実数の連続性とデデキント切断

実数の連続性を，デデキント切断を用いて定義する．
対象：高校生〜大学生
難易度：★★★☆☆
------------------------------------------------
チャンネル登録→ / @yusmathandphysics176
Twitter→ / linux_ojisan
------------------------------------------------
〜参考〜
【物理・力学】
・全ての人へ贈る力学入門II
• 【力学入門II】 §0.1 イントロダクショ...
・ゆう先生の力学レシピI 〜本当の意味で「理解」し、楽しむ授業〜
• 【力学レシピI】 第0章 イントロダクション...
【物理・電磁気学】
・ゆう先生の電磁気学レシピ　～本当の意味で「理解」し、味わう授業～　第I部　真空中の電磁気学
• 【電磁気学レシピI】イントロダクション
【数学】
・物理でも使える数学の基礎 〜「ゆう先生の力学レシピI」第１章〜
• 【数学の基礎】 1-2 速さと速度(1)
・全ての人へ贈る微分積分入門
• 【微分積分入門】はじめに
------------------------------------------------

[@zeavoir203]

話の流れがとても分かりやすかったです。

[@yusmathandphysics176]

ありがとうございます!

[@Itsukiemori]

数学初心者です。A={x∈ℚ|x^2

[@yusmathandphysics176]

コメントありがとうございます！ 気が付かなくて３ヶ月ぐらい放置してしまいました，申し訳ありませんm(__)m > A={x∈ℚ|x^20 について，x∈B」 （動画中のcを0で置き換えました） を満たしている必要がありますが．ここで例えば x=1 とすると，これは上記を満たさない(0より大きいクセにBには属さない(1^2 またはではなくかつなら納得です。 それだと(A,B)が切断ではなくなってしまいますね． 試しにAの定義を，仰る通り A={x∈ℚ|x^2

[@田所浩二-o1q]

√2が実数であること、すなわちx^2＝2を満たす実数xが存在することはどのように示されるのでしょうか。

[@yusmathandphysics176]

コメントありがとうございます． それがまさに，実数の連続性の公理から示されることなのです． すなわち，実数の集合Rにおいて，切断(A,B)を A = { x ∈ R | x^2 < 2 または x < 0} B = R \ A にて定義すると，実数の連続性の公理より，この切断(A,B)の境界点cが唯一つに定まります． この境界点cが，c^2=2を充たすことは容易に示すことが出来ます．

[@アルト-b7w]

境界点はA,Bどちらにも属しちゃいけないんですか？ デデキントの切断の定義を見ると、 A={x|x≦2} B={x|x>2}でもいい気がするのですが。

[@yusmathandphysics176]

勿論それも切断としてはアリですが，動画中で提示した例で言いたかったことは 「有理数全体の切断の境界点が有理数にならないことがある」 ということなので．境界点が有理数でなければ当然AにもBにも属さないので，結果そのような例になったということですね．

[@アルト-b7w]

言いたかったのは、これを満たす境界点が存在しなくないかって話だったんですが、よく見たら、c=2であっても、境界点の定義満たしてますね。