テイラー展開１．微積分学の基本定理

[@砂埃-x1p]

22:15 目から鱗です。 ありがとうございました♪

[@sugaku_kyoshitsu]

ありがとうございます！

[@23aa98]

なるほど、積分は面積というか変化量なのか

[@sugaku_kyoshitsu]

はい。原始関数の変化量とも捉えられるし、元の関数の面積と捉えられる、ということです。 ※もちろん積分記号∫そのものには和の意味しかありませんが 基本定理の理解としてはその辺が良いのかなと思ってます。 コメントありがとうございます。

[@23aa98]

@@sugaku_kyoshitsu 面積と原始関数が表裏一体なら、積分される関数を面積の変化率と捉えるのはどーですかね 微小面積 dS/dx = x²dx/dx =f'(x) みたいな f'(x)の積分でグラフの面積に戻るっていう

[@sugaku_kyoshitsu]

すみません、気づくの遅れました。ぼくの返信に対する返信には通知が来ないのでご了承ください。 そうですね。横の長さ変化dxに対する面積関数S(x)の変化率として捉えることも可能です。

[@wasa4048]

ありがとうございます。10年来の呪縛から抜け出せました。ずっと、傾きを示す微分と面積を示す積分が逆の操作だという説明に違和感があったのです。 それが本動画で成仏しました。

[@sugaku_kyoshitsu]

面積や傾きは捉え方のひとつにすぎない。っていうのが大切ですよね。解決したみたいで嬉しいです。

[@keizotomita]

金融理論を研究していますが、ふと昔に戻って基本をおさらいしたいと思い、拝見しました。　非常に分かり易い理論展開でした。 有難うございました。

[@sugaku_kyoshitsu]

ありがとうございます✨

[@ちろりん_chirorin]

25:52のグラフに質問です． この太い青い上向きの矢印は，f(x)のグラフにピッタリ重なっています． しかし，「Δx」と「傾き」をかけ算するとf(x)にピッタリ重なることは無く， それらをつないで行くと誤差がどんどん積算されたグラフになるんじゃないでしょうか？

[@sugaku_kyoshitsu]

あまり本質的ではないと判断して省略させて頂きましたが、 気になる場合はExcelなどで計算して確かめてみると良いかもしれません。 Δxが小さくなるほど誤差が小さくなる事が確認できるので。

[@ちろりん_chirorin]

やはりこのグラフは正確に描いたグラフでは無く，説明のためのグラフだったのですね． それが疑問でした． お返事，ご説明ありがとうございました．

[@defabc6276]

大学1年の時、最初に習ったのがティラー展開でした。係数を求めるのに、計算尺と算盤と七桁対数本が必要でした。しかし、あの項の後ろの[. ・・・・・・・]が気になって、不安感と厳密さの無い数学、など不信感に悩みました。ようつべ先生の哲学的お言葉に、感動しています。算数、数学嫌いな若い人が多いのは、教授法に問題があると考えています。末期高齢者になってようやくティラー展開の本質に出逢ったような気がします。

[@sugaku_kyoshitsu]

ありがとうございます！！ 哲学的でたまにおこられるんで、そう言ってもらえると非常に嬉しいです。 そう、剰余項気になりますよね。 にしても算盤と7桁対数本って凄いですね、、ぼくからすると逆に羨ましいです笑笑 ロマンを感じます。 数学嫌いな人を数学好きに変えられるように頑張ってみます！

[@にいと-f8y]

中3だけど(数ⅲまでやってる)前よりちょっとテイラー展開が理解できた！ありがとう！

[@sugaku_kyoshitsu]

中学3年でそこまで達するなんて凄すぎです。その感じなら高校で場の量子論までいけると思います。 コメントありがとうございます。

[@にいと-f8y]

@@sugaku_kyoshitsu ありがとうございます！ 一応確認なんですけど、マクローリン展開とは、ある関数をa+bx^c+dx^e…という形で表すために一次の項、二次の項と足していき微分することでそれ以下の次数の項を消して係数を求めて近似するという認識で正しいでしょうか？

[@sugaku_kyoshitsu]

はい。ざっくりは。もし(x-a)^nで展開するとしたら、最低限、微分係数たちがx=aで一致する必要があり、そこから係数がもとまります。 ただ、そもそも展開して良いのかどうかはこの議論だけでは分かりません。あくまでもオリジナルの変化率を模倣した多項式にすぎず、必然性がないためです。 そのため、上記の方法で作った多項式と元の関数の誤差をとって、近似の次数とともにその誤差が収束することを調べる必要があります。 勉強熱心で素晴らしいです。

[@lyricospinto8940]

整式を因数分解する際などに 降べきの順に並べなさいと口を酸っぱくして言われたりして 陽関数の方程式を降べき昇べきの順に並べるのには 何か特別なこだわりがあってのことなんだろうか？って 高校生のころにふと疑問に思ったことがあるんですが すべてはこのためだったんだと 霧が晴れたように腑に落ちたのを憶えています

[@sugaku_kyoshitsu]

確かに。支配的な項から並べるという意味もあるのかも知れませんね。xが大きいときは降べきの順、xが小さいときは昇べきの順というかたちで。 コメントありがとうございます！

[@K六]

形式からくる意味の理解についてのニュアンスが好き。

[@sugaku_kyoshitsu]

ありがとうございます！

[@荻野憲一-p7o]

テイラー展開は「近傍での」近似なので、 大域でグラフが似てる似てないという話は たいへん嘘くさい。

[@sugaku_kyoshitsu]

失礼しました。。

[@uchi0123]

この説明はいいですね。グラフのソフトはなんでしょうか？

[@sugaku_kyoshitsu]

ありがとうございます。desmosって調べると出てきますよ👍

[@uchi0123]

ようつべ先生の数学教室 ありがとうございます。調べてみます。

[@ワッシュー]

f（０）じゃなく、ｆ₀　と表記したのは何故ですか？ ｘ＝０のときのｆ（ｘ）なので、ｆ（０）の方が感覚的にわかりやすいのですが、敢えてｆ₀　にしているのはどんな意味があるのですか？

[@sugaku_kyoshitsu]

物理で初期値をx(0)=x0, v(0)=v0のように表すのと同じ感覚で書いてしまいました。注釈を入れるべきでしたね😅 申し訳ないです、次から注釈を 入れるようにしますね。

[@yamatootaka1134]

質問なのですが、微分積分学の基本定理の別表現は数式でどのように証明するのでしょうか？？

[@sugaku_kyoshitsu]

あー、、難しい質問ですね。証明となると多分数学科の人に教えてもらわなきゃです。ぼくにはちゃんとした証明はできないかもです(笑)

[@yamatootaka1134]

では、「微分積分学の基本定理」から「微分積分学の基本定理の別表現」への変形はどのようしたら数式で導くことができますか？？

[@sugaku_kyoshitsu]

ん、、あれ。ごめんなさい、別表現って何でしたっけ。2年前くらいの動画なので覚えていないのですが。 とりあえず 微分値を積分するのは、数列において差分の和をとるのと同じ仕組みです。なので一旦離散化して考えると、変形の話も納得いくと思います。

[@ryujis5451]

面白い

[@sugaku_kyoshitsu]

ありがとうございます！

[@Donnguri07]

主さんは工学部の院生か何かでしょうか？ 数学的な議論が素晴らしいです

[@sugaku_kyoshitsu]

はい数学が好きなのに間違えて工学部来ちゃいました笑。でも基本的に全科目好きです。大学院1年になりました📚 応援コメントありがとうございます📝めちゃくちゃ喜んでます🥳

[@荻野憲一-p7o]

関数が冪級数展開できたとしたら その係数はテイラー展開の係数となる他ない という議論が、必要性の話でしかない という指摘は全く正しい。 その正しさは、いわゆるスロースターター関数 f(x) = (x≠0のとき) e^(-1/x^2) f(0) = 0 などを考えれば解る。

[@sugaku_kyoshitsu]

コメントありがとうございます。その関数は初めて聞きました。お詳しいですね。

[@blackcat009]

何十年も前の高校時代から「傾きを求める微分の逆関数（積分）で、何で面積が出てくるの？」とずーっと疑問でした。 それから、機会がある毎に質問をしてきましたが、私の頭レベルでは納得行く回答が得られませんでした。 今日、この講義で初めて「腑に落ちる」回答を得ました。 他の講座も、楽しみに見ています。 これからも、考え方の本質をつく講座、お願いします。

[@sugaku_kyoshitsu]

そうなんですよね、なんで逆なんだろうって。でも答えは意外とシンプルで。 小さく分けたものをくっつけると大きな変化になる。その捉え方として傾きや積分があるだけ。 ってことなんですよね。 こういった疑問を持ちつづける人が他にもいた事を知ってとても嬉しいです。コメントして下さってありがとうございます。また頑張ります。

[@荻野憲一-p7o]

テイラー展開は、微分の基礎の基礎なので、 その説明に積分を援用するのは 不用意な大鑑巨砲主義に感じられる。 年配の先生なら、「びぶんのことはびぶんでしろ」 と言うかもしれない。

[@sugaku_kyoshitsu]

それもそうかもしれませんね。 失礼しました。

[@kkkkyyyy8378]

基本定理の説明のf_2の説明が非常にわかりやすかったのですが、この解釈だと、分割数を無限大にする（dxを無限小にする）意味があんまり無さそうに感じました。別に分割数に依らずにf_2と一致しそうかな感じがします。 頓珍漢な質問でしたら申し訳ございません。

[@sugaku_kyoshitsu]

まさしくその通りで、実はステップ幅が小さくなくても原始関数を見つけることが出来ると考えています。 ちょうど昨日(2022/3/13)解説動画をアップロードしたので、よかったらぜひ。 ↓ kzbin.info/www/bejne/b4rcaKqogNNmmbs

[@K六]

積分は密度、微分は近似のイメージのほうがいいですよね。改めて古典的な意味の理解が新しいものを生むと思います。ネイピア数 の意味を理解している高校生ってほとんどいないですよね。微分しても不変な数が存在する事の素晴らしさをもっと伝えて複素関数解析の素晴らしさを解ってほしい。

[@K六]

例えば確率密度も積分できます。平面の面積は線が集まったものを、 体積は、その平面が集まったものとして考えれます。が確率は物理みたいなピクチャー、言い換えれば幾何学的意味を持たない場合もあるわけです。補足。微分は近似という言い方は不味かったかな。やはりあらゆる概念の極限というほうがいいですよね。ニュｰトン力学が高校のカリキュラムの中で物理においても、また微分積分においても速度や面積を重視するのはそれはそれでいいんですが、微分積分は速度や面積以外にも多大な役割を持っていると言いたいだけです。

[@sugaku_kyoshitsu]

確かに度数分布の階級を細かくすると確率密度分布に近づきますし、和じゃなくて積分になりますもんね。 ネイピア数の誤解も違う文脈ですが思わなくもないですね。コメントありがとうございます📝