長方形の分割 愛知県（改） 令和4年度 2022 入試問題100題解説88問目！

[@nurupostar]

予告問題 EからABに垂線を引き交点をFとする △AED:△EBC=16:24=2:3であるから AF:FB=2:3 また、△AFEは直角二等辺三角形なのでAF=FE よって、AB:FE=5:2 ABの長さをxと置くと、FEは2/5xとなるので x*2/5x*1/2=10 これを解くとx=±5√2 AB>0なので、ABの長さは5√2

[@山田太郎-g9v1s]

Eに垂線を引けば左が20で右が60、三角形の面積ははその1/2

[@karkinos2273]

AB=xcmとすると △ABEの高さは20/xcm ABCD=80cm²なので AD=80/xcm △DECの高さは (80-20)/x=60/xcmなので x×60/x×1/2=30cm²

[@まっちゃん-k6q]

△ABE+△CDEの面積が長方形ABCDの面積の半分になることは、等積変形を利用しても示すことができますね。今回は、本当に一瞬で答が出せました。

[@miyamakuwagta]

川端先生の合同な三角形の４対で面積が半分になる説明で正しいわけですが、△ABEと△CDEを等積変形して説明したほうが合同な三角形の対の数が少なくなるので説明しやすいような気がします。 点Eを通る辺BCへの垂線の足をFとし、点Eを通る辺DAへの垂線の足をGとすれば、△ABEを等積変形したものが△ABFであり、それは△FGAと合同。 且つ、△CDEを等積変形したものが△CDFであり、それは△GFDと合同。 従って△ABEと△CDEの面積の和は四角形ABCDの半分となり・・・（以下説明略）

[@hiDEmi_oCHi]

等積変形で考えました。 △ABEと△DCEにおいて AB=CDで底辺の長さが同じ。 高さは２つの三角形の高さを合計するとADとなる。 以上より、 △ABE+△DCE=底辺(AB)×高さ(AD)×1/2 となるから長方形の面積の半分で40c㎡。 △ABEは10c㎡だから△DCEは30c㎡。

[@服部浩行]

前段の△ABE +△CDE=1/2□ABCDについては Eを通り、ABに平行な直線を引き、BCとの交点をF、ADとの交点をGとする。 △ABE=△ABF 同様に、△CDE=△CDF AFは長方形ABFGの対角線なので面積を2等分している。 DFも同様。 よって、(80×1/2)-10=30 等積変形がわかれば実際は暗算ですね。

[@イダリット]

向い合わせの三角形の高さの和が常にABまたはADになるって気づいたらAB*AD*1/2になるやんって気づいて一瞬後に終わってた。

[@tomoniyoakewo]

これは大問3(2)の①ですね 点Eがど真ん中にあったとして、Eを左に動かして上に動かしたのが問の図形だから、等積変形2回使ってるようなもの 直感が働けば3秒で終わる問題。

[@じぇいがいも]

等積変形で点Eを辺AD上かBC上に移動させるのが1番わかりやすいかな？

[@佐藤広-c4p]

Eが長方形内のどこにあっても、△ADEと△BCEの面積の和＝底辺（AD/BC)×高さ(AB/CD)×1/2=長方形の面積×1/2、また、△ABEと△CDEの面積の和＝底辺（AB/CD)×高さ(AD/BC)×1/2=長方形の面積×1/2　に気が付けば、それで解が出ますね。

[@BaggageSea]

ABをX㎝、BCをy㎝と置いてEを通るABに並行な垂線をひきました。 そしてBCとの交点をFとしBF・FCそれぞれy’.y"としました。 また条件からxy =80となりまた1/2xy’=10となりxy’=20なので垂線で切断した左側の長方形は20㎝＾2よって残りの60はxy"となりこれを二分の一してやりました！

[@tsurumy]

次回 求めるAB＝Xと置く． △ADE＝16なので、Eを通る水平な線で切り取った上側の長方形の面積は、32。よって△ADEの（ADを底辺とした）高さは、(32/80)X＝(2/5)Ｘ. 一方、△ABE＝10＝Ｘ×｛△ABEの（ABを底辺とした）高さ｝×1/2なので、△ABEの高さ＝20/Ｘ. ∠BAE＝45°なので、△ADEの高さ＝△ABEの高さ．すなわち(2/5)Ｘ＝20/Ｘ　→　Ｘ^2＝50　→　Ｘ＝±5√2 AB＞0なので、AB＝5√2

[@diuqstoto8336]

等積変形して、Eを辺AB上に移して、長方形から▲ABEと▲BCEの合計を引いたら出てきそうだけど、落ち着いて考えれば、直感的にわかる様になってるんだね。

[@TAK-K]

EからAB、DCに向かって垂線を下ろせば(交点F,G)、 AB＝DC、EF＋EG＝ADになることから、 △ABE＋△DCE＝AB×EF×1/2 ＋ DC×EG×1/2＝AB×(EF＋EG)×1/2＝AB×AD×1/2＝80×1/2＝40、△DCE＝40－△ABE＝30 論述しろと言われたら、このほうがめんどくさくないかな

[@tomoniyoakewo]

今年の愛知県Aは大問3より大問2の方が難しかった印象 あと大問1だと(7)のみ他に比べて少しだけを難しかった感じ

[@こここ-t1n]

3桁の数字の問題難しかった

[@rotto1610]

@@こここ-t1n 解けた!

[@nagsa_lino]

@@こここ-t1n 以前同じような問題があったからまあまあ楽に解けた()

[@こここ-t1n]

@@rotto1610 まじか！すげえ！a－c=4までは行けたがbを考えるのを忘れてました笑

[@rotto1610]

@@こここ-t1n bって関係あったっけ? どうせ消えるから関係ないんじゃない?

[@晃杉山]

納得しました｡

[@rotto1610]

自分は、AEを対角線とする線を2本引くと、三角形BAE＝45度なので、正方形になるから、面積比からAB:AD＝5:8になるからab＝5√2と求めてやりました。 受験の時めっちゃ不安でした。

[@トーマスナイト]

現役じゃない自分でもすぐわかったんですから受験生には大楽勝だったことでしょう

[@nagsa_lino]

マジで時間足りなかったりで解けなかった　by受験生

[@非論理的なサイ]

一瞬で分かりました

[@GO-ts1nu]

一瞬は0.36秒だから不可能

[@yuuppcc]

次回の問題 三角形ABEと三角形三角形ADEは高さが等しく面積比が10：16なので、その底辺の比である AB:ADが10：16であることがわかる。 従って、 AB×AD=80 AB×(16/10)AB=80 16×AB×AB=800 4×AB=20√2 (ABは正なので) AB=5√2

[@tomoniyoakewo]

縦を5x、横を8xにして、x=√2って解いてもいいかもね

[@yuuppcc]

別解 点Eから辺ABと辺ADにおろした垂線と交わる点をそれぞれ点F,点Gとしたうえで、辺AF,辺FB,辺GDの長さをそれぞれx,y,zとおく。 三角形ABEにおいて (1/2)×(x+y)×x=10 x+y=20/x ・・・① 三角形ADEにおいて (1/2)×(x+z)×x=16 (x+z)=32/x ・・・② 長方形ABCDにおいて (x+y)×(x+z)=80 これに①,②を代入して (20/x)×(32/x)=80 x^2=20×32÷80 x^2=8 x=√8 求める長さはx+yなので、①に代入して、 AB=20÷√8 =(20√2)÷√16 =5√2

[@yuuppcc]

@@tomoniyoakewo 16が平方数だったのでそのままにした方が良いかなとおもったのですが、仰るように先に約分した方が早かったかもしれない・・・。

[@メロンパン-m5n]

これ次に解説される②から解けたって人いますか?

[@acidblack3303]

②の方が見た瞬間に「底辺の比が10対16か～」って分かりますよね

[@左斜め宣言]

実際に試験を受けましたが②から僕は解きましたね ①番はケアレスミスやらかしましたけど

[@guilty2487]

比で表せばすぐに解けますよ！

[@アユレナノ]

これは“知ってた”問題でした

[@糀谷浩一-x6v]

〇×△□…。プレステかいっ。

[@NicolausCopernicus91]

Eを通ってABとCDに平行な直線引いたら終わり

[@無責任軍曹]

直感で30cm^2ってのがわかるけど、その解法を説明するのが数学ですな。

[@jubemin66]

今年の愛知は例年より簡単な気がします

[@マヨネーズ太郎]

理科とかめちゃくちゃ簡単になりましたよね でも、数学はむずくなったという友達が大多数でした

[@恋々]

結構難しい…

[@yhara6284]

中学の入試問題でも簡単な部類。

[@ms.sazae.i]

0.2秒問題

[@劉秋瑩-d7r]

30cm^2

[@こんにちわんこ-m5b]

等積変形かな？

[@toshiyatakanashi2159]

ミヤマクワガタさんの解法の具体的な記述例。どなたかも指摘しているように、頭の中の目で理解していることを説明するのは煩雑なものとなりがち。 長方形ABCDの上辺ADから下辺BCに対して点Eを通る垂線とそれぞれの辺の交点をG,Fとする。 三角形ABFを辺DCまで辺BCに添って水平移動する。 それによって出来上がる平行四辺形AFF'Dを考える。 件の平行四辺形は、それを二分割する線FDの中心に対して1／2回転対象である。 したがって、三角形ABF+三角形FCDの面積は長方形ABCDの1／2である。 三角形の面積はFCD=ECDであるから、三角形ECD=80／2－10＝30である。 動画の解法より簡潔かどうかは見方に因るが、二対の図形である点で簡潔だ。しかし等積変形を伴うので小学生の理解としては動画の方が簡明であるかもしれない。また　解釈者の手法選択の問題でもある。

[@matsumickey]

単純に三角形の面積は底辺×高さ÷2、長方形の面積は底辺×高さということから考えてもいいかなと思いました。

[@nanu_no]

はやコメ！ 今日はすぐに答えわかったうれしい

[@shiibahiromi2140]

これは見た瞬間、分かりました

[@tomoniyoakewo]

愛知県入試だとかなり珍しいよね ①と②の関連性が何もないやつは

[@EUREKARIKA]

今年の愛知県の数学は6分で解き切りました

[@tomoniyoakewo]

割とわかるwめっちゃ難しいって思う問が無かったw

[@パンドラの箱の中身]

俺が待ってた問題かもしれない。

[@otsukuridesu]

うん。一昨日これで死んだんですよね

[@nagsa_lino]

俺もこれで見事に大問3全部4にました()