Un notevole problema sulle potenze

[@peterdecupis8296]

ottimo spunto didattico: il tipo di esercizio di spessore non meramente tecnico che i testi scolastici evitano come la peste

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie per il commento! Sulla inutile (se non dannosa) tecnicità dei testi scolastici sono COMPLETAMENTE D'ACCORDO!! 👍👍😉

[@willyrossi7967]

Questo video è bellissimo. Complimenti. Un chiaro esempio di quanto sia bella la Matematica.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@danieledaroma1446]

L'approccio che passa per la visualizzazione grafica della funzione logaritmica è molto elegante. Ottimo video.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@luigiquitadamo1990]

Grazie Gaetano,mi sono divertito molto a risolvere il problema;la via dei logaritmi era la piu ovvia ed elegante.

[@mihairupa9263]

Complimenti.. molto bella la dimostrazione ed il video ben strutturato..👏

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@francescoallois967]

Spiegazione chiara per problema interessamte

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@drdiegocolombo]

Grazie Gaetano. La matematica è meravigliosa. È rigorosa, ma anche piacevole grazie ai tuoi video sui generis.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie Diego, di cuore. È il miglior gradimento che possa mai desiderare di ricevere. La mia "scommessa" è di riuscire a divulgare in maniera dettagliata e rigorosa.

[@drdiegocolombo]

@@GaetanoDiCaprio Fino ad ora la stai vincendo😉

[@GaetanoDiCaprio]

@@drdiegocolombo magari!

[@drdiegocolombo]

@@GaetanoDiCaprio Hai ancora pochi iscritti, ma sei anche "nuovo" del tubo.

[@DrTarr]

Figo. E' interessante anche vedere che c'è solo 1 punto in cui i valori sono uguali e per il resto avremo sempre a < b.

[@GaetanoDiCaprio]

Sì

[@Livius4]

Semplice ma sorprendente, non ci avevo mai pensato !

[@GaetanoDiCaprio]

Già!

[@stefanoparoni1098]

Video stupendo. Comprensibilissimo per profani.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@pasqualenicidemo9087]

Molto interessante, anche per il riferimento storico.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@lupoalberto1259]

Avevo letto di questo problema in un libricino della Zanichelli (era stato posto in una qualche competizione matematica di parecchi anni prima),ma nel comparto delle soluzioni,non veniva data... 😂😂😂 L'ho risolto anni dopo,con lo studio della funzione,appunto, ln(x)/x , (ri)trovando la soluzione 2⁴ = 4². In generale (con : a,n interi e : a < n) : aⁿ > nª Con le eccezioni : a = 1 n > 1 1ⁿ < n¹ a = 2 n = 3 2³ < 3² a = 2 n = 4 2⁴ = 4²

[@GaetanoDiCaprio]

👍

[@pierpogall1062]

Bellissimo! Soprattutto l'interpretazione geometrica l'ho trovata molto elegante!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@pinkusbotzo2559]

Questo interessante argomento mi ricorda un problemino di parecchi anni fa, credo incluso da Martin Gardner nella sua rubrica su Scientific American: dimostrare, senza fare calcoli espliciti, che e^π > π^e.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie dello spunto

[@saimonferrari7614]

Video interessante e ben fatto!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@FrancescoRinaldini]

Bellissimo video complimenti

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@carlosilvestri6340]

Bellissimo

[@certosino2267]

Bravissimo.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@mattiaklepser4949]

Potrebbe spiegare perché non esistono altre soluzioni intere oltre a 2 e 4?

[@GaetanoDiCaprio]

La funzione 1/x ln x ha un massimo per x=e, quindi gli unici valori interi positivi possibili per a sono 1 e 2. Per a=1 ovviamente non ci sono soluzioni, quindi l'unica possibità è a=2 (e b=4)

[@gdaaps]

molto bello

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@videogamesart8057]

Ottimo video grazie! Sai per caso come ha fatto Bernoulli a trovare quelle soluzioni con la successione il cui limite definisce il numero e?

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao, grazie, no purtroppo no

[@nicolamarioippoliti999]

(1+1/n)^n non è forse questa la successione ?@@GaetanoDiCaprio

[@gianlucabellachioma6438]

Ah ah ah, io pensavo ci fosse una sola coppia (quella con 2 e 4). Grazie!

[@GaetanoDiCaprio]

È l'unica coppia di interi in effetti 😉

[@and10101]

Molto interessante. Complimenti!! Ma….che tipo di ragionamento ha seguito Bernoulli per arrivare a definire A e B in funzione di N per dimostrare che esistono soluzioni infinite? Ma poi nella sua soluzione chi ci garantisce che per ogni N esistono un A e un B tali da soddisfare l’equazione di partenza? Grazie

[@GaetanoDiCaprio]

a e b esistono per ogni n, in quanto sono definiti in funzione di n. Per verificare che a e b soddisfano l'equazione basta far vedere che a^b e b^a sono uguali (sostituendo al posto di a e b le espressioni di bernoulli). In sostanza basta generalizzare gli esempi numerici del video, i passaggi sono abbastanza facili ma è troppo scomodo riportarli in un commento testuale

[@and10101]

@@GaetanoDiCaprio a perfetto grazie ora si ho capito!!…Sarebbe interessante capire quale tipo di ragionamento PUÓ aver seguito per costruire A e B con variabile N in modo che soddisfacessero la domanda iniziale

[@GaetanoDiCaprio]

@@and10101 sì sarebbe molto interessante

[@and10101]

@@GaetanoDiCaprioBuongiorno Gaetano, potresti per favore sviluppare l’equazione di Bernoulli in termini generali, quella in cui ha sostituito a e b con numeri in variabile N oppure linkarmi dove posso trovarne lo sviluppo per verificarne l’uguaglianza? Ho provato da solo ma purtroppo non ci riesco e mi piacerebbe vedere come si sviluppa algebricamente. Grazie

[@GaetanoDiCaprio]

@@and10101 La metto giù, la fotografo e la metto in un post. Appena riesco

[@ritaclaudiamontemurro4505]

Video molto interessante… ho provato a risolverlo prima di vedere la soluzione 😉

[@GaetanoDiCaprio]

Tosto eh?

[@ritaclaudiamontemurro4505]

@@GaetanoDiCaprio siiii! infatti dopo un po’ ci ho rinunciato. Però ero senza carta e penna

[@claudiogiorgi7930]

forse sfugge a me, ma perchè Bernoulli esclude altre soluzioni con gli interi?

[@GaetanoDiCaprio]

Ottima osservazione. Si può dimostrare che non esistono altre soluzioni negli interi, ho scelto di non riportare quella dimostrazione. Puoi trovare una traccia su Wikipedia

[@alessandrolocatelli]

@@GaetanoDiCaprio L'interpretazione grafica finale è molto utile in tal senso: ogni coppia di numeri che soddisfa l'equazione è formata da un primo numero compreso tra 1 (1 escluso) ed "e", a cui corrisponde un secondo maggiore di "e". C'è un solo numero intero maggiore di 1 e minore di "e" ed è il 2. PS. Complimenti per il video. Mi sono subito iscritto al canale

[@GaetanoDiCaprio]

@@alessandrolocatelli assolutamente corretto! Grazie

[@gianlucaurbanelli]

come si chiama il software che hai usato per far vedere le due soluzioni ? Grazie

[@GaetanoDiCaprio]

GeoGebra

[@pdorism]

Ma come si dimostra che non ci sono infinite soluzioni intere?

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao, se cerchi tra i commenti ho già risposto

[@azzurrino1]

Video interessante che svela il legame tra a e b. Tuttavia, da quel che vedo, qui non viene dimostrato che la coppia (4;2) e la simmetrica (2;4) sono le uniche possibili coppie di interi, né si dimostra se esistono o no coppie in cui uno solo tra a e b è intero.

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao, grazie per l'osservazione, è vero, nel video non è dimostrato, ma si dimostra facilmente. Se cerchi nei commenti c'è un altro utente che mi ha fatto un'osservazione simile e ho risposto con la traccia della dimostrazione

[@stefanomagrinialunno8166]

È possibile avere 3 numeri a,b,c distinti tali che a^b=b^a, a^c=c^a, b^c=c^b? Il problema è che, come è stato evidente nel video, non posso richiedere che siano tutti positivi. Quindi per farla semplice poniamo c negativo e le potenze che otteniamo sono comunque "buone" cioè con esponente razionale e di numeratore pari [ tipo: (-1)^(2/3)=1 ] Di conseguenza: Esiste una tripla di razionali distinti a,b,c con # c

[@GaetanoDiCaprio]

Cerca di ricordare... 😉

[@rubensabbadini8774]

Mi sembra che dire, in un testo di esercizio, "infinite coppie" sia un po' ambiguo: che tipo di infinità si ha in mente?

[@GaetanoDiCaprio]

Nel contesto di questo quesito (non "esercizio") se si tratti di infinità numerabile o meno è totalmente irrilevante.

[@AlfredoTifi]

ci vorrebbe una dimostrazione dell'impossibilità con altri a e b interi.

[@GaetanoDiCaprio]

La funzione 1/x ln x ha un massimo per x=e, quindi gli unici valori interi positivi possibili per a sono 1 e 2. Per a=1 ovviamente non ci sono soluzioni, quindi l'unica possibità è a=2 (e b=4)

[@omyakilsby8885]

Però la domanda originaria era posta negli interi

[@GaetanoDiCaprio]

Cosa intendi per "originaria"? La lettera di Bernoulli?

[@marcopilati7464]

a,b cosa? Reali? Razionali? interi? Scusi se fa la differenza.

[@GaetanoDiCaprio]

È una copertina, le pesa così tanto guardare il video prima di lasciare un commento?

[@Alessandro-1977]

Ma sbaglio o v non è necessariamente un naturale ?

[@GaetanoDiCaprio]

Non ti sbagli. Nel video mostro solo qualche esempio in cui v è naturale ma non è necessario che lo sia.

[@maugaf1964]

Grazie! Fantastico.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie a te!

[@ricefields9121]

E se a, b ∈ ℂ?

[@GaetanoDiCaprio]

Bella domanda!

[@ghamoz]

Non va bene l'interoretazione grafica, se a minore di uno c'è un solo punto di intersezione

[@GaetanoDiCaprio]

Il fatto che ci sia una sola intersezione per x

[@skagna]

In R, i logaritmo avente argomento negativo o avente valore 0 non sono definiti, ergo e'corretto quello che dice il professore

[@davidecosciani9232]

La domanda si riduce a: «due curve esponenziali si incontrano in un punto?». La risposta è sì, e ne esistono infinite.

[@GaetanoDiCaprio]

Purtroppo la tua sintesi è una semplificazione che NON corrisponde al problema: le due curve non sono qualsiasi, c'è una forte relazione tra le due

[@massimo6821]

Da ignorante direi che l'affermazione è vera perchè le coppie sono si infinite che soddisfano l'uguaglianza, ma l'uguaglianza non è valida per tutte le coppie.

[@GaetanoDiCaprio]

Sì certo

[@jordanperetti7054]

Io avevo trovato la soluzione a=radice di 3 e b=radice di 27 facendo questo tentativo bruto: visto che so che esiste la soluzione a=2 e b=4, ho cercato prima un'altra coppia tale che rispettasse la condizione b=a^2, quindi ho che deve essere a^(a^2)=(a^2)^a, quindi a^2=2a da cui a=2 unica soluzione accettabile. Allora poi ho cercato b=a^3, da cui a^(a^3)=(a^3)^a, ovvero a=radice di 3. Continuando alla stessa maniera, a=radice n-sima di n+1 sono tutte soluzioni, con b=a^(n+1). Che poi mi sa che è la stessa risposta di Goldbach solo che io l'ho pensata solo per n naturale e con un approccio leggermente diverso

[@GaetanoDiCaprio]

Bellissimo ragionamento

[@andreadevescovi4166]

Che rabbia: avevo inteso il problema solo per i numeri interi e mi ero convinto per il falso. Bella dimostrazione

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@13ffe]

2 alla terza non è uguale a 3alla seconda

[@GaetanoDiCaprio]

Vero