心，黑心，偏心，良心，真心......喜喜不说了

[@xiongyu1ong]

三角形的五个心，作的辅助线为什么都交于一点，证明方法都是一样的吗？

[@RD-fp3cy]

每个都要单独证明。 比如四边形就不能保证角等分线交于一点。

[@cavalary99]

記得國高中時學過，內外重垂旁五個心，不過費馬點真的不知道

[@moregirl4585]

为什么不提共线心

[@老夫子-s3d]

我有个很幼稚又不大好开口的问题 就是彩票号码一些规律好奇怪？

[@tasingchak3916]

请问小朋友是谁？

[@凯旋-d7y]

小朋友三联：我没问，不是我，不背锅

[@lyang212]

平面空间内，两点之间距离直线最短