函數 vs 微分

帶領同學認識函數，並說明學習微分會遇到的第一個數學課題：瞬時速度。以此探討函式與微分的關聯。如果想要有系統地觀看教學視頻，請看單維彰教授之 ShannMath 頻道的所有播放清單，本視頻屬於《大學入門微積分》清單。goo.gl/zjg7wV

[@o40004000]

太完美了。看了老師的教學，覺得除了很震撼，重複看都覺得不會膩，都覺得很淺顯易懂，講解的不快，不慢，又平和，讓人聽得下去，而授課內容又很完美，舉例很好，內容很好，寫得也不會很凌亂，而每一個細節，都能夠在客觀的立場，去替我們設想我們不懂的地方，舉例來說，在影片07:00時，d(x) over d(t)，就談到如何去讀它，多年來自己看書看不懂，卻沒有老師可以教，但是有了這樣子的一系列影片，覺得很感動，覺得有老師真好！還有太多的心得感覺，無法用言語來表達，只能從影片細節中，整理上去看出，老師真的很棒。真的衷心感謝有這部、這系列教學影片。

[@markzhou8490]

李華嚴

[@o40004000]

可以說是慢條斯理，有條不紊的教學。

[@yuennungder9017]

李華

[@psyn5798]

上每一種課程之前都應該像單老師一樣，把這門課程的基礎概念講清楚，這是目前大多數老師教學所缺乏的. 以致於學生剛開始根本搞不清楚在學什麼東西

[@cheetakchin736]

也Xiaodi Zhou ，丶

[@anb7936]

雖然是11年前的片，現在跟任何老師教的微積分，這位老師是全世界講解最好的一位。給你五顆星⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️。

[@songsong9447]

我是大陆的一名本科生，目前在准备考研，老师的课非常受用，比我在大陆接触到的老师更加详细和通俗易懂，谢谢😀

[@Lucky_Rain]

單老師好謙虛啊，外人可能不知，中央大學裡眾多老師所開的微積分課程當中，全校學生最想選中的就是單維彰老師！

[@NanaTheOne1]

這位老師真的很棒，一步一步去啟發思考，不是倒灌下去

[@爹爹-g5u]

这个老师真正使做到了用最简单易懂的语言和范例来解释什么是微积分。我这么多年了才体会、悟出了同样的道理。如果当年我的老师也能如此介绍什么是微积分，那我们就会很快理解和掌握这看似深奥的微积分，而实际上无非是一种前人归纳总结出的一套用途广泛的能够解决很多自然界很多问题的计算方法。

[@FunkZzzz]

11:44 非常清晰的邏輯 把公式解釋得非常好

[@lp29482117]

不愧是念到美國賓州州立大學博士的人才 真的讓我看微積分都覺得是天書的我終於找到最白話文的解釋跟理解方式，太感謝老師的免費教學。

[@lp29482117]

之前看到所有教微積分的都是數理方式的教學，這個x放這裡，那個y放這裡 跟各種直接背公式，聽了就想睡，不求甚解。 非常推薦這位老師的教學，以文組類邏輯的思考方式讓你明白微積分是什麼、跟那個數字或符號等等為什麼要這樣。

[@susanlin3648]

老師,您的教法真好,讓我們知道微積分的由來, 因為以前唸書時問為什麼都沒有人可以回答,所以我一直無法理解, 雖然現在已經出社會很久了,但很想克服我以前沒辦法完成的課目, 真的很謝謝您!

[@brainwashkenny1]

我以前對付微積分的方式，就是買好幾本參考書，有不懂的地方就翻別的書找答案。其實數學真的需要天份，老師講的東西其實我在學習的時候就已經有概念。尤其是原文書，會像老師一樣講得很仔細，因為外國人的數學平均程度比台灣人更糟。我也很幸運的英文程度算不錯，所以原文書對我來說並不構成障礙。基本上，就是中文的解釋看不懂，就去翻原文書，看外國人怎麼解釋的。

[@jjl682]

很多教科書比較像是工具書，很多老師也像是教書匠，不像是知識分子 老師也為了教學進度，甚至本身的程度就不夠專精，停留在表層的教學 工具書只會交代工具的特性和特徵、使用的方式和情境(更別說有的書連這些都做不好) 至於工具是怎麼來的，如何開發的，工具的每一個組件的原理原由常常都交代的不夠清楚。 當然數學到最後的推演／證明，還是很靠天賦跟直覺，但要論普通人突破不了基礎知識門檻，很多時候其實是教學者和用書的問題。

[@juenyun]

徐徐的語氣展現清晰又有威力的教學魅力! 很厲害!

[@racing_monkey89]

02:25 高速公路最南端有到屏東的東港大鵬灣喔

[@nopnop0909]

站在教學第一線的位階，沒有比誘發大家『想學』的欲望更重要了，感謝單老師的授課。

[@arthur77tw]

謝謝您,無意中看到這個影片.重溫多年前的課程. 真的讓人可以容易對微積分產生興趣.

[@嘎嘎蹦蹦]

好酷！！！！原來要用lim的原因是這樣！！！數學好的人很多，但要能夠教到普通人都聽得懂的，真的不多....謝謝老師！！！

[@passbythepass]

老師講函數講得很清楚，讓我高中以來一直沒有解開的迷惑，今天終於弄懂了。

[@陽文文]

居然是11年前的影片了！現在剛好回去就學中，都聽不懂，找到此影片，老師講解的好棒🎉

[@shikongtananguan]

这个老师真的好好啊 解救了国内学微积分的同学们 更是解救了在国外的同学 课上听不懂的 下课就来单老师这里 很nice

[@OopsOMG]

好強的教學 對比年輕時學的實在是囫圇吞棗 真的謝謝單老師願意上傳分享教學影片

[@ronaldleung929]

感謝老師的授課，讓沉悶的微積分變成生動的故事。

[@OtakuDoReMi]

老師講的好棒，讓我又重新想學數學了。

[@ShineYang-p9p]

謝謝老師，分享您的教法，讓我慢慢了解到微積分！

[@weichangshann]

哈哈，謝謝「聽故事」的說法，我很喜歡。其實，「微分」觀念發生在三百多年前，現在說它，某種程度上，的確是在「講故事」啊。

[@weichangshann]

莊雅清 這位雅清是中大數學的校友嗎？我記得這個名字。當然可以分享，但最好加上妳自己的詮釋和講解。這支影片是講給高三畢業生的，國中學生可能還需要更細緻的解釋。

[@weichangshann]

莊雅清 我猜「無數多」並不會比「無窮多」更容易懂，那就不妨直接說「無窮多」吧。我不知道妳的國中學生是在什麼脈絡裡學習這些？他們為什麼會想要知道這些？妳才知道。這裡有一個很奇妙的現象：每個點都是沒有「長寬」的，但是如果無窮多個點聚成一條線段，就有長度了。對國中生說這些，我不確定到底好不好？

[@o40004000]

真的！沒錯！每個點是沒有長寬的，一直以來我都是這麼猜想和認為。用抽象可以思考出這個結果!!但是這些沒有長寬的點連結起來就有一個長度。聽到老師說明，感動！

[@李神熙]

單維彰 i

[@isk168]

老師功力深厚!! 困難的概念能用淺顯易懂的舉例來引導 感謝老師!!

[@haileyhan5802]

老师好棒啊！从来没有听数学可以变得这么简单易懂，好老师是把复杂问题简单通俗化。

[@xinwang9991]

台湾的教授真的非常棒，非常喜欢他的课程

[@林建宏-h8p]

單老師，您在童蒙開始學寫字時，就遇到很棒的啟蒙老師了。您寫字的筆劃順序都沒錯，其實這也奠定了您日後邏輯思考比人強。

[@ShannMath]

林建宏 代我的老師謝謝您。想來真不好意思，我不記得我在一到四年級的老師了。

[@小貓咪-v8q]

有了這影片 讓我了解了創造理念是甚麼 多年來一直都解決不了問題 雖然大多數認真的學生 只要上課仔細聽清楚老師在講甚麼會懂怎麼算 但是我始終都不理解某個點的意思 導致我一直學不好數學 看了你的影片我真的很感謝可以解決我這長久以來無法解決的問題

[@hellosun-uf2gz]

为了了解人工智能在自己所在专业的应用，作为一个中年大叔过来重新学习数学，讲得非常不错。

[@gn01105270]

我也感謝老師授課,這可能是讓我產生興趣的學習方式

[@saminedeek685]

還沒看就先按讚了，看完後太驚訝又按了一次讚才發現剛剛已經按了趕快補回來

[@彌荳子]

老師真的教導的淺顯易懂方式，讓不喜歡算數的我，一看就上癮，更讓我些許的開心對數學有點好奇想學的衝動。唉....可惜了當初的數學老師不是你😿😿😿😿😿😿

[@加西亚上校]

浅显易懂，太好了。自学都很容易精通

[@lp29482117]

看著老師視頻上課還算自學嗎....

[@HMJ2001]

感謝老師！大學老師都直接給定義、公式，高中也沒學過，根本不知道微分到底怎麼來的...但看了老師的影片後茅塞頓開，解答了我的疑惑！！！

[@劉安安妮]

莊雅清同學問到我的經驗，我用捲桶衛生紙說明 ，打開它是直角平面，捲起它是圓柱體，用平行四邊形求總面積，用三維積分求體積，並想像當初造化如何用點線面造出無窮無盡宇宙， 真是美麗啊！

[@somethingstupidlikeiloveu]

解释得很好哦！

[@everybodyqqq]

這老師真的教得很好 給這老師教到的學生真的很幸運

[@alexding8660]

没想到翻墙出来看数学。。。这么好的老师~真好

[@kuo8686]

老師的聲音好像費玉清，很好聽。

[@竹青i]

适合初学者和对概念不清晰的同学。这位老师教的很认真尽责。

[@arin79016]

這老師很棒 聽得我受穫良多

[@kas123459]

老師 您教得真好~!~! 好希望 我微積分是給你教的 好像在聽故事 但都聽得懂

[@o40004000]

對的，真的像是在聽一個有趣的故事。1

[@duoweiwong8308]

講dx/dt 的 d 用一滴滴理解非常好，因為完全合乎粤語的意思。

[@changiming7542]

數學說的精彩又清楚！👍

[@eric199611031]

老師講的真棒!

[@hellobaguette8358]

真心地想說 謝謝老師教導

[@weichangshann]

Macy Baguette 很高興看到你這麼說。謝謝。

[@HandsomePh.D]

觀念說得非常好啊！

[@rosecarolhuang]

謝謝這位老師的詳細解說~對於念法商的我來說很容易理解呢!!

[@ricekuo853]

謝謝分享，解釋得很透徹！

[@manbingable]

謝謝老師，說的真的很棒

[@123gitam]

很有趣呢 我這個未接觸過微分的人也對它有了了解

[@kueichenglee7583]

謝謝

[@f4568525153]

喜歡這個老師....

[@skysimon2675]

不错的解说，字体也整齐

[@32--326]

5分45秒，一滴滴的形容好幽默啊👍

[@limlim4251]

老师讲解清楚，容易明白。谢谢。另外 为了台湾区人们好： 人类为了改进生活需要和配合新时代速度而发明“简体字和通用键盘的汉语拼音”。中国大陆的教师在黑板上写完了，开始教课，台湾区和香港教师还在黑板写，写的速度慢了半拍，跟不上时代。台湾区和香港是时候谦虚学习和应用 配合时代的简体字和汉语拼音。

[@ShannMath]

我寫字慢，也有人可以很快寫完。不論如何，寫字的時間可以用技術克服。我後來拍攝的教學影片，都把寫字的影像快速播放過去，達到節省時間的效果。

[@limlim4251]

您好，视频这位教师棒！ 台湾地区哥儿们需要跟着简体字 汉语拼音的时代进步。例如，如果我们不跟进时代进步的，可能还要用甲骨文。。哈哈哈！

[@lamylu74]

@@ShannMath雖然是多年前的影片，我沒學過微積分，現在才看到老師的影片，覺得很有興趣繼續看下去，寫字速度很適當、講述也很清晰、一步一步循序漸進，謝謝老師的分享！❤

[@familykeepersca]

謝謝，很大幫助!

[@浤銘-s2i]

9:17~講到的詭論可以參考 zh.wikipedia.org/wiki/%E8%8A%9D%E8%AF%BA%E6%82%96%E8%AE%BA 聽不懂的時候用這個安慰自己～原來人類被這個問題卡住了兩千多年 謝謝老師

[@pipibear811120]

讲解太棒了！

[@changyeh]

微分我的理解是函數曲線其斜率的变化情形但是在瞬時，

[@Krisin791]

謝謝老師

[@liangli-b9g]

一滴滴这个解释真的很好😊

[@davidlau3913]

老师讲的好，谢谢

[@crowyanan]

谢谢老师，恍然大悟～

[@SEShenliang]

good

[@别样传媒]

好多年沒沒明白的，終於懂了，這才明白有人說，數學老師，大概只有5～8%才能有效的教學

[@clevensvoneinzbern7055]

哇 這如果是我第一次接觸到函數的教法 那我基礎真的會超好

[@笨羊-y5r]

老師 最後的式子要如何運算呢?

[@316derek316]

老師很有趣哦,加油

[@friendtaiwan354]

謝謝囉，受教!

[@chunqiangli3636]

精彩！

[@RealmeC53-h9m]

老师很棒

[@linlin-pj6zv]

台湾的老师就是高素质

[@hungah9564]

牛逼 講的好清楚

[@chadhu5846]

“一滴滴” ， 这个表述好可爱·· 思考的味道

[@mizhou2539]

老师讲的真不错👍

[@stevenliu4592]

精彩，娓娓道来，还有文学美

[@victorchen4919]

Marvelous teacher

[@haileyhan5802]

老师很棒！

[@伯如玉]

老師的整個視頻是要去哪裡找

[@Kiki-vz1xn]

哇~4年級生不該看~QAQ（腦袋要爆了~）不過老師講的好棒棒👍

[@OAA-t6v]

現在高三可以回來看了😂😂😂

[@Kiki-vz1xn]

@@OAA-t6v 你太用心了..我大學了：0！

[@OAA-t6v]

@@Kiki-vz1xn 加油！

[@XiangminLiu1008]

数学是一门哲学

[@Vggftfvbmmhgg]

我大学有这种有趣的老师。。可能不会挂科了

[@林承翰-w4p]

如何才能看完整（持續）的課程？（拜求）

[@郭大堡]

要是當年給單老師教 我的微積分就不用重修了吧QQ

[@mochismoothie4664]

老师好可爱....喜欢老师举的例子感觉很生动～～～～～～～Ⓣ⃞ⓗ⃞ⓐ⃞ⓝ⃞ⓚ⃞ Ⓨ⃞ⓞ⃞ⓤ⃞ (˘͈ ૢᵕ ॣ˘͈)

[@viscountliberty4339]

請教 : (甲)設有一函數F(x)，當h→c(不為0)，lim(F(x)/h)可否等同(limF(x))/h ? (乙)設有一函數G(x)，當h→c(不為0)，lim(G(x+h)/h)可否等同(limG(x+h))/h ?

[@weichangshann]

Viscount Liberty 「正確」的答覆是：只要 F 和 G 在 c 或 c+h 之處是連續的，就可以等同。如果你不懂「連續」是什麼意思，則幾乎可以這麼說：如果 F 和 G 是高中數學課本裡面學過的函數，而且代入 c 或 c+h 可以得到一個對應的數，則它就可以等同。

[@viscountliberty4339]

如果，是當h趨近於0, 則lim(F(x)/h)是否仍等同(limF(x))/h ? 而lim(G(x+h)/h)是否仍等同(limG(x+h))/h ?

[@weichangshann]

如果 h 趨近於 0，分母的 h 要不要跟著趨近 0 呢？如果不要，它是某個非零的定數，那就跟之前的說明是一樣的。

[@viscountliberty4339]

若分母的h也要跟著趨近 0，則lim(F(x)/h)是否仍然等同(limF(x))/h ? 而lim(G(x+h)/h)是否仍然等同(limG(x+h))/h ?

[@weichangshann]

你的問題很不清楚，我讀不懂你的提問。

[@weizhou5387]

很喜欢这个课程。大学的时候，微积分老师上来就开始讲微积分的公式，非常的枯燥和无聊。

[@changyeh]

距離對時間的瞬時变化是速度來理解

[@user-yuyinjie]

“无穷”确切的含义是不可确知，是基于神秘的存在。“有限”就是可以确知的含义，是基于秩序的存在。如速度、杯子与人等都是有限的，所以是可以确知的，如果是无限的就坏了，那么就不可确知或不存在了。

[@曹郡維]

徹底微妙的解釋

[@鍾斯華]

OP 函數 含字中翻錯

[@stevenlee1504]

老師，我想跟您學，有教嗎？謝謝

[@weichangshann]

今年（2018）暑假，在中央大學開「微積分先修班」。請向中央大學教務處查詢。

[@jasonchang6182]

不好意思，想請問一下這部影片（函數vs微分）不止這樣吧？求後續

[@weichangshann]

油管的播放清單 goo.gl/zjg7wV

[@jasonchang6182]

@@weichangshann 感謝

[@jackyesyes2000]

想到以前的微積分老師 只會辟哩叭啦算一堆公式 講來講去也只有老師懂 下面的學生鴨子聽雷

[@veresno8230]

這裡唯一讓我矇的地方，只有17世紀是個單純的年代這句話

[@王朝亚]

台湾的老师

[@lopren6509]

看了老師的視頻，現在想不學都難

[@viscountliberty4339]

設有一函數u=g(x)，Δu=g(x+Δx)-g(x)。當Δx→0，lim(Δu/Δx)等於g(x)之導數。茲請教：(Δx→0)limΔu ( 注意：係Δu，未除以Δx)可否等同或寫成du？

[@weichangshann]

Viscount Liberty 在正式的數學裡，不行。如果 g 是連續函數，你的極限是 0，否則它不存在。但是你可以「私下」用這個「類比」來幫助自己思考和推理。如此推理出來的「新」結論不一定正確，還需要嚴謹地數學論證。

[@viscountliberty4339]

您所謂「類比」，指的是在推導過程中的使用時視為相等嗎？ 而du是一個極小值的極限嗎？或，du只是一個極小值，而非極限？ 敬請 指點。

[@weichangshann]

用您自己的話：「du只是一個極小值，而非極限」說得好。這個「極小而又非零」的觀念，有個專有名詞「無窮小」(Infinitesimal)，在數學界可謂一樁三百年的公案了，可以查到許多故事（和八卦）。所謂「類比」是指 du 和積分符號（拉長的 S）類比於 Δu 和 Σ 。

[@youtei7513]

瞬间变化率是求导么，这两者之间的区别是什么

[@ShannMath]

「求導」是動詞，求得的是「導數」，它的意義即「y隨x改變的瞬間變化率」。

[@youtei7513]

@@ShannMath 感謝指導！

[@カン-b3j]

不應該說t=a的，這不是數學上的bug 而是a沒去定義清楚 如果t=a就表示時間根本沒動 時間沒動表示之後也不會動 也就是說根本沒在移動 老師沒去定義a是甚麼，我猜a大概是移動過後的時間 所以 t不能=a，因為他是移動過後的時間

[@BieZhang]

t无限接近于a

[@东山道士]

在正确的时间遇到正确的老师 乀(ˉεˉ乀)翻趟墙我赚辽。得瑟一下