Θεώρημα Bolzano (ΘΕΩΡΙΑ)

[@TheGuardianDevil4]

να'στε καλα μακαρι να ηταν ολοι οι καθηγητες σαν και εσας!

[@nikoskoykos5470]

Μπραβο κυριε Μοσχοπουλε! Τα βιντεο και οι σημειωσεις σας ειναι ειναι εκπληκτικα! Εχω σκοπο να δωσω κατακτηριες και με βοηθησαν παρα πολυ.

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Χαίρομαι πάρα πολύ που οι δημοσιεύσεις της ιστοσελίδας και τα βίντεο σάς βοηθούν.

[@zotos555zotos2]

Ωραιος ο bolzano!! Ωραιο θεωρημα και συγχαρητιρια για τα πολυ βοηθιτικα βιντεο

[@dimoshopoulos]

Πράγματι, το θεώρημα Bolzano εμπλέκεται σε πολύ ενδιαφέρουσες και προκλητικές ασκήσεις. Σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια :)

[@xbranykavala]

μπραβο σας κυριε Δημητρη εξαιρετικη δουλεια μακαρι να μπορουσαμε να ειχαμε τετοιους καθηγητες στο σχολειο... με βοηθησαται πολυ σας ευχαριστω!!!!!!

[@dimoshopoulos]

Σ' ευχαριστώ πολύ, Μιχάλη, για τα καλά σου λόγια. Χαίρομαι που το βίντεο σε βοήθησε λίγο παραπάνω στην κατανόηση του σχετικού θέματος.

[@TOPGAMERGR]

Συγχαρητηρια για την δουλεια σας!!! Με βοηθησε πολυ να κατανοησω το θεωρημα αυτο αλλα και τα ορια. Μακαρι στα σχολεια μας να ειχαμε καθηγητες σαν εσας!!! Συνεχιστε την καλη δουλεια!!! :D

[@dimoshopoulos]

Σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, όμως πρέπει ν' αποκαταστήσω μια εσφαλμένη εικόνα που υπάρχει για τον ρόλο του σχολείου. Λοιπόν, το σχολείο δεν έχει τον ίδιο ρόλο μ' ένα φροντιστήριο και αντίστροφα, ένα φροντιστήριο δεν έχει τον ίδιο ρόλο με το σχολείο. Η πρόταση επεκτείνεται και στους σε αυτά διδάσκοντες. Επομένως, πολλές από τις ελευθερίες που έχουμε οι φροντιστές στην διδασκαλία, δυστυχώς δεν τις έχουν οι καθηγητές του σχολείου, κάτι που αναγκαστικά αλλάζει και την πορεία του μαθήματος. Μην «πυροβολείτε» τους καθηγητές του σχολείου, διότι πολλά περισσότερα (και διαφορετικά) θα 'θελαν κι οι ίδιοι να πουν και να κάνουν, αλλά περιορίζονται για διάφορους λόγους. :)

[@sslkm]

Σας ευχαριστώ πόλυ για αυτα τα βιντεάκια, ειμαι μαθήτρια γ' λυκειου και οταν δεν καταλαβαίνω κάτι στο σχολείο ή στο φροντιστήριο γυρνάω πάντα σε εσας!

[@dimoshopoulos]

Να είστε καλά. Μόνο που δεν είναι «βιντεάκια», αλλά μαθήματα σχεδόν μίας ώρας! Επίσης, θα βρείτε πολλά περισσότερα και πολύ πιο αναλυτικά στα βιβλία που έχω γράψει για την Γ΄Λυκείου και υπάρχουν στην ιστοσελίδα.

[@dimidora3]

Να'στε καλά για το έργο που πραττετε!! Είστε πολύ βοηθητικός

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια :-)

[@theodoratzanni9974]

πολυ καλη δουλεια!!! τα βιντεο σας βοηθουν παρα πολυ τα παιδια που δινουν εξετασεις

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια :-) Χαίρομαι πολύ που τα βίντεο στέκονται επάξια στο πλευρό των παιδιών που προετοιμάζονται για τις εξετάσεις.

[@theodoratzanni9974]

το μονο που το μαθηματικο στεκι δεν το ειχαμε βρει απο την αρχη...μακαρι και οι καθηγητες στο σχολειο να εκαναν τοσο καλο μαθημα και να εδειναν και στα παιδια, που δεν μπορουν να κανουν φροντηστηριο,να καταλαβουν και να αγαπησουν τα μαθηματικα.

[@dimoshopoulos]

Το σχολείο έχει διαφορετικό προσανατολισμό από το φροντιστήριο, αλλά και διαφορετικό περιβάλλον. Με το τελευταίο εννοώ ότι στο σχολείο οι καθηγητές έχουν απέναντί τους πολλά περισσότερα παιδιά, απ' ό,τι οι καθηγητές σ' ένα φροντιστήριο. Αυτό αυτομάτως αλλάζει τον τρόπο διδασκαλίας. Τώρα, η πρόκληση να αγαπήσουν τα παιδιά τα Μαθηματικά είναι η μέγιστη πρόκληση ενός καθηγητή, όπου κι αν διδάσκει. Όμως, αυτό είναι διαφορετικό από το να τα κάνει να τα καταλάβουν. Κανένα απ' τα δύο δεν έχει άμεση σχέση με το περιβάλλον στο οποίο γίνεται η διδασκαλία τους, αν και το τελευταίο επηρεάζει σε κάποιον βαθμό. Δεν είναι λίγοι αυτοί που αγάπησαν τα Μαθηματικά (ή την Φυσική ή τα Αρχαία Ελληνικά ή την Γλώσσα) εξ αιτίας κάποιου καθηγητή στο σχολείο...

[@user-xh7rb7nd1d]

Για τις συνέπειες του μπολζανου υπάρχει βίντεο μάθημα;

[@dimoshopoulos]

Ό,τι υπάρχει σε βίντεο μπορείτε να το δείτε στην σχετική λίστα αναπαραγωγής των ορίων. Για μεγαλύτερη ανάλυση στα θέματα των ορίων, στην ιστοσελίδα μου μπορείτε να μελετήσετε δωρεάν το αναλυτικότατο βιβλίο που έχω γράψει για τα όρια.

[@alexanderanastasiadis1999]

Τέτοιοι καθηγητές λοίπουν απο το εκπαιδευτικό μας σύστημα. Να μπορούν να μεταδώσουν εύκολα το αντικείμενο που γνωρίζουν καλά , και φυσικά να μπαίνουν στην θέση των μαθητών. Πολύ καλή επεξήγηση άριστη και άμεση μεταδοτικότητα. Συνεχίστε να δίνετε μια βοήθεια σε κάποιους που δεν μπορούν η δεν έχουν την οικονομική ευχέρεια για φροντηστήρια ή ιδιαίτερα..

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια. Χαίρομαι που τα βίντεο μπορούν και προσφέρουν βοήθεια, έστω και σ' αυτήν την μορφή.

[@dimoshopoulos]

@John Experimentakias: Σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια! Στο ίντερνετ, όμως, θα βρεις πολλούς συναδέλφους μου, οι οποίοι προσφέρουν πολλή βοήθεια μέσω των ιστολογίων και των ιστοσελίδων τους. Εγώ απλά έκανα και μερικά βίντεο...

[@mariazaza5346]

Δημήτρης Μοσχόπουλος ευχαριστούμε πολύ για τα βίντεο αυτά και για τον κόπο σας!☺ είναι πολύ βοηθητικά

[@dimoshopoulos]

Να είστε καλά :-) Χαίρομαι που τα βίντεο σάς βοηθούν.

[@giorgosbountouris6775]

ΜΠΡΑΒΟ ΣΥΝΕΧΙΣΤΕ ΤΗΝ ΚΑΛΗ ΔΟΥΛΕΙΑ

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ πολύ για το ενθαρρυντικό σχόλιο :-)

[@lacreepgr6628]

Σας ευχαριστω!!Με βοηθήσατε ώστε αύριο που θα κάνουμε στο φροντιστήριο το θεώρημα του Bolzano να το ξέρω ήδη😂😂 Συνεχίστε αυτήν την δουλειά!!

[@dimoshopoulos]

Να είστε καλά, χαίρομαι που το βίντεο σάς βοήθησε :-) Στην ιστοσελίδα μου θα δείτε ένα ολόκληρο βιβλίο αφιερωμένο στο κεφάλαιο των ορίων. Μπορείτε να το μελετάτε δωρεάν.

[@dimitrispapado3125]

Στο 2ο παράδειγμα, μπορούσε η f να παρει την τιμή 1; Αφού για χ=1 δεν έχει νόημα η εξίσωση. Παρεπιμπτόντως πολύ καλα videakia, με εχουν βοηθήσει πολύ στις επαναλήψεις.

[@dimoshopoulos]

Η f ορίζεται στο κλειστό διάστημα, όχι η εξίσωση που δίνεται. Όταν η f ανακατευθεί με το κλάσμα και δημιουργηθεί η εξίσωση, τότε αλλάζουν τα πράγματα, αφού πρέπει να ληφθούν υπ' όψιν και οι απαιτήσεις του κλάσματος. Τότε, το 1 δεν περιλαμβάνεται.

[@nazekpurplesyou9739]

Πολύ χρησιμα και βοηθητικα όλα σας τα βίντεο

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ για τα καλά λόγια. Χαίρομαι που τα βίντεο σάς βοηθούν.

[@theodore.b.]

Καλησπέρα κύριε Μοσχόπουλε! Αρχικά να σας ευχαριστήσω για όσα μας έχετε προσφέρει όλα αυτά τα χρόνια μέσα από το το "Μαθηματικό Στέκι". Θα ήθελα να σας ρωτήσω το εξής: Έχετε ανεβάσει βίντεο σχετικά με το θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών;

[@dimoshopoulos]

Χαίρετε και σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια :-) Δεν υπάρχει σχετικό βίντεο (θα το είχατε δει), διότι πολλά από τα θέματα του περί ου ο λόγος θεωρήματος αντιμετωπίζονται με το θεώρημα Bolzano.

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Η f(x) στο δεύτερο παράδειγμα στο δεύτερο βήμα πως γίνεται να είναι συνεχή

[@dimoshopoulos]

Μα αφού δίνεται από την εκφώνηση, ότι η f είναι συνεχής!! Ως προς το γιατί η g είναι, αιτιολογείται αναλυτικά στο βίντεο!

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Δίνεται για μια συνάρτηση f στην εκφώνηση ,αλλά η f(x) τι σχέση έχει;

[@dimoshopoulos]

Απλά δίνεται η f. Τίποτε περισσότερο. Είναι τρομερά σύνηθες στις ασκήσεις.

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Το f:[0,1]->R συνεχής. Με την f(x) τι σχέση έχει;

[@dimoshopoulos]

Δεν βλέπεις προσεκτικά το παράδειγμα, Γιώργο, και κάνεις λανθασμένες ερωτήσεις. Αμέσως μετά την f:[0,1]->R λέει Η ΕΞΙΣΩΣΗ (!!!) f(x) = ... που αυτό σημαίνει ότι η f που δίνεται είναι ΚΑΠΟΙΑ συνάρτηση, της οποίας δεν ξέρουμε τον τύπο (και δεν μας νοιάζει) και η οποία συμμετέχει στην ΕΞΙΣΩΣΗ που δημιουργείται μετά.

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Κύριε δηλαδή λέτε ότι η f(x) περιλαμβάνει την εξίσωση της συνάρτησης της f και αυτό σημαίνει η f είναι συνεχής από την εκφώνηση γι αυτό και η f(x) είναι συνεχής.

[@dimoshopoulos]

Ας το εξηγήσω ακόμη μία φορά. Δίνεται ΚΑΠΟΙΑ συνάρτηση f, με ΚΑΠΟΙΟΝ τύπο (που προφανέστατα δεν δίνεται στην εκφώνηση και ο οποίος δεν μας ενδιαφέρει κιόλας). Αυτή η συνάρτηση f, δίνεται ότι είναι συνεχής (γιατί, δεν μας νοιάζει, αφού δόθηκε στην εκφώνηση). Που λες, στον δρόμο της αυτή η κάποια συνάρτηση f, βρίσκει το κλάσμα που βλέπεις (που επίσης είναι μία συνάρτηση) και λένε "Δεν συνεργαζόμαστε οι δυό μας, εγώ σαν f να κάτσω αριστερά στην ισότητα, εσύ σαν κλάσμα να κάτσεις δεξιά στην ισότητα, να δημιουργήσουμε οι δυό μας μια εξίσωση και να ζητήσουμε από τους μαθητές να αποδείξουν ότι η εξίσωση που οι δυό μας φτιάξαμε έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα;" Και κάπως έτσι, αγαπητέ Γιώργο, η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f και η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ που αντιπροσωπεύει το κλάσμα, δημιούργησαν την ΕΞΙΣΩΣΗ που βλέπεις. Άλλο ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ κι άλλο ΕΞΙΣΩΣΗ.

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Δηλαδή η f(x) είναι συνεχής από το f:[0,1]->R συνεχής.

[@dimoshopoulos]

Γιώργο, πιο απλά δεν γίνεται να στο εξηγήσω.

[@ΓιωργοςΓαλάρης-ψ3β]

θελω να βρω το οριο του (1-cosx)/x^2 και δεν με αφηνουν να κανω L" Hospital καμιά ιδέα?

[@dimoshopoulos]

Και γιατί «δεν σας αφήνουν»;;; Είμαστε σοβαροί;;; Μπορώ να κάνω κάτι γρήγορα και εύκολα, αλλά μου το απαγορεύουν, άρα πρέπει να το κάνω the hard way;;; Για να απαντήσω και στο ερώτημα, πολλαπλασιάστε αριθμητή και παρονομαστή με 1+cosx.

[@ΓιωργοςΓαλάρης-ψ3β]

ευχαριστώ πολύ και εγώ έτσι το πάλεψα!!

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Όχι. Εννοώ ότι η f(x) είναι συνεχής επειδή υπάρχει το f:[0,1]->R συνεχής.

[@riemann80]

πολύ καλή δουλειά...θα μπορούσα να παρατηρήσω τα εξής όσον αφορά το συγκεκριμένο video: Δεν αναφέρετε πουθενά τι το χρειαζόμαστε το θεώρημα του bolzano. Αν κάνατε μία αναφορά σε εξισώσεις που δε λύνονται με συμβατικές μεθόδους, και από την άλλη εξασφαλίζατε (πριν διατύπωσετε το θεώρημα) την ύπαρξη λύσης, τότε ένας μαθητής θα καταλάβαινε καλύτερα νομίζω γιατί αυτό το θεώρημα είναι τόσο χρήσιμο (γιατί εξασφαλίζει λύσεις χωρίς να χρειάζεται να τις βρούμε). Επίσης, μία αναφορά στο πρόσωπο του Bolzano και στο γενικότερο κλίμα της εποχής (18ος αι.), δε θα έβλαπτε, η ιστορία της επιστήμης πάντα κάνει καλό σε μια τάξη (οπότε εδώ που είναι διαδικτυο δε πειράζει). καλή συνέχεια

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια και τις εύστοχες παρατηρήσεις. Ο σκοπός του βίντεο είναι... «καταδρομικός», ήτοι στοχεύει στο να μπει «στο ψητό» της υπόθεσης, μια και η θεματολογία γύρω από το θεώρημα (μπορείτε να την πείτε και ασκησιολογία) είναι λεπτή και πλούσια. Μέσα στον χρόνο του, το βίντεο έπρεπε να θίξει τα καυτά του θέματα. Για να 'μαι ειλικρινής, έχοντας κατά νου να φτιάξω ένα (κατά το δυνατό) περιεκτικό βίντεο, δεν σκέφτηκα αυτά που είπατε. Δεν τα θεωρώ ουσιώδη κενά του όμως.

[@riemann80]

κατανοητό...παρολ αυτά ο μαθητής δεν πείθεται να μελετήσει μόνο εξαιτίας της μόνιμης δικαιολογίας "μπαίνει στις εξετάσεις"...χρειάζεται και κάτι πιο σοβαρό ως λόγο μελέτης. κάτι πέρα από τις εξετάσεις. και αυτό στο σχολείο γίνεται, αυτός ο λόγος δίνεται (όχι πάντα αλλά γίνεται).

[@riemann80]

κατά τα άλλα νομίζω πως τα εξηγείτε πολύ καλά στο βίντεο. και αυτό έχει την κύρια σημασία.

[@dimoshopoulos]

Θα συμφωνούσα μαζί σας σε θεωρητικό επίπεδο, αλλά όχι σε πρακτικό απαραίτητα. Το πώς μπορεί να πεισθεί ένας μαθητής είναι ρευστό θέμα· ο τρόπος που προτείνετε είναι ένας τρόπος, που εφαρμόζεται και στα φροντιστήρια (σε ποιον βαθμό, δεν ξέρω, αλλά ξέρω ότι εφαρμόζεται), όχι μόνο στο σχολείο (και εκεί, δεν ξέρω σε ποιον βαθμό). Όπως και να 'χει, προσπαθούμε να παροτρύνουμε τους μαθητές με διάφορους τρόπους, έτσι δεν είναι;

[@dimoshopoulos]

Σας ευχαριστώ πολύ και πάλι :-)

[@kwnstantinoskanavos6692]

Μνημειο θα σας κανω!

[@dimoshopoulos]

Μην είστε υπερβολικός :-) Σας ευχαριστώ πολύ πάντως, χαίρομαι που το βίντεο σάς βοήθησε.

[@ΓεωργιοςΠαλαιολογος-μ4δ]

Δεν φαίνεται ο πίνακας με τον πράσινο μαρκαδόρο το καλύτερο άσπρο μαυρο

[@dimoshopoulos]

Το βλέπετε σε υπολογιστή, σε πλήρη οθόνη και ανάλυση 1080p ; Υπ' αυτές τις προϋποθέσεις, δεν υπάρχει πρόβλημα με το πράσινο, αλλά θα το έχω υπόψη σε μελλοντικά βίντεο. Ευχαριστώ για την επισήμανση :-)

[@ΓιώργοςΓροσδάνης]

Εγώ θα πάω του χρόνου γ λυκείου

[@dimoshopoulos]

Γιώργο, το email της ιστοσελίδας είναι στην διάθεσή σου, δεν χρειάζεται να γράφεις στον χώρο των σχολίων τα πάντα. Στείλε αυτά που θες να πεις στο [e-mail]