Topologie 10.3 : continuité des applications linéaires - norme subordonnée

[@hichamellouzati-fc6wj]

Un grand merciiii

[@yaellouaked9230]

J'adore ce que vous faites! Est ce que vous comptez réaliser une vidéo (ou une série de vidéos) sur les espaces de Hilbert ? C est un sujet qui m'intéresse beaucoup mais qui est trop complexe pour l'aborder seul. J'ai beaucoup aimé votre construction de l'integrale de Lebesgue et j'adorerai une série équivalente sur les espaces de Hilbert.

[@MathsAdultes]

oui sans doute mais pas tout de suite ;-)

[@hassanyah3935]

Merci ❤

[@guillaumedevaux9411]

Bonjour, A 20.30, pour être sur d'avoir bien compris. On remarque que |||f||| = sup ||f(x)|| mais pas sur la boule mais sur la sphère unité c'est bien ça ? Bon après d'après je pense que ça en revient à regarder ce sup sur la boule unité. En effet soit x appartenant à la boule unité. Alors on a x = k.y avec y vecteur de la sphère unité et |k|

[@MathsAdultes]

exactement :-)

[@francois-xavierhaye5766]

Toujours aussi bien tes vidéos! As tu fait une vidéo où tu démontres le théorème de Riesz ?

[@MathsAdultes]

Oui c'est prévu dans le chapitre sur la compacité :-)

[@ItachI-hb2ct]

C’est possible que vous fassiez une playlist spéciale CPGE de deuxième année svp ?❤🙏🏽

[@bashofskyrene3473]

C’est extra

[@VirginiePoirier-z6n]

Merci pour cette vidéo vraiment éclairante 😀 Une question sur la norme matricielle subordonnée : les matrices représentant un même endomorphisme (mais donc dans des bases différentes) ont-elles la même norme subordonnée ? Ma question est peut-être idiote 🤔

[@MathsAdultes]

Cette question est très intéressante au contraire :-) Et la réponse est qu'en général non... Ok c'est pas terrible comme réponse ! Mais il y a des matrices qui sont semblables à leur double donc ça pose problème... L'idée de la norme subordonnée est qu'elle dépend de la norme et que pour la matrice la norme dépend de la base en fait...

[@didonmostafa6955]

merci

[@sp7409]

Bonjour monsieur et un sincère "merci" pour votre travail. Je me permets de reprendre votre excellente idée sur le fonctionnement du GPS (trilatération) et votre métaphore sur l'île aux sept phares pour des élèves de 6ème ou 5ème. J'aimerais savoir s'il est possible de répondre aux deux dernières questions que vous posez uniquement avec des outils de collégiens car je sèche ! Rappel : 5. Je me promène maintenant de sorte que le son venant du phare Si arrive avec le double de temps que le son venant du phare Do. Où puis-je être ? Si je ne suis pas sur l’île principale, où suis-je ? 6. Ma montre fonctionne toujours, mais elle n’est plus à l’heure ! J’entends le phare Si, puis 5 secondes plus tard le phare La et encore 3 secondes après le phare ré. Où suis-je ? Merci beaucoup (pour retrouver le pdf vous pouvez taper "ile aux sept phares maths gps", il y a le pdf sur exo7).

[@MathsAdultes]

Pas évident avec les notions de collège en effet...

[@sp7409]

@@MathsAdultes Je suppose que la solution que vous aviez envisagée était analytique ? Car sinon je ne trouve pas...Et je dois avouer que pour la dernière question je ne trouve pas solution, avec geogebra notamment (il y avait peut-être une erreur d'énoncé). Merci.

[@ElioGuardiola-Falco]

Je pense que j'ai trouvé l'expression de la norme triple matricielle subordonnée à la norme 2 pour les matrices carrés réelles 2x2. la matrice c'est la A de l'énoncé 10.10 on pose f(x,y)=(ax+by)²+(cx+dy)² on cherche à maximiser f pour x et y réels, avec la contraint x²+y²=1. on fait le changement de variable angulaire : x=cos(t), y=sin(t) qui parcours bien toutes les valeurs possibles de x et y puisque (x,y) est sur le cercle unité. alors on pose g(t)=(acos(t)+bsin(t))²+(ccos(t)+dsin(t))² et g'(t)=cos(t)sin(t)(b²+a²-d²-c²)+dcos(2t)(a+c) après réarrangement (on enlève un 2 qui traîne). Si g'(t)=0 alors t vérifie : cos(t)sin(t)(b²+a²-d²-c²)=-cos(2t)(ad+cd) d'où cos(t)sin(t)/cos(2t)=(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²) d'où (sinus de l'angle double) tan(2t)=2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²) d'où t=(1/2)arctan(2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²))+kpi/2, k relatif vu qu'on va prendre le cosinus et le sinus de t on se rend compte que si k est pair cos(x+pi)=-cos(x) et sin(x+pi)=-sin(x) mais vu que le bouzin est au carré dans f ça revient au même donc on peut considérer k modulo 2 et pour k=0 : t_1=(1/2)arctan(2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²)) pour k=1 : t_2=(1/2)arctan(2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²))+pi/2 donc les solutions possibles sont x_1=cos((1/2)arctan(2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²))) y_1=sin((1/2)arctan(2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²))) ou x_2=-y_1 y_2=x_1 avec les formules habituelles et en gros |||A|||=sqrt{max(f(x_1,y_1),f(x_2,y_2))} (vu que la racine est croissante et f positive) et faudrait compute les valeurs dans f ça se simplifie peut-être qui sait mais ce sera sans moi :)

[@MathsAdultes]

Je pense que ça fonctionne en effet, bravo ! Je vais creuser ça pour voir si je trouve une expression simplifiée...

[@MathsAdultes]

alors en refaisant le calculs je trouve une petite erreur, selon moi dans la dérivée de g il y a le terme b²+d²-a²-c², ah mais je vois que tu as corrigé après donc ok, je continue :-)

[@ElioGuardiola-Falco]

@@MathsAdultes j'ai repris le calcul de la norme subordonnée à la norme 2 (un peu trop de temps libre oui). Bon j'avais pris le mauvais chemin. On repart de la quantité tan(2t)=2(ad+cd)/(+a²+c²-b²-d²) qu'on va noter k. en faisant de la trigo d'angle double et de cosinus carrés on obtient les formules x=cos(t)=sqrt( (1+sqrt(k^2+1)) / (2sqrt(k^2+1)) ) et sans trop de mal : y=sin(t)=sqrt( (sqrt(k^2+1)-1) / (2sqrt(k^2+1)) ) donc il s'agit de calculer f(x,y) pour f définie ci-dessus. En factorisant un peu on obtient f(x,y)=(a^2+c^2-b^2-d^2+2k(ab+cd))(1/ (2sqrt(k^2+1)) )+(a^2+c^2+b^2+d^2)/2. Après une très belle simpllification du genre (truc compliqué)/sqrt(truc compliqué) = sqrt(truc compliqué) on obtient finalement f(x,y)=sqrt( 4(ab+cd)^2 + (a^2+c^2-b^2-d^2)^2 )/2 + (a^2+b^2+c^2+d^2)/2. si on pose |||A|||= sqrt(f(x,y)), on obtient un truc absolument homogène en a,b,c,d et c'est déjà ça :)

[@lucpierrejean2100]

À 8min33, question du jury : que se passe-t-il si alpha est nul et quelle conséquence cela engendre-t-il sur la preuve 😋 (je taquine bien sûr !)

[@VanRijn4K]

Diarrhée publicitaire. Arrêt de lecture au bout de 15 minutes.

[@MathsAdultes]

ah flûte, je vais regarder ça merci de me le signaler !

[@MathsAdultes]

Merci pour ce gentil commentaire TrankillHorizon, comme je suis abonné YT premium je ne me rends pas forcément compte du nombre délirant de coupures pub que met KZbin par défaut, je viens d'en supprimer la moitié, car là c'était toutes les 5 minutes...

[@VanRijn4K]

@@MathsAdultes Merci d'avoir pris en compte la souffrance des non premium. Et également merci pour vos cours qui nous rafraichissent la mémoire.