四只鸭子同半圆，概率有多大？初中数学题让硕士生差点打起来！

[@Sailo-hd5si]

看完不少留這之後，我找到2個碩士生打架的故事。 碩士甲：答案是1/2 碩士乙：你不能忽略池塘和鴨子的面積 碩士甲：題目沒有提供就應該忽略 碩士乙：鴨子面積大於池塘面積1/8，機率就是0 碩士甲：3隻公鴨騎在1隻母鴨身上！！！ 然後他們就打起來了...

[@kkiilo2586]

靠腰🤣我早餐噴出來

[@alexsu105]

把我笑死了对你有什么好处

[@劉大帥-i5i]

其實我想說，公鴨基本都比母鴨重約一倍，母鴨應該在水面下。

[@lin69don40]

有只鸭子潜水了！🤔

[@fakestory1753]

公鴨 : 我們來3P 母鴨 : 可是這樣不就是4P嗎? 於是公鴨們就離開了

[@kkndkknd]

听到鸭王。。。。我不厚道地笑了。。。旋即又陷入了沉默。。。 对于自己已经无法直视这个纯洁的世界，我感到了深深地自责。

[@Doki_Kirame]

你是懂鸭王的Σ(ŎдŎ|||)ﾉﾉ

[@shaun2099]

不如叫鸭头

[@ciri4kgaming7]

那你聽到夾腳有反應嗎？

[@leiwang9560]

单纯的我在看了你评论后被污染了

[@snoopyhjs5724]

纯洁的我被你带坏了

[@music1band]

感觉答案有问题。忽略鸭子的体积，它在水池里的分布应该是针对面积上的随机分布。把问题转化为弧线上的随机，是不对的。看一下李老师的下一个视频“伯特兰悖论”，就知道针对不同“随机”的定义，会有不同的答案。

[@YuBeL667]

用容斥原理算了一下角度从0~360度的所有情况，如果有错误欢迎指正~ 拿蒙特卡洛跑了一下貌似挺对的 不失一般性，考虑 x[0]~x[3] 是圆周上按顺时针排列的点，令事件E[i] := x[(i+1) mod 4] 到 x[i] 的弧角≥(360-a) deg 令p=1-a/360。 对于角0 deg ≤a deg≤180 deg，至多1个事件会发生，pr(∪0≤i≤3 E[i])=∑0≤i≤3 pr(E[i])=4pr(E[0]) 其中pr(E[0]) = (1-p)^3。 对于角 180 deg≤a deg≤ 240 deg，至多2个事件会发生，还要再加上 - ∑0≤i

[@YuBeL667]

对于n只鸭子 角度是a度，答案是类似的一个级数∑ 1≤k≤n (-1)^(k-1)*binom(n,k)*(min(1-k*(1-a/360),0))^(n-1)

[@moyufeng0334]

字数多不一定对哦

[@YuBeL667]

@@moyufeng0334 写的多是为了给出计算过程，方便大家指出错误

[@張夢萊]

你字多我跟你混了～

[@李千红-g8g]

鸭子喜欢聚堆，不考虑待在中轴线附近的情况下，在同一半圆的概率100%

[@braydenzhao6544]

perfect 理论不脱离实际😂

[@weihu6498]

李老师很注意用词啊，明明鸭头比较符合这个场景，却用了鸭王😂

[@CC_YXCheng]

墙外又不会被和谐lol

[@hongyiyu3642]

这个解法首先要假定鸭子是一个点，没有体积（面积），而且概率之间用加法做并集要先保证这几个概率的情况是互相独立的。当然在这个题目里是独立的，但应该要解释一下，不能直接就默认了。

[@rtfeng9901]

😂咱们无法用初中生的想法思考这种题了

[@Roist.Z]

同样的问题也出现在1992年第53届普特南数学竞赛A-6(压轴)题： 在球面上任取4个点，位于同一个半球的概率是多少？

[@joewulf7378]

答案还是1/2吗？🤣

[@yiximiao]

@@joewulf7378 没记错是1／8

[@daniellee4682]

@@yiximiao 不可能，任何一點是二選一的形式，4個點計算結果概率就應該還是1/2，球面平面沒關係。

[@yiximiao]

@@daniellee4682 啊对，我刚查了下，1992年的a6答案是1／8是说球心在四个点形成四边形里的概率，实际上四点同一个半圆的概率要用1减这个数字就是7／8

[@vitaminb1217]

@@yiximiao “球”和“圓”是兩種概念啊

[@iagme]

我是从平面的角度来思考的。首先，两个点在同一半圆的概率为1，确定这两个点就可以假设有两个半圆，这两点都在其中一个半圆内。剩下另外两个点在同时在半圆A的概率为1/4，在半圆B的概率为1/4，加起来就是1/2。

[@zclforever]

这样算5只鸭子的结果是1/4，跟老师的答案5/16不一样呀，问题在哪里呢？

[@徐瑞斌-i8o]

照您的說法： “我是从平面的角度来思考的。首先，两个点在同一半圆的概率为1，确定这两个点就可以假设有两个半圆，这两点都在其中一个半圆内。” .... 然後假設這兩點在半圓A 內。 剩下兩點在半圆A的概率为1/4。 這是您說的。但只有剩下兩點在半圆A內才能確認這4點在同一半圓內。剩下兩點如果不在半圆A內， 則無法肯定是否這4點能在同一半圓內。所以這樣只能證明4點在同一半圓內的機率 > 1/4.

[@awesomeartisticworks2273]

如果依你的解法，那三只鸭子的概率是多少？五只鸭子的概率是多少？（答案为3/4和5/16），用你的方法结果都不对。四只鸭子只是凑巧与你的答案相符了。

[@TPM188]

太了不起了，佩服佩服，應該是學霸吧？

[@鄭安承-k3e]

當角度180度時，可能成立的組合有機會超過一隻鴨王。 例如，有三隻鴨擠在左邊，一隻待在右邊。 左邊最前頭的當鴨王成立，右邊的當鴨王也成立，此時，同一個組合被重複算到了。 因此不能直接套P=(θ/360)^(n-1)*n計算。

[@yiliu5606]

＞180不就是等价于＜180吗

[@鄭安承-k3e]

@@yiliu5606 我補充一下我前面說的180是指題目限制的鴨子最多分散的角度 而不是以極座標給每個鴨子定的角度 若還是不能接受兩個情況不等價 我們可以先把題目簡化成離散的模式 假定現在只有360個位置組成圓 可以給鴨子待 當角度要求180度時（例如270度） 若鴨王在1號位 其他的鴨子可以選1-270號的位子 但是當4隻鴨子落在1 2 3 190號位時 你既可以說1號位那隻鴨子是鴨王 也可以說190號位那隻是鴨王 故組合（1 2 3 190）被重複算到兩次 總結 角度限制以180度為分界線 兩種情況是不等價的

[@vincechan6814]

鸭子是群居动物，作为一个正常鸭子，他们是会待在一起玩耍的，答案是百分之百😭

[@Theodore_Evelyn_Mosby]

如果有掉队的怎么办？还有可能不是一个品种，甚至还有可能是海外迁徙路过的。

[@derickzhou]

所以在安全学上社会学家是秒杀数学家😂

[@victorwang847]

要是死鸭子，你把它放在哪里它就在哪里

[@simonwood8392]

确实是这样，不过它们都在水池中央围绕中心鸭王均匀分布😅

[@路過的網友]

如果鴨子的直徑約等於池子的半徑呢？

[@liunick3980]

我用取平均的概念也解出來了。 先放一隻在圓的任意點上，再放入第二隻並視其為可變動的點 （注意，雖然第二隻鴨子有可能落在第一隻的正對面，但此情況的機率卻是0，因為在一條線段上任取一點，取到特定的一點的機率為0。所以在算機率時我就忽略這個情況，不管半圓包不包含邊界都一樣。也就是第二隻鴨子落在半圓裡的機率為100%） 若第三隻落在第二隻與第一隻之間的小圓弧的正對面的等長小圓弧裡，就會失敗。而那段小圓弧的可能長度是從0到1/2圓周長，小圓弧長度等於這範圍裡的各個數值的可能性是均等的，所以平均值是直接加起來除二，1/4圓周長，第三隻鴨子落在裡面的機率為1/4，所以放三隻鴨子進去會失敗的機率為1/4。所以平均而言，第二隻鴨子會在第一隻走1/4圓周長處，因此將第二隻鴨子固定在那。 如此再進一步討論，最後算出1/2，不過我不確定這樣算有沒有邏輯上的漏洞。

[@谈天说剑独善何益]

这道题但凡顺序摆放鸭子，顺序计算概率，概念上都是有问题的。事实上，你只需在圆内取随机4点，连成一个四边形，然后作对角线，得到2个三角，你会发现无论如何摆放，只要四边形对角线不通过圆心，就意味着有一个三角完全在一个半圆里。而四边形对角线精确通过圆心的概率无限趋近于0（其它特殊情况，如3点或4点成直线落在圆心上，或其中1点落在圆心上也都一样无限趋近于0）。那么就很清楚的证明了--【随机4点内有3点永远在一个半圆里】。于是只看最后1个点出现在前3点半圆内的概率，当然也就是1/2。

[@Energy0124HK]

@@谈天说剑独善何益 感謝！這個說明太好了！

[@lalaladhm9200]

@@谈天说剑独善何益 你这个思路错了，如果是五个点按照这个思路就是得到了错误答案。首先三个点并不确定唯一的半圆。其次当你从四个点里挑选出三个之后，第四个点就不再是独立的，因为你无法在没有第四个点的情况下挑选出三个点。

[@大名王-v8g]

完全合理欸！而且超容易想，因為鴨子是線性分布的。 重點會是第三隻鴨子進去，那三隻鴨子都在半圓裡的情況，那段小圓弧平均長度應該是多少呢？ 三隻鴨子都在半圓裡，即第三隻鴨子會落在與二鴨弧同半圓的位置。 已知二鴨弧長平均為 1/4 圓周長 第三隻鴨落在同半圓的狀況下，有 1/3 的機率，落在原有的二鴨弧中，平均圓周長不變動，仍為 1/4 圓周長； 另外 2/3 機率落在 1/4 圓周長與 1/2 圓周長間，取平均為 3/8 圓周長。 因此可得三鴨弧平均為 1/3 * 1/4 + 2/3 * 3/8 = 1/12 + 6/24 = 1/3 圓周長。 此情況下，第四隻鴨子會跟三鴨弧在同半圓的機率為 2/3 又因為 3 隻鴨子僅有 3/4 的機率會在同半圓中， 因此第四隻鴨子會跟三鴨弧同半圓機率為 3/4 * 2/3 = 1/2 同樣方式推導一下五鴨同半圓情況，首先要計算四鴨同半圓時，小圓弧的平均長度 四隻鴨子都在半圓裡，即第四隻鴨子會落在與三鴨弧同半圓的位置。 已知三鴨弧長平均為 1/3 圓周長 第四隻鴨落在同半圓的狀況下，有 1/2 的機率，落在原有的三鴨弧中，平均圓周長不變動，仍為 1/3 圓周長； 另外 1/2 機率落在 1/3 圓周長與 1/2 圓周長間，取平均為 5/12 圓周長。 因此可得四鴨弧平均為 1/2 * 1/3 + 1/2 * 5/12 = 1/6 + 5/24 = 3/8 圓周長。 此情況下，第五隻鴨子會跟四鴨弧在同半圓的機率為 5/8 又因為 4 隻鴨子僅有 1/2 的機率會在同半圓中， 因此第五隻鴨子會跟四鴨弧同半圓機率為 1/2 * 5/8 = 5/16

[@tses1428]

我的想法是:假設有一隐形过圓心的直線，将水池為左右两部份。先任意放第一隻鴨入水池，隨後放笫2隻，第2隻鴨與而1隻同一边的概率為1/2，現再放入第3隻鴨，第3隻鴨與先前两隻在同一边的概率亦為1/2，同理第4隻概率亦為1/2。所以4隻鴨在水池同一边的概率是 1x(1/2)^3=1/8。

[@RRCapa-zg7cd]

估计更多的硕士要吵架了。李老师用弧度理解这个题是对的，但是鸭子应该一个个考虑： 1， 前两个鸭子在半圆的概率是100%， 设他们之间弧度是（180-x), x是0-180直接取值） 2，第三个鸭子和前两个鸭子同在半圆概率是 （180+x)/360, 设前三鸭子弧度最大值（一头一尾直接到弧度）是180-y 3. 4个鸭子在同一半圆的概率是 (180+x)*(180+y)/(360*360)

[@hebq2009]

哈哈哈哈鸭王😂😂😂李老师这个解法好棒，前两天看到一个同学的解法都用到概率密度和积分了😢

[@xpellidagoat]

李永乐老师开玩笑自己都不笑的

[@孫曉峰-w2q]

老師可以談談伯特蘭悖論嗎？這題會像伯特蘭悖論那樣用不同方法會有不同答案嗎？

[@ivanagyro]

這題不會，因為這題的變數只有一維：角度

[@strikerleecy126]

昨天被同学安利了这道题，想着随机复数当做圆里的点然后算两点间角度差，再写个约束条件列举一系列随机数算概率。结果由于那个角度函数返回的是-π到π，两端断点导致一直出bug，跑出来小于0.5。后来想了半个晚上才找到问题所在

[@Tom-fw6bx]

6:35 鸭子都在另半个圆内的情况，也就是A是鸭尾的情况，包含在另外一个鸭子做鸭王的情况里。这样说直接一点。

[@seanto6935]

看过其它视频，李老师讲的就是简单易懂。 θ＜180度时，要考虑两个方向。θ＞180时，两个方向有重叠部分。

[@ciri4kgaming7]

θ=180度也有無限多可能性 照理說同個半圓的情況絕對小於50%

[@壓力]

@@ciri4kgaming7 照什麼理？

[@seanto6935]

@@ciri4kgaming7 等于180度时，通过定义不同的鸭王，两个方向可等价，因为会累加4个鸭王。

[@ciri4kgaming7]

@@seanto6935 可以為我解釋一下什麼是「定义不同的鸭王」嗎？ 我主要是指出，老師沒有談及夾角=180的情況，如你所說只談到大於和小於180的兩種情況。因此，非彼半，即此半，這種1/2概率分布無法說服我。

[@bobzheng25]

@@ciri4kgaming7 这种极限情况在几何概率里是忽略的吧，点和线段在不同的量纲里

[@speedracer7750]

謝謝李老師詳細解說

[@yung-wayliu2840]

解得好，關鍵是一開始的轉換成角度問題。令人想起了有名的Buffon Needle Problem。有沒有想到因為始初的樣本空間設定的不同而可能得到不同的概率？就像Buffon問題？説不定四個碩士大打岀手是此原因？

[@peasant12345]

应该不是这个问题，因为是圆，这题的measure只要是旋转对称的都是1/2这个答案，鸭子离圆心的的距离是没关系的

[@shawnpalliser7664]

不会的，因为每一条半径都是等效的，鸭子出现在特定半径上任意位置的概率一样，所以不会影响最终概率

[@loochunkai2026]

@@shawnpalliser7664 应该有这个问题。李老师这里用的圆坐标是（r，theta），而一般来说随机而平均的4个点应该要用（x，y）坐标。这和Bertrand paradox 很像。

[@黃羽慈-s6x]

@@loochunkai2026 用xy也一樣吧

[@loochunkai2026]

@@黃羽慈-s6x 这题用两种坐标确实一样。不过要简化问题的时候还是得小心一些。

[@sutchawson8561]

分析了下半圆和半球的情况，发现几个有趣的现象： 1.圆中2个点必在同1个半圆，球中3个点必在同1个半球。 2.圆中1个点确定1条直径，球中2个点确定1条大圆。 3.圆中2个点恰好将圆分为2等弧（不好确定大小角）的概率，可以忽略不记，同样的， 3个点将球面分为2等面（不好确定大小立体角）的概率，也可以忽略不计 4.n个点在圆中对应n个夹角，但在球中对应（2n-4）个立体角。 5.圆中最大的张角对应2个点，通过规定顺逆时针方向，可以唯一地确定一个”鸭王“，该”鸭王“定义一条半圆弧和分割直径。 但在球面中，一个最大的立体角有3个点，根据立体角锥的指向确定顺逆时针，可以确定3个”鸭王“，每个”鸭王“对应2个点，各定义一块半球面和分割大圆。

[@王思聪-k7n]

讲的好 李永乐老师讲的果然不好好动动脑子真听不懂

[@user-LinTH]

這題的解答會不會跟"隨機分布"的定義有關 李老師的隨機是用極座標的方式定義，即theta由0至2pi隨機、r由0至原半徑隨機 但其實會造成鴨子接近圓心的機率稍大一些 若是採x-y坐標系的隨機分布，答案應該會不同？

[@cubing7276]

老师的答案跟r的分布无关，所以应该是一样的

[@xiang-yue-fung]

是不是剛好挑到圓心的機率為零

[@林鴻佑-x9y]

@@xiang-yue-fung 如果要鴨子在圓心，應該是定義問題了，因為會在定義的180度直線上，應該是算在同一個範圍內了。

[@AndyFengDJ]

这里的分布就是圆面内点的随机分布，它的极坐标角在0到2Pi间（连续）均匀分布要满足面是平直的且坐标原点是圆心。如果原点不是圆心或者是个椭圆，那么这个图形面内的随机点的极坐标角度就不是均匀分布的。以题目中的条件是均匀分布的。

[@oscarlin3555]

@@xiang-yue-fung 一個點是不會影響機率的 畢竟任何一個方向上都有無數個點 另外回樓主 你把平均分佈的圓面投影到環上面 你會發現環上面仍然是平均分佈的 所以兩個敘述是等價的

[@先生杨-s9z]

大数据统计都离不开的经典考题，感谢李永乐教授

[@ooTip]

忘记鸭子的体积了，如果圆的面积太小，只能放进4只鸭子，概率就是0

[@張惟淳-d2f]

圓心角大於180°時，鴨王法會有交集的問題產生，不能直接相加

[@kelpneko]

可是如果n=2帶進去n/(2^(n-1))不是就成了百分之百? 如果2隻鴨子在同一條直徑上，且是在圓的對面，那就不算在同一半圓了吧? 這樣夾角會剛好等於180度，而不是小於阿?

[@sagaking9736]

两鸭夹角等于一个具体角度的概率等于0

[@helenaxu8716]

说实话，刚看到题的时候没啥思路，多谢老师提供这么好的思路，关于思考题，theta 小于180度的情况没啥好说，继续沿用老师的思路可以得到答案：[（theta/360）^(n-1)] * n . theta 大于180度的情况有点复杂，有可能出现两只鸭子同时成为鸭王的情况，比如theta=190度，而鸭子有两只非常接近12点，两只非常接近6点，那某只鸭子和它对面的鸭子都有可能同时成为鸭王，这样的话P(鸭王）=P(A)+P(B)+P(C)+P(D) 将无法成立，而是变成非常复杂的公式。所以也许需要想别的方法来做，目前我想到的（不知道对不对）是分为多种情况： 1 n只鸭子在同一个半圆内 2 n-1只鸭子在同一个半圆内，另一只在剩余的theta-180度里面 3 n-2只鸭子在同一个半圆内，另外两只在剩余的theta-180度里面 。。。 n+1 n只鸭子全都在theta-180度里面 然后把所有这些情况的概率加在一起。目测算起来有点复杂，貌似要用到i*q^i 的求和公式（i是变量）。有时间我会继续算的。。。

[@yasokallen2840]

有没有考虑过大于180°的情况（比如300°）和小于180°的情况（比如60°）是等价的

[@bobjiang82]

@@yasokallen2840 不是等价的

[@bobjiang82]

我用Monte Carlo模拟出来theta

[@bobjiang82]

theta>180的时候模拟出来的概率比公式[(theta/360)^(n-1)] * n算出来的略小一些

[@no.1sweetie956]

终于找到发答案的了，和你得的一样，但是老师一句不是那么简单让我有点慌。。想知道正确答案

[@linxinran401]

空水池 扔1只，鸭子与圆心连线，假设分割为左半圆和右半圆 扔第2只，一定落入其中之一，假设落入右半圆，所以是100%， 扔第3只，第四只，共有四种情况，左左，左右，右左，右右。所以其概率为1/4 以2号鸭子与圆心连线分割半圆，1号一定落入其中一个 然后检查3，4号位置，又是1/4 所以总概率1/2

[@ikidyou]

其实很简单， 前两只鸭子不算（因为它们必在同一个半圆里） 后两只鸭子有1/4机会同时在任意半圆里， 所以是1/2

[@choacre5376]

想问下怎么从1/4 得到1/2的。我理解的1/4是因为第三个和第四个都在前两个鸭子那一半的概率是1/2*1/2=14。那为什么答案不直接是1/4，而是1/2呢？😅

[@yuanwu7368]

但是后两只鸭子在任意半园内不一定在前两个鸭子之间（前两只鸭子不一定连线为直径）。所以这种解释不是很清楚。

[@jvavandpysion]

@@choacre5376 假设两个半圆为a b，3号鸭在a那么4号也在a为50%;3号在b,4号也在b为50%不就是1/2*1/2+1/2*1/2

[@suqian8307]

@@choacre5376 我也是你这么理解的

[@choacre5376]

@@jvavandpysion 啊 感谢感谢🙏 前两只鸭子即有可能在a，也有可能在b，大意了大意了

[@tango200]

如果考虑一下圆的半径和鸭子的体型，答案几乎可以从 0 到 100 里面变来变去

[@bohe541]

0到50，因为体型越大概率越小

[@peasant12345]

李老师是学院派 还有意识派的解法，3blue1brown的The hardest problem on the hardest test 这题解法可以搬过来，先画三条过圆心的直径，对径点2选1 共有8种选法，再画上第4个点，第4个点跟选出来的3个点有4种可能在同个半圆，4/8=0.5

[@breakthefuckingwall]

学习了

[@shklyk]

第4點為何有4種可能

[@elonganq8109]

题目是鸭子，不是点，是鸭子那就得考虑鸭子的体积和池塘的面积，虽然我不会，但是可以肯定这道题的答案一定是带有池塘和鸭子的占地面积比例的函数的变量，而不会是一个常量，不知道我说得对不对…

[@j6s932842u4]

我的第一步和李老師一樣把鴨子投影到環上成為4個點，不過之後出了問題。 我先定任意點為A，以A與圓心連線可分圓為左右兩半，在定任意點為B ，C和D與B正好在同一半邊的機會是1/2*1/2=1/4 不知哪裡錯了導致結果不對

[@うふふふ-b7o]

我也是这样子想的，但是这样子就相当于预设了A一定是鸭王，所以算出来不对。比如说A是基准，B在A的右边不远处，CD在左右两边紧挨着A，这种情况下也符合小于半圆，但是不符合你预设的这个

[@張廷宇-b5x]

原來！ 我原本也是這樣想的，謝謝解惑！

[@pythonsun996]

李老师，我感觉其实这个问题向上可以延伸为：一个三维球面，四个鸭子在同一个半球的概率，因为鸭子都在同一个半圆其实就是鸭子在同一个半球这一情况在二维平面上的投影。同时，可以向下延伸为把这个圆周拉成一个线段，求四个点都落在这个线段的50%范围内的概率，这就变成了一个一维的问题。本质上是一个数据降维再求解的过程（三维到二维再到一维，同时可以无限向上扩展四维五维等等），不知道我这样理解的对不对。

[@megasun]

不行啊你这么考虑，这题之所以能让硕士生打起来就是因为圆是前后连续的，圆本身没有分界左边还是右边。扩展成球的话，假设四只鸭子都在球的后侧半球，把球往前投影成圆，那四只鸭子可以在圆的任何位置，不属于同一半圆，但属于同一半球（后半球）。同理本题投影成一维不可以用线段，必须是两端连续的圆周线

[@pythonsun996]

@@megasun 我理解的你的意思，抱歉我没说清楚，我这样理解的前提就是有一个锚定，李老师视频里也提到了，对于球体来说，我们可以随机选一只鸭子放在当前参考系下球体的最左侧，再去算其他的鸭子。 同理，对于线段来说，随机选取一个鸭子作为当前参考系下，线段左边的端点，再去计算其他的位置。

[@tinglin6121]

​@@pythonsun996 問題是要怎麼選投射面，一個鴨王對應著無數個投射面。還有一個問題，均勻分佈在圓周上的點，對應的投射線段的分佈並不均勻，跟伯特蘭悖論相關，所謂的Haar measure。 這道2維題只是剛好有簡單解而已，隨便換一下就到研究生的水平了。

[@pythonsun996]

@@tinglin6121 “一個鴨王對應著無數個投射面”， 是的。我举个例子，如果是一个半径为1的球体，我们把它的圆心放在（0,0,0），随机选取一个鸭子，将他的坐标定为(-1,0,0)(注：分别对应x,y,z),在这种情况下，纵使这个球体可以绕x轴任意旋转，但是对于这四个鸭子，只要任一鸭子满足当它是鸭王时，存在任和2维投影使得四只鸭子在该投影上的位置都在一个半圆里，我们就可以说，这四个鸭子在同一半球。 “均勻分佈在圓周上的點，對應的投射線段的分佈並不均勻”，关于这个问题，我是这样想的，投影的时候我们是否可以直接丢弃Y轴坐标（假设在当前坐标系中Y轴是纵深的那条轴），选择鸭子x轴z轴的坐标作为2维直角坐标系中X和y轴的坐标。【因为我们可以把它看作是冗余信息，比如这个鸭子在左半球的前面还是后面对于我判断鸭子是不是在左半球没有意义。】 我对几何概率并不是非常熟悉，如果有不对的地方欢迎批评。

[@tinglin6121]

@@pythonsun996 “存在任和2维投影使得四只鸭子在该投影上的位置都在一个半圆里” 難的就找這個的概率，而且應該是等價於問題本身“存在任和平面使得四只鸭子都在平面的同一邊”。 “投影的时候我们是否可以直接丢弃Y轴坐标” 可惜不可以，分佈會變。舉一個二維的例子，比如有一個均勻分佈在“凸”上的面積裡。你把這個概率投射到低面上，得到的分佈有1/2的機率集中在中間1/3的線段上，並不均勻。

[@飛鴻雪泥-u8y]

李老師太高明了，好了下面開放留言打架。

[@wumitiyo9754]

这个是不是忽略掉了四只鸭子都在同一个半径上，或者同一个点上的情况

[@王小明-o9u]

視頻一開始中間的圖，四隻鴨在同半邊是正確的，但與後面推導不符。因爲推導機率產生在圓弧上而非圓弧內，即水池邊。

[@王小明-o9u]

不過，機率P(n)的算法是對的。P(n)=nP(i)= (1/2)^n * n * 2，所有單獨個體正反兩方展開n次，n個個體要✖️n，並且✖️2 代表正反兩邊。

[@ibn5100_sg]

這好像跟常態分佈不一樣？ 平均分佈不是應該機率最大嗎？都在同一邊是1/2，不就表示平均分佈要跟3隻在同一邊共享1/2的機率？

[@jianpingxia8425]

先考虑两只鸭子情况，任何时刻，两只鸭子肯定同半圆，剩余两只鸭子的分布，只有三种情况，其中只有一种情况与前面两只鸭子同半圆，所以概率是三分之一。请教老师，问题出在那？若考虑鸭子在分界线上，情况又如何？

[@yiweihu6463]

李老师可不可以讲一下如果考虑鸭子体积的情况呢？例如池子半径为r，鸭子简化成半径为r/10的圆形。

[@剖忒透]

两个半圆能放下的鸭子数量是相等的，仍然是二分之一

[@NoobMan829]

如果鸭子体积不能忽略，那肯定还要考虑鸭子形状，要看怎么对鸭子形状进行建模了

[@棠-n6s]

我想了半天，才發現真的被坑了.... 先理解一個道理：「兩隻鴨子位於同一半圓的機率為100%」 要挑戰這句話，得想辦法讓鴨子離的最遠，也就是剛好差180度， 只有在此情況下，有機會爭論他們不在一個半圓中，但這剛好為180度的機率也可視為零了。 同理，「三隻鴨子位於一個240度扇形的機率為100%」 你依然可以隨便畫，盡可能讓鴨子分開的畫法為三隻鴨子各自間隔為120度， 然後你開始移動其中的鴨子，試圖將其中一隻鴨子逃離240度的範圍， 卻發現沒有辦法，因為逃離一邊的扇形後馬上落入另一邊的扇形... 同理，「四隻鴨子位於一個270度扇形的機率為100%」 盡可能讓鴨子分開的畫法為四隻鴨子各自間隔為90度， 然後你開始移動其中的鴨子，試圖將其中一隻鴨子逃離270度的範圍， 卻發現沒有辦法，因為逃離一邊的扇形後馬上落入另一邊的扇形。 以上有誤請指正，我也蠻好奇這個理論叫什麼呢？ 至於180度以下的問題，用theta/180取代影片中的1/2應該就可以了。

[@tinglin6121]

這是鴿籠原理的一種變形。個視頻中的題目其實不太一樣。

[@xiangjason3930]

但是这个题目坑在θ的取值范围跟n有关，n越大θ才能越大，θ≤（1-1/n）*2π，θ比这个大概率就是1了

[@m-Laplace]

把鸭子换成点，点与线均无面积。 我的想法：四点在圆内，一定有最少三点在同一半圆。定了半圆的位置，第四点落在其上的概率P=0.5. 若要问第三个点不一定与第一第二点在同半圆，只要想象第三与第四个点互换就可以。所以我的答案 p = 0.5

[@mazarineyang2335]

这个好，我觉得比李永乐老师的讲解方式更容易理解👍

[@壓力]

如何說明4點中必有3點在同半圓呢？

[@m-Laplace]

有四点ABCD，两个点一定在同一半圆内（假设是A 和 B）。若第三点C不在此半圆内，则C和D一定要与D和A或B其中一点在同一半圆内。同理对D也一样。极端情况4个点在其与圆心的连线上，四线互相垂直，推断也合用。所以说：四点在圆内，一定有最少三点在同一半圆

[@壓力]

@@m-Laplace 其實有點看不懂所以不確定你的意思（‘’C和D一定要與D和A或B其中一點在同一半圓‘’我理解成C一定要與D、A、B其中一點在同一半圓‘’），但是任兩點處在的半圓是不同的半圓，所以應該沒甚麼機會從這個性質出發推到三個以上的點會在同半圓 可能我理解有誤，要再麻煩你說明一下🙏

[@壓力]

@@m-Laplace 我好像懂了！你的意思是不是這樣：跟A,B不同半圓，代表要在AB劣弧對面的弧當中，然後C,D其實會跟A同半圓，也跟B同半圓

[@zepzou4972]

把4只鸭子看做4个点，随机散落在一个圆里，当只有两只的时候假设为a,b。那么过圆心o一定可以做一条平行于ab的直线，这样ab就一定落在一个半圆以内。现在往圆里加第3只鸭c，当鸭子在ab一侧时3只鸭子在一个半圆，在另一侧时不在一个半圆。这时第3只鸭子在ab一侧的概率等于 S半圆/S圆 = 1/2。第4只鸭子只有在abc在同侧时，自己也在同侧：1/2*1/2 = 1/4。所以概率是1/4.我这个解答和老师的不一样，不知道问题在哪里。

[@ekinwang64]

这种问题只能统计不能计算，如果你养过鸭子那么你大概可以知道如果池塘直径大于20米，那么四个鸭子在同一个半圆里的概率大过90%，因为鸭子喜欢群体活动

[@fuzong1069]

那就改题设：鸭子是绑起来扔进去的，扔的时候是从池子中心随机方向扔、并确保扔进池子里的

[@Jimmylai-q2p]

你這樣根本就是沒搞懂題目想問什麼，已經說是隨機分佈了。是什麼動物根本就不重要，甚至當作沒有體積了，怎麼會管他們群體活動。

[@zanezang3576]

@@Jimmylai-q2p 是干冷幽默而已啦！

[@Jimmylai-q2p]

@@zanezang3576 那抱歉了，是我沒幽默感😂，有些人知道會抓不到重點，我不是樓主是哪一個

[@billtroy8091]

玩具鸭子，随机扔

[@John0629]

如果两个点的夹角等于180度 那也可以算是同一个半圆吗？

[@jacxwang561]

樣本空間應該不是角度吧。

[@oliver6223]

鸭子每天都坚持游泳，一天一千米

[@Sixeyesflyfish]

能扛200斤的粮食不？

[@EmperorPooh]

鸭子掀翻小池塘

[@uwu-vl2px]

巋然不動的鴨子

[@壓力]

小心被拉清單呀，都得應驗

[@maomaoya]

@@Sixeyesflyfish 别看你今天闹得欢，小心啊____

[@zol563]

我想的很简单… 四个点在一个半圆里的概率，假设分布完全随机，概率就是1/2

[@rancheng7262]

您好！請問：如果把鴨子換成全同粒子(identical particles)，挑不出“鴨王”，答案有變化嗎？量子全同性原理在該問題中很重要嗎？

[@oezrealo6145]

這題在即使不選出鴨王的情況也可以得出相同的答案 選出鴨王只是一種算法 而在古典系統裡 所有物體都是可區分的 沒有量子全同性的問題 即使是四隻長一樣的鴨子 但如果你是換成全同粒子 那就是另一回事了 以上是我自己的理解 學藝不精請多包涵

[@car-pet0o0]

也就是說，如果我找四萬隻鴨子和一萬個水池，長時間觀測20年，看平均鴨子在同一個半圓內待的時間佔總時間的百分比，應該會是1/2左右嗎？

[@deskeyi]

這題我對過程有點疑慮，A是鴨王的概率是1/4啊，分類討論要加上本身的概率吧，就是1/4*1/2*1/2*1/2，四個這樣的和

[@chahsuping2692]

这不是分类讨论，你可以当作初始条件是“a在任意一点、排名任意一位”，而不是“a在第一位”

[@lunucall]

鴨子也有半徑啊 還有碰撞體積 鴨邊過線就不行啊 模型過簡單啊

[@nywiigshachristian8922]

4:17 我觉得这里有问题，因为即使D在左上方，四个点依然可能在同一个半圆里，比如BC两点和A点无限接近的情况

[@leonfu3883]

你这种情况则归入D是鸭王了

[@demiluneable]

这里看的是不同鸭子做鸭王时是否有重合事件，半圆时事件重合是头鸭尾鸭180度，其他两个中间鸭子无限接近于头鸭和尾鸭，也就是四个鸭子聚成两堆，此时头尾鸭可对调，但因为连续型随机变量等于某点概率为零，所以这种重合事件不影响概率计算，结果还是2n/(2^n). 非零概率重合事件影响的是关于大于180度角时计算不能用加总（因为加总只用于计算互斥事件的发生概率和）, 也就是说角度为x时, 用x*[(x/360)^(n-1)]，就像两只鸭子，270度角时，x=270,n=2, 此时要错误用概率加总算出来是1.5>1,不对的；

[@demiluneable]

可以考虑下鸭子聚成两堆（假设每堆内部最大角度为10度） 这两堆夹角成180度，此时计算n（n>2）鸭子成x (x>180) 概率，这样不同头鸭就是非互斥事件了，且重合概率不为零，所以不能简单概率加总了

[@wenhanzhou5826]

假设这个圆可以分成左右两边，我们来列出所有的可能出现的情况： 一种可能全在右边 四种可能一只在右三只在左 六种可能两只在右两只在左 四种可能三只在右一只在左 一种可能全在右边 也就是说总共有1＋4＋6＋4＋1＝16个可能性，我们在意的情况会发生两次。也就是说概率是 P = 2/16 = 1/8

[@Xnm_ex]

那简化成2只鸭子 一种可能全在右边 两种可能一只在右一只在左 一种可能全在左边 那两只鸭子同半圆的概率是1/2 实际上是正确概率的是100%（鸭子视为点）

[@黃浩軒-k5b]

這樣算不行的理由是圓的切法不是固定的 一右三左可能因為切法的改變導致它變成二右二左 同理也可能變成全在右邊 所以會少算。

[@alanyuan1049]

半圆的概率不是50%吗？.5x.5.x.5x.5=.0625=6.25%=1/16 这里的概率是指Probability？还是我的理解有问题？李老师所谓的概率是二分之一是Binomial distribution? 一共就四只鸭子? 圈有多大？实验的跨度多长？次数？ 如果只有四只鸭子在一个‘’普通‘’圆形泳池内那答案是1，一定的1. 有百分之一百的概率‘’会‘’同半圆。如果实验进行一小时，有多少分钟同半圈多少分钟非同半圆那就有很多因素了。如果池子够大很可能会一直同半圆。在各种因素都不明朗的情况下总结一下，圆越大=概率就越大。

[@eric880000]

當射飛鏢來想就好了 第一，第二射了肯定在同一半球，其實第三也會是，最極限的情形前三隻鏢形成一半圓，所以第四隻鏢射進的機率就50%，想的通，10秒就解出來了

[@朱颜-j3r]

圆的内接三角形的三个顶点会是在一个半圆内么？

[@溫文爾雅-q3f]

第三支鏢有25%的概率，讓全部三支鏢怎麼畫都不在圓靶的半圓內

[@zclforever]

按这个方法想，第三只镖就是100%了，显然有可能不是的呀

[@badgood2585]

其实有更简单方法，易证四只鸭子中必有三只在同一半圆，过这三只鸭子中边上那一只做直径，则第四只鸭子有1/2概率和这三只鸭子在同一半圆

[@kivgrzhprzaqhrcjkuvgcev7036]

四只鸭子在同一个半圆里的概率等于1-四只鸭子在两个不同半圆里的概率。四只鸭子不在同一个半圆里，有两种情况，一边一个和两边各两个。一边一个的概率是四分之一，两边各两个的概率是四分之一。（把水池分成两半，假设在另一半水池里的鸭子假定为黑色的鸭子）因此，四只鸭子在同一个半圆里的概率是1-1/4-1/4=1/2

[@kivgrzhprzaqhrcjkuvgcev7036]

这个题目实际上可以转换成四个球放进两个抽屉，其中一个抽屉是空的概率是多少？

[@bubaidongfang1828]

朴素想法，就是50%，如果是8只鸭子分布，就是各4只鸭子50%，应该有更深的数学归纳法可以证明，可惜我不会😀

[@walex2285]

李永乐老师，什么时候能给我们系统讲讲微积分？🙏

[@hello_man_8]

讲一下离散数学，那真是天书🤣

[@扒垃圾桶小魔仙]

@@hello_man_8 数论更是

[@xiangjason3930]

这个题目坑在θ的取值范围跟n有关，n越大θ才能取的越大，θ≤（1-1/n）*2π，θ比这个小，概率就是按照老师的算法；θ比这个大，概率就是1了。

[@alexliu8003]

我想问问，按照初中的数学知识，这道题怎么做。。。。

[@华工-e2x]

我对李老师的算法有点疑问，这里没有考虑鸭子所占的平面面积以及水池半径对这个问题的影响吧？鸭子的拥挤程度没有影响吗？所以当鸭子的面积非常小可以看成是一个点时这个算法才是正确的！我的想法不知有问题吗？

[@城主-e6z]

这是数学题，你算抛硬币概率会考虑人民币美元还是游戏币吗？会考虑起扔角度用力以及地面平整度吗？

[@华工-e2x]

@@城主-e6z 谢谢您的回复！但没有解决我的疑问！您举例中所涉及的因素对最终的概率没有影响，但如果不说明鸭子的大小相对于水池的大小来说微不足道可以看成一个点，实际上对这个题目的解是有影响的！

[@折木-n8s]

題目就像是在問如何把大象放進冰箱一樣

[@全周-h3s]

用直线平分半圆，全部在其中一边的概率是6.25%，在另一边的概率是6.25%，所以答案是12.5%

[@liyang1089]

答案0.5

[@藍暗黑]

按題目的描述 是先扔鴨子，再畫線

[@tinglin6121]

那個270度的變形我想不通: n*(3/4)^n 在 n < 8 的情況下都是大於一的。只有4個點還好說，5-7個點不知道如何解釋。

[@Core_F]

θ>π时候鸭头不一定是唯一的，不能用这个方法算，用蒙特卡洛模拟应该可以估算

[@erictseng6196]

鴨子：人類，別為我打架！😅🤣😂

[@qingfenggao5628]

李老师，可不可以考虑不管ABCD,只考虑第一只鸭子和最后一只鸭子，他俩的最大夹角是180度，然后中间的两只鸭子至少有一只落在第一只和最后一只的半圆里，最后一只鸭子落在这个半圆里的概率是50%.但是这里有一个问题是假设第一只鸭子和与第一只鸭子夹角最大的鸭子的夹角是180度

[@91luxun]

很好理解

[@justinchang5238]

不就1/2的四次方，和丟四個硬幣同樣都是反面或正面不是一樣的意思嗎，為什麼搞那麼複雜

[@dongye928]

应该讲一下独立性和互斥性：A当了鸭王，其他的必然当不了鸭王。因为肯定超过180度。半圆改成3/5圆就难了。

[@dongye928]

哈哈不能超过180度，超过180度就难了。

[@YuBeL667]

五分之三圆我暴算了一下 答案是 0.816

[@forresttan3091]

我觉得硕士吵架的没有错啊。老师是不是把这个问题太理想化和简单化了？不知道鸭子和池子的尺寸，这个题没法算啊。

[@三氧化钛]

如果有一个鸭子在圆心，怎么处理？

[@fredafay4068]

但是比如A当鸭王的时候D是鸭尾，这种情况其实和D当鸭王A当鸭尾的时候位置是一样的，感觉有重复计算的嫌疑。

[@HumminbirdMoth]

鴨子喜歡群聚！！所以90%的時間會在可以任畫的半圓形內！！

[@riker729]

同一群小鴨的話, 是99%

[@SC-fe6ld]

可是夾角180時鴨子一半身體不在半圓裡...🤔

[@jaycek556]

豆瓣里《一的法则》是本邪教书吗？ 李老师好！

[@sweetyandy6497]

这个题目我在抖音上看到另一种解法，光解法的我看了两个小时，我想找大学退学费可以不

[@xywang1030]

应该转化为以两个最远的点作为分界线，求另外两点在同一边的概率。这个概率是00，01，10，11，即50%。 这个问题即可转化成一条小于圆直径的直线完全落在圆面内的概率，如果圆的直径既定，就是从0到圆直径的直线，完全落在圆面内的概率，从0到圆直径的积分。

[@congwang6228]

你这个转化不对，你这相当于强制AD在一条直线上，那么BC概率对等。 但你忽略了，若AD不在一条直线的情况，因为这个情况下，B单就掉入较小区域和掉入较大区域的概率是不一样的！ 你这个转化狭隘了

[@xywang1030]

@@congwang6228 AD是最长的线，BC就一定在AD线的两侧，所以这个转化是成立的。既然BC两点在同一侧概率是50-50，那么就不用考虑这两点的概率，而是考虑任意距离不大于直径的两点，如果有一点落在圆内，另外一点也落在圆内的概率，也就是一条小于直径的直线完全落在圆内的概率。

[@mikeroger7614]

这个题明显做错了：n=2的时候按照李老师的公式算为100%！那两只鸭子一边一个的概率去哪里了？我觉得4只鸭子的时候概率应该是1/8

[@moneymarking888]

5:30為什麼是2分之1 的3次方呢？ 不太明白

[@user-uz5ll8zh1x]

bcd分别有1/2概率在a身后半圆内，要都满足所以就要三个相乘

[@bulebill6992]

問題來了鴨子在圓心的話這個解法不攻自破 題目中鴨子有可能出現在圓心 這個參數沒有討論到

[@xiaomi318]

4个硬币 都是正面的概率是多大？ (1 + 1 + 1 + 1) / (2+ 2 + 2 + 2) = 50%

[@techguy6565]

如果要把角度納入數式，會是N*(angle/360)^(N-1)嗎？不知道有沒有掉坑

[@fuzong1069]

不对。180度的情况下，A是鸭王跟A是鸭尾等价的，其他情况不等价。

[@jiangvictor8643]

假如angle是360，答案应该是1，这个算出来大于1了。大于180时，可能存在多个鸭头

[@techguy6565]

@@jiangvictor8643 你對，我竟然沒注意這個缺陷

[@黃羽慈-s6x]

老師我用機率密度跟二重積分算了一個小時😑，結果那麼簡單😅，雖然有算對啦。

[@高辰-g4n]

我是按面积看概率，池子一分为二，另外三只鸭子bcd跟在鸭子a同一个半圆里的概率是1/2的三次方1/8，然后有四只鸭子*4，=1/2🙃，简单点思考的方式简单点，如果我的思路是对的话

[@yifanwang2234]

哈哈哈哈哈这个题昨晚上我睡觉之前看见的，在脑子里想着睡不着，我想着是用分扇区的方式也就是老师说的夹角，用积分的方式计算0.0有没有这种思路的解法啊。

[@FoonWong]

只有兩種情況： 1、4鴨在同半池 2、4鴨不在同半池 所以4鴨在同半池的概率是1/2

[@zivc6547]

這題排除了鴨子的習性嗎？

[@jasbergdious3974]

不都是n*（θ/2π）^n-1，有什么区别吗？

[@优冠牛奶]

我的思维是这样的 其实只有3个点定义半圆 剩下那个点在半圆内还是半圆外 二分之一

[@homankwok4989]

李老师！有个问题想请教你！我果发现了新定律，会不会以自己名字命名，算不算是科学家😅

[@carlkohweihao9584]

咦，不是八分之一嗎？可能我對這個問題有不同的了解，所以我想問一下：圓形直徑是隨意畫的嗎？還是全部鴨子在少於180度的範圍內就已算在同一個半圓內？ 比如說，如果n等於二，那麼以您用的方程式，可以推算出其概率是一。但是，我也可以畫一條直徑分割兩隻鴨子，那麼每一個半圓裡就各有一隻了。那概率怎可能是一呢？

[@嘿嘿-z7y]

題目應該是說 存不存在一條直線可以讓全部鴨子都在同一個半圓

[@carlkohweihao9584]

@@嘿嘿-z7y 原來如此，那我懂了

[@lorenhui]

真奇怪。請問我的想法有問題嗎？ 首先，把圓分為「左半圓」及「右半圓」。 然後，第一隻鴨出現在左半圓的機率為1/2，然後第二隻鴨也同樣在左半圓的機率便是1/2x1/2，然後.....第四隻鴨也同樣在左半圓的機率便是1/2x1/2x1/2x1/2 = 1/16 再考慮，如果是右半圓的情況。用上述同樣的推理，便可知4鴨同在右半圓的機率也是1/16 於是，4鴨同在左半圓或同在右半圓的機率，便是1/8。所以整個答案是1/8

[@martinma2594]

那万一是四点共上半圆、下半圆、或者一大堆斜半圆呢

[@yichuanfeng985]

李永乐老师 我喜欢喝冰的可乐并且尝试一次性把一整箱都放在冰箱里。我的理解是冰箱只需要消耗第一次给可乐制冷的能量，而后不会因为有更多可乐在冰箱而消耗更多的能量，也就不会更费电。我没有办法因为这个问题和家里人达成共识。假设我们有足够大的冰箱，一次性冰多瓶可乐费电 还是 分次放入少量可乐费电？ 请老师帮忙解答。

[@壓力]

冰進去的東西一樣，冰箱開越多次越耗電。畢竟可樂不是會積極放熱的東西，不太會讓冰箱壓縮機激烈變頻，但是冰箱一打開就進去一堆熱空氣，冰箱就痛苦了，分次放又要進去更多熱量

[@terry1708]

冰箱越满相对越省电，因为你单次打开冰箱失去的冷量相对于冰箱蓄存的冷量越小，温度改变就越小，冰箱需要重启的次数越少。变频冰箱可能相对影响小，只是一般额定功率下，效率比较高。也就是你整箱可乐放进去的情况下，冰箱压缩机要开的时间长一些。 假设冰箱内部温度恒定，那么关闭的冰箱散失的热量和内部存货没有关系，只和箱体散热有关。

[@shiending7828]

想李老师讲一下圆形变成球面的解答

[@MFW5]

不是應該50%減去有鴨子喜歡待在直徑線上的機率？🤔

[@qintenson1280]

可以试试实际观察一天鸭子，我认为在同一边的概率1/4都没有

[@centtune5010]

我要当鸭王(? 考虑一下，能不能直接把概率1/2替换成角度制的θ/360

[@fyching2601]

李老师好，请问可不可以讲解染色体步移技术？

[@qingyipeng3122]

老师请问为什么可以映射到圆周上

[@edwardlu1143]

既然知道有鴨王，那麽 四隻公鴨的話，會散在四個角落 三公一母的話，有二隻公的會被趕走 二公二母的話，會分成二組在水池的二邊 一公三母的話，公的會累死 這是生物學，不是數學