Un scoop sur Cayley-Hamilton?

[@Wulfhartus]

Envie d'en faire un développement pour la leçon pgcd/ppcm.

[@philcaldero8964]

Ben oui mais comme il est pas dans les livre d'agrégation va falloir l apprendre...

[@stevie4ever]

Splendide. Pensez vous que ça puisse faire un développement d’agreg externe et de recaser dans la leçon PGCD/PPCM ?

[@philcaldero8964]

Completement

@@philcaldero8964 Bonjour, est-ce que vous avez une référence pour ce résultat svp ? Ca me parait joli mais en cas de couac le jour J, ça serait bien utile !

[@philcaldero8964]

@ et non aucune référence sur ce résultat et c'est bien dommage

@@philcaldero8964 tant pis, merci quand-même !

[@philcaldero8964]

@ sinon ce serait pas un scoop 😊

[@yannld9524]

Sympa comme résultat, je ne connaissais pas. Je crois qu'il manque un petit argument à la fin pour être complet. A mon avis il faut encore justifier que l'on peut évaluer en A dans l'égalité P(X)-P(Y) = (X-Y)Q(X,Y) car l'anneau des matrices (à coefficients dans K[X]) n'est pas commutatif donc l'évaluation en A n'est a priori qu'une application linéaire et pas nécessairement un morphisme d'anneaux.

[@philcaldero8964]

Je ne pense pas. En fait on voit le polynome comme un polynome en Y a coeff dans K[X]. Il y aurait un problème si on devait évaluer en deux matrices, X en A et Y en B. Et en effet si A et B ne commutent pas, ce n est pas bien défini.

[@shinta69140]

C'est le polynôme qui permet de décomposer une matrice en bloc de Jordan ?

[@shinta69140]

Oups ! c'est joli la réponse

[@philcaldero8964]

Comme tout polynôme annulateur en fait. Ni plus ni moins.

[@Wulfhartus]

Comment prouvez-vous que pgcd(Dij)=1 est une condition ouverte ?

[@philcaldero8964]

Avec un résultant non nul?

[@Wulfhartus]

@@philcaldero8964 Mais le résultant ne peut tester la primalité qu'entre deux éléments, non ? Dire que les résultats de tous les couples sont nuls veut dire que les éléments Dij sont premiers entre eux 2 à 2, et non dans leur ensemble, il me semble.

[@philcaldero8964]

@@Wulfhartus oui tout à fait. Je ne sais que répondre. Je reste persuadé que c'est une condition ouverte

[@Wulfhartus]

@@philcaldero8964 Ma solution de contournement est la suivante : soit E l'ensemble des m-uplets de polynômes unitaires de degré au plus d. Soit F la partie de E contenant les m-uplets de polynômes non premiers entre eux dans leur ensemble. F est fermé par critère séquentiel : on considère une suite dans F, notée (P_i)_n (la suite est indexée par n, i varie de 1 à m), qui converge vers un m-uplet (P_i) dans E. Soit n. Alors le m-uplet (P_i)_n admet un diviseur commun unitaire D_n. Si i est fixé, alors la suite indexée par n (P_i)_n est bornée (car converge). DONC, par l'exo 2 préliminaire du sujet Maths Generales 2020, la suite (D_n) est bornée ! On peut extraire par compacité. La limité de (D_n) est un polynôme non constant car (D_n) est faite de polynômes unitaires non constants, et car le degré d'une telle suite convergente est stationnaire. La limite de (D_n) est en fait un diviseur commun aux polynômes (P_i), qui sont donc encore dans F.

[@stevie4ever]

J’ai trouvé un commentaire intéressant sur math stack exchange qui fait la preuve de manière plus générale (le PGCD des mineurs d’une taille donnée) en passant par le bulldozer décomposition de Frobenius. Chercher « gcd of the coefficients of a comatrix«

[@stevie4ever]

Chercher « stack echange gcd of the coefficients of a comatrix »

[@philcaldero8964]

Merci je regarderai

[@stevie4ever]

En dégrossissant et discutant avec des profs : Si on considère la forme normale de Smith de la matrice A-xI, notons la S, on obtient sur la diagonale une suite de polynômes se divisant les un les autres. Le plus grand « Pn » au sens de la division est le polynôme minimal de A. Et le polynôme caractéristique est le produit de tous les Pi de la diagonale (y compris Pn donc). On a deux matrices inversibles (dans l’anneau Mn[K[X]]) P et Q Telles que (A-XI)= PSQ Si on prend la comatrice de cette expression on obtient Com(A-xI)=com(P)com(S)com(Q) Or la comatrice de la forme normale de Smith va être diagonale avec comme coefficients i :( le produit de tous les Pj) / Pi Le plus grand au sens de la division sera produit(Pj)/P1 et le plus petit sera produit(Pj)/Pn Ce produit(Pj)/Pn est donc bien le PGCD de com(S) mais est aussi comme on l’a vu au début poly caractéristique / polynôme minimal. La multiplication par com(P) et com(Q) conservant le pgcd des coeff on a bien pgcd(com(A-xI))=pgcd(S)=poly car/poly min

[@philcaldero8964]

@@stevie4ever Excellent! Bravo pour cette preuve! J essaierai d'en faire une vidéo si tu es d accord!

[@stevie4ever]

Au contraire. J’en serai ravi! Merci pour nous donner envie de creuser les maths :)