Un radicale mostruoso

Un radicale mostruoso

[@manuelscordio4337]

Solo applausi 👏

[@drdiegocolombo]

Meraviglie della Matematica e anche del prof 😊

[@parsecgilly1495]

io in maniera testarda ho cercato per l'espressione a = ³√(√5-2) una forma tale che il radicando, possa essere scritto come il cubo di un qualcosa, e devo dire, che dopo tanti tentativi ce l'ho fatta, ho operato così: partiamo quindi dall'espressione: a = ³√(√5-2), a questo punto, moltiplico e divido il radicando per 2³ = 8, ottendo: a = ³√((8√5-16)/8) a questo punto, al numeratore, osservo che: 1) 8√5 può essere "smontato" come 5√5 + 3√5 2) 16, può essere scritto, altrettanto banalmente come: -(1+15) quindi, il numeratore del radicando non è altro che: 8√5-16 = 5√5 + 3√5 -1-15 che riscrivo come: 5√5 + 3√5 - 3x5 -1 la presenza dei due termini centrali richiamano alla mente un: " triplo prodotto del primo, per il quadrato del secondo", quindi, siamo vicini alla costruzione del cubo di qualcosa; lo posso fare semplicemente, riscrivendo l'ultima espressione così: 5√5 + 3√5 - 3x5 -1 = (√5)³ +3√5 - 3x5 -1³ = (√5-1)³ a questo punto, è facile vedere che l'aspressione di a, non è altro che la radice cubica di un cubo perfetto, cioè: a = ³√(√5-2) = ³√((8√5-16)/8) = ³√((√5-1)³/8) = (√5-1)/2 a questo punto è semplicissimo eseguire il calcolo di a² + a : a² +a = (3-√5)/2 + (√5-1)/2 = 1

[@GaetanoDiCaprio]

Benissimo! L'unico difetto di un metodo di questo tipo è che in qualche modo presuppone già la conoscenza del risultato... Cioè ti chiedo: per caso avevi già ottenuto il valore di a usando ad esempio wolfram alpha e poi hai cercato un modo per arrivarci?

[@parsecgilly1495]

no guarda, è stata pura fortuna, più che altro, in questo periodo sto facendo ripetizioni di algebra a mia nipote (terza liceo) e stanno facendo un sacco di esercizi dove smontano e rimontano all'occorrenza quadrati e cubi di binomi per ottenere risultati notevoli. L'unico indizio che avevo per poter procedere era la presenza della radice cubica, mi son detta:" sicuramente, la soluzione deve essere "pilotata" verso un qualcosa che preveda la "distrruzione" della radice cubica, quindi ho cercato di attaccare il problema da questo punto di vista. E' ovvio che ho avuto fortuna. @@GaetanoDiCaprio

[@GaetanoDiCaprio]

@@parsecgilly1495 Beh comunque veramente notevole! In particolare l'idea iniziale di moltiplicare e dividere per 8 sarebbe interessante capire da dove ti è balenata!

[@stefanomadonna]

Bellissimo, complimenti!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@andreadevescovi4166]

Questa volta non ci sono riuscito. Non ho trovato il verso di approcciarlo. E se fossi arrivato alla eq. di terzo grado di sicuro non avrei cercato la fattorizzazione che hai fatto tu (probabilmente oltre la mia fantasia) ma avrei provato 1, -1, 2, -2…… poi Ruffini. Bello!

[@drdiegocolombo]

Adottando Ruffini saresti arrivato comunque alla medesima fattorizzazione

[@simonetersigni6453]

Wow, per chi si sta preparando per le olimpiadi di matematica é stato molto utile 👏

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@ivanbono4695]

Trucchi davvero ingegnosi!!!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie caro!

[@Manluigi]

Un radicale quadratico ossia (✓5 -1)/2 , uguale ad un radicale stratificato ( con strati cubici e quadratici ) rappresentato per definizione da a . Nonostante sia uno studioso di equazioni , non l' avrei mai immaginato.

[@GaetanoDiCaprio]

In realtà costruire altri esempi è abbastanza semplice. Basta prendere un qualsiasi radicale della forma a+b sqrt(c) e elevarlo al cubo. Il risultato sarà un radicale della forma a'+b' sqrt(c). A questo punto la radice cubica di quest'ultimo radicale è uguale al radicale iniziale

[@russellkane9439]

Grande!

[@powereln]

Io l'ho risolto, ma può essere che la mia soluzione si presti a contestazioni. Come prima cosa, avendo visto che c'era una radice cubica con una radice quadrata al suo interno mi sono chiesto quale sia il cubo di a+Sqrt(5)*b= a^3+15ab^2+Sqrt(5)*(3a^2b+5b^3) quindi ho impostato il sistema a^3+15ab^2=-2; 3a^2b+5b^3=1, di non facile soluzione. La prima cosa che mi sono chiesto è se esista una soluzione tale che a=b, che esiste e vale a=1/2. La soluzione è unica perché la radice cubica è monotona crescente, per cui Cuberoot(-2+Sqrt(5))=(1+Sqrt(5))/2. A questo punto ho calcolato a^2+a=2+Sqrt(5)

[@GaetanoDiCaprio]

Interessante, ovviamente cercare una soluzione con a=b è totalmente arbitrario e purtroppo è errato, perché la soluzione corretta è a=-b

[@powereln]

@@GaetanoDiCaprio Ho bisogno di un chiarimento. Se non ho fatto errori mi risulta che a sia la sezione aurea e a^2+a venga fuori 1/a. Se fosse così avrei fatto giusto. Che ne pensi?

[@alessiodaini7907]

(√5-2)^2/3 + (√5-2)^1/3 = {(√5-2)^1/3[(√5-2)^1/3 +1]}^3/3 = (√5-2)[(√5-2) + 3(√5-2)^2/3 + 3(√5-2)^1/3 + 1]^1/3 = [(√5-2 + 1) + 3(√5-2)^1/3 • ((√5-2)^1/3 + 1)]^1/3 a questo punto pongo t = a²+a dell'esercizio proposto, per cui abbiamo t = {(√5-2)[(√5-2+1) + 3t]}^1/3 t³ = (√5-2)² + (√5-2) +3(√5-2)t t³ - 3(√5-2)t = 9 - 4√5 + √5 - 2 = 7 - 3✓5 alla fine abbiamo la forma canonica: t³ - 3(√5-2)t +(-7+3√5) = 0 questa equazione è carina, poiché osserviamo in maniera immediata che per t = 1 l'equazione è verificata infatti: 1 - 3√5 + 6 -7 + 3√5 = 0 ,quindi, da ruffini, otteniamo: (t-1)(t² + t - 3√5 + 7) = 0. La prima equazione ha soluzione t¹ = 1, mentre la seconda equazione ha soluzioni: t²,t³ = (-1 ±i√(12√5 - 27))/2

[@GaetanoDiCaprio]

👍