自然数和偶数一样多？无穷大可以比大小吗？什么是希尔伯特旅店？康托尔的无穷大算术与希尔伯特的连续统假设

[@朴素-p9s]

胸真大，不愧是咪咪叔😂

[@陈伟-d7j]

无理数跟有理数谁更多 要是按下面的观点看可以是一样多的 每两个不同有理数中间都有无理数，每两个不同无理数中间都有有理数，也就是在数轴上是一样稠密的，按我们日常想法既然一样稠密的那就一样多才对

[@larryfang3376]

解釋的很好 謝謝

[@spacefreedom]

两个无限集合能够建立一一映射就认为数量相等? 是不是有问题？某一个平面上，一个边长为1的正方形，它的一条边的点和该正方形的点的数量一样多？虽然确实能够建立一一对应，但是这样反证：假设这条边的点和正方形的点一样多，那么向该平面随机投射小球（即每个点被击中的概率一样大），一条边和一个正方形被击中的概率就应该一样大，但是实际并不是这样。

[@liuneal6155]

Dan Freedom 无限就是这么有意思

[@aeoexe]

機率跟一一映射是兩回事,你在一點上算機率是算不了,要算機率密度的. 如果一點也能算機率,那假設子彈十分小,小到跟一個點沒差別,你要打中一個指定的某一個點不可能,所以機率0%,打中某十個點是不可能,也是機率0%,如果這樣說,那是不是打中正方形也是0%,當然不是,所以只能算機率密度,然後進行積分才有你要的機率. 機率密度是平均的,但是積分的範圍就不一樣,所以概率不一樣.這樣明白了嗎? 還有如果你說一一對應後積分不就一樣嗎?基本上會有一大堆微積分的原理會說這樣做跟你想的不一樣,這不在我的專業答不了,抱歉.

[@cindylu1414]

我的理解是这并不是相等，而是属于同样的无穷大数量等级

[@yutianzhang8827]

正如楼上各位所言，势的相等绝不是有限意义上的绝对相等，而是近似相等而已

[@moneyrich272]

那要看相等的定義是什嗎

[@kingsolomon6186]

叔，线段原点定义为1的那段没听懂，能不能给画个图解释一下。。。

[@tonydoo6055]

面上的根号二和根号二的点左边能错位写下来吗？没想明白，能写出来这样的数吗?

[@tonydoo6055]

坐标会有这样的吗？ 0. √2 √2 ，这是坐标吗？

[@nocturne4733]

照他的說法 若要從(根號2, 根號2) 照到線段上相對應的 根號2 = 1.4142135.... 應該是11.44114422113355... 這樣子吧

[@Omnipotent_Consciousness]

我覺得你解說一下康托爾的對角線論證會比較好

[@MANTIMTIM]

像問一下對角論證具體是什麼？可不可以用來證明所有偶數集合不可數？

[@hubenbu]

『佛説阿彌陀經』有一個明確的大數。 原文是「極樂國土眾生生者。皆是阿鞞跋致。其中多有一生補處。其數甚多。非是算數所能知之。但可以無量無邊阿僧祇説」。 一生補處是侯任佛的身份，西方淨土達到這個位階身份的人口總數是多少，算不出來，但是這個數不是理論上的抽象的無窮大，它是有意義的，而且是確定的，未知但確定。

[@huijungao4032]

妈咪说可以考虑一下出一个希尔伯特23个问题的合辑

[@kenny11111video]

旅店問題⋯⋯ 房間一開始已是無窮多間，為什為會出現「滿」? 如果不會「滿」，直接把新的旅客放最後不就好嗎⋯⋯為什為又要 1->2... 2->3... 3->4 那麼麻煩 ?

[@larryaccount6350]

因為沒辦法知道最後一間是多少

[@larryaccount6350]

不能說是無窮大+1

[@SyaNHs]

这是一个逻辑游戏。

[@aladamir9747]

理解無限就是要放棄計數的直觀思想

[@17郭家保]

滿的意義是指「不管選哪個房間都會有人在」的意思，所以還是滿得了的

[@wawawa953]

刷新认知，太酷了

[@a2333232332]

李永樂說過同樣的

[@10_01-i6b]

哦

[@陳良箕]

發散無窮級數有沒有搞頭

[@jyun3126]

原來希爾伯特旅館的是在說這件事啊 長知識了

[@jimmyxue2927]

感觉你是复制版的李永乐

[@mikezeng9650]

有理数多，还是无理数多？或者一样多？

[@17郭家保]

无理数多

[@遊戲龜-g6m]

希爾伯特旅店的說法是錯的 全體自然數的偶數個數加上全體自然數的奇數個數要等於全體自然數之個數 全體自然數的偶數和加上全體自然數的奇數和要等於全體自然數之和 若是集合論無法滿足上面兩個條件，就代表是錯的 所以若全體偶數與全體自然數的個數一樣，代表他們的極限值是不同的 若是全體自然數與偶數的極限值一樣，個數是會不同的 而希爾伯特旅店悖論也是同樣的道理，極限值可以隨時增加的，而極限可以增加還是極限嗎？ 10倍的全體自然數和與全體自然數是10的倍數的和是不同的

[@Omnipotent_Consciousness]

aleph-0+aleph-0=aleph-0，就這樣，無窮大是有彈性的，原因是無窮集皆是以“無尾項結構”為核心的基礎性質的。

[@ILOVEY1314]

你说所有奇数的个数等于所有自然数的个数，房门号是所有的自然数，那所以无限个人要填满无限个自然数1.2.3.4.5.6.7.。。。到无限啊那么剩下来原本的住民住哪啊

[@yancao7643]

所以说无限也是分级数的，有大有小

[@MrUnknownwashere]

妈咪叔的这个发型不好看 语速能不能稍慢一点，有点跟不上

[@challenges-dl3yu]

多看看就习惯啦

[@jay53262002]

不知道我的理解有沒有錯 任何自然數 我把他取倒數 都可以在線段上對應出一個點 例如1/2 1/3 1/4......以此類推 這樣子自然數都有對應了 可是線段上的數還有2/3 3/4 4/5.......沒有在自然數上有對應點 所以線段上的點>自然數個數

[@chenzhang5495]

洪雷達jay 错

[@ND-fy3wu]

我们给线段上的任一点用自然数做编号, 我们会发现, 所有的点都可以分配一个不同编号, 所以, 线段上的点=自然数. 我们接着发现, 对任意一个点, 我们都可以用两个不同的不重复的自然数给它做编号, 因此, 自然数个数是线段上的点的两倍, 因此, 自然数个数>线段上的点. 我们还会发现, 对任何一个点, 我们都有无穷多个不同且不重复的自然数给它做编号, 因此, 自然数个数/线段上点的个数=无穷大, 也就是说, 自然数个数比线段上点的个数大无穷多倍.

[@aladamir9747]

@@ND-fy3wu 這就是所謂的對角證明法

[@隆守一]

能編號沒有錯，但是還有無理數沒辦法對應

[@蔡淳佑-q8y]

下棋的時候最後誰先把對方最後一個棋吃掉誰就贏了

[@user-system6creaters]

♾=♾ 已知。 是1體0、是全，是動態的持續切割。 符號是符號，將符號解釋（哲學、邏輯）為自己想要的結果，如果這個自己講話沒有話語權，大家就不會共識，如同網路上帶風向般，一下A對，一下又B 定義上問題，看出題者要不要讓你（非我）答對。

[@ILOVEY1314]

有无限天，每天给a两元，给b一元过了10天后a的头10块钱和b的头10块钱一一对应，但是a的后10块钱没有被对应，同理无限天后a的头无限块钱和b的头无限块钱一一对应但是a的后半部分有无限块钱没有被对应，所以2乘以无限大于无限

[@邱安-l7b]

你这个说法不对，那线段ab，a每天延长10cm，b每天延长1cm，那个线段的点多?内容已经说了所有线段，点一样多。钱不是点，你不能拿钱来举例无限大，而是用发钱的天数。钱每天规定了量，而天才是无限大，你自己的定义。

[@ILOVEY1314]

@@邱安-l7b 一个直角三角形里画很多垂直的线就能把斜边和三角形的低的每个点对应但是我在想一小段底部线段对应一个比底部线段长的斜边的一部分，底部线段无论多小都是对应一个比底部线段长的斜边的一部分那么把底部线段缩小成一个点那么也会有一个长度比底部这个点长的斜边的一部分如果你说到了现在还是一点对一点那么就是说点有长度咯，那点不可能有长度就只有可能一个很小的斜边线段对应一个底部的点但是也不可能因为线有的点的个数至少是无限乘以无限，如果一个点对应无限乘以无限个点的话那么底部线段对应的点的总个数就是底部线段所有的点就是无限乘以无限再乘以对应的斜边线段的点数就是再乘以无限乘以无限那么到最后斜边就有无限4次方那么多个点但是这是不可能的因为所有有限线段都不可能超过无限三次方那么多点，为什么我觉得点有无限2次方的点呢因为一条有限的线段上可以写上所有的正数而每个正数

[@ILOVEY1314]

@@邱安-l7b 一个点画出无限条线对应一个线段上的所有点可以画出一个三角形，那么这个三角形就有一条线段上那么多个点的线而每条线段上又有无限多个点那么怎么可能一条线段上的点数等于一个平面上的点的个数啊

[@gad5980]

@@ILOVEY1314 麻煩你先了解什麼叫做無窮

[@NOlongyi]

你的例子举得很好，现有的数学或者教科书， 就是一个笑话. 首先定义“点”的大小为零就是错误的，0+0还是0，怎么可能构成线段， 什么都构不成的. 既然可以确定“点”是有大小的，那么线段长短不一样，就说明点数不一样.

[@kjyhh]

看回以前的视频才知道头发减少了多少😂

[@xiti9064]

正方形上的点：（0.1,0.23）和（0.12,0.3）是不是对应线段上的一个点？

[@lyg9986]

是的，我也决定视频中的对应方式存在问题，不一定能做到一一对应的

[@金金字塔]

0.1023 0.1230

[@eamoncat]

0.1203 0.1320

[@TheClothg53872]

請問 0.12345 對應的是哪個點？

[@ushenli01]

既然是平面上的點要對應到直線上的點 那麼要把0.1,0.23對應0.123或是0.1023應該都是可以的 你說0.1,0.23和0.12,0.3對應的點重複了，那麼分別改成對應0.1023和0.1203 總之總是可以更改對應規則來一一對應 又或者不要那麼麻煩了，你報的第一個任何數就固定對應0.1，後來的數不論大小就對應0.2，直到0.9之後再從0.01開始排，也永遠找得到下一個數去對應平面的座標 媽咪數這邊只是舉個對應方法出來而已 形成對應關係一組數字不能用"等於"看待

[@WentanHao]

为啥7k的view 才44的回复

[@tinyfool8750]

这是戴的假发?

[@draymchen8723]

不 只是物理使人头秃

[@wrb6663]

有点意思，哈哈

[@胡俊涛-x6u]

为啥原来关注的妈咪叔变成了一个vv的账号，内容也全部重定向了

[@NOlongyi]

平面又称“复平面”，是有虚数的， 线段上的点完全不能比，线段上不能画出虚数，这是常识.

[@NOlongyi]

另外，“点”的大小不能定义为零， 否则不能构成线段，0+0还是0，很简单的道理，但如果比0稍微大一点点，就能构成线段了.

[@NOlongyi]

我刚刚想到了一个惊人的真相， 不过即使任何线段都可以由“零”构成，也不能说明每一个线段的点数是一样多.

[@yancao7643]

你误会了吧，第一，复平面与实平面不是相等的概念·。第二，点大小是0是一种思维抽象，并不排除点的实际存在性。既然是实际存在的，那么大量点的集合构成线和面也是合理的，总不能说有等于无。第三，0不一定是代表什么都没有，在物理上也可以看作是小于任何可测量的临界值，看你是从什么角度去定义它。

[@NOlongyi]

@@yancao7643 ？？？我说了是相等的概念？看不懂就别回复

[@yancao7643]

@@NOlongyi 你明明说平面又称“复平面”，这还不是相等？还是说在你的概念里，实平面不是平面？

[@ILOVEY1314]

你说从一开始数自然数和从2开始数自然数一样，我表示不同意，因为就算是1对2，2对3，3对4。。。那么无限对什么啊要对无限+1啊但最大也就无限啊不会有无限+1啊所以对应不了啊

[@seraphine5211]

偶数是不是可以写成2x，自然数写成x，两者的定义域相同啊

[@17郭家保]

最大并不是无限。相反的，正是因为无限所以不会有最大

[@ILOVEY1314]

我透過算式知道無限除以無限+1等於1了因為設b=無限那麼有b/b+1=a，1/a=b+1/b，1/a=b/b+1/b（由於1/b=0）所以a=1所以無限除以無限加一等於1

[@ILOVEY1314]

但是為啥偶數和自然數一樣多啊一個偶數可以對應兩個自然數啊

[@ILOVEY1314]

假設無限個無限的東西裡的其中一個無限一一對應另一個無限那麼就是說無限是可以對應完的只要透過無限的時間，那麼偶數的數量也可以透過無限時間對應完，對應完後不是還有後面的自然數沒有對應完啊

[@euleguan2677]

哥德尔不完备定理

[@ILOVEY1314]

偶数的个数加奇数的个数等于自然数的个数啊因为自然数包括偶数和奇数，但是你又说偶数和奇数和自然数一样多，我觉得就算自然数和偶数都是无限个也有多的无限个和少的无限个啊，偶数属于少的无限个，自然数属于多的无限个吧

[@taochen4368]

什么都不懂瞎说

[@林南-u7p]

你还没有理解无限。。。

[@NOlongyi]

有道理，无限是有大小的， 其实我们刚开始学极限，学微积分时就讲过. 可以打个简单的比方，从1数到10，跳过奇数，直接数偶数，只需花费一半的时间. 数到无限，道理上是一样的.

[@kaka8338]

上課囉

[@ILOVEY1314]

自然数只有无限个没有无限+1个啊

[@aladamir9747]

旅館第一問就解決你的問題了，無限+1=無限，再具體一點說無限並不是一個具體的數，而是基於無窮的極限

[@hellosun-uf2gz]

自然数和偶数一样多，肯定是有问题的结论，只是现在没有找出错误的证据而已。

[@fengshengqin6993]

人类真的是很可悲！思维太愚蠢！万物到底可不可数？没有起它的选择 和 永远有其他的选择 ，到底哪个说法才是客观事实 ？或许我们永远搞不清楚了。

[@宇宙-v8q]

妈咪妈咪的长大没有

[@张斌-v8w]

离散数学

[@fengshengqin6993]

如果康托尔的理论正确，那么产生的推论就很让人费解：奇数和偶数一样多很好理解，看起来也是正常的，但是偶数和整个自然数一样多，那么不就是说一个整体分为两个相等的部分，这两个部分不就和原来的整体一样了嘛？不就是一个实心球变成了两个实心球，那么两个实心球可以变成四个实心球，持续下去就是变成一个吓死人的结论：数字一就是无穷大无穷多个本身。也就摧毁了数学的基本核心逻辑：万物都不可数。

[@fengshengqin6993]

这个就和量子论的测不准原理结合的很好，因为你无法真正确定空间一点的位置或者速度状态，也就是说如果真的存在欧几里得平直空间和笛卡尔绝对静止的坐标系，那么坐标系的某一点，它本身可能就是无数点，你说它是一个，或者无穷多个重合，你无法分辨这两种情况那种才是真实。因为两种说法都可以自洽而存在。从概率上来说，无穷多个的可能性更大。

[@fengshengqin6993]

参考第五公设，分球怪论。我觉得我们的数学，从根上来说就是错的。

[@aladamir9747]

@@fengshengqin6993 你的疑問用“哥德爾不完備定理”就已經具體闡述過一次了，並且你把自然數當成數學的根基

[@NOlongyi]

我同意数学家就是一个笑话， 按照”数列的极限“理论，从1数到无穷大，要数更久， 但是从偶数数到无穷大，花费的时间更短，因此偶数个数要少.

[@passerbyjia1865]

0也是自然数

[@cindylu1414]

ltytl 不同的定义方式，有的认为是natural number，有的认为不是

[@cindylu1414]

数论一般认为0不是自然数，方便说明很多理论而已

[@lucidream2571]

用N0标记

[@HappyLeeHL]

讲得不错，不过这期视频有些让我失望，因为很不理解为何现如今数学家普遍能接受这套无穷大的比较法，因为康托尔的比较方式根本就是反常理反直觉的。明明可以定义出更严谨的无穷大比较，或者强调康托尔意义上的“等势”并不是真正的“相等”，可惜很少看人强调。经常听学数学的人自豪地说自然数和正偶数一样多，在我看来其实是数学学傻了。

[@SaikvunMa]

你用有限數比較大小的方法限制了，一一對應的思路用於無限或有限都成立，而整體大於部份只用於有限數，照你的說法，復數也不能成立吧，負數怎可能開方

[@SaikvunMa]

補充一點,因為無限和無限多一點是沒有分別的，你不能說一個無限比別的無限大，你不能用有限的比較方法用於無限

[@SaikvunMa]

舉一個例子，如果是小於10的偶數和自然數比,則是自然數多，比如1->2 ,2->4 ,3->6, 4->8 5->10 6->? ,去到6就過界了，所以10以內自然數較多，但無限就不會有界的問題，因為永遠可找到更大的數

[@HappyLeeHL]

@@SaikvunMa 先回应你复数的例子：虚数反常理的原因在于，没有一正常数的平方会是负数；但虚数是数学家人为定义的概念，本来也不是正常数，创造这一概念是为了解决求方程根等实际问题。所以复数成立仅在人为赋予其意义的前提下。

[@HappyLeeHL]

@@SaikvunMa 谈到无限，毕竟我们生活在有限的世界，需要承认我们对无限的理解都要靠想象。而你提到的对无限的理解正是我想反驳的，因为它会带来反常理的悖论。不能说什么问题一放到无限层面，就得出再反常理的结论都无视。

[@ND-fy3wu]

先说, 线段上的点和自然数一样多, 找对应关系很简单, 给每一个线段上的点编号, 我们会发现, 无论你找到多少个线段上的点, 都可以给它分配一个自然数做编号, 结论, 这俩一样多.

[@17郭家保]

线段上的点并不会跟自然数一样多，原因正是因为我们无法找到一一对应关系

[@隆守一]

我們無法界定所有的無理數，在有理數上卻是是可以對應的

[@xuehengzheng7455]

对应不说明多少，除非数到头。每一偶数，确实可以找到对应整数，但又如何？能数到头吗？《妈咪说》的问题在于，满口“无穷大”，似乎这是一个“总数”，或“个数”，然后得出结论：1）偶数，2）自然数，两者总数相等。这是诡辩，不是科学。

[@taochen4368]

XueHeng Zheng 什么都不懂，相等是人定义的，按照定义就是相等

[@我們這一家-j9o]

你有學過樸素集合論嗎？ 樸素集合論有一個大定理叫：「康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理。」 陳述的就是集合內元素的一一對應關係，內容如下：若存在映射，f從A映射到B，g從B映射到A，則兩集合存在一一對應，即存在雙射。 兩個集合存在雙射，代表它們基數相同，即等勢。 這不是詭辯，你以後學到集合論你就能明白為什麼兩個集合一樣大了，重點就在元素的一一對應，即存在雙射，兩個集合存在雙射表示兩個集合一樣大。

[@xuehengzheng7455]

@@我們這一家-j9o ”等势“和”一样大“不是一回事。前者来自”一一对应“，后者说明”总数相同“。举个例子：照片放大以后，其上的像素与原版一一对应，所以等势，但不能说两者大小相同。康托的天才，在于发现并开拓了”等势“的慨念。你说”存在双射表示兩個集合一样大“，表明是一个假内行。劝你好好读书，或者洗洗去睡。

[@xuehengzheng7455]

​@@taochen4368 定义要合理，你能定义3=5吗？所谓”相等“包括两类：1）数相等，2）势相等，不能混淆。两个有限集合，比如说，五只猪和五个人，两者的“数”相等。两个无限集合，比如说，全体偶数和全体整数，只能说两者的“势”相等。见过无知的，没见过你这么无知，外加自信爆棚的。丢人现眼，呸！

[@xuehengzheng7455]

老乡见老乡，大家泪汪汪。两个跟帖的，《tao chen》和《我们这一家》，无知又可笑，居然有人点赞，可谓咄咄怪事。

[@lucidream2571]

数论头疼。。

[@SPA602]

兩個無窮大和ㄧ個無窮大，依照原始人類來說，用消的，最後是兩個無窮大比較大，但是如果用對應關係兩個無窮大可以對應到ㄧ個無窮大等於一樣大，好矛盾壓，這邏輯要怎麼想??

[@clse945110]

因為你說出了兩個無窮大，所以你已經預先假設無窮的數列是一個有限區間，但是無窮的定義是一個半開的有限區間，所以在直覺假設上已經錯了， 在所有有限無窮樹都是等價的。

[@SaikvunMa]

簡單來說，你說可以用消的那就等於假設是有限有界，既然是無限怎會有界?

[@NOlongyi]

对应不了的，说对应就是瞎扯， 同一段数轴，1至10，偶数只能对应5个，自然数可以对应10个， 不论怎样延长，偶数都只会是自然数的一半.

[@aladamir9747]

X+1>X 而X必須為實數 無限並不是實數，故得證

[@fengshengqin6993]

对于这个可数和不可数的概念，还有什么等势的概念，我觉得很扯淡! 说线段的点的个数无穷，我认为都有待商榷，更别说比自然数的个数多这个结论了。我说说我的理由：你说点有没有大小长短的概念？按照康托尔的解释，因该是点无大小长短，那么可以说点的长度为零。个个观察者从任何维度方向上观测，点的长度都是零。那么我说这个点就是不存在！那么线段上的任意一点都不存在，线段由点构成的，那么这个线段就不存在！显然错误!那么点应该是有长度的，那么任何一条线段，以任何长度的点组成，不管这个点长有多么小，最终这个线段都是有限的，可数的。无法跟自然数无穷多相比。这个骇人的结论本身的核心逻辑，就是，如何理解数学上的零。零到底是不是真正纯粹的一无所有？是不是抽象的不存在？这个宇宙到底有没有 “不存在” 这个状态？值得深思，估计就得跟康托尔一样疯了。呵呵

[@aladamir9747]

物理學上基本不考慮無窮問題，如果遇到無窮量會用重整化使其收斂至具體的數，這件事在數學上對應著求和發散級數

[@17郭家保]

线段并非由点构成的。在几何学里，线跟点是两个分别独立的概念

[@NOlongyi]

数学本身就是一个笑话， 定义”点“的大小为”零“，又定义线段由”点“（零大小）构成. 如果数学不是笑话，那就是我们中国教科书写错了，“点”应该是不含0的无穷小.

[@NOlongyi]

更正一下，我刚刚才想到的， “点”或许真的可以是零，任一“线段”也可以由零构成.