Satz von Bayes - Baumdiagramm invertieren - A posteriori Wahrscheinlichkeiten - Wissen

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Manche statistischen Fragestellungen sind so formuliert, dass du sie a priori (lat.: im Vorhinein) nicht oder nur schätzungsweise beantworten kannst. Das Ziel des Satzes von Bayes ist es, die gegebenen Informationen zum Sachverhalt zu nutzen, um an die a posteriori Wahrscheinlichkeiten zur korrekten Beantwortung der Fragestel-lung zu gelangen. Man erhält die a posteriori Wahrscheinlichkeiten zu einer Prob-lemstellung, indem man die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Pfades durch die totale Wahrscheinlichkeit des Hauptphänomens teilt:
Ein Produzent von Glühbirnen produziert 30 % der Birnen in Halle A und den Rest in Halle B. Insgesamt werden 96 % funktionierende Glühbirnen ausgeliefert, wobei die Produktionshalle A auf eine Quote an funktionierenden Endprodukten von 90 % kommt. Heute entnimmt der Chef zufällig eine Glühbirne aus dem Lager für Fertig-erzeugnisse. Es stellt sich heraus, dass diese defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlich-keit kommt sie aus Halle A?
A = Produktionshalle A; F = Birne funktionstüchtig; P(A)=0,3; P(F)=0,96
Die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(F) nennt man ‚totale Wahrscheinlichkeiten‘.
Trainer: „Hier ist 0,75 die a posteriori Wahrscheinlichkeit für Glühbirne aus Halle A, wenn ich weiß, dass die Glühbirne defekt ist. Die Wahrscheinlichkeiten, die man den Ergebnissen am Anfang zuordnet nennt man a priori-Wahrscheinlichkeiten.“
1. Von einem Schwangerschaftstest weiß man aufgrund statistischer Daten, dass damit 95% der Schwangeren und 90% der Nichtschwangeren richtig angezeigt wer-den. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Frau ab 30 schwanger ist, beträgt p = 0,08. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass eine als ‚nicht schwanger‘ ge-testete Frau auch wirklich nicht schwanger ist.
2. Zwei Personen schreiben ihre Ergebnisse für Zufallsversuche auf. Die erste Per-son wirft sechsmal eine Münze und notiert wie häufig ‚Kopf‘ realisiert wird. Die an-dere Person würfelt mit einem fairen Würfel und notiert die Augenzahlen. Beide führen die Versuche dreimal durch. Hinterher findet jemand einen Zettel. Ist es wahrscheinlicher, dass dieser zum Münz- oder zum Würfelexperiment gehört?
3. Dein Vater fährt an einem Arbeitstag in der Woche mit dem Auto zur Arbeit. An allen anderen Tagen nimmt er die Bahn. Wenn er die Bahn nimmt, kommt er in 80% der Fälle pünktlich an. Durchschnittlich erreicht er zu 72% pünktlich das Büro. Heute ist er pünktlich zur Arbeit erschienen. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass er mit der Bahn unterwegs war.
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