Étude des EXTREMA d'une fonction à PLUSIEURS VAR : Nature des POINTS CRITIQUES - Méthode & Exemple

[@CledoneLOKULILIKELA]

Excellent! Que Dieu vous bénisse pour ce travail formidable que vous faites.

[@Jeanmarckouassi1999]

j'aime vraiment votre manière d'expliqué avec des rappels ...😅🖖🥰

[@ghalitahiri5715]

à la minute 4:40, ce n'est pas plutôt -4+12y^2 (car 3*4 = 12...) ?

[@fabinouyt]

ah oui, bien vu, je vais voir si je peux modifier cette vidéo !

[@maxouloulou7183]

Merci Fabinou, t'as carry mon année de maths 💖

[@corentin847]

Fabinou t'es trop un bon ma parole t'explique trop bien bg LETS GOOOOOO

[@diegoquesada2850]

Vamooooos

[@siepale-ul1gq]

Vous avez le meilleur bon courage

[@pandaimones6330]

Merci beaucoup je comprend bien mieux, tes vidéos m'aident beaucoup j'espère que ça suffira pour mon exam de lundi :)

[@bird9]

J'ai mis la 4K pour 1 seconde, tellement clairrr

[@Journey-jl1qp]

Your videos are amazing

[@Journey-jl1qp]

And since you liked my comments can you please do more videos on cacul différentiel and intégrale a un paramètre? 😅

[@WajihLagha]

j'ai bien compris merci beaucoup

[@adelbenahmed399]

Un grand maitre !

[@constantinmarguier4623]

En étudiant le signe des valeurs propres de la hessienne en tout point du domaine de définition, il est possible de conclure sur la convexité de la fonction et ainsi sur la nature GLOBALE des extremas

[@Rems766]

Parfait merci pour la vidéo

[@CledoneLOKULILIKELA]

Excellent

[@islammaziz7972]

vraiment merci

[@alexandre1652]

Salut monsieur merci pour tout. J'aimerais savoir la différence entre les termes '' (extremum local) et (extremum relatif)".

[@fabinouyt]

Salut, je pense que ces deux mots ont la même signification ^^

[@ahmedbakather8236]

bonjour, Dans mon cours, il y avait deux termes positifs et aucun termes négatifs alors que le point était selle et pas minimum local, En gros on a cherché les valeurs propres de la matrice hesienne et on a trouvé que un est positive et l'autre est négative et là j'arrive pas à harmoniser votre méthode avec celle vu dans mon cours. merci de me répondre.

[@fabinouyt]

Salut, je ne connais pas le concept des valeurs propres, je ne vais pas pouvoir t'aides :///

[@alainrogez8485]

Bonjour. Je me demandais si, au lieu de travailler avec la matrice de Hess échelonnée, si on ne pouvait pas travailler directement avec la forme quadratique de la fonction.

[@fabinouyt]

Salut, alors probablement, mais pas avec cette méthode du coup.!

[@majin.g6440]

merci

[@salmass7975]

svp je ne trouve pas le lien de la fiche dans la description et merci Fabinou

[@fabinouyt]

salut, fabinou.fr/fiches pour les fiches

[@salmass7975]

@@fabinouyt merci beaucoup

[@calebyapi9349]

Bonjour Le lien de votre méthode n est pas en description Puis je avoir le lien svp??

[@fabinouyt]

Salut, tu peux trouver les fiches sur fabinou.fr/fiches

[@welana3404]

Coucou, où se trouve ta fiche ? tu dis quelle est dans la description mais elle n'y est pas .

[@fabinouyt]

salut, il faut que je modifie toutes les descriptions : fabinou.fr/fiches

[@welana3404]

@@fabinouyt Merci Fab !

[@mmet5772]

merci , mais ou peut on trouver les feuilles que vous utiliser?

[@fabinouyt]

Salut, les fiches sont trouvables sur fabinou.fr/fiches

[@mmet5772]

@@fabinouyt merci infinement , j'ai révisé grace a vous , j'espère etre pret pour mon examen

[@nisrinealami3437]

S il vous plait pour la derivee par rapport à y on a y^3=y donc y^2=1 donc y=1 ou -1 pourquoi on a ajouté le 0

[@fabinouyt]

Salut, y^3=y ne signifie pas que y^2=1. Tu peux tracer les courbes de ces fonctions pour t'en convaincre. Mais sinon, si y=0, alors on a 0^3=0, et c'est vrai

[@lamiaaessabbar-ny2zk]

Pourquoi y^3=y on peut écrire y^2=1 c plus simple svp tu peux m expliquer ?????

[@xaxam2001]

salut, je dois probablement faire une erreur mais avec la fonction arctan(xy) (pts critique (0,0)) en lisant sur la matrice je trouve que c'est un minimum car tous les éléments sont positifs or c'est clairement un point selle.

[@fabinouyt]

Salut, alors là j'avoue que je sais pas du tout :/ C'est vrai qu'il parait logique que ça soit un point selle, mais la hessienne donne bien 2 nombres positifs, c'est curieux 🧐 Si t'as l'occasion d'avoir la réponse un jour je suis preneur, sinon ça restera un mystère ahah

[@yaesol52]

Bonjour, j'avais une question, en fait je dois étudier f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy je trouve mes dérivées par rapport à x et par rapport à y qui sont E1 = 3x² - 3y E2 = 3y² - 3x Mais je n'arrive pas à résoudre les 2 équations pour trouver les solutions, pouvez-vous m'aider ?

[@yaesol52]

J'essaye de reprendre la méthode que vous utilisez dans la vidéo mais je bloque sur cette étape car on a deux variables différentes dans notre dérivée

[@fabinouyt]

Salut, tu peux factoriser par 3, donc tu as x²-y=0 et y²-x=0 x²=y et y²=x y²=y⁴ et x²=x⁴. Donc, quand est ce que x²=x⁴ ? Quand x={-1,0,1} Et quand est ce que y²=y⁴ ? Quand y={-1,0,1} Les possibilités sont donc celles croisant x={-1,0,1} et y={-1,0,1}, comme dans la vidéo.

[@igravier9187]

j'ai besoin d'un exemple de 3 variables

[@fabinouyt]

Salut, aucune vidéo portant sur l'étude des extréma d'une fonction à plusieurs variable n'est prévue, mais le raisonnement est très similaire !

[@celineatmania3517]

J'ai la matrice : 0 e e 0 Avec la méthode des mineurs, j'obtiens un point selle car le déterminant est négatif Avec l'autre méthode, j'échelonne la matrice en inversant les colonnes. J'ai que des termes positifs alors j'obtiens un minimum local .... Où est mon erreur de raisonnement ?!merci 🧐🥴

[@fabinouyt]

Salut, je comprends ce que tu veux dire, mais j'avoue que ça me laisse perplexe ... J'ai fait cette vidéo y a longtemps et je ne me souviens plus de tout, mais au vue de cet exemple, j'ai tendance à penser qu'il faut échelonner la matrice pour effectuer le critère des mineurs 🤔

[@abdelwahabazeddine7035]

1/N'est-il pas plus simple de factoriser le polynôme obtenu ? -4y+4y^3=-4(y-y^3)= -4y(1-y^2)=-4y(1-y)(1+y)=0 Les racines s'en déduisent immédiatement y=0;-1;1 La méthode graphique n'est en effet applicable qu'à des cas simples où les racines sont triviales. 2/ La méthode des signatures correspond à l'étude des signes des valeurs propres de la matrice H se présentant sous forme diagonale. Minimum local si toutes les valeurs propres propres de H sont strictement positives. Maximum local si les valeurs propres sont strictement négatives. Point selle autrement 3/ Le cas où une des valeurs propres, ou un des mineurs est nul n'a pas été évoqué (indétermination qui oblige à étudier le développement au voisinage du point critique considéré). 3/ un tracé graphique de cette fonction en 3D et en projection 2D sous Matlab permettrait d'avoir une idée sur la position des extremas trouvés. Votre manière d'exposer avec aisance et maîtrise du sujet qu'envieraient beaucoup d'enseignants est claire et très pédagogique au point que je recommande vos vidéos aux étudiants désireux d'avoir un support de cours clair en optimisation non linéaire. Salutations et mes sincères encouragements.

[@fabinouyt]

Salut, merci beaucoup pour ces beaux encouragements ! Sinon, pour te répondre : 1/ Il y a bien sur plusieurs méthodes Et pour 2, 3 et 4, il s'agit plus de remarques que de questions, merci pour ces compléments !

[@abdelwahabazeddine7035]

@@fabinouyt Je me suis permis d'écrire pour cet exemple un programme en code Octave (Clone approximatif de Matlab, mais en licence libre) pouvant être exécuté sous application android "anoc" librement téléchargeable avec playstore. Seul problème, l'application n'accepte qu'un seul fichier à exécuter dans son environnement sinon il faut se procurer la version payante. Cette application présente l'avantage de permettre les tracés graphiques usuels qu'on rencontre sous Matlab/Octave, seul inconvénient un éditeur assez fruste qui ne gère ni l'indentation ni la correction syntaxique, outils très utiles lors de l'écriture d'un programme, contrairement à une autre application également librement téléchargeable nommée "madona" qui permet la création et la sauvegarde d'un nombre illimité de fichiers mais ne possède qu'un graphisme rudimentaire en mode texte. La syntaxe sous "anoc" est assez déroutante, par exemple, l'ajout de légendes et labels dans le graphe, dédouble le tracé et n'est visible qu'en rajoutant certaines commandes graphiques. Il a fallu faire montre d'un trésor d'imagination pour avoir le même résultat qu'un programme écrit en code Matlab, mais il n'est pas exclu que cela soit dû à ma maîtrise imparfaite du language Octave implémenté dans cette application. Un commentaire explicatif accompagne chaque instruction. Quatre graphes sont édités. Les amplitudes sont traduites en une couleur correspondante, par valeurs croissantes, des couleurs froides (noir, bleu, vert) aux couleurs chaudes (jaune, orange, rouge). Dans le second graphe, vue plan obtenue par la fonction view, minimas et maximas sont clairement identifiés, respectivement (-1,-1);(-1,+1) et (+1,0). Le dernier graphe donne les courbes de contour à amplitude constante. Les trois points selles apparaissent très nettement. Pour augmenter le nombre de contours, il suffit de modifier la valeur du paramètre M situé dans les premières lignes du programme. Enfin, le calcul du minimum global est donné à la fin du programme. Pour avoir une meilleure précision, on doit augmenter la valeur de N qui fixe le pas de calcul. Cette précision se fait cependant au détriment du temps d'exécution du programme. Salutations

[@abdelwahabazeddine7035]

% PROGRAMME TRACE GRAPHIQUE & CALCUL FMIN % INTRO PARAMÈTRES a=-1.5;b=1.5; % MARGES ETUDE N=50; % NBRE POINTS RESEAU M=40; % NBRE CONTOURS % PROGRAMME FONCTION TRACE function [fmin,xmin,ymin]=fonc_opt(a,b,N,M); % CRÉATION VECTEUR POINTS EN X ET Y x=linspace(-a,a,N); y=linspace(-b,b,N); % CRÉATION MAILLAGE RECTANGULAIRE X-Y 2-D [xx,yy]=meshgrid(x,y); % ÉVALUATION FONCTION 2-D zz=3*xx-xx.^3-2*yy.^2+yy.^4; % GRAPHE MESH figure(1) h=mesh(xx,yy,zz); hx=xlabel('x'); hy=ylabel('y'); axis; % GRAPHE SURF VUE AZ=-30 EL=30 figure(2) h=surf(xx,yy,zz); hx=xlabel('x'); hy=ylabel('y'); colormap jet shading interp view(-30,30) axis; % GRAPHE SURF VUE 2-D AZ=0 EL=90 figure(3) h=surf(xx,yy,zz); hx=xlabel('x'); hy=ylabel('y'); colormap jet shading interp view(0,90) axis; figure(4) % GRAPHE MESH AVEC CONTOURS ISOVALEURS h=meshc(xx,yy,zz); hx=xlabel('x'); hy=ylabel('y'); axis; % PROJECTION CONTOURS ISOVAL DANS PLAN X-Y figure(5) h=contour(xx,yy,zz,M); % LÉGENDES GRAPHE hx=xlabel('x'); hy=ylabel('y'); % GRILLE QUADRILLAGE GRAPHE set(gca,'fontsize',12,'fontweight','bold') grid on % CALCUL MIN GLOBAL fmin=min(min(zz)); % CALCUL ABSCISSE-ORDONNÉE CORRESPONDANTE [ii,jj]=find(fmin==zz); xmin=xx(ii(1),jj(1)); ymin=yy(ii(2),jj(2)); endfunction % FIN FONCTION % APPEL FONCTION EXEMPLE [fmin,xmin,ymin]=fonc_opt(a,b,N,M); disp('') disp(['MINIMUM GLOBAL = ',num2str(fmin,4)]) disp(['AU POINT [x,y] = ' ,mat2str([xmin ymin],4)]) % FIN DU PROGRAMME % PS/ POUR UNE MEILLEURE VISIBILITÉ PROG/RÉSULT, PIVOTER LE SMART DE 90°

[@fabinouyt]

Félicitations ! T'es vraiment super chaud :)

[@abdelwahabazeddine7035]

Dans la première version du programme, il n'a pas été tenu compte de la concision, ce qui a conduit à des redondances dans le code. Par ailleurs les axes ne sont pas différenciés, enfin la police des caractères rend malaisée la lecture des graphes. Également l'indication des titres. Tout cela a été corrigé par l'écriture d'une seule fonction qui place les légendes adéquates et autres fioritures sur chaque graphe et qu'on appelle successivement. Enfin en plus de la solution graphique, est donnée la solution Octave utilisant la fonction "sqp" , qui traite le cas général de l'optimisation non linéaire avec contrainte, étant donnés la fonction objective et l'estimé initial x0, (0,0) dans le programme. La fonction objective peut être définie comme une fonction anonyme, la forme plus simple, ou définie comme une fonction (lignes 85 à 87 désactivées). Si on opte pour cette dernière, activer ces lignes et dans l'appel de la fonction sqp placer le symbole arobase devant phi (@phi). Dans le cas d'une fonction objective se présentant sous forme quadratique (sujet que vous avez excellemment traité) avec ou sans contraintes linéaires, il est plus simple d'utiliser la fonction Octave "qp". Salutations