Schnittfläche zweier Kreise

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Mathegym

Күн бұрын

Пікірлер: 20

@frankreinecke4090 8 ай бұрын

sehr interessant, danke!

@DrFritz-ng6hs 5 ай бұрын

Der glückliche Bauer mit der Runden Wiese, sein Nachbar hat nur die Ecken 😭

@derwolf7810 7 ай бұрын

Alternativ kann man auch einen Kreis mit Radius r in gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge r und entsprechende Kreisabschnitte mit Sehnenlänge r zerlegen. wäre die Schnittfläche exakt 25% müsste gelten: A_kreis = 6 A_dreieck + 6 A_kreisabschnitt A_schnittfläche = 2 A_dreieck + 4 A_kreisabschnitt = 2/3 A_kreis - 2 A_dreieck A = 2 A_kreis - A_schnitt = 4/3 A_kreis + 2 A_dreieck A_schnittfläche/A = 0.25 A_schnittfläche = A 4 (2/3 A_kreis - 2 A_dreieck) = 4/3 A_kreis + 2 A_dreieck 8 A_kreis - 24 A_dreieck = 4 A_kreis + 6 A_dreieck 4 A_kreis = 30 A_dreieck A_kreis = 7.5 A_dreieck Wäre das korrekt, dann würden wir kein eigenes Symbol für PI benutzen, sondern... PI r^2 = 7.5 sqrt(3)/4 r^2 PI = sqrt(675/64) Aber leider gilt PI = 3,14159... < 3,16 = sqrt(9,9856) < sqrt(10) < sqrt(675/64)

@adrianlautenschlaeger8578 7 ай бұрын

Ohne das Video vorher gesehen zu haben: ich bin die Sache anders rangegangen, da ich auf Analysis fokusiert bin. Einen Halbkreis kann man mit der Funktion SQRT(1-x²) beschreiben. Die Stammfunktion herleiten wäre jetzt wohl etwas zuviel, dafür gibt es ja Tabellen im Netz. Auf Nachfrage zeige ich gerne den Rechenweg. Ich komme jedenfalls auf 1,228 FE, beide (Einheits-)Kreise haben als Gesamtfläche 2*pi*1²=6,283, die abgesteckte Fläche macht also nach meinen Berechnungen nicht 25% sondern nur 19,55 % der Gesamtfläche aus. EDIT: hab mich hier vertan bei der Gesamtfläche. Die ist ja der obere Teil des 1. Kreises + die Teilfläche in der Mitte + die untere Fläche des 2. Kreises. Da kommt man auf nicht Gesamtfläche 2pi sondern 2pi abzüglich der Schnittfläche. Die beträgt ungefähr 5,055. Und 1,228 dividert durch 5,055 macht 0,243 also 24,3 %

@herbertbader7558 7 ай бұрын

Eine nette Aufgabe für ein Referat bspw. in einem Leistungskurs wäre es, die Formel für die Fläche des Kreissegments analytisch zu berechnen. (1-x²)^½ nach dx zu integrieren ist mit variabler oberer Grenze nicht ganz trivial. Am besten wendet man das Verfahren der partiellen Integration an und bekommt zwei von x abhängige Terme, einen über ~arcsin(x) und einen über ~x, die addiert werden müssen. Dabei ergibt der erste Term die Fläche des Sektors, der zweite die Fläche des Dreiecks, das zur Fläche des Segments addiert werden muss. Insgesamt eine ganz wunderbare Illustration des Verfahrens "partielle Integration".

@juergenilse3259 7 ай бұрын

Ich betrachte erst einmal den Fall, dass beide Kreise den selben Radius r haben. Wenn ich ich nicht verechnet habe, ist die Schnittflaeche (2*pi/3-sqrt(3)/2)*r^2 und die Gesamtflaeche betraegt 2*pi*r^2 abzueglich der Schnittfllaeche, also (2*pi--(2*pi/3-sqrt(3)/2))*r^2=(4/3*pi+sqrt(3)/2)*r^2. Die Schnittflaeche habe ich wie folgt berechnet: Verbindet man die Kreismitttellpunte untereinander und jeweils mit den beiden Schnittpunkten der Kreise, erhaet man 2 gleichseitige Dreiece mit Seitenlaenge r. Daraus ergibt sich, dass der zentriwinkel ueber dem Kreisbogen 120° ist. Die Flaeche des Kreissegments ("Tortenstuecks") ist ein Drittel der Kreisflaeche Die Schnittfaeche ist gleich der doppelten Differenz von Kreissegment und einem der gleichseitigen Dreiecke.. Daraus ergeben sich dann obenstehhende Werte. Das Verhaettnis von Schnittflaeche zu Gesamtflaeche ist in diesemFall demnach *nicht* 1/4. Ich halte es nicht fuer ziefuehrend,sich hier auf den Taschenrechner (der bei nicht rationalen Zahlen immer zu Rundungsfehern fuehrt) zu verwenden. Ich dene,man sollllte die Ungleichheit anders begruenden, bin mir aber jetzt nicht sicher, ob eine solche Begruendung nicht evt. ueber das Schulwissen hinaus geht. Ich bin jetzt zu faul, um mir zu ueberlegen, wie man das Verhaeltnis der Kreisradien waehlen muesste (bzw. ob es sich so waehlen laesst), damit die Schnittflaeche wirklich 25% der Gesamtflaeche ist (obwohlin diesemmFall ja nicht beide Kreismittelpunkte jeweils auf der Kreislinie des anderen Kreises lliegen koennen). Ich halte meine Ueberlegung mit den gleichseitigen Dreiecken fuer einfacher, um die Flaeche des Dreiecks zu bestimmen, aber das ist wohl Geschmacksache (dann wuerde man aber den Pythagoras nicht mehr benoetigen: das Verhaeltnis von Hoehe zu Grundseite im gleichseitigen Dreieck ist ja sin(60°)=sqrt(3)/2).

@adrianlautenschlaeger8578 7 ай бұрын

Das verstehe ich nicht. Wieso muss man die Fläche von diesem Dreieck abziehen? Was hat das mit dem Kreissegment zu tun?!

@dennisliebig7622 24 күн бұрын

Wurde auch zu knapp(/gar nicht ) erklärt ( im Video ) bzw. man könnte mit Schraffierung oder/und Farben vereinfachen/ergaenzen: man denke sich einen Kreis allein...und dann sowohl das Segment als auch das Abschneiden desjenigen Anteils dazu denken, der durch die Überdeckung mit dem zweiten Kreis zustande kommt. Im " Geiste " die zwei Kreise mal gegeneinander verschieben und an der Dreieckshypotenuse spiegeln...

@torstenbroeer1797 8 ай бұрын

Ich glaube, Du hast, wenn auch nur mit einem Satz, das Hauptproblem angesprochen: Das Bulimie - Lernen. Wenn die Schüler nicht begreifen, daß sie einen großen Teil des Unterrichtsstoffes später wieder brauchen werden, ihn ohne langes Grübeln parat haben müssen, dann werden sie immer Schwierigkeiten haben. In einem ganz anderen Video habe ich eine Aufgabe gesehen, mit einem Integral und Logarithmen, da wurde ausführlich die 3. Binomische Formel erklärt. Wenn so etwas nötig ist, na dann Gute Nacht!

@wolfgangwieser5911 6 ай бұрын

Also ich bin das Problem so angegangen: Es geht um das Verhältnis von den beiden Kreisteilen, wobei der Öffnungswinkel 120 Grad betragt… Dazu nutze ich die Tatsache, dass das Ganze symmetrisch zur x-Achse ist, also Winkel ist nun 60 Grad… Die Fläche ist dann 2*Integral (sqrt(1-x^2)) mit den Grenzen -1 bis cos (alpha) Ergibt die Stammfunktion sin(alpha)*cos(alpha) + Pi- alpha => cos(60) = 0,5 somit: sin(alpha) /2 + Pi- alpha Ab jetzt in Radiant, 60 Grad => alpha = Pi/3 Akreis = r^2*Pi, mit r=1 => Akreis = Pi Asegment = sin(alpha)/2 + Pi- Pi/3 = sin(alpha)/2 +2/3*Pi; Asektor = Akreis - Asegment = Pi - (sin(alpha) /2 + Pi- Pi/3) = Pi/3 - sin(alpha)/2 Asektor / Asegment = (Pi/3 - sin(alpha)/2) / (sin(alpha)/2 +2/3*Pi) = 0.2430097937 Stimmt 😁😁😁

@artex98 8 ай бұрын

Mir fehlt die Begründung, dass die Höhe des Dreiecks genau der halbe Radius ist, für mich ist das nicht offensichtlich.

@christinamekelburger7928 7 ай бұрын

Die Umfänge beider Kreise laufen jeweils durch den Mittelpunkt des anderen. Das bedeutet, dass die Kreise genau gleich groß sind. Nicht nur die beiden Radien sind gleich groß - auch die Schnittpunkte der Umfänge liegen genau symmetrisch zu der Verbindung der beiden Mittelpunkte. Darum muss die Verbindungslinie der Schnittpunkte die Verbindung der beiden Mittelpunkte genau halbieren. Und diese Verbindung der Mittelpunkte ist ja genau der Radius. Macht für die Höhe des Dreiecks genau 1/2 r.

@wizzszz 7 ай бұрын

@@oliverfiedler8502Dein Kommentar geht meilenweit am Problem vorbei: Zum einen brauchen wir hier die Höhe, die nur zufällig mit der Mittelsenkrechten zusammenfällt, da das Dreieck gleichseitig ist... Aber auch die Länge der Höhe ist nicht immer die Hälfte von... irgendwas.

@peterboy209 7 ай бұрын

Er sagte: die Kreissegmente sind kongruent, also identisch. Also sind die Segmenthöhen auch identisch.

@wizzszz 7 ай бұрын

@@oliverfiedler8502 Warum willst du unbedingt diskutieren wenn du nicht mal verstehst worum es geht? Und die Konstruktion einer Mittelsenkrechten erfordert das Halbieren der Strecke, was hier nicht mal erfolgt. Also liegt selbst dein hier völlig irrelevanter Kommentar meilenweit daneben.

@konni6694 7 ай бұрын

⁠⁠@@wizzszz Das geht gar nicht am Problem vorbei. Es ist bekannt, dass das Dreieck gleichschenklig ist und da gilt eben immer, dass Mittelsenkrechte und Höhe zusammenfallen, das ist absolut kein Zufall. Da du offensichtlich noch Probleme hast gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke zu unterscheiden, solltest du erst mal vor deiner eigenen Haustür kehren als hier so großmaulig aufzutreten.