【数学】実は学校では習わない？　方程式で重要な同値変形とは【ずんだもん解説・ゆっくり解説】

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ヒラリバタフライ男爵とずんだもん

Күн бұрын

Пікірлер: 86

@大塩平八郎-o3r 2 ай бұрын

この動画の声低めずんだもんめっちゃ好き

@山崎洋一-j8c 3 ай бұрын

方程式の同値変形では、「無理式の同値変形」の他に「分数式の同値変形」も問題になります。たとえば「3+1/(x-1)=3x+x/(x-1)を解け」で両辺に(x-1)を掛けて分母を払うと2次方程式になり、因数分解してx=2/3, 1が得られますが、x=1は不適です。両辺を関数と考えたときに定義域から除外されている数が、変形後に除外されなくなったことが原因なので、この場合は分母を払った式に「∧ (x≠1)」をつけ加えれば同値変形になりますが、こういうのは「その他」にするしかない？（←と思ったけど、4:45の3つ目にも「c≠0」をつければいいのか）（方程式でなく不等式になると、向きによって正しい同値変形が違ってくるのでさらに大変。両辺のグラフを描いた方が早かったりｗ）

@puella_math 3 ай бұрын

関数適用に分類されるんじゃないでしょうか。 f(y)=y(x-1)の適用がx-1を掛ける操作になり、この関数が単射になる条件がx≠1です。これは分数式じゃなくても起こる現象(たとえば、x=0の両辺にx-1を掛けたら解集合が{0,1}に広がってしまう)ので、(少なくともこの問題では)本質的な原因は定義域ではなく掛け算にあると思います。

@user-REDACTED 3 ай бұрын

あんまり関係ないけど、最後の括弧内には同意できないかな。通分して、全部分数の上に乗っけて、f(x)/g(x)（不等号）0の形にして、両辺(g(x))²を掛ければいいんだから、不等号の向きによらず一意的な操作で解けると思うんだけど。

@sb51407 3 ай бұрын

@@user-REDACTED

@naggi9453 3 ай бұрын

これって大学数学では関数が登場する時に必ず定義域、値域も指定されるから出てこない問題なんだよね高校までのなんちゃって数学特有のやつ

@user-REDACTED 3 ай бұрын

@@sb51407 メンションだけされるの怖い……

@ha-ko186 3 ай бұрын

効かれてる条件に合わないから違うよねみたいなノリで考えてたことが、具体的に言語化されててスッキリした。

@takumamori7092 3 ай бұрын

凝った動画だな写像まで扱って議論してくれるのはありがたい

@inesawaki2765 3 ай бұрын

理系の教育テレビみたいな空気感が最高です〜

@芥川龍之介-p8r 3 ай бұрын

15:05ここ目からうろこ　両辺次乗ってx＾2の関数を両辺に適用させているんだ… 両辺にlog取ったりする時に、「こんなことやっていいのかな…？」って不安があったけど、「同値変形」について考えると説明できるのかぁ〜(logは単射の関数)長年の疑問が解決できました。

@nishikenn1504 3 ай бұрын

先生に質問したらめちゃくちゃ丁寧に教えてくれた

@ukridketle 2 ай бұрын

先生偉ヨ😭

@田中_田中 3 ай бұрын

√(x+2)=x を両辺2乗して x+2=x^2 これを解いてから元の方程式に代入するやり方の背景には、両辺に関数を適用した時に、適用前の解集合が適用後の解集合に包含されることが背景にあったんですね。そのおかげで、適用後の有限個の解を考えるだけで済みます。もし関数を適用して解集合が全く異なるものになってしまったら、適用後の解は元の方程式の解の候補ですらないので、この方法が使えません。この部分、今までは「P(x)⇒Q(x)の時、二つの条件の真理集合をP,Qとしてx∈P⇒x∈Qで、これは集合の包含の定義に他ならず、P⊆Q」という理解をしていました。11:22のように、関数という視点に立ったことはありませんでした。

@ミジンコ徒 Ай бұрын

義務教育はこういうのを教えるべきつまりこの動画は教科書に載せるべき

@眠り猫-m2s 3 ай бұрын

学生時代に知りたかったな。あの頃は、この手の問題は自分の頭で考えようぐらいにしか教わらなくて苦労したしよく分からんかった。

@seul5777 3 ай бұрын

良い動画でした男爵の声を少し早めてもらえると最高です

@にゃんこくん 3 ай бұрын

図解が分かりやすい

@user-river_mountain 3 ай бұрын

正直、ヒラリバタフライ男爵先生の奇天烈すぎる用事より今直面しているなぞの方が気になるめたんちゃんは勉強の天才だと思う並大抵の学生はエクストリーム数式忍者の方が気になると思われ…

@JumpeiMurakami 3 ай бұрын

子供心に疑問だったことが解決しました

@distearroyl2673 3 ай бұрын

あいわからず男爵の用事がカオス

@田中_田中 3 ай бұрын

理論的には、f:X→Yを単写な写像として、 x=x',x∈X,x'∈X⇔f(x)=f(x'),x∈X,x'∈X について、 (⇒)は、入力が等しいなら出力も等しいことから従い、 (⇐)は、f:X→Yが単写であることの定義 ∀(x,x')∈X^2;f(x)=f(x')→x=x' から従うということですね。

@user-sg8kr2wf3b 3 ай бұрын

最初の問題 sqrt(x+2)=x 同じ値だから関数のwell-defined(円みたいにxを決めた時に2つ以上値を返さない、ただ一つ値を返すようなもの)が適用でき、(x+2)=x^2 逆に(x+2)=x^2 の両辺に対してsqrtを取ると、 sqrt(x+2)=sqrt(x^2)=|x| となり、x≦0の場合、上の式にならない。だから、条件なしだと同値にならない。きちんと見ればわかるはずなのに、そこを見ることを怠るのダメだろ(受験生に向けて) 解集合を使って説明しているのはいいと思う。(目的が分かりやすくなるから) (⇔をあえて使わない説明をしているけど、 ⇔は⇒かつ⇐だから何を見るべきかはわかりやすい) 「方程式を解く」とは、与えられた方程式Aを満たすxを(暗黙の領域で定められた範囲内で)全て求めるということ。 (方程式A)から(方程式B)への式変形はあくまでも xが(方程式A)を満たすなら、xは(方程式B)を満たすということしか言っていない。式変形後の(方程式B)を解いたところで(方程式A)を満たすことは保証されない。だから、大丈夫かチェックする。簡単かもしれない方程式を解くことにさえ、きちんと目的を定めないと頓珍漢なことをしてしまう危険性がある。

@nibitas 3 ай бұрын

軌跡の問題で、「逆に求めた図形上のすべての点は条件を満たす」と最後に書くとき、この動画の内容を理解していれば心から納得して書けますね。軌跡に限らず、高校数学において同値変形は式変形の本質・「基本」だと思います。応用問題が解ける人は、このような重要な基礎をしっかり身につけている人（説明できる人）だと思います。

@MORIMI113 3 ай бұрын

素晴らしい動画だ・・・！

@MikuHatsune-np4dj 3 ай бұрын

1:30- 「間違った変形はしていないはずなのに」のところ「両辺を2乗したときに x>=0 という条件を付け忘れている」ので間違った変形です。あと今回の話では √(x+2) の定義域は-2未満を含んでいても良いはず。

@ちょもらんま-o8p 2 ай бұрын

間違った変形ではなく非同値な変形として成り立っている。後半は基本的に同意だが、xが-2未満だと与式よりxが複素数(純虚数)となり、不等式が定義できないので明らかに実数⇒xは2以上と自明であるとして良い気もする

@_________nothing 2 ай бұрын

@@ちょもらんま-o8p xが複素数域でないというのは言えてないけどね

@ちょもらんま-o8p 2 ай бұрын

@@_________nothing xは2以上の実数か複素数、ということか。たしかに。

@tsubossie 3 ай бұрын

0:30 LED電飾、スピーカー→出力装置の一種（LED電飾がコンピュータと連動しないならその限りでない）カメラ→入力装置の一種

@ushiostarfish757 2 ай бұрын

こんな大事なことを今まで知らなかったなんて...感謝

@user-qw6kn2dp4o 3 ай бұрын

わかりやすい……

@yanagitahisaya5309 3 ай бұрын

「平方完成」って、機能はわかるがポジショニングがよくわからず気持ち悪い式変形だったが、「同値変形-区分的単射」の説明はスッキリ感がある。

@nazo_no_message 3 ай бұрын

14:46 ｛は、"かつ"を表す記号だから、"または"の文脈で使われることに大きな抵抗がある。

@tsubossie 3 ай бұрын

8:34 変形前の式＝変形後の式が恒等式になるように変形する、ってことかなこの場合、例示はx(x+1)=グラハム数でもよい。

@yarakashi 3 ай бұрын

両辺を2乗しないように、x+2をa²として計算してあげれば…… (両辺2乗と同じ轍を踏む図)

@user-MizumasiGohanKansokusha 8 күн бұрын

結局集合かあ

@Ayaka.Enanan 3 ай бұрын

映像装置とかあったらひっかかる... 23:14

@tsubossie 3 ай бұрын

10:22 xが違うときにyが同じにならない

@nokemoyajuu 3 ай бұрын

4:30ここの1以外のxで成り立たないってどういう意味ですか？

@ninomiya-27 2 ай бұрын

左のf(x)とg(x)について、xが1以外の値だとf(x)=g(x)が成り立たないということかと (書いてて思いましたが、たしかに「1以外のx」という表現に少し違和感がありますね)

@nokemoyajuu 2 ай бұрын

@@ninomiya-27 私が浅学なのかもしれませんが、1で成り立って無くないですか？等号成立は1.6くらいなような...

@ninomiya-27 2 ай бұрын

@@nokemoyajuu すみません、間違ってました。たしかにそうですね。じゃあなんなんでしょう……

@新海-f4k 3 ай бұрын

20:27 両辺のべき根を取る操作は両辺への関数適用では表せないのだろうか右辺は戻り値が二つあるから「関数」ではないのか…

@puella_math 3 ай бұрын

y=√x を(x-1)^2=4 の両辺に適用して |x-1|=2 なので関数適用と考えてもよさそう。ただ一般性はないのでこの動画でいう分割の方が私は好きですね

@ペンギンクミマヌ 3 ай бұрын

情報の問題演劇装置計算装置計測装置映像装置停止装置

@user-oj3ngchokoran 3 ай бұрын

大学受験まで何となくやってたけどこんな仕組みがあったんや

@スーパーパリピ陰キャコンプレックス丸 3 ай бұрын

おもしれー😮

@hanamo2015 2 ай бұрын

ずんだもんはちゃんと覚えるのだ。

@Voldiszerief 3 ай бұрын

関係ないけど、杯でかい

@warokihami Ай бұрын

オチのずんだもんアホっぽいけど、これセンシングに必須の概念なんだよな。

@みでぃ-o5x 3 ай бұрын

昔適当にやっていたことでしたが、正確に捉えようとするとこうなるんですね。数学面白い。私は文系ですががんばって食らいつきます。ところで、9:57 にあるx^3って、例えばx^3=1とした場合にx=1,ω,ω^2となると思うのですが、なぜ同値変形になる関数って言えるんでしょう？

@ssd8789 3 ай бұрын

関数には3つの構成要素があります定義域と終域と規則です例えば規則が「◯をsin(◯)に飛ばす」といったものでも、定義域が区間[-π/2,π/2]ならその関数は単射です内容から鑑みてこの動画は暗に実数全体を定義域と決めていたのでしょうもちろん規則が2乗であっても定義域を0以上だと決めていれば単射になります　√で復元できるという訳ですね

@みでぃ-o5x 3 ай бұрын

@@ssd8789すごく良くわかりました、丁寧なご説明ありがとうございます！

@柔らかくなった脳 3 ай бұрын

y=x (x1) こういう関数は分割しても単射にならない。xとyが一対一対応していない区間があるから。なので、こういう関数を用いて演算しても、同値性を保ちたいならばまるで意味がない。

@dworld-zz 3 ай бұрын

それぞれの c ∈ [0, 1] について、定義域が {c}, f(c) = 0 となる関数 f を考えれば、一応（連続体濃度の）無限個の単射に分割は可能かなと思います。もちろん現実的には意味ないですけど。

@kon1856 3 ай бұрын

9:04 ｛で書くのはいいのかなぁ、、

@ryuuuu4724 3 ай бұрын

通常かつの意味で用いるけど、たまにまたはの意味でも使うからなあ。なんとも言えない

@くろねこ-y7u 3 ай бұрын

文字数が4文字 and (力が含まれている or 先頭の文字がア～サ行で始まる) で行けるか？

@奈緒-e7w 2 ай бұрын

二乗って操作、右と左で違うのかけてる（割ってる）のにしていいって言われるから不思議だった

@tananntoxwxb 3 ай бұрын

全然わからない…かなしい

@gorgor4120 2 ай бұрын

高校数学を教えるときは、変形する時に楽をしたいなら単調増加か単調減少で連続な関数を使いなさいって教えてたなぁ。写像の話をすると当時はひろゆきの話になってダルかったから使わないように気をつけてたのが懐かしい。

@apr1city-q 3 ай бұрын

真髄取ってたから余裕か

@田中_田中 3 ай бұрын

逆関数は単射かつ「全射」である時にしか定義されないのに、動画の逆関数のところでは全射という言葉が一切出てこなかったのは少し引っかかった

@6ボット-q3j 3 ай бұрын

喋んなよ

@シコティッシュホールド全裸待機 2 ай бұрын

⁠@@6ボット-q3j「(俺の理解できないことを)喋んなよ」

@nac5065 3 ай бұрын

単射とか区分的とか大学数学っぽい言葉を使いながら、同値変形という大学数学ではでてこない謎ワードを解説しているところに高校数学の闇を感じる。

@花房藤人 3 ай бұрын

2:37 え……何この文字……

@imoparasendenman 3 ай бұрын

AIで画像生成したらこうなる

@花房藤人 3 ай бұрын

なんてもん使ってんだよ

@tADOKORO-lq7fp 3 ай бұрын

数学科ですか?

@バンドル1 3 ай бұрын

両辺への演算子ってどこまで可能なんやろ?

@puella_math 3 ай бұрын

両辺への演算は関数の適用だと思える(たとえば a=b⇒a+c=b+c は f(x)=x+c の適用だと思える)ので、この動画的にいえば関数の単射/非単射を調べればいいですね

@fin_purippuri 3 ай бұрын

解集合に包含が成り立つような演算子としては、少なくとも2変数関数h(x,y)からできる演算子h(x,•)は大丈夫そうですね。つまり、方程式F(x)=G(x)に対して、h(x,F(x))=h(x,G(x))は元の解を含みます。 (例として h(x,y)=y^2　…両辺を二乗する h(x,y)=y(x-1)　…両辺に(x-1)をかける h(x,y)=y+f(x)　…両辺にf(x)を足すなど) 1変数関数h_xをh_x(y)=h(x,y)として定める時、「任意のx∈Rに対してh_xが単射」ならば同値変形になります。 2変数関数より一般の場合については私はわからないです。