Was soll eigentlich dieses Spatprodukt sein? (Herleitung und Erklärung)

Die Berechnung des (orientierten) Volumens, welches von drei Vektoren aufgespannt wird, hängt eng mit dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt zusammen. Die Volumenformel, auch als Spatprodukt bekannt, wird hier Schritt für Schritt erklärt, um ihre Bedeutung zu verdeutlichen und ihre Anwendung auf beliebige Vektoren zu ermöglichen. Während zwei Vektoren eine Fläche, also ein Parallelogramm, erzeugen können, spannen drei Vektoren ein Parallelepiped auf. Um das orientierte (d.h. auch mit einem negativ versehenen Vorzeichen behaftete) Volumen zu berechnen, muss das Spatprodukt gebildet werden, was die Berechnung des Kreuzprodukts und des Skalarprodukts erfordert. Wir zeigen, wie das Kreuzprodukt, auch als Vektorprodukt bekannt, gebildet wird und wie es anschließend im Skalarprodukt zur Lösung beiträgt. Anhand von zwei Beispielen wird dies veranschaulicht, um das Verständnis zu vertiefen.
Hinweis:
Das Spatprodukt im allgemeinen auch negativ sein und deswegen werden in der Regel Betragstriche verwendet um ein positives Volumen zu erhalten. Da es sich hierbei um eine allgemeine Darstellung handelt, spricht allerdings nichts gegen ein "negatives Volumen", da es sich hierbei um ein orientiertes Volumen handelt und dieses in der praktischen Anwendung (insbesondere der Physik) tatsächlich von Bedeutung ist. Natürlich ist das abhängig von der Anwendung und sollte im entsprechenden Kontext beachtet werden.
#Spatprodukt
#Kreuzprodukt
#Skalarprodukt

[@ironiska3752]

Ich wusste zwar wie man das Spatprodukt berechnet, aber durch die geometrische Beschreibung ist mir jetzt erst klar geworden warum das so ist 😊

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

Vorsicht! Das Spatprodukt dreier Vektoren kann auch negativ sein, ein Volumen jedoch nicht. Daher müssen in der Formel für das Volumen um das Spatprodukt Betragstriche notiert werden. Auch sollte man im Sinus und im Kosinus das Gradzeichen notieren, da sonst das Bogenmaß gemeint ist.

[@mathe-faust]

Danke für deinen Kommentar. Das stimmt! Das Spatprodukt kann hierbei auch negativ sein und deswegen werden in der Regel Betragstriche verwendet. Das hatte ich im Video sogar drin und habe es nachträglich entfernt. Da es sich hierbei um eine allgemeine Darstellung handelt, spricht meiner Meinung nach auch nichts gegen ein "negatives Volumen", da dieses in der praktischen Anwendung (insbesondere der Physik) tatsächlich von Bedeutung ist. Natürlich ist das abhängig von der Anwendung und sollte im entsprechenden Kontext beachtet werden. Das Grad-Zeichen hätte ich auf jeden Fall reinpacken sollen. Guter Hinweis, danke:)

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

@@mathe-faust Autsch, ein negatives Volumen. Wir müssen uns ja nicht überall einig sein!😉

[@zirkq]

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[@mathe-faust]

Thx:)