Une énigme paradoxale (mathématiques fondamentales) - Passe-science #60

[@PasseScience]

On me signale que Scientia Egregia avait aussi fait un couple de vidéos sur cette énigme (comme quoi toujours difficile de trouver un contenu original), je cross ref les vidéos ici: kzbin.info/www/bejne/r5Wze5-Nf9uce9k kzbin.info/www/bejne/m2XdmHt_ocSdh5Y

[@PasseScience]

@Anti-Fake-ul9oe Comment déclarer que l'ignorance sur un sujet est totale et le sera toujours sans être à son tour plus arrogant que l'arrogance qu'on prétend dénoncer ? J'avoue avoir du mal à vous suivre, sur quoi vous basez vous pour faire de telles déclarations péremptoires ? et que vient faire cette question sous cette vidéo sans rapport d'ailleurs ?

[@urluberlu2757]

@@PasseScience 🤣👍

[@matthieubrilman9407]

Je reviens commenter car j'ai été vraiment bluffé. En fait, cette "démonstration" est un excellent argument pour refuser l'axiome du choix, puisque accepter celui-ci amène à une conclusion qui est clairement aberrante. Je savais depuis longtemps que certains mathématiciens n'acceptaient pas l'axiome du choix car il peut amener à des problèmes, mais je ne voyais pas trop lesquels et l'axiome en lui-même me paraissait plutôt anodin. Maintenant je suis convaincu qu'il est à éviter. Le plus marrant, c'est que la démonstration n'est pas si difficile à suivre, en fait. Bravo !

[@PasseScience]

@@matthieubrilman9407 La démonstration de Banach-Tarski est également plutôt bluffante et amène aussi à penser qu'il faut reconsidérer certains axiomes. De mon côté, je suis moins catégorique vis-à-vis de l'axiome du choix parce que, souvent, il intervient dans les résultats paradoxaux mais c'est très difficile de savoir s'il est "responsable" du côté paradoxal. Souvent, c'est plus un problème d'infini qu'un problème d'axiome du choix. Mais bon, d'un autre côté, l'axiome du choix n'existe que lorsqu'il y a des problèmes d'infini. Dans Banach-Tarski, par exemple, on peut avoir des résultats similaires sur d'autres objets que la boule, sans axiome du choix, et donc tout aussi bizarres. Du coup, on aurait tendance à conclure que l'infini aussi est un problème.

[@matthieubrilman9407]

@@PasseScience Banach-Tarski, ou la fonction en base 13 de Conway, ou même simplement la courbe de Peano sont aussi des résultats bluffants, mais pas au même niveau je trouve. Pour BT, Conway 13 ou Peano, ce sont des résultats qui défient l'intuition mais qui restent acceptables. Effectivement, ils découlent de l'existence de l'infini en maths, alors que nous vivons dans un univers probablement fini. Ca amène à penser que les maths sont sans doute impropres à modéliser parfaitement l'univers. Mais comment faire des maths sans le concept de l'infini ? Il faudrait remettre en question la construction même de N avec les axiomes de Peano... J'ai beau chercher, je n'arrive pas à avoir un ressenti clair, et encore moins à l'exprimer. Mais je vais tenter. BT, Conway 13 ou Peano sont surprenants, mais parce qu'ils existent dans un univers plus riche que ce qu'il est vraiment. Ici, ce n'est pas surprenant, c'est aberrant, parce que ça existe dans un univers en contraction totale avec ce que nous percevons de notre univers. Encore merci pour la vidéo, très claire, même si c'est une redite de quelque chose qui existait déjà, il n' a pas de mal à ça : l'idée qui est dedans gagne certainement à être propagée.

[@matthieubrilman9407]

@@PasseScience Je reviens vers vous en espérant que vous lirez ce commentaire car je crois qu'il montre que ce résultat n'est pas seulement bluffant, mais qu'il introduit même une contradiction totale en mathématiques. Je mets aussi ce commentaire "sous la vidéo" en espérant que ça lui permettra d'avoir des vues... Imaginons que dans chaque boite soit placé un nombre entier tiré au hasard dans l'intervalle [1;1000] et que tous les tirages soient indépendants. Ce n'est qu'une façon parmi tant d'autres de placer des nombres dans les boites. Et, en utilisant l'axiome du choix, il est donc possible de prédire avec 99% de chances de succès le nombre qui se trouve dans une boite qu'on n'a pas ouverte. Or, si le nombre prédit n'est pas un entier de [1,1000], il est bien évident que la prédiction ne peut qu'être fausse. Et si le nombre prédit est un entier de [1;1000], alors les probabilités affirment que les chances que la prédiction soit juste sont de 0,1%. La probabilité que la prédiction soit juste est donc nécessairement entre 0% et 0,1%. On a donc 2 manières de calculer la probabilité que la prédiction soit juste, qui aboutissent à des résultats contradictoires. Est-ce que ça ne suffit pas à montrer qu'accepter l'axiome du choix rend les mathématiques incohérentes ? Et que donc il faut le refuser ? Edit : A la limite, si on veut se passer d'avoir 2 cas "prédiction dans [1;1000]" et "prédiction pas dans [1;1000]", pour ne pas avoir à "moyenner" des probabilités sur des ensembles pas forcément mesurables, on peut juste ne considérer que les suites de [1;1000]^N, avec la même relation d'équivalence, et avoir du coup des représentants qui sont eux-mêmes des suites de [1;1000]^N, ce qui garantit que la prédiction est forcément dans [1;1000]. Je tente de reformuler de manière un peu moins brouillonne. Imaginons que le problème soit posé ainsi : Dans des boites numérotées par les nombres entiers sont placés des nombres entiers, tirés uniformément dans [1,1000] et indépendants les uns des autres. 100 savants doivent, dans les mêmes conditions que celles de la vidéo, faire une prédiction sur une boite qu'il n'ont pas ouverte. De même que dans la vidéo, on peut donc trouver une stratégie qui fait que les prédictions d'au moins 99 savants seront justes. Imaginions que je choisisse un savant avant qu'ils ne fassent leurs prédictions, que je garde sa prédiction comme la mienne, et que les autres savants n'agissent pas. J'ai donc 99% de chances d'avoir juste. Or, peu importe quelles boites ont été ouvertes et quelle est la prédiction. Par hypothèse, la probabilité que la prédiction soit juste est 1/1000.

[@christophedumeunier5956]

​@@matthieubrilman9407 mais la boîte n'est pas choisie de façon arbitraire par le mathématicien. Elle découle d'un classement au regard de presque toutes les autres boîtes (et il y en a une infinité). J'ai l'intuition qu'il faut être prudent sur le caractère uiid de cette boîte du coup. Est-ce encore vrai ? Je crois que oui, mais une alarme sonne dans ma tête. 😅

[@fredericmazoit1441]

J'aime bien l'énigme suivante qui est très proche. Le docteur capture une infinité dénombrable de matheux. Après, explication et stratégification, les matheux sont alignés l'un derrière l'autre. Ils ne savent pas combien ils ont de matheux derrière eux mais ils voient tous ceux qui sont après. Le docteur met un chapeau sur chaque matheux avec un entier dessus. Chaque matheux doit faire une prédiction sur la valeur de son chapeau et tous sont libérés s'il y a seulement un nombre fini d'erreurs.

[@cryme5]

Tous peuvent voir la queue de la suite, ils prédisent alors chacun le chapeau de la suite représentante. Si N est le rang à partir duquel les deux suites sont en accord, tous les mathématiciens de rang N et plus auront vus juste.

[@tboulet54]

@@cryme5 En effet c'est une solution, mais elle demande aux matheux la capacité de choisir le chapeau correspondant à "la suite représentante" de la queue de la suite. En pratique, il n'est pas du tout évident qu'il existe une manière pour les matheux de choisir un représentant d'une classe de suites infinies.

[@OL9245]

Complètement largué 😅

[@Interfector]

Ca m'a donné envie de me plonger dans l'alcool pour au moins avoir l'illusion de comprendre quelque chose. Ou au pire, ca m'aurait permis d'oublier que j'avais rien compris.

[@OL9245]

@@Interfector bonne idée. J'ai arrêté l'alcool il y a 15 ans mais là je m'y remets.

[@PasseScience]

@@OL9245 Si vous avez une question, je me ferai un plaisir d'y répondre, et je vous conseille de commencer en indiquant le timestamp à partir duquel quelque chose ne devient pas clair. Mais bon, pour aborder les questions, il faudra d'abord décuver. :)

[@PasseScience]

@@Interfector La réalité est l'illusion créée par le manque d'alcool.

[@OL9245]

@@PasseScience Merci ! Je suis passionné de pédagogie et J'adore votre chaîne ❤️

[@JohSmith]

Oh le retour ça fait plaisir

[@thierrygarnier1035]

Le passage à 7'44 mériterait plus d'explication.

[@raphaelcadier-giard2326]

Considérons un mathématicien qui s'occupe d'une série qui n'est pas la dernière à devenir égale à sa suite équivalente. Notons n0 l' entier à partir duquel la série dont il s' occupe est égale à sa suite équivalente. Alors il existe une autre série de boites telle qu'il existe un rang n1 à partir duquel cette suite est égale à sa suite équivalente avec n1>n0. Ainsi la suite dont le mathématicien s'occupe est égale à sa suite équivalente au rang n1, donc s'il décide de ne laisser ouverte que la boîte de rang n1, il peut faire une prédiction correcte. Quand je parle de la suite équivalente d'une certaine suite de boîte il faut comprendre non pas n'importe quelle suite équivalente à la suite de boîte mais le représentant de sa classe d'équivalence sur lequel les mathématiciens se sont mis d'accord.

[@vincem9078]

Une énigme incroyable qui donne le vertige ! Un grand merci :) De ce que je comprend, c'est surtout le nombre de boite infini qui engendre ce paradoxe. On peux s'en rendre compte en regardant le nombre de classe d'équivalence (à 4:43). Pour simplifier, disons qu'on a que deux nombres possible dans chaque boite 0 ou 1 (donc la suite de boite créer une suite binaires de 0 et de 1). si le nombre de boite n'est pas infini, on a que deux classes d'équivalence: - l'ensemble des suites se terminant par 0 - l'ensemble des suites se terminant par 1 Quelque soit le nombre de boite, N_classe_equivalence est constant. N_boite = 50 --> N_classe_equivalence = 2 N_boite = 500 --> N_classe_equivalence = 2 N_boite = 5000 --> N_classe_equivalence = 2 N_boite = 50000 --> N_classe_equivalence = 2 ... Mais si on prend N_boite = infini, soudain on a: N_boite = infini --> N_classe_equivalence = infini C'est ça qui fait qu'il n'y pas de paradoxe si on a un nombre de boite fini (comme il n'y que 2 classe d'équivalence, on ne peux prendre que 2 mathématiciens et donc on a que 1 chance sur 2 d'avoir la bonne réponse avec cette stratégie). En mettant N_boite = infini, on fait sauter N_classe_equivalence de 2 (il vaut toujours 2 quelque soit N_boite) à l'infini d'un coup.

[@BARRUTG]

Sauf qu'en enlevant ta simplification, les boites ont des nombres arbitrairements grands, donc il y a un nombre infini et dénombrable de classes d'équivalences. Le fait qu'il y ait un nombre infini de boites est important car ça fait passer le nombre de classes d'équivalences à un infini indénombrable.

[@vincem9078]

​@@BARRUTG Oui effectivement. Ce que je voulais surtout dire c'est que le paradoxe apparait a cause du nombre infini de boite. Parce que avec la simplification (que des 0 et 1 dans les boites), le problème est plus simple mais on a toujours le paradoxe: c'est possible de prédire (à 99% par exemple) le contenue d'une boite sur laquelle on a aucune info. Alors que si on met le nombre de boite à un nombre fixe, le paradoxe disparait. C'est vraiment le fait de mettre le nombre de boite infini qui créer le paradoxe de ce que je comprend.

[@etronpatapon183]

Je suis pas sûr de comprendre mais avec la simplification, même avec un nombre fini de boîtes il y a plus que 2 classes d'équivalence pour moi. La suite u(2n)=0, u(2n+1)=1 n'es t'y équivalente à aucune des deux citées non?

[@vincem9078]

@@etronpatapon183 Si il y a un nombre fini de boite, par exemple 3 boites. Alors la suite u(2n)=0, u(2n+1)=1 donne comme suite de nombre: 1,0,1 Cette suite est appartient à l'une des deux classes d'équivalence (ici elle appartient à "l'ensemble des suites se terminant par 1"). On peux démontrer qu'il n'y pas plus de deux classe d'équivalence avec un nombre fini de boite: Si on fixe N le nombre de boite. Pour n'importe quelle suite S = X0,X1,X2,...,XN On a: Si XN = 0 alors S appartient à la classe d'équivalence "l'ensemble des suites se terminant par 0" Si XN = 1 alors S appartient à la classe d'équivalence "l'ensemble des suites se terminant par 1" Mais ça ne fonctionne que pour un ensemble fini de boite.

[@pierre2988]

Bonjour, vous expliquez très bien, mais en 7:19 je ne comprends pas pourquoi on peut déduire la famille à laquelle appartient S3, car pour cette famille d'appartenance on ne sait pas à partir de quel terme les suites sont équivalentes, et donc il n'y a quasiment aucune chance que ce soit la position trouvée en S4 plus un. De plus, je ne vois pas pourquoi il faut choisir la suite dont le terme où les suites deviennent égales est le plus grand, ici S4 plutôt que S1 ou S2. il y a quelque chose que je ne comprends pas, merci pour votre réponse.

[@bazounet32]

Pour que deux suites appartiennent à la même famille, on n'a pas besoin de connaître à partir de quel index cela se produit (voir le commentaire que j'ai posté précédemment), cela peut se produire à partir de n'importe quel index. Pour savoir si deux suites appartiennent à la même famille, il suffit juste de comparer leur "fin" en partant donc de l'infini (ça c'est du super pouvoir !). Enfin, chacun des mathématiciens fait le pari que l'index de sa série à partir duquel elle devient identique à son modèle sera inférieur à l'index mesuré respectivement par tous les autres mathématiciens: on peut effectivement estimer que 99/100 des mathématiciens gagneront leur pari et qu'un seul le perdra. Enfin, par estimation, on peut facilement imaginer que les index mesurés se trouveront plutôt reportés du côté de l'infini, ce qui permet d'appréhender le réalisme de l'expérience d'une autre manière.

[@PasseScience]

@@pierre2988 Comme le dit le commentaire ci-dessus, pour déterminer la classe d'équivalence d'une suite donnée, il suffit de connaître sa fin, c'est-à-dire ses termes depuis n'importe quel terme jusqu'à la fin. On peut donc déterminer la famille de S3 en la dévoilant à partir d'un terme quelconque. Si ce qui nous intéresse c'est la suite qui est la plus tardive à devenir égale au représentant de sa famille, c'est parce que du coup en faisant une prédiction en se basant sur le représentant sur le terme d'avant, on va avoir une prédiction correcte pour 99 cas sur 100, vu que la suite sera égale à son représentant plus tôt. Celui qui s'occupe de la suite la plus tardive se trompera.

[@fv9422]

Hmm. Mais le fait qu’une serie appartienne à une famille d’appartenance ne nous dit rien sur ce qu’il se passe pour un nombre fini de termes...

[@PasseScience]

@@fv9422 Oui, mais quel point de la démonstration ça gêne ? Vous pouvez donner un timestamp et développer ?

[@bazounet32]

​@@fv9422Justement, le fait que deux suites appartiennent à la même classe d'équivalence ne nous dit rien à partir de quel index les deux suites deviennent identiques mais le fait qu'elles appartiennent à la même classe nous dit quand même par définition que ce rang existe et est fini, même s'il peut se trouver entre 1 et l'infini. Chacun des 100 mathématiciens peut donc mesurer un rang précis pour ce qui est de comparer la suite dont il a la charge à la suite dont il sait qu'elle appartient également à la même classe. Chacun des 100 mathématiciens mesure donc un index particulier, chacun de ces 100 index n'a aucune raison d'être égal à un autre car ils peuvent s'étendre de 1 à l'infini, on peut donc les classer du plus petit au plus grand, il y a donc un seul plus petit et un seul plus grand index sur les 100 index mesurés respectivement par les 100 mathématiciens. Le principe de la prédiction des 100 mathématiciens repose juste sur le fait de parier que l'index de la suite dont ils ont la charge n'est pas le plus grand parmi les 100 mesurés. 99 des mathématiciens gagneront nécessairement leur pari, un seul le perdra.

[@raphaelcadier-giard2326]

Bravo vos videos sont toujours excellentes mais celle-ci l'est particulièrement. Le raisonnement est vraiment incroyable.

[@Qubot]

Je pense que lorsqu'on part d'un postulat absurde, il n'est pas absurde d'obtenir un résultat absurde. En l’occurrence ici l'absurde est de partir de l'idée qu'il soit possible de compter jusqu'à l'infini. Ou l'infini tout court.

[@RogerArbogast]

Par expérience, je peux pas te dire que c'est impossible, mais c'est quand même assez long

[@DirectPoesie]

C'est possible, comme chacun le sait : Chuck Norris l'a fait. Deux fois.

[@jeebay_simracing]

Waouw c’est costaud. J’ai du la regarder 2 fois pour comprendre. Super intéressant en tous cas 👍

[@LEtoffedunChef]

pour la première fois j'ai compris ce qu'est l'axiome du choix. merci !!

[@romainbadinier276]

Merci pour cette pépite! La conclusion est très contrintuitive, et donc très riche. En y réflechissant, on peut meme pousser le paradoxe plus loin: apres avoir suivi la méthode, juste avant meme de faire sa prédiction, le mathematicien peut savoir si sa prediction va fonctionner. En effet si il est dans le cas ou la suite dont il a exploré les termes a partir d'un certain rang n'est pas un representant, alors il est au courant que sa stratégie n'a servi a rien. Au contraire si tous les termes qu'il a tiré sur la derniere suite coincident avec une suite representante, alors il est quasi certain (probabilité de 1), de ne pas etre dans le cas expliqué, et donc quasi certain que la prédiction qu'il va faire soit juste. C'est bluffant de comprendre cm on extrait de l'information sur le numéro d'une boite, avec l'information de boite de numéros indépendants. ps:Le quasi certain vient du cas ou la suite qui coincide en derniere, coinciderait exactement au rang: max(du rang des autres suites)+1. J'estime la probabilité nulle, car elle a une infinitéo de rang possible devant elle pour coincider apres.

[@salimalloun6413]

Merci, sans mauvais jeu de mots, j'ai compris grâce à vous l'axiome de compréhension !

[@bazounet32]

Merci pour cette vidéo, elle m'a permis de mieux saisir enfin le concept de l'axiome du choix. J'avais déjà vu la vidéo de Lê sur le sujet avec une énigme assez similaire mais j'avais été un peu largué cette fois là. De ce que j'ai enfin compris, c'est qu'en imaginant un monde où certains "superpouvoirs" existent, il est tout à fait normal et cohérent que certaines choses incroyables puissent se produire. Et ce qui caractérise surtout les maths, c'est bien sûr avant tout la cohérence donc à partir de là... Merci encore beaucoup pour tes vidéos, elles me permettent de comprendre pas mal de notions scientifiques qui n'avaient pas été aussi bien expliquées ailleurs.

[@sobriquet]

Merci pour cette vidéo stimulante ! Pour moi, le truc, c'est qu'utiliser l'axiome du choix revient à s'autoriser à faire des démonstrations de longueurs infinies. Or à mon sens, une démonstration est un calcul, donc une propriété n'est démontrable que si on peut réaliser le calcul en un temps fini. Réaliser un calcul, c'est exécuter un algorithme. Si l'algorithme ne s'arrête qu'en un temps infini, c'est qu'il n'est pas calculable. Dans ce cas, la propriété n'est donc pas démontrée. Cela est cohérent avec le hasard au sens de Kolmogorov : dans cette acception, une suite est aléatoire quand elle est à peut près aussi courte que le plus court programme qui la génère. Donc une suite aléatoire infinie est générée par un programme de longueur infini, et n'est donc pas calculable (en un temps fini). Mais si on s'autorise les calculs de longueurs infinies, dans le cas présent avec l'axiome du choix, le programme peut être infini tout en étant significativement plus court que la suite aléatoire qu'il génère. Finalement, le concept de hasard au sens de Kolmogorov me semble incompatible avec l'axiome du choix.

[@Cave-a-lier]

4:42 ce qui me dérange est qu'on choisi que chaque suite est de la même famille qu'une autre. Pourquoi est-il impossible que les suites n'aient rien en commun?

[@PasseScience]

Il est parfaitement possible que deux suites ne soient pas dans la même famille, c'est juste que chaque suite appartient bien à la famille dont elle fait partie (tautologie). On voit bien vu la construction, qu'une famille donnée contient une infinité de suites (toutes celles qui "finissent" de la même manière), mais même s'il existait une suite qui soit la seule dans sa famille, ça ferait juste une famille composé d'un element dans laquelle on pourrait tres bien prendre cet élément comme représentant de la famille.

[@Cave-a-lier]

​@@PasseScience Je comprends qu'il est facile de construire deux suites infinies dont la fin est identique. . Par contre j'ai du mal à concevoir qu'à l'infini absolument toutes les suites se trouvent dans une famille de suites qui ont la même fin. . Je propose à propos de ces suites de retirer les virgules qui séparent les nombres, et de coller ces nombres de manière à ce que la suite devienne un seul nombre avec une infinité de chiffres. Si je fabrique ces nombres, étape par étape, alors - à la deuxième toutes les suites sont dans 10 familles. - à la troisième toutes les suites sont dans 100 familles. ... OK je pense avoir compris. Je trouve ça tellement contre intuitif... • «mais même s'il existait une suite qui soit la seule dans sa famille, ça ferait juste une famille composé d'un element dans laquelle on pourrait tres bien prendre cet élément comme représentant de la famille.» J'ai lu après, en effet 👍

[@dupondavignon869]

En voyant le titre, je me doutais que cela parlerait d'infini 😆 7:50 : il me semble voir ici l'erreur commune lorsqu'on utilise le concept d'infini dans ce genre de problème. On considère comme figé, défini, posé, déterminé, quelque chose qui ne l'est pas. L'infini, lorsqu' on s'intéresse à ses termes, est quelque chose "en détermination" (dont l'énumération n'arrive jamais à son terme), et non quelque chose de déterminé, "dont on aurait fait le tour", de posé. Ce qu'oublie intrinsèquement ce type de problème et la manière dont il est posé. Ici, le moment où l'élément "le plus tardif" montre appartenir à la suite est indéterminé, car il le fait après une énumération infinie (lorsqu'on part de la gauche selon votre présentation). Aucune raison pour que ce "moment le plus tardif" n'advienne pas après un temps infini. Si vous voulez une représentation géométrique, la représentation correcte me semble être que vous coupez une droite en un point quelconque, considérant que tout ce qui se trouve à droite de ce point constitue la suite appartenant à la famille, tout ce qui se trouve avant (à gauche) ne lui appartenant pas. Pourquoi donc avoir considéré que ce qui se trouve à gauche constitue un segment (longueur limitée), alors qu'on s'est contenté de "timer" une droite (infinie tant à droite qu'à gauche) en un point arbitraire de celle-ci ? Même raisonnement lorsqu'il s'agit de nombres.

[@vinuxcyldrik]

Je ne suis pas d'accord avec votre raisonnement (mais j'ai peut être mal compris). Je m'explique en reprenant les points qui me font tiquer : "Aucune raison pour que ce "moment le plus tardif" n'advienne pas après un temps infini." Je ne vois pas comment le "moment le plus tardif" peut arriver après un temps infini. On a deux suites de nombre (celle déterminée par les mathématiciens, et celle déterminée par l'ouverture des boites pour un mathématicien donné), et on sait qu'à un moment donné, il va y avoir une concordance entre ces suites. Ce n'est pas une hypothèse. Le "moment le plus tardif" peut arriver très tard. Suffisamment tard pour nécessiter plusieurs milliards d'années d'ouverture de boite, voir encore bien plus. Humainement, c'est l'infini puisqu'on sait qu'on n'y arrivera pas, mais ici on s'accommode de l'infini en considérant que les mathématiciens peuvent retenir une suite infinie, et surtout (parce que pour retenir une suite infini, il suffit d'appliquer une formule qui permet d'avoir le nième terme de la suite, et ça, on sait faire dans notre monde bien réel) qu'ils peuvent ouvrir une infinité de boite sans difficulté particulière (ça par contre, on a plus de mal. Même virtuellement). Donc ce très grand nombre de boite à ouvrir avant d'attendre le "moment le plus tardif" reste un nombre fini de boite, quand bien même en pratique il faudrait des milliard d'années d'ouverture de boite pour arriver au bout. Je pense (si j'ai bien compris) que le temps infini dont vous parlez correspond à cette notion qui dit qu'on peut toujours trouver deux suites de nombre pour lesquels ce moment de convergence arrive aussi tardivement qu'on le souhaite (si on trouve deux suites qui deviennent identique après le Tree(3)ième nombre par exempl (qui est incompréhensiblement gigantesque), on peut trouver deux autres suites pour lesquels cette convergence arrive encore plus tardivement ... et on peut aller aussi loin qu'on veut comme ça en somme). Sauf que dans notre cas, ce "aussi loin que possible" est fini puisque la suite de nombre que les mathématiciens ont en tête est déterminée, et que la suite à laquelle on la compare est aussi déterminée, car elle l'est par la personne qui a mis en place ce défi (même si elle n'a pas défini cette suite en particulier, mais elle a au moins choisi quel nombre va dans quelle boite). On ne parle plus du cas général mais d'un cas précis qui est forcément fini. C'est juste que ça peut arriver très très très tardivement. "Pourquoi donc avoir considéré que ce qui se trouve à gauche constitue un segment (longueur limitée), alors qu'on s'est contenté de "timer" une droite (infinie tant à droite qu'à gauche) en un point arbitraire de celle-ci ?" Comment ça, "timer" une droite ? "Timer" au sens où on coupe la droite en deux ? Si c'est bien ça, comme précédemment avec les nombres, le point où on coupe la droite est défini. A droite, on aura encore l'infini, mais à gauche, ça sera fini. On n'est pas en train de diviser l'infini en 2, on détermine une longueur fini (potentiellement très très grande certes, mais ça reste fini) à partir de quoi on coupe la droite. A gauche, c'est fini, à droite, ça reste infini. Pour moi, il n'y a pas de soucis avec la façon dont l'infini a été abordé par PasseScience. J'ai été très verbeux. J'espère que c'est assez clair malgré ça (oui, j'ai du mal à être concis).

[@dupondavignon869]

​@@vinuxcyldrik : comme dit plus haut, le problème majeur est que l'énumération des différents nombres est, concernant l'infini, "en détermination", et non déterminée. C'est un processus constant, et non quelque chose de posé définitivement comme aime à le faire la mathématique. La mathématique, c'est en quelque sorte le domaine du figé, de l'établi. La chose doit en quelque sorte garder sa spécificité une fois pour toutes. Sauf que dans le cas de l'infini (et si on s'intéresse à ses termes et qu'on veuille les déterminer individuellement dans leur complétude, et non pas à la simple définition de ce qu'est l'infini) cela ne marche pas. On ne peut en faire le tour. On ne peut prétendre avoir déterminé, énuméré chacun des termes ; tout au plus peut-on en anticiper autant qu'on veut en fonction des propriétés auxquels ils doivent répondre. Définir l'infini par un ensemble de propriétés, cela fait sens. Mais prétendre énumérer chacun des termes qu'il contient, c'est un propos qui n'en a aucun. _"on sait qu'à un moment donné, il va y avoir une concordance entre ces suites."_ "Après un temps infini", on peut dire que c'est à un moment donné. En quelque sorte. Car ce qui arrive après un temps infini n'arrive, en fait, jamais (on attend l'infinité du temps avant que cela n'advienne ; c'est à dire que quel que soit le temps qu'on attendra, ce ne sera encore pas pour tout de suite...). Mais dire que cela arrive après un temps infini répond tout de même à l'hypothèse ; _"ce "aussi loin que possible" est fini puisque la suite de nombre que les mathématiciens ont en tête est déterminée"_ Cela il faut le prouver (contrairement à ce que vous affirmez, il n'existe aucun lien logique de causalité dans votre phrase : la suite de nombre déterminée peut très bien arriver après un temps infini). "Timer" dans le sens que l'on décide, à un moment donné de l'énumération des nombres (ou de parcourir la droite), de poser que c'est à ce moment-là que l'énumération s'achève. C'est là où je disais que l'énumération d'un nombre infini de termes ne marche pas vraiment en considérant les mathématiques de manière traditionnelle, qui veulent que la chose soit figée une fois pour toutes. Il y a en quelque sorte la composante temporelle qui entre en jeu lorsqu'on veut énumérer une suite infinie de nombres : s'agissant d'un processus constant, pouvant sans cesse être prolongé, l'énumération d'un nombre infini de nombres (ou parcourir une longueur infinie) ne s'accommode pas d'un processus figé, posé, résolu définitivement. Mais peut au contraire être sans cesse prolongé, postposé. Une droite "finie" d'un côté c'est une demi-droite.

[@Taupe10videos]

J’adorerais comprendre la solution de cette énigme 😢

[@cheeseparis1]

Oh! le blog de David Madore... et hop, abonné.

[@watsat]

🤯 Tout semble très bien expliqué mais si on devait former deux ensembles, Le premier regroupant celles et ceux qui ont tout compris, Je ferais partie du second ensemble. Mais, un second visionnage au calme me permettra peut être de changer mon ensemble d'appartenance ! Vive les monstres mathématiques !

[@weltkaiserendzeit2417]

À 6:58, quand vous dites « celle pour laquelle ceci arrive le plus tard ». Si j'ai bien compris l'énoncé (et je peux faire erreur), alors il est tout à fait possible qu'il n'existe pas de suite pour laquelle la « rupture » entre elle et son représentant persiste jusqu'au plus tard. Pire encore, si le contenu des boites est choisi au hasard, alors la probabilité qu'il existe une suite « pour laquelle ceci arrive le plus tard » est de zéro. Par exemple, supposons que la suite Sn ne se mette à correspondre avec son représentant qu'au rang n. Alors, on voit bien que pour toute suite Sk, la suite S(k+1) commence plus tard à correspondre. Donc, il n'existe pas de suite pour laquelle ceci arrive le plus tard ! Un exemple pratique : Prenons Sn = (0, ..., 0, 0, 1, ...) constituée de exactement n zéros, suivis d'une infinité de uns. Prenons Rn = (0, ..., 0, 1, 1, ...) constituée de exactement n-1 séros, suivis d'une infinité de uns. On fixe que Rn est le représentant de la classe de Sn. Alors, on tombe dans le cas que j'ai décrit : la suite Sn commence à correspondre à partir du rang n, qui est non-borné.

[@PasseScience]

@@weltkaiserendzeit2417 Celle pour laquelle ça arrive au plus tard parmi les 100 suites Sn. Il n'y a en que 100, une par mathématicien. Une composée des boîtes 101, 201, etc. L'autre des boîtes 2, 102, 202,... et la dernière des boîtes 100, 200, 300, 400, et comme ça, ça couvre toutes les boîtes. Et donc parmi un nombre fini il y a la plus tardive.

[@weltkaiserendzeit2417]

@@PasseScience Ah, je vois merci ! En effet, je n'avais pas bien compris la méthode d'énumération des boîtes. Merci de la précision ;)

[@martinkunev9911]

7:14 "strictement après cette indice" le strictement est très important car il se peux que deux suites deviennent égales aux représentants de leurs familles sur le même élément. Si on prend >= au lieu de > nous pouvons avoir plusieurs mathématiciens qui se trompent.

[@PasseScience]

@@martinkunev9911 Et oui, strictement :)

[@Aegyr-n6k]

Bonjour Je n'ai pas bien compris l'histoire de Russel des chaussures et des chaussettes. Pourriez vous détailler ou préciser la chose svp ? Merci !

[@PasseScience]

@@Aegyr-n6k C'est juste que dans le cas des chaussures, on a une fonction de choix trivial, par exemple de prendre la chaussure gauche de chaque paire, alors que dans le cas des chaussettes, c'est considéré comme indiscernable la gauche et la droite.

[@Aegyr-n6k]

@@PasseScience Très bien Parfait. Merci.

[@axeltramaux1833]

J’ai découvert l’axiome du choix avec el JJ, mais… j’avais recherché une vidéo ou un ouvrage complètement dédié à l’axiome du Choix (son histoire, ses conséquences, ses détracteurs), mais je n’ai pas trouvé. En particulier je me pose encore la question : accepter l’axiome du choix permet-il de démontrer des choses fausses, dans le sens où cela ne correspond pas à la réalité physique dans laquelle on vit ? J’ai du mal à y voir clair, encore.

[@PasseScience]

J'ai mis en fiche une vidéo de Science4All qui parle de diverses conséquences de l'axiome du choix. Est ce qu'il aboutit à des choses "fausses" pas au sens mathématiques du termes, au sens contre intuitif oui évidemment. Banach Tarski c'est particulièrement anti naturel mais c'est autant la faute de l'infini que de l'axiome du choix.

[@axeltramaux1833]

@@PasseScience bon je vais aller voir sa vidéo okay

[@weltkaiserendzeit2417]

@@PasseScience Cela dit, d'un point de vue logique - si ça peut en rassurer certains -, Gödel (et Paul Cohen) a prouvé que l'axiome du choix était indécidable dans ZF, et donc que l'inclure dans nos théories ne conduisait pas à une incohérence. Donc, d'un point de vue logique, l'axiome C n'est pas « faux » !

[@xaviergautheron9443]

Les numéros dans les boîtes sont ils tous différents les uns des autres ? Sinon je ne vois pas comment on peut prédire avec exactitude le numéro dans une boîte, indépendamment de toute autre considération sur l’infini etc Quel est le lien entre l’ouverture de boîtes et la prédiction qu’on peut faire sur le contenu d’une d’entre elles?

[@PasseScience]

*Les numéros dans les boîtes sont-ils tous différents les uns des autres ?* Rien ne le garantit, c'est indépendant. *Sinon je ne vois pas comment on peut prédire avec exactitude le numéro dans une boîte, ... quel est le lien entre l’ouverture de boîtes et la prédiction qu’on peut faire sur le contenu d’une d’entre elles?* C'est bien tu as bien compris l'énoncé, c'est ce que je dis en 3:29, si on comprend bien l'énoncé on le trouve absurde, ca semble n'avoir aucun sens. Mais la raison pour laquelle c'est un paradoxe c'est qu'il en est autrement (modulo l'acceptation des pouvoirs de gestions de l'infini de nos mathématiciens). *je ne vois pas comment* c'est impossible à voir comme cela de tete rapidement, c'est pour cette raison que je le détaille ensuite via des schemas, donc je t'invite à te concentrer sur la stratégie présentée pour la comprendre elle sans chercher à l'intuiter de prime abord. Et poser des question à la premiere étape qui pose pb.

[@adrienmayeux1793]

je ne comprend pas ce qui force tout ou partie (ou meme juste l'élément prédit) du début de la série choisie "celle dont il s'occupe" a être égal au représentant de sa classe d'équivalence. La diférence entre les éléments d'une de ces classes d'équivalence n'est elle pas justement ce qui vient avant la série infinie ?

[@PasseScience]

Rien ne force le début de la série dont le mathématicien s'occupe à être égal aux représentants de la classe d'équivalence dont elle fait partie. Mais comme il fait sa prédiction au terme d'indice le plus tardif qu'il a observé parmi les autres séries dont les autres mathématiciens s'occupent, si tous font la même chose que lui, il n'y en aura qu'un seul qui va se tromper, c'est celui qui a la série qui devient égale à son représentant au plus tard. Par exemple, imaginons qu'il n'y ait que deux séries. Il y en a une qui devient égale à son représentant au terme 1000. L'autre devient égale à son représentant au terme 100. Quand le mathématicien qui s'occupe de la suite qui devient égale à son représentant au terme 100 va faire sa prédiction sur le millième élément, vu que c'est celui qui voit dans la suite de l'autre, il aura bon vu que sa suite est égale à son représentant avant. Il n'y a que celui qui a la suite la plus tardive à devenir égal au représentant de la classe dont elle fait partie qui se trompe. Tous les autres ont bon. Je ne sais pas si c'est plus clair. Je pense qu'avec le schéma de la vidéo, c'est plus clair qu'avec l'explication texte, mais peut-être en reformulant ainsi, ça s'éclairera.

[@juliendrevon7194]

​@@PasseScience Bonjour et merci pour cette vidéo, hyper intéressante ! J'ai par contre une zone de flou qui me reste : que ce passe-t-il si il y a 2 suites "les plus tardives" à devenir égales à leur représentant de classe ? La solution vient de la probabilité quasi-nulle que ça arrive, dû aux différents infinis en jeu ? Merci !!

[@PasseScience]

@@juliendrevon7194 S'il y a plusieurs suites les plus tardives ex aequo, tous les mathématiciens réaliseront une prédiction correcte. Tu peux voir sur le schéma que chacun consulte ce qui est strictement après ce terme et prédit le contenu du premier terme ou c'est égale pour les autres (et donc egal pour lui aussi dans ce cas).

[@michelbernard9092]

Sur les bords au milieu c'est vrai qu'ça craint un peu ! Mais quelle satisfaction de comprendre, après cependant avoir regardé 5 fois et pris des notes !

[@PasseScience]

Du coup vous etes prêt pour la demo velue dans l’épisode sur l'equidecomposition (voir fiche)

[@michelbernard9092]

@@PasseScience Peut-être par la suite car j'ai ma dose pour la soirée ! Merci pour votre vidéo, plus claire que Scientia Egregia dont je n'avais pas compris toutes les explications.

[@curedent6086]

Vous me redonnez espoir, merci 🙂

[@oliviercomte7624]

Si le docteur No choisit de ne mettre que des suites qui se terminent par une infinité de zéros. Toutes les suites seront donc dans la même classe d’équivalence dont un représentant est la suite infinie de zéros. J’ai l’impression qu’avec cette restriction on se retrouve avec un résultat tout aussi paradoxal mais qui ne nécessite pas l’axiome du choix pour être démontré, non ?

[@matthieubrilman9407]

Si j'ai bien compris, effectivement ça ne nécessite pas l'axiome du choix (à condition qu'il y ait des nombres entiers dans les boites, mais là n'est pas le problème) mais ça semble aussi quand même moins paradoxal : On a une infinité de boites et seulement un nombre fini de boites sans O dedans. Du coup c'est moins choquant qu'on puisse prédire qu'il y a 0 dans une boite donnée avec une probabilité aussi proche de 1 qu'on veut...

[@bazounet32]

Ce cas doit s'apparenter au cas fini dans lequel la série de 0 se produit lorsque l'on arrête d'ouvrir des boîtes. Si l'on reprend le même raisonnement que dans la vidéo, cela signifie qu'il n'y a qu'une seule classe d'équivalence possible et donc qu'un seul représentant à retenir.

[@pascalneraudeau2084]

Peut-on définir une longueur (une suite de points réels) entre deux rationnels ? Evidemment, à la limite, elle tend vers 0… mais zéro point ou zéro cm ?

[@serpentdenuit]

D'un côté il me semble clair depuis un bon moment que l'axiome du choix devrait être rejeté à cause de tous les paradoxes qu'il entraîne, puisqu'il existe d'autres axiomes, certes moins intuitifs, qui permettent tout aussi bien de faire de l'analyse sans engendrer les mêmes aberrations. De l'autre, je me dis que ce genre de questions ne passionne vraiment qu'une poignée de logiciens et que ça n'a aucune influence sur le travail de la majorité écrasante des autres mathématiciens, et je pense que c'est fondamentalement pour cette raison que l'axiome du choix, qui a du moins l'avantage de la simpliciité - notamment pour les non-spécialistes comme moi - n'a pas été remplacé depuis longtemps.

[@lucasveyssiere5677]

Dans ce paradoxe, en plus de l'axiome du choix et de l'infinité de boite que les mathématiciens peuvent ouvrir, ils connaissent (et utilisent) tous les termes des suites qu'ils ont choisit comme représentant. Admettons que les mathématiciens avait un moyen de calculer chaque representant qu'il le faisait aussi loin que nécessaire, seul, une fois dans la pièce, alors le paradoxe serait plus impressionnant. Ici, en plus de faire une infinité d'action seul face aux boites ils en font une infinité entre eux avant de rentrer dans la pièce, le paradixe peut venir de partout

[@Pradowpradow]

Antoine Bourget (Scientia Egregia) a fait deux vidéos sur le sujet de cette énigme!

[@PasseScience]

@@Pradowpradow le titre? (Éviter le lien, youtube peut filtrer)

[@Pradowpradow]

​@@PasseScience La première s'appelle "La plus difficile de toutes les énigmes", la seconde "la solution de l'énigme"

[@mehdimabed4125]

Ma compréhension du truc c'est qu'avec l'axiome du choix on peut choisir un représentant de chaque ensemble, mais de manière non constructive (on ne peut pas décrire la procédure qui permet de choisir les représentant), et du coup, même si on peut "prédire le hasard" grâce à cet axiome, cette prédiction n'a lieue que dans un monde non-constructiviste (donc un monde assez paradoxal en soi) ; avec ça en tête, ça ne me pose pas trop de problème d'admettre que si on admet l'existence d'une procédure indescriptible, alors beaucoup de choses sont possible ^^ C'est comme le nombre Oméga de Chaitin qui permettrai, si on pouvait le calculer, de décider si n'importe quelle démonstrations était vraie ou non ; il existe un nombre incalculable qui permet de faire des choses incroyable (tout démontrer en gros), mais ce nombre est incalculable donc bon ^^ Maintenant la question qui me vient, c'est est-ce bien vrai qu'il n'existe pas de procédure pour décrire le choix des mathématiciens pour le représentant d'une suite (je reviens au problème de la vidéo) ; ne pourraient-ils pas coisir comme représentant la suite avec le plus petit ordre lexicographique ou quelque chose comme ça ? Je ne connais pas vraiment les axiomes de remplacement et de compréhension qui ont été évoqués à 10:50 mais est-ce que ça ne fonctionnerai pas ? En tout cas merci pour cette (ecore une fois) exellente vidéo !!

[@PasseScience]

Un argument (enfin il me semble j'ai réfléchi assez vite pas sur) qui justifie la nécessité de l'axiome du choix pour trouver un représentant par classe: il y a beaucoup de réel non définissables (vu que definir = avoir une sorte de programme ou formule pour désigner le réel dont on parle et que c'est dénombrable, il y a une infinité de nombres réels non définissables). Ici j'utilise nombre réels de manière interchangeable à suite d'entiers (vu qu'a qq détails près on peut voir ca comme des décimales etc...) du coup il suffit de prendre une de ces suites non définissables, tous les éléments de sa classes sont non définissables (vu qu'ils ne diffèrent deux a deux que pour un nombre fini de terme) et donc la on peut pas vraiment en désigner un vu qu'on ne peut en désigner aucun.

[@mehdimabed4125]

@@PasseScience Ok donc si je comprends bien, si une classe d'équivalence contient une suite non-calculable, alors elle ne contient que des suites non-calculables... Autrement dit, si elle contient au moins une suite calculable, alors elle ne contient pas de suite non-calculable (et donc toutes les suites équivalentes sont calculables)... Avec cette reformulation, je conçois tout à fait qu'une suite non-calculable soit équivalente "par hasard" à une suite calculable... et donc qu'une classe d'équivalence puisse contenir des suites calculables et non-calculables... Mais peut-être qu'il existe nécessairement une classe d'équivalence ne contenant que des suites non-calculables par contre... Bref, c'est toujours rigolo de se creuser un peu la tête sur ces problènes ^^

[@PasseScience]

@@mehdimabed4125 J'ai l'impression que la première partie de ce commentaire dit une chose et son contraire (pas sur). Je reformule l'argument. En fait, une suite non calculable ne peut pas être équivalente à une suite calculable, puisque sinon on pourrait la calculer. Il suffirait de prendre le même programme que la suite qui calcule la suite calculable à laquelle elle est équivalente, auquel on adjoindrait la liste finie des premiers termes sur lesquels elle diffère. On ferait du coup un nouveau programme qui permettrait de calculer la suite hypothétiquement non calculable. C'est donc une contradiction.

[@savonliquide7677]

Bravo pour ton travail, comme d'habitude tout est à la fois clair et pertinent, le ratio complexité du sujet/clarté de l'exposé est énorme! Je me pose quelques questions : est-il prouvé qu'on ne peut pas avoir 100pourcent à tous les coup (je cherche mais peut-être que c'est prouvablement impossible) On peut peut-être passer de proba de succès aussi proche de 1 qu'on veut à proba 1 (en itérant le même processus une fois qu'il a choisi une classe qu'il n'ouvre pas entièrement , au lieu de terminer il refais la même chose avec cette classe, et ainsi de suite, le problème c'est qu'il risque d'ouvrir toutes les boites...à ce moment là il peut peut être en garder une de coté, et tout ouvrir en suivant ce protocole itératif, bon je ne sais même pas si ce que je raconte n'est pas nimp, je vais réfléchir lol) En tous cas je serai un peu rassuré si il n'y avait pas de stratégie gagnante au sens strict, qu'AC nous donne une chance aussi proche de 1 qu'on veut de succès, c'est la preuve de sa grande force, et ma foi avec lui proche de 1 ou non nul c'est presque pareil que j me dis en moi même (en tant que nul en set théorie) et de toute façon tout procédé nécessitant l'axiome du choix est non constructible donc ça n'est pas si grave, mais s'il y avait une façon de gagner à coup sur (même dans le sens avec proba 1) ça me générait quand même un petit peu... ou pas, bon j'efface pas pour pas avoir écrit tout ça pour rien, au pire je verrai si c'est débile dans quelque temps si d'aventure je fouillais mieux le domaine). Notons que j'ai un petit doute sur le fait de parler de proba comme ça sans guillemets...bon je vais me renseigner un peu maintenant, encore merci pour cette vidéo et toutes les autres - je passe du coq à l'âne mais je me souviens d'une qui m'avait fait très forte impression : tu livrais une théorie "perso" et l'univers était un graphe, j'aimerais bien retomber dessus, si tu sais de quoi je parle, ou quelqu'un d'autre je veux bien le lien. A bientôt l'ami

[@David-hz9on]

Je reviens le lendemain donc j’ai peut être oublié un détail, mais est ce que c’est si paradoxal que ça ? Dans le sens où on pourrait se dire que s’ils peuvent ouvrir une infinité de boîtes, ils pourraient ouvrir « toutes les boîtes sauf une », et prédire celle la ? Je sais que ce raisonnement est faux, mais est ce qu’il ne donne pas l’intuition de la quantité d’info à laquelle ils ont accès en pouvant ouvrir une infinité de boîtes ?

[@PasseScience]

Oui ils ont le droit d'ouvrir toutes les boites sauf une et predire le contenu de cette derniere. Mais on a du mal a voir en quoi ouvrir des boites sans rapport pourrait donner des informations sur le contenu de la boite laissée fermee. Il n'y a pas de logique particuliere dans le remplissage des boites, c'est quelconque, les contenus de chaque boite sont parfaitement independants. C'est pour cela que c'est paradoxale: comme c'est independant ca semble ne servir a rien d'ouvrir d'autres boites, mais en fait ca sert à quelque chose.

[@Meric_N]

La proba, c'est 1/3 dans le cas d'un ensemble fini de boîte, c'est ça ?

[@PasseScience]

La proba de quoi?

[@supermartrucminecraft4656]

C'est pour ça que je préfère les maths intuitionistes... les humains n'ont pas accès à de tels super-pouvoirs comme l'axiome du choix général !

[@pascalneraudeau2084]

Alors, il faut choisir une ‘Mathématique’ qui légitime l’axiome du choix en admettant que l’infini puisse être accompli … ou le refuser si non ! la réalité se ‘forge’ dans le fini … un ‘quelque part’ qui la définit … je crois …

[@bazounet32]

"deux suites seront dites équivalentes si elles ne diffèrent que d'un nombre fini de terme ou dit autrement deviennent identiques à partir d'un certain terme." Juste une remarque de vocabulaire sur cette formulation qui m'a induit un peu en erreur: des suites appartenant à la même classe d'équivalence deviennent identiques possiblement à partir de N'IMPORTE QUEL terme(premier, milliardième, gogolième,...). L'utilisation dans l'explication du mot "certain" peut porter à confusion.

[@matthieubrilman9407]

Et si plusieurs suites deviennent égales à leur représentant au même rang ? Par exemple, si les 100 suites sont toutes dans la même classe d'équivalence et qu'elles diffèrent toutes du représentant de cette classe seulement au niveau du premier terme (mais avec 100 premiers termes différents entre eux, et différents du premier terme du représentant) ? Dans ce cas là, aucun mathématicien ne fera la bonne prédiction, il me semble.

[@PasseScience]

@@matthieubrilman9407 C'est l'inverse. Dans le cas des suites tardives ex-aequo, tel que la méthode est conçue, ils auront tous correct. Ils vont tous faire la prédiction sur le terme à partir duquel ça devient égal.

[@matthieubrilman9407]

@@PasseScience Ah oui, au temps pour moi. C'est vraiment bluffant, cette histoire. Comme quoi, accepter l'axiome du choix n'est pas anodin. Merci pour la réponse.

[@uspectacle5532]

Quel algorithme est utilisé par le mathématicien pour savoir quel représentant (de classe d'équivalence) correspond à la suite qu'il vient d'ouvrir ? Alors déjà merci beaucoup, le travail réalisé pour chaque vidéo me laisse sans voix J'ai cherché partout dans les commentaires et sur le blog et dans les discussions du blog et aux pres de mes collègues thésard et sur internet en général et je n'ai trouvé aucune réponse satisfaisante (et personne qui questionne ce point à vrai dire) Je veux bien accepter l'existence de l'ensemble des classes d'équivalence des suites de nombre entiers Cet ensemble étant (me semble t'il) de cardinalité équivalente à l'ensemble des réels de 0 à 1 par bijection, il est donc indenombrable. Par la même, l'ensemble des suites representatives de ces classes d'équivalence est tout aussi indenombrable. Mais du coup, comment savoir si une suite est équivalente à une des suites 'representante' de cette ensemble ? Même en un temps infini Si l'ensemble était dénombrable, je veux bien: On regarde le 1er éléments et on compare Puis le second, le troisième... Jusqu'à l'infini ou qu'on trouve une équivalence Mais si l'ensemble est indenombrable comme c'est le cas ici, comment fait-il ce mathématicien ? ❤

[@PasseScience]

*Quel algorithme est utilisé par le mathématicien pour savoir quel représentant (de classe d'équivalence) correspond à la suite qu'il vient d'ouvrir ?* Aucune ils ont juste convenu avant arbitrairement d'un représentant par classe, pour l’infinité de classe, et ont mémorisé cette infinité de résultats. (Ca fait partie de leur pouvoir concernant l'infini) et c'est a cette etape que le fameux axiome du choix est utilisé. *Je veux bien accepter l'existence de l'ensemble des classes d'équivalence des suites de nombre entiers Cet ensemble étant (me semble t'il) de cardinalité équivalente à l'ensemble des réels de 0 à 1 par bijection, il est donc indenombrable.* Oui j'ai aussi conclu qu'il y a une infinite indenombrable de classes d'equivalence. Pour ce qui concerne comment les mathematiciens comparent ou procedent, comme precise dans la video, c'est admis que dans le cadre de cette engime infini ils n'ont pas de probleme a memoriser des infinites de choix, ouvrir des infinites de boites, faire une infinite de comparaisons etc... toujours en temps fini. (avoir une infinite des boites est deja un truc impossible)

[@uspectacle5532]

@@PasseScience je te remercie pour ta réponse détaillée Cependant j'ai peur d'avoir mal exprimé mon désarroi J'avais bien compris que l'axiome du choix permet au mathématicien de choisir un représentant pour chaque class d'équivalence Ce qui me pose problème est plus dans la phrase "il fait une infinité de comparaison" De mon point de vu d'amateur, il y a une grande différence entre effectuer une tâche infinie dénombrable et effectuer une tâche infinie indénombrable. Ouvrir une infinité de boîte, ok Mémoriser l'ensemble des représentants des classes d'équivalence, plus difficile mais on axiomise du choix tout ça et ça me vas, ok Mais comparer une suite de boîte ouverte avec cet 'ensemble indénombrable de representant de classe d'équivalence', là je dis non Même avec une mémoire infini, Même avec un processeur quantique infini Même avec des super-task qui multiplie leurs efficacité en divisant leurs temps d'exécution Je questionne même comment approcher la première comparaison J'ai ouvert les boîtes numérotés 1, 11, 21, 31... Ok Puis je remarque que la suite des nombres que révèle mes boîtes ne coïncide jamais avec 0, 0, 0, 0.... Je teste la coïncidence avec quoi en suite ? 0, 1, 0, 1, 0.... Puis 1, 3, 7, 1, 3, 7 ... Puis les décimales de Pi Puis une infinité d'autre suites tiré de l'ensemble des 'suites représente des classes d'équivalence' L'ensemble est indenombrable, par argument de la diagonale il y aura toujours une 'suite représente d'une class d'équivalence' que je n'aurais pas encore testé Je serai curieux de savoir si l'axiome du choix permet de générer un algorithme qui permet effectivement de faire cette tâche de comparaison infiniment indénombrable Après oui en effet je me prends la tête pour rien, ils sont peux être juste trop fort ces mathématiciens magiques

[@othewisp]

Je n'ai pour l'instant regardé que les deux premières minutes et demi mais ça me rappelle diablement une histoire de lapins et de chapeaux chez science4all tout ça ;)

[@Cpasmoi]

Bon, ca a été un peu compliqué, mais je crois que j'ai compris après ce deuxième visionnage. J'ai juste un peu de mal à comprendre où intervient l'axiome du choix. C'est lorsqu'on choisit la suite représentante de chaque famille ? Et aussi, dans l'axiome du choix, pourquoi est-ce que choisir "au hasard" ne serait pas une fonction de choix valide dans tous les cas ? J'avoue que je ne comprends pas bien ca.

[@PasseScience]

Oui dans l’énigme l'axiome du choix est bien utilisé au moment ou on désigne un représentant par famille. Une fonction de choix doit être une fonction, donc préciser comment associer l'input (l'ensemble non vide) à l'output (l’élément choisi).

[@yapadek3098]

Je trouve que les explications sont vagues et qu'un exemple aurait été le bienvenu. Et on est sûrs de pouvoir organiser tout cela en 100 suites convergeantes ?

[@PasseScience]

@@yapadek3098 Il n'y a pas de notion de convergence ou de suite convergente dans ce protocole.

[@yapadek3098]

@@PasseScience J'ai compris que la la suite devient "stable" à partir d'un certain moment et donc vaut toujours la même valeur. Si c'est bien le cas, elle converge vers cette valeur non ? Après, je suis assez rouillé 🙂

[@PasseScience]

@@yapadek3098 Non il n'y a pas de moment ou elle prend une valeur constante, ce sont des suites quelconques. En revanche il y a un terme à partir duquel elle devient indiscernable d'une autre suite de référence (que j'appelle dans la video le représentant de sa classe). Deux suite équivalentes ce sont des suites qui ont la meme fin, c'est a dire diffèrent potentiellement au debut, sur un nombre fini de valeurs, puis finissent par la meme sous-suite si vous préférez. C'est plus clair ?

[@yapadek3098]

@@PasseScience Okééé ! Merci beaucoup 🙂 J'aurais dû mieux écouter 🙂

[@Survolage]

C'est surement faux, mais j'ai l'impression que c'est le fait d'autoriser a memoriser une infinite de nombre qui rend le "paradoxe" possible. On peut imaginer que chaque mathematicien ouvre et memorise le contenu de toutes les boites sauf la premiere, et ensuite par elimination deduit la contenu de la premiere.

[@SpringlesF]

Non parce que rien ne dit que certaines boîtes n'ont pas le même nombre.

[@ramdamdam1402]

Une énigme similaire à d'autres, il me manquait l'astuce de diviser en 100 pour faire en sorte que un seul matheux se plante. Sinon il peut-être interessant de comprendre pourquoi est ce que 1 matheux tout seul ne peut pas atteindre une proba de 1 en jouant tout seul

[@Franck-hl7lu]

J'aimerais bien savoir combien le 1er mathématicien met de temps à ouvrir une infinité de boîtes. Pour comprendre à quel moment le 2e pourra entrer à son tour. Et aussi, quelle mémoire permet de contenir une infinité d'informations? Qu'elle soit humaine ou numérique, cela me semble impossible. Cela fait 2 obstacles insurmontables pour moi, je ne comprends pas la signification de cette énigme. Et aussi, pourquoi il y a un "e" à "paradoxale" à la fin de la description ?

[@oscarwilde8470]

6:57 "Ce qui l'intéresse c'est celle pour laquelle ceci arrive le plus tard." Je ne comprends pas ce qui garantit que cette suite existe. Pourquoi l'ensemble des indices à partir duquel une des suites est égale à son représentant devrait-il être majoré ?

[@PasseScience]

Il n'est pas majoré mais fini: il n'y a que 100 suites et que pour chacune il y a une telle valeur finie par definition (de l'indice du terme ou ca devient égal), et donc il y a le max de ces 100 valeurs. Si je demande à 10 personnes de chacune me donner un nombre entier, je ne peux pas majorer à priori ce qu'elles diront, mais il y a bien un maximum, un entier precis, qui sera le max de ces 10 valeurs.

[@oscarwilde8470]

@@PasseScience Ah oui merci !

[@oscarwilde8470]

@@PasseScience Et merci pour la vidéo :)

[@RogerArbogast]

J'ai rien compris à l'histoire de l'axiome du choix. Choisir une chaussette parmi chaque paire dans une infinité de paires nécessite l'axiome du choix, mais la même chose n'est pas vraie avec les chaussures ? C'est incohérent. C'est quoi la différence ?

[@David-hz9on]

Dans le cas des chaussures on peut les distinguer, il y a une droite et une gauche, donc on peut les choisir comme le cas du minimum de l’ensemble juste avant. Mais 2 chaussettes d’une paire sont considérées identiques

[@RogerArbogast]

@@David-hz9on Ah… Fallait être accroché pour comprendre la subtilité (qui paraît bête une fois qu'on nous l'a expliqué). Merci pour la précision.

[@foobarytb]

Merci ​@@David-hz9on !

[@valoulef]

Je reviens voir cette vidéo et je m'aperçois que l'hypothèse que plusieurs séries deviennent égales au représentant de leur famille à partir du même rang n'est pas évoquée. Autrement dit, pour reprendre ce qui est dit vers 7:39 : l'hypothèse qui n'existe pas une seule série qui devient "égale au représentant de sa famille au plus tard". Et du coup je me demande : doit-on considérer que la probabilité qu'un tel cas existe est de 1/infini autrement dit 0 (pas certain qu'on ait le droit de faire ça, mais admettons) ? Ce serait également paradoxal, car on peut très bien imaginer le docteur No anticipant la stratégie des mathématiciens, et faire en sorte que le rang où les séries deviennent égales pour les 100 mathématiciens. Mais un détail m'a peut-être échappé.

[@PasseScience]

@@valoulef Oui, je n'ai pas évoqué ce cas pour éviter d'embrouiller la vidéo à ce moment-là, mais en effet, il faut en prendre compte et la stratégie évoquée ici marche très bien, même dans ce cas! C'est pour ça qu'elle prend le terme juste après le rang le plus tardif pour ouvrir la suite des boîtes. Dans le cas où il y en aurait plusieurs plus tardifs, aucun mathématicien ne va se tromper. 100 prédictions correctes. Je vous invite à le vérifier :)

[@valoulef]

@@PasseScience Ah oui c'est juste après, j'avais en tête juste avant, je suis nouille. Merci pour la réponse !

[@lazm6047]

Super merci beaucoup 😁

[@floflo4356]

Je me trompe peut être mais si il y a égalité entre 2 suites pour le plus haut indice a partir duquel la suite est égale à son représentant, il va y avoir 2 erreurs non ?

[@PasseScience]

@@floflo4356 C'est un excellent cas à regarder, que je n'ai pas couvert dans la vidéo pour éviter de la rendre plus compliquée qu'elle n'était. Mais dans ce cas-là, ce n'est pas deux erreurs qu'il y aura, c'est deux réponses correctes. Parce qu'ils regardent le premier terme à partir duquel ça devient égal. Donc ils auraient tous les deux raison. Donc 100% des mathématiciens répondraient correctement.

[@floflo4356]

@@PasseScience Ah effectivement puisqu'il n'ouvre que celles qui arrivent strictement après l'indice. Excellente énigme!

[@maqueish]

Salut, et merci pour cette super vidéo, comme d'habitude! Néanmoins je crois (après en avoir parlé avec les collègues mathématiciens) que malgré la stratégie superbe, il y a des détails un peu inconvenants (foireux?) dans la démonstration... Partons directement de la construction de notre infinité de boites indexées par les entiers, élément de N^N, par notre ravisseur. De mes souvenirs de théorie de la mesure, celui ci n'a aucun moyen de tirer uniformément cet élément dans N^N, c'est bien trop gros. En revanche il peut l'obtenir comme la réalisation d'une suite infini de variables aléatoires uniformes indépendantes. Ces variables aléatoires ne peuvent pas prendre leur valeur n'importe ou, par exemple pas sur N entier (trop gros). Simplifions donc en disant que chaque boite contient un entier tiré uniformément sur un ensemble borné d'entiers, noté I. On pourrait encore dire que notre ravisseur dispose d'une mesure de sa confection sur N^N, mais celle ci ne sera pas uniforme et complique encore le problème. Jusque là tout va bien. Alignons maintenant nos 100 suites déterminées par l'infinité de boites. En effet grâce à l'axiome du choix, on peut se munir pour les suite x_2,...,x_100, d'un représentant dans leur classe d'équivalence d'égalité à partir d'un certain rang dans l'ensemble N^I. L'axiome d'une choix ne donne en revanche pas la construction explicite de ce représentant et se le donner ne reviens en rien à tirer uniformément un élément dans la classe d'équivalence (ça encore une fois, c'est impossible). Ayant à disposition un représentant xr_i pour les classes c_i de nos 99 suites, la démonstration donne l'impression que le rang à partir duquel x_i et xr_i sont égales, noté N_i, est une variable aléatoire bien définie. Je ne pense pas que ce soit si simple (encore une fois l'axiome du choix ne dit RIEN sur la suite xr_i), et quoi qu'il en soit rien n'est là pour nous convaincre que les N_i ont une chance d'avoir la même distribution... En conclusion les N_i ne sont, si ce n'est bien défini, en tout cas pas 100 entiers aléatoires de même distribution et rien ne nous permet de dire que N_1 à '99%' de chance d'être plus petit' que les max des 99 suivants... Je ne suis pas spécialiste de logique ou de théorie de la mesure mais en tout cas j'ai l'impression que la construction même du problème et sa démonstration se heurtent à ce genre de considérations qui sont un peu embêtantes si on s'y arrête un peu. Mais si j'ai dis des bêtises ou si il y a une autre interprétation plus satisfaisante je suis très curieux! Merci en tout cas encore pour ton super travail et à bientôt :)

[@PasseScience]

Bonjour, je réponds point par point : *Concernant la distribution pour remplir les boîtes:* En réalité, il n'y en a pas besoin. Le docteur fait comme il le souhaite. Cela peut être logique, cela peut être tiré au hasard (pas nécessairement de manière uniforme), ou bien un mélange des deux. On ignore juste la méthode qu'il a utilisée. *La démonstration donne l'impression que le rang à partir duquel xi et xri sont égaux, noté Ni, est une variable aléatoire bien définie:* La démonstration ne raisonne pas en termes de variables aléatoires Ni. *Rien ne nous permet de dire que N1 a 99% de chances d'être plus petit que le maximum des 99 suivants:* Il ne faut pas formuler cela de cette manière. Lorsque l'on entre dans la salle, l'ensemble des valeurs Ni est déjà défini, c'est un tuple fixé. Au sein de ce tuple, il y a une valeur maximale (les cas où plusieurs valeurs maximales sont égales ne changent rien). En tirant au hasard l'indice i de manière uniforme parmi les 100 valeurs d'indices possibles, on a donc une chance sur 100 de tirer l'indice correspondant au Ni maximum, et 99 chance de ne pas le tirer et de prédire correctement. *Sur les probabilités en général concernant les ensembles de cardinalité complexe:* David Madore, le mathématicien auteur du blog sur lequel j'ai découvert l'énigme, est parfaitement d'accord avec le fait qu'il vaut souvent mieux éviter de parler de probabilités dans ce type d'énigme. Cela introduit fréquemment des paradoxes et, souvent, les probabilités peuvent ne même pas être définissables (de la même manière qu'il est impossible de trouver une mesure pour tout ensemble). Il donne cet exemple de paradoxe: x.com/gro_tsen/status/1826628367703310518 Voila voila.

[@maqueish]

@@PasseScience Merci pour ta réponse... Je crois que je suis finalement convaincu ahah. En effet, placer le problème dans un cadre probabiliste est ce qui fait foirer mon interprétation. Ce qui m'a poussé à aller là dedans est le contenu probabiliste de l'énoncé, mais comme tu dis ce n'est qu'une histoire de tirage d'indice dans un tuple fini,. Et pas besoin d'une construction subtile au départ, on peut tout simplement commencer par 'soit x dans N^N', et poursuivre... C'est donc bien bluffant. Merci encore, ça va de nouveau animer la pause café de demain. (Merci pour l'exemple que donne Madore, je demanderais à quelqu'un qui a twitter de me l'ouvrir). Salut!

[@Pyjahman]

J'ai rien compris :(

[@SylvainDemuyter]

Manipuler la notion d'infini amène le plus souvent a des paradoxes. On peut en utilisant la notion d'infini montrer que 1= 0 il me semble.

[@maginth]

Pour deux suite d'une même classe d'équivalence le premier index où elles deviennent identiques devrait être en moyenne infini, bien que pour chaque couple de suite cet index est fini. Rien que dans l'examen d'une série de boite il y a déjà un paradoxe, puisque le premier index où la suite de la classe d'équivalence et celle des boite deviennent identique sera infiniment improbablement petit, puisque fini. Cet index ne devrait d'ailleurs qu'augmenter avec une probabilité de 1 à chaque fois en consultant la série de boites suivante, ça aussi c'est un paradoxe.

[@bazounet32]

Au contraire, je pense qu'on peut définir des classes équivalentes sans avoir un index moyen infini de deux suites issues d'une même classe à partir duquel les suites seraient identiques. On peut fixer arbitrairement cet index, les seules conséquences directes sont alors qu'il y a une infinité de classe d'équivalence et un nombre fini de suite dans une même classe d'équivalence. PS; Après réflexion, ton explication est totalement juste, c'est la mienne qui ne l'était pas car je n'avais finalement pas encore tout bien compris mais maintenant, c'est fait ! Merci.😊

[@maginth]

@@bazounet32 En effet avec un index fini fixé N pour les classes d'équivalence, il est quasi certain que le plus grand index identique au représentant de sa classe d'équivalence pour les 99 autres mathématiciens soient juste après cet index fini fixé, à savoir N+1, alors la stratégie ne tient plus puisqu'on ne peut plus savoir quel est notre classe d'équivalente en regardant seulement nos boites de N+2 à l'infini : il manque le N+1 qui peut être n'importe quel nombre entier pour autant de classe d'équivalence

[@marcbjorg4823]

Laws of large numbers... C'est assez dingue, mais j'utilise beaucoup en finance.

[@SergeSegor]

Bonjour , Excellente vidéo . J 'aurais deux questions : 1) Le contenu de la boîte n°3 a t-il un rapport avec la fonction modulaire j(q) ou c 'est un pur hasard ? 2) Pour sonder les conséquences de l'axiome du choix ( AC ), serait-il pertinent de prendre la détermination projective (DP) comme axiome ? Car elle me semble plus problématique que AC , même si elle est plus profonde et moins naturelle ?

[@PasseScience]

@@SergeSegor Pour les entiers qui sont le contenu des boîtes, et plus généralement toutes les constantes que j'utilise, je mets souvent des Easter Eggs. En ce qui concerne le contenu de la boîte numéro 3, le voici: www.markronan.com/mathematics/symmetry-corner/196-883/ Pour le reste j'y réfléchirai. :)

[@matthieubrilman9407]

Imaginons que dans chaque boite soit placé un nombre entier tiré au hasard dans l'intervalle [1;1000] et que tous les tirages soient indépendants. Ce n'est qu'une façon parmi tant d'autres de placer des nombres dans les boites. Et, en utilisant l'axiome du choix, il est donc possible de prédire avec 99% de chances de succès le nombre qui se trouve dans une boite qu'on n'a pas ouverte. Or, si le nombre prédit n'est pas un entier de [1,1000], il est bien évident que la prédiction ne peut qu'être fausse. Et si le nombre prédit est un entier de [1;1000], alors les probabilités affirment que les chances que la prédiction soit juste sont de 0,1%. La probabilité que la prédiction soit juste est donc nécessairement entre 0% et 0,1%. On a donc 2 manières de calculer la probabilité que la prédiction soit juste, qui aboutissent à des résultats contradictoires. Est-ce que ça ne suffit pas à montrer qu'accepter l'axiome du choix rend les mathématiques incohérentes ? Et que donc il faut le refuser ? Edit : A la limite, si on veut se passer d'avoir 2 cas "prédiction dans [1;1000]" et "prédiction pas dans [1;1000]", pour ne pas avoir à "moyenner" des probabilités sur des ensembles pas forcément mesurables, on peut juste ne considérer que les suites de [1;1000]^N, avec la même relation d'équivalence, et avoir du coup des représentants qui sont eux-mêmes des suites de [1;1000]^N, ce qui garantit que la prédiction est forcément dans [1;1000]. Je tente de reformuler de manière un peu moins brouillonne. Imaginons que le problème soit posé ainsi : Dans des boites numérotées par les nombres entiers sont placés des nombres entiers, tirés uniformément dans [1,1000] et indépendants les uns des autres. 100 savants doivent, dans les mêmes conditions que celles de la vidéo, faire une prédiction sur une boite qu'il n'ont pas ouverte. De même que dans la vidéo, on peut donc trouver une stratégie qui fait que les prédictions d'au moins 99 savants seront justes. Imaginions que je choisisse un savant avant qu'ils ne fassent leurs prédictions, que je garde sa prédiction comme la mienne, et que les autres savants n'agissent pas. J'ai donc 99% de chances d'avoir juste. Or, peu importe quelles boites ont été ouvertes et quelle est la prédiction. Par hypothèse, la probabilité que la prédiction soit juste est 1/1000.

[@PasseScience]

@@matthieubrilman9407 Je dirais que c'est bien en quoi l'énigme paraît paradoxale, mais ce n'est pas contradictoire. La bonne probabilité dans le cadre de cette énigme, c'est ce que j'annonce dans la vidéo: si on fait la technique avec 100 mathématiciens virtuels, un mathématicien peut s'assurer 99 chances sur 100 d'ouvrir le contenu de la boîte que la procédure désigne. Ça ne dépend pas de la manière dont les boîtes ont été remplies. La subtilité qui ne rend la chose pas incohérente c'est qu'il n'a aucun contrôle sur la boîte dont il va prédire le contenu, il ne peut pas choisir une boîte et améliorer sa prédiction dessus, elle est imposée par la procédure. Ce que l'axiome du choix permet ici, c'est plutôt de révéler une sorte de structure cachée, inévitable, même dans une série aléatoire. En soi, ce n'est pas contradictoire que certaines propriétés soient inévitables, même dans des suites quelconques. De manière générale, de toute façon, parler de probabilité dans ce genre de problème ou avec l'infini, encore plus avec l'infini de type continu, est toujours un peu bancal, voire parfois incorrect. D'ailleurs, David Madore, l'auteur du blog sur lequel j'ai trouvé cette énigme, me faisait remarquer que dans des problèmes très proches, on ne peut pas vraiment parler de tirage au hasard. C'est pour ça que dans sa formulation de l'énigme, il n'avait pas parlé de probabilité, parce qu'on a du mal à définir le concept de manière non-contradictoire dans ce type de problème.

[@matthieubrilman9407]

@@PasseScience Merci beaucoup pour la réponse, mais je vais encore reformuler, alors : On garde l'idée que les boites sont remplies par des tirages aléatoires indépendants de nombres entiers uniformément répartis dans [1;1000]. J'aligne ma prédiction sur celle d'un des 100 savants pris au hasard. Question : Quelle est la probabilité que ma prédiction soit juste ? Réponse 1 : 0.99 car il y a 99 savants sur 100 qui vont prédire juste. Réponse 2 : 0.001 car la variable aléatoire dans cette boite est indépendante de toutes les autres. Les 2 réponses peuvent être démontrées et sont complètement contradictoires. Et ça ne doit quand même pas poser de problème de définir une infinité dénombrable de v.a. i.i.d. ... On fait ça sans arrêt, en maths.

[@PasseScience]

@@matthieubrilman9407 Oui oui j'ai bien compris le paradoxe puisque c'est ce dont je parle dans la vidéo a partir de 8:23. Si vous considérez une autre version de l'énigme avec seulement 100 boites et comme objectif de juste devoir majorer le contenu d'une via une prédiction, il existe une stratégie très simple: chacun ouvre toutes les boîtes sauf celle dont il a été désigné responsable, et annonce le max de ce qu'il observe. 99 mathématiciens ou plus auront réalisé une prédiction correcte. Alors oui ça pose peut être moins de problème vis-à-vis des probabilités mais ça illustre bien ce que je disais: on révèle une structure inévitable via la procédure et c'est complètement indépendant de la manière de remplir les boîtes. *Les 2 réponses peuvent être démontrées et sont complètement contradictoires.* Je ne pense pas, je dirais que celle qui est fausse c'est celle qui ne tient pas compte de la procédure et du fait que la boîte sur laquelle est réalisée la prédiction est une boîte désignée par cette procédure et non une boite qcq. Si par exemple vous vouliez prédire le contenu précis de la boite 732 vous ne pourriez pas utiliser la procédure pour améliorer vos chances car vous n'avez pas control sur ce qui sera désigné comme boite prédite. *ça ne doit quand même pas poser de problème de définir une infinité dénombrable* Ca ne pose pas toujours des problèmes mais ca peut en poser, les probabilités sont intimement lié à la notion de mesure (voir ma vidéo sur l'équi décomposition) et dans les infinis il y a des sous ensembles non mesurables. David Madore en donne un exemple ici: x.com/gro_tsen/status/1826628367703310518. Meme s'il y avait une contradiction établie de manière rigoureuse pour moi ca ne demontrerait qu'une chose: que certains concepts ne peuvent être étendus à certaines structures (ici les probabilités à certains types de procédures infinies) tout comme ca a été démontré pour le concept de mesure et son impossible extension a toute partie de R via les ensembles de vitali, ou via Banach Tarski (toujours dans ma vidéo sur l'equidecomposition).

[@matthieubrilman9407]

@@PasseScience Je ne maîtrise pas assez le formalisme des probabilités pour rédiger quelque chose de complètement rigoureux sur le plan mathématique, mais il me semble que si X_n (n dans N) est une suite de v.a. i.i.d. de loi U et si I est une v.a. à valeurs dans N telle que {I=p} ne dépend pas de X_p, alors on doit pouvoir affirmer que X_I suit la loi U. Toutes les variables (X_n, I, et enfin X_I) étant construites sur le même univers. Edit : ok, je vois. Il y a peut être effectivement un problème à faire dépendre le fait que {I=p} d'une *infinité* de valeurs de X_n, même si aucun des indices n n'est égal à p. C'est vrai que ça entraîne sans doute des problèmes avec des ensembles non mesurables parce qu'on va se retrouver avec des ensembles qui sont des unions infinies d'ensembles de mesure nulle et qui ne se trouvent pas forcément dans la tribu de l'univers. Merci encore d'avoir pris le temps de me répondre, je me sens un peu boulet. Edit2 : En fait je ne sais plus quoi penser. Car même si je n'arrive pas à fournir un formalisme correct, la seule réponse qui me paraît acceptable est la réponse 2. Bref, je jette l'éponge, au moins temporairement. Rien à voir (enfin quand même si, un peu) mais en faisant des recherches sur la cohérence de ZFC, je suis tombé sur une publication de Henri Berliocchi, chez Eyrolles, intitulée "Contradiction de ZFC". Ca semble être quelque chose d'assez sérieux et qui prouverait (si pas d'erreur) que ZFC (et donc ZF) est contradictoire. Et l'auteur dit ne s'appuyer que sur la mesure de Lebesgue et la théorie ergodique (donc fondamentalement les probabilités).

[@PasseScience]

@@matthieubrilman9407 Bien que les éléments soient supposés indépendants, il existe une dépendance subtile. Imaginez qu'on mène la procédure comme expliqué, et qu'au moment d'ouvrir la boîte sur laquelle est faite la prédiction, on décide alors d'en tirer le contenu. Cette action peut potentiellement changer la série la plus tardive dans l'ensemble. Cette dépendance est subtile parce qu'en changeant le contenu de la boîte, on influence potentiellement celui qui aura la série la plus tardive. En d'autres termes, il est étrange de faire commuter l'opération consistant à sélectionner aléatoirement le contenu de la boîte avec celle consistant à choisir un mathématicien au hasard (faible proba d'avoir la série tardive mais ce fait dépend potentiellement du contenu de la boîte sur laquelle la prédiction se fait). Le fait qu'on sente bien que cette commutation n'est pas trivialement possible, ou en tout cas un peu subtile, montre bien qu'il y a une dépendance structurelle au protocole,contenu et que du coup on ne peut pas évaluer la proba sans prendre en compte le passif. Au pire, ce genre de chose montrerait simplement qu'on ne peut pas définir rigoureusement un concept de variable aléatoire indépendante sur un nombre infini de variables dans zfc, mais cela n'affecterait en rien la cohérence d'une théorie. C'est beaucoup trop haut niveau pour avoir le moindre rapport avec la cohérence d'une théorie. Dans l'autre exemple que j'ai donné. Dans banarch tarski, on peut découper une boule en un nombre fini de pièces, pour reconstituer avec ces pièces deux boules de même volume que l'originale. Donc on peut découper un truc en parties, et avec les morceaux refaire quelque chose qui a le double de volume. C'est très similaire en termes de contradiction apparente. Vous avez une notion, le volume, qui en fait n'est simplement pas définissable dans ZFC de manière rigoureuse sur tout ensemble. Le fait qu'on arrive à doubler le volume ne démontre pas l'incohérence de la théorie ZFC. Elle démontre juste que certains concepts ne sont pas valables dans ZFC. Le concept de mesure volumique, dans un certain sens, pour toute partie de R3. Là, c'est pareil. Au pire, ça ne ferait que démontrer l'impossibilité de définir un sens rigoureux au concept de variable aléatoire indépendante sur une collection infinie.

[@romsdecombat4660]

Donc si je résume : Les mathématiciens ont choisi 100 (notons les Up)suites au hasard. Ces derniers associent chacune des suites au Sp (p allant de 1 à 100). Comme ces 100 suites parcourent toutes l’ensemble des entiers naturels, il existe forcément un Np à la suite Sp tel que pour tout n>Np on ait Up(n)=Sp(n). En prenant ensuite le N=(max des Np pour p allant de 1 à 99) on aura alors 1/100 que la N boîte correspondant à la série du mathématicien corresponde bien au nombre désigné. Ce que je ne comprends c’est que selon moi, on a 100 suites parcourant N tandis que l’on a une série de boîtes parcourant N, comment est ce donc possible qu’à un certain rang, une sous suite de N comprenne tout le reste des entiers naturels ? Je me suis sans doute trompé dans le raisonnement si j’arrive à cette question.

[@PasseScience]

@@romsdecombat4660 Qu'est-ce que c'est exactement que vous avez noté Sp? et qu'est-ce que vous voulez dire par « parcourent toutes l'ensemble des entiers naturels » ?

[@romsdecombat4660]

⁠​⁠@@PasseScience la suite Sp représente la suite de boite p,1p,2p,.. (par exemple la suite S12 est la série de boite numéro 12,112,212,…) Il y’a donc 100 sous suites extraits de boites. Si j’ai bien compris, les mathématiciens prennent 100 suites aléatoires qui parcourent, chacune, l’ensemble des entiers naturels. Je note donc Up l’une de ces suites qui sera comparée à la Sp série de boites. Ce que je ne comprends c’est que, comme la suite Up possède l’ensemble des entiers naturels, et que l’on regarde le rang Np tel que pour tout n>Np on ait Up(n)=Sp(n), comment cela est il possible sachant que la suite Sp ne contient pas l’ensemble des entiers naturels (puisque c’est une sous suite extraite des boîtes). J’espère que j’ai gagné en clarté, et merci pour votre réponse !

[@PasseScience]

@@romsdecombat4660 Comme je ne comprends pas parfaitement, je pense qu'il doit y avoir une confusion, donc du coup je reformule, ça permettra peut-être d'éclairer la confusion, ou de reformuler différemment. Donc on a donc nos 100 suites Sp de boîtes, et à l'intérieur de ces boîtes, on a des entiers, et du coup on a des suites Ep liées à ces suites de boîtes. Pour chacune de ces suites d'entiers Ep, on connaît la famille, la classe d'équivalence de laquelle elle fait partie, dans l'ensemble des suites d'entiers. Et pour chacune des classes d'équivalence, on a défini une suite représentante de cette classe d'équivalence. Donc en résumé, pour chacune de nos 100 suites de boîtes Sp, on a à l'intérieur une suite d'entiers Ep, et cette suite d'entiers est liée à une famille, à une classe d'équivalence, qui a une suite représentante Rp (que chaque mathématicien peut déduire s'il sait dans quelle classe d'équivalence on est). Bon déjà, est-ce que ça c'est clair ?

[@romsdecombat4660]

@@PasseScience c’est plutôt clair oui, et je pense potentiellement avoir trouvé le hic dans mon raisonnement. Est ce que 2 boîtes distinctes peuvent posséder le même entier naturel ou est ce que si la boîte numéro 1 contient le chiffre 9 alors toutes les autres boîtes ne peuvent pas contenir le 9 ? C’est à dire est ce que l’ouverture d’une boîte influence l’information que l’on aura sur les autres boîtes ? Si ce n’est pas le cas alors mon problème est réglé.

[@PasseScience]

@@romsdecombat4660 Tous les contenus des boîtes sont indépendants. Le DrNo peut très bien avoir mis la même valeur dans plusieurs boîtes, voire une infinité d'entre elles, voire même toutes. Il n'y a aucune information là-dessus, c'est rempli vraiment comme on veut et donc on part du principe que c'est indépendant. Du point de vue d'un mathématicien donné, ouvrir des boîtes qui ne sont pas celles sur lesquelles il réalise une prédiction ne donne aucune information sur la boîte sur laquelle il va réaliser la prédiction. Et c'est ça qui est d'une certaine manière un peu paradoxal, c'est que ça n'en donne pas mais qu'en fait ça en donne.

[@nathanabbou4206]

Une chose que je n’ai pas comprise : il y a bien une infinité de classe d’équivalences, et un nombre fini de mathématiciens ? Alors comment chacun s’en attribue une et elles sont toutes couvertes ???

[@PasseScience]

@@nathanabbou4206 Ils ne le font pas^^. Ce que les mathématiciens s'attribuent, ce sont une des 100 suites de boîtes. Ils ont convenu au début de former 100 sous-suites des boîtes existantes. Il y a la suite des boîtes 1, 101, 201, la suite des boîtes 2, 102, 202, etc., jusqu'à la suite des boîtes 100, 200, 300, etc. Donc ça fait 100 suites de boîtes. Et chaque mathématicien a convenu de s'occuper d'une de ces 100 suites de boîtes. Ces 100 suites de boîtes contiennent 100 suites d'entiers, et chacune de ces suites d'entiers est dans une unique classe d'équivalence avec son unique représentant.

[@nathanabbou4206]

@@PasseScience ah super merci c’est plus clair pour moi ! Et merci pour cette vidéo !!! Svp ne baissez pas le niveau, même si beaucoup le demandent, il faut aussi du contenu aiguisé pour les affamés comme moi !!

[@digidoes3551]

Vous avez dit : « il y a plus de nombres réels que de nombres entiers » dans l’une de vos réponses ! Pardon mais les nombres, étant infini, qu’ils soient entiers ou pas, ne sont pas plus ou moins nombreux que les autres ! Ou alors j’ai loupé quelque chose ? 🧐

[@PasseScience]

@@digidoes3551 Oui, car mathématiquement, on peut définir plusieurs tailles d'infini. Pour savoir si deux ensembles infinis sont de même taille, on cherche à établir ce qu'on appelle une bijection, c'est-à-dire réussir à associer chaque élément du premier ensemble à un élément de l'autre ensemble, de manière à ce que chaque élément ait un correspondant unique. Si on y parvient, ces ensembles sont considérés comme ayant la même taille. Cependant, on peut démontrer qu'il est impossible de réaliser une bijection entre les entiers et les nombres réels. Il n'existe aucune manière de "numéroter" les nombres réels sans manquer d'entiers pour le faire. Un argument qui permet de démontrer cela est celui de la diagonale de Cantor, que je vous invite à découvrir en cherchant « Diagonale de Cantor ».

[@Wabadoum]

L'histoire du collier de perle est pas très claire pour moi. Y'a pas un example avec disons 3 personnes? Histoire d'y aller par étape.

[@PasseScience]

A quel time stamp je dis qq chose ou vous décrochez ? (posez une questions sur une phrase précise et je la reformule).

[@Wabadoum]

@@PasseScience a partir de 6:25 c'est pas clair du tout en quoi la chaine la plus longue permet de deviner un nombre aléatoire entre 0 et l'infini.

[@luc4662]

Y’a une vieille vidéo de Mathologer basée sur la même idée de choisir un représentant par classe d’équivalence: kzbin.info/www/bejne/l3WygWOOrtN0sKMsi=Y9Xe3myNYkRYRnBM Mais la variante ici est plus sympa, l’idée de partitionner en N séquence pour avoir pas plus de 1/N de probabilité d’erreur est cool.

[@quelenos863]

Génial merci

[@felixbouvet1746]

😅😅😅 merci beaucoup pour ce paradoxe qui est incroyable et il a raison de ce paradigme c'est incroyable que les scientifiques peuvent trouver le nombre précis des prédictions Médéric à une seule erreur sur les 99 est-ce que tu pourrais avoir un sujet s'il te plaît sur le paradoxe de Simpson c'est lorsque l'on trouve sur deux groupes des résultats un plus grand nombre sur le premier est un plus petit nombre sur le deuxième et que si on fusionne ses résultats c'est plus petit nombre qui a le plus de résultats et c'est là c'est inversé

[@PierreBENARD-q3m]

Et qui dit que la suite de la famille désignée au préalable se trouve dans la série même infinie de chaque mathématicien ? Si par exemple chaque boîte contenait jusqu'à l'infini le nombre correspondant à son numéro, ce serait pas le cas par exemple et c'est pas le cas non plus dans une infinité de scénario

[@PasseScience]

Si j'ai bien compris vous vous mettez dans le cas où les boîtes ont été remplies chacune avec leur propre numéro (donc le cas où le contenu des boîtes est la suite des entiers), mais je ne comprend pas trop l'incohérence ou l'impossibilité que vous pensez que ça met en lumière, rien n'empêche dans ce cas de mener le protocole décrit. Pouvez vous développer ?

[@pierre6963]

⁠@ Effectivement ça ne changerait rien. Mais le paradoxe se résout à mon sens en réalité d’une façon bien plus simple. Être certain d’identifier dans chaque série la suite représentant la famille implique l’ouverture exhaustive de toutes les boites jusqu’à l’infini . Mais pour que ce soit possible, il faudrait que l’infini soit en fait fini ce qui est évidemment paradoxal. Même problème pour la mémorisation préalable de l’infinité de suites représentant l’infinité de familles.

[@NathanNau]

Je n'ai pas compris ce qui te permet de dire que tes série de coffre vont être des séries équivalentes...

[@PasseScience]

En ce qui concerne les sous-séries de coffres (donc les 100 sous-séries de coffres), chacune correspond à une série d'entiers, et chacune de ces séries d'entiers appartient à une famille, une classe d'équivalence définie avant. Et donc chacune de ces séries d'entiers peut être comparée au représentant de sa famille (choisi avant). Avec laquelle, par définition, elle est équivalente, égale au bout d'un certain rang. C'est plus clair ?

[@Fine_Mouche]

5:30 mais avoir 100 représentants pour 100 familles de suites, c'est très très peu compte tenu de l'infinité du nombre famille de suites. Qu'est-ce que je n'ai pas compris dans l'énoncé ?

[@Fine_Mouche]

ah ok, ils regarde chacun l'infinité des suites sauf la leur, cool dans le platonisme des mathématiques, mais irl, c'est pas possible >

[@fabrice8583]

Je ne comprends pas comment cette procédure implique un choix ayant un probabilité si haute d'être juste.... Pourtant je crois avoir bien intégré la procédure.... Si le nombre de chaque boite est aléatoire comment une méthode structurée ne procédant pas à une élimination systématique peut conduire à choisir le bon nombre avec une telle probabilité tant qu'il reste plusieurs boîtes ? Y a quelque chose qui m'échappe mais je ne vois pas quoi... Si qqun peut m'expliquer, je suis vraiment vraiment preneur..🥴

[@PasseScience]

Avant de comprendre l'histoire de probabilité il faut déjà comprendre la version avec 100 mathématiciens et pourquoi un seul au maximum peut se tromper. C'est déjà claire cette partie ?

[@DirectPoesie]

Je crois que ce que tu n'as pas compris, c'est la même chose que tout le monde et la raison pour laquelle cela s'appelle un paradoxe. Sous reserve d'accepter l'axiome du choix, la vidéo démontre bien qu'on peut prédire le contenu d'une boite avec une probabilité aussi grande qu'on veut (mais pas 1). C'est exactement ce genre de résultat qui conduit certains mathématiciens à rejeter l'axiome du choix. Si tu ne crois pas à ce résultat, rejette l'axiome du choix qui porte en lui ce paradoxe.

[@fabrice8583]

​@@PasseScience oui je viens de ré écouter et j'avais tout simplement mal entendu le choix de chaque mathématicien de la boite précédent la "séquence" infinie de la suite de boite. Effectivement il ne peut pas se tromper sur sa prédiction.

[@JeanGabrielRoy92]

C’est un peu étrange de présenter ce problème très abstrait à la base sous une forme si concrète, notamment parce que pour que les mathématiciens connaissent un représentant de chaque classe d’équivalences de sous suite il faut une construction de ces suites, ce qui n’existe pas, et l’axiome du choix ne fournit que l’existence, à mon sens c’est plus la représentation du problème qui le rend si absurde plus que le résultat en lui même

[@recorr]

j'ai 2 questions : 1) est-ce que dans 2 boites différentes il peut y avoir le même nombre ? 2) est-ce que cette expérience serait réalisable dans la vraie vie ?

[@PasseScience]

Oui, deux boîtes différentes peuvent parfaitement contenir le même nombre entier, peut même y avoir toutes les boîtes avec le même nombre entier. Dans la vraie vie, on ne peut pas avoir un nombre infini de boîtes, donc à partir de là, ce n'est pas réalisable. Par contre, si vous allez voir sur le blog de David Madore, dont j'ai mis le lien dans la description, il y a une version intermédiaire de l'énigme avec 100 boîtes et un défi plus simple qui, elle, est parfaitement réalisable dans la vraie vie.

[@airplanelover3875]

Il y a une chose que je n'arrive pas à saisir. Je comprends en quoi certaines suites faisant partie de la même famille finiraient par converger à partir d'un certain terme, mais le nombre de familles différentes est infini. Il me semble que si chaque mathématicien choisissait une suite comme décrit dans la vidéo (le premier mathématicien prenant la suite 1, 101, 201, 301 et ainsi de suite pour chaque mathématicien), la probabilité pour que les autres mathématiciens aient des suites d'une autre famille, et donc ne convergeant jamais avec sa propre suite serait extrêmement probable. Ce qui rendrait impossible la prédiction du terme choisi. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer svp ? :)

[@PasseScience]

@@airplanelover3875 On ne suppose aucunement que les 100 suites fassent partie de la même famille. On réfléchit bien comme si elles appartenaient chacune à une famille différente. Mais dans la famille dont elles font partie, il y a un représentant de cette famille qui a été élu par les mathématiciens. Ie ce ne sont pas les mêmes familles, mais pas les mêmes représentants (en rouge). Ce sont des représentants de chacune de ces différentes familles qui, par définition, deviennent égales au bout d'un certain terme à la suite à laquelle il sont appariés (en jaune).

[@airplanelover3875]

@@PasseScience D'accord, c'est bien plus clair comme ça ! Merci pour l'explication

[@jeanfredericferte1128]

si les contenus des boites sont choisis réelement arbitrairement, il n'ont pas de relation logique, et ne correspondent pas à la définition de suite. il manque cette précision dans l'enoncé je crois. (?)

[@PasseScience]

Je crois que vous faites une confusion avec le concept de "suite logique" qu'on peut voir dans certains test. En maths, une suite, c'est simplement une série infinie et indexée d'éléments. Vous avez un ensemble dans lequel prendre ces éléments, par exemple les entiers. Une suite d'entiers, c'est simplement une série infinie d'entiers indexés, c'est-à-dire que vous avez le premier entier, le deuxième, le troisième, le quatrième, etc. Rien ne force, pour être qualifié de suite, d'avoir une définition fonctionnelle par récurrence ou explicite.

[@takitallman8588]

Merci beaucoup pour cette vidéo très intéressante! Il y a un truc que je ne comprends pas: pourquoi on a besoin de l'axiom du choix pour prendre un représentant ? On peut pas juste dire que dans chaque classe on prend la suite dont tous les premiers termes sont 0? Par exemple dans la classe dont tous les termes valent 6 à partir du 4ième terme on prendrait 000666666666...

[@PasseScience]

@@takitallman8588 Les suites dont tous les termes valent 6 après le 4ème terme sont dans la même classe d'équivalence que les suites dont tous les termes valent 6 après le 5ème terme, qui sont dans la même classe d'équivalence que toutes les suites tous les termes val6 après le 1720ème terme, etc. Toutes les suites de début fini qcq de longueur qcq avant une infinité de 6 sont dans cette classe.

[@bbemv1834]

Rien compris 😨

[@adrienkaufman12]

Scientia egregia a fait une vidéo dessus aussi ! :)

[@robertdelacafet1464]

La miniature ia a eu un peu de mal

[@lkyd-alias-keke-tallaire]

le theoreme de banach starsky et hutch

[@christopheauguste1532]

j'avais l'impression d'avoir pas trop mal compris en première lecture, mais en réfléchissant a l’histoire des familles j'ai du louper un point important... s'il y a une infinité de suite possible, comment ça se fait qu'il n'y a pas une famille qui a les mêmes chiffres dès le 2eme chiffres mais avec une infinité de chiffre possible pour le premier?!?

[@PasseScience]

Il y a bien une infinité de suites qui deviennent deux à deux égales à partir du 2eme terme et ne diffèrent donc que sur le premier (via l'infinité de valeur entières possibles pour ce premier terme) et oui par définition toutes ces suites sont bien dans la même famille. Cependant ce n'est pas la seule chose cette famille contiendra, elle englobera aussi les suites qui ont la même fin après le 2eme terme et different au premier et 2eme termes etc... (ça aide a comprendre le concept de famille mais je vois pas trop ou ca mene).

[@christopheauguste1532]

@@PasseScience c'est bon, je crois que j'ai compris, je partais du principe qu'on devrait théoriquement pourvoir deviner tout les nombres de la suite, alors qu'en fait pas du tout, justement, il y en a toujours 1 qui sera faux et se sera le plus proche du début de la famille, donc justement le tout 1er dans le cas extreme! l’élément qui me manquait c'est que les familles pouvait être formée de manière relativement arbitraire, tant qu'elles remontent assez loin dans la série pour que justement chaque sous listes contiennent au moins un chiffre différent entre la famille et la suite mystère.

[@PasseScience]

@@christopheauguste1532 Hum, je ne suis pas totalement certain que ça soit maîtrisé car je ne comprends pas trop le commentaire ^^ les familles de suites d'entiers ne sont pas formées de manière arbitraire, on ne trouve dans la même famille que les suites qui "terminent pareil" et toutes les suites qui "terminent pareil". Les familles sont forcées de part leur définition de classe d'équivalence. Mais le représentant qu'on choisit par famille (une suite spéciale) lui est bien arbitraire

[@christopheauguste1532]

@@PasseScience oui par "relativement arbitraire", je ne voulais bien sur pas dire qu'il n'y avait pas de règles du tout non plus! mais il doit avoir des variables qui font que le débuts de chiffres identiques commence plus ou moins loin dans la série, non? et bien sur je n'affirme pas non plus maitriser un paradox juste avec une vidéo KZbin de 12 minutes (aussi bonne soit-elle!) et encore moins retranscrire de manière intelligible cette comprehension dans un petit commentaire, ce qui est infiniment complexe aussi!

[@Aboudou90]

😵 Je crois mon cerveau a buggé. C'est quoi ça ??? Comment je me suis retrouvé sur cette vidéo ?

[@demiboulet]

Merci pour la vidéo, tjs aussi mindfuck cet axiome du choix. Science4All avait déjà une vidéo dessus il y a qq années ,avec une démonstration qui se rapproche de la tienne : kzbin.info/www/bejne/eZ6TeKmImtisiJY

[@PasseScience]

Bien vu, je viens de l'ajouter en fiche.

[@remimoys1506]

stylé !

[@daubert4892]

Je préfère de loin les mathématiques constructivistes et la logique intuitionniste, il y a trop de choses bizarres avec les mathématiques traditionnelles, comme la possibilité de démontrer qu’un nombre existe mais qu’on ne peut pas le calculer, concrètement c’est comme s’il n’existait pas. Avec le paradoxe que tu nous présentes aujourd’hui c’est la même chose, il n’y a pas d’infini dans le monde et même s’il y en avait on ne pourrait pas mettre concrètement en œuvre l’axiome du choix.

[@PasseScience]

Je suis personnellement d'accord que c'est surtout l'infini plus que l'axiome du choix qui amène des monstres! L'infini c'est très long, surtout vers la fin.

[@axeltramaux1833]

@@PasseScience Mais je crois qu’il n’y a pas de résultats en mathématique aussi troublants et déroutants sans l’axiome du choix, non ? Les autres paradoxes (genre paradoxes de Hilbert) sont largement plus acceptés par notre intuition, non ?

[@jeanabousamra]

@@axeltramaux1833 Il y a quand même l'existence d'une courbe remplissante fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_Peano

[@hervehum6454]

Je relis l'énoncé et j'avoue ne pas comprendre par rapport à ce que vous dites par la suite. En effet, le postulat de départ dit que chaque boite contient un nombre secret qui lui est propre et sans ordre établit, donc, qui peut être du pur hasard à l'infini pour tous les mathématiciens, sauf s'il y a un programme d'incrémentation (hasard relatif dû à l'ignorance du programme). Ensuite, vous dites que chaque mathématiciens pourra ouvrir autant de boites qu'il veut, mais doit en laisser au moins une dont il doit prédire le contenu, donc, une boite fermée qu'il n'a pas déjà ouverte. Et pour couronner le tout, vous dites qu'ils ne pourront laisser aucune information aux autres et donc ne pas en recevoir de telle sorte qu'aucun mathématicien ne peut même savoir combien d'autres sont passés avant lui. Alors, pour résoudre le problème votre solution consiste à "réaliser un nombre infini d'actions dans un temps fini" qui n'inclurait pas d'avoir ouvert toutes les boites à l'infini et donc, de mon point de vue, vous n'êtes pas là face à un paradoxe mais une aporie du raisonnement. Car on ne peut pas "finir l'infini" dans le même état logique, mais uniquement par deux états séparés, c'est à dire, soit l'un, soit l'autre. Car l"un est statique ou au repos, l'autre est dynamique ou en mouvement perpétuel. Autrement dit, ce que vous dites revient à être à l'arrêt tout en étant en mouvement dans la même relation logique ou causale. Mais dans la logique qui obéit à la causalité, vous pouvez uniquement ouvrir toutes les boites qui se trouvent avant celle dont vous faites la prédiction (qui fait partie de la stratégie énoncée). Donc, soit vous réalisez un nombre fini d'actions dans un temps fini pour trouver la boite sur laquelle vous faites votre prédiction, soit vous réalisez un nombre infini d'action dans un temps infini et où vous ne pouvez pas faire une prévision sur une boite puisque vous ne cessez pas votre mouvement dans l'infini. Pour finir, tous les mathématiciens ne pouvant pas communiquer une information aux autres, il me semble qu'ils sont alors placés dans la même configuration. Donc, il ne peut pas exister de stratégie commune autre que celle d'appliquer la même technique de recherche et détermination de la boite de prédiction. Voilà comment je comprends "l'énigme" posée ici où finalement la capacité à prédire le contenu d'une boite repose uniquement de savoir si l'incrémentation relève du pur hasard (irrationnel ou non périodique) où bien est le fait d'un programme dont on peut retrouver le détail par l'étude de ses récurrences (rationnel ou périodique). Des petits malins avaient ainsi réussi à savoir quelle machine à sou d'un casino allait faire jackpot, car ils avaient piraté le programme d'incrémentation pour produire un hasard relatif. Maintenant, si vous êtes en mesure de me démontrer qu'on peut "'réaliser un nombre infini d'actions dans un temps fini" par le raisonnement logique, je veux bien revoir mon point de vue !

[@fly7thomas]

J'ai rein compris, c'est pas de la vulgarisation, c'est fait pour des matheux.

[@prenomnom-qi8vm]

C'est fait pour des gens qui ont un niveau terminale option math. Autant dire que c'est de la vulgarisation par rapport à quelqu'un qui pense aux maths, disons, 1h par jour depuis 20 ans

[@recorr]

hier, j'ai écouté un discours de Trump ... ma fierté n'aura pas duré longtemps

[@marcseptcent8794]

Pas compris, trop rapide...😢

[@PasseScience]

Suffit de faire pause lol ^^ la vitesse d'une video n'est pas une fatalité (et je peux aussi répondre aux questions s'il y en a)

[@gheorghe-gavrilpop4568]

4:08

[@SylvainB314]

Il me semble qu'il y ait une erreur (FAUX j'ai fait une erreur grossière) Il est en effet problématique de choisir la suite ayant 'le référent' d'index le plus élevé car on ne peut affirmer l'unicité de cette suite. Et donc 2 mathématiciens ou plus pourraient légitimement se tromper. Il me semble lire plutôt une probabilité de se tromper liée au choix du référent de chaque classe d'équivalence ? 2ème problème peut-être plus facile. Est on sur de l'existence du 1er ensemble ? Car faire des raisonnements sur des ensembles qui n'existent pas, comme l'ensemble de tous les ensembles, est potentiellement ballot. My 2c.

[@PasseScience]

*on ne peut affirmer l'unicité de cette suite* En fait dans le cas ou il y a des suites tardives ex aequo, le protocole donne 100% de réussite. Car chacun ouvre les boites strictement après l'indice le plus tardif ou ça devient égal, et donc va faire sa prédiction à l'indice ou ça devient égal (et ne pas se tromper du coup si le plus tardif qu'il voit correspond à son plus tardif à lui) *Est on sur de l'existence du 1er ensemble ?* de quel premier ensemble parlez vous ?

[@SylvainB314]

@@PasseScience bonjour vous dites dans la video que le mathématicien qui tombe sur la suite tardive se trompe et c'est le seul, j'ai extrapolé en simplifiant que si 2 suites sont tardives, les 2 se tromperont? Pardon je ne prend pas le temps de réfléchir. Pour l'ensemble je parle de l'ensemble de toutes les suites au début de votre explication. Mais la je chipote sans doute? Merci en tout cas pour la qualité des sujets que vous abordez.

[@PasseScience]

En fait non, en cas de suite tardive ex aequo tout le monde aura une prediction correcte car il font la prediction sur l'indice ou ca devient egale (pas sur l'indice qui precede).

[@SylvainB314]

@@PasseScience pardon mais alors dans le cas que vous évoquez (cas d'unicité) il y aurait aussi 100% alors que vous dites que 1 doit se tromper. Je suis à l'apéro (comme hier) donc je ne prends pas le temps de raisonner mais je vais regarder ca...

[@SylvainB314]

@@PasseScience bonjour au petit dej c'est plus clair, vous avez parfaitement raison mes objections sont mauvaises. Par contre j'en formulerais une autre qui me semble meilleure. Ca ne marche pas car les classes d'équivalences n'en sont pas. Car la fonction, suite donne classe d'équivalence n'est pas injective. En effet pour un équivalent donné je peux contruire une suite qui a la même fin mais est différente a l'indice minimum de l'équivalent. Je crois que c'est bon cette fois ? Sinon il faut aussi que j'arrête le petit dej. Bien à vous.

[@valoulef]

Après plus de 5 visionnages, je crois avoir compris la vidéo (enfin la partie avant l'axiome du choix en tout cas).

[@regivanx]

La vraie question posée par ce genre de théorème est: quelles sont les critères mathématiques qui permettent de rejeter un axiome? Et la réponse est: lorsque l'ajout d'un axiome à un système mathématique permet de démontrer une chose et son contraire, c'est-à-dire rend la système incohérent, alors cette axiome est invalide. L'axiome de l'infini permet de démontrer que 1 boule est égale à 2 boules. Par conséquent l'axiome de l'infini est invalide. Plus généralement, tous les paradoxes de l'infini ne sont pas réellement des paradoxes. Ce sont des démonstrations que l'infini n'existe pas.

[@PasseScience]

@@regivanx Pas tout à fait. En fait, il y a plusieurs choses différentes. Si vous ajoutez un axiome à une théorie et que vous arrivez à démontrer une chose et son contraire, ce que vous pouvez conclure, c'est que votre ensemble d'axiomes est incohérent. C'est-à-dire qu'il faut en retirer au moins un. Ça ne nous dit pas lequel. Ensuite, une chose et son contraire, c'est différent de démontrer quelque chose de contre-intuitif. En général, c'est plutôt comme ça qu'on rejette des axiomes: lorsqu'on ajoute un axiome à une théorie et que la théorie reste cohérente, c'est-à-dire qu'on ne peut pas démontrer une chose et son contraire, on peut quand même trouver légitime de retirer un axiome d'une théorie parce qu'on aboutit à une conclusion qu'on ne veut pas, qu'on ne trouve pas désirable. Ici, c'est vraiment ce cas-là dont vous parlez quand on démontre qu'une boule égale deux boules, on n'est pas en train de démontrer une chose et son contraire. Il n'y a aucune incohérence dans cette démonstration-là. Elle est parfaitement rigoureuse. Elle n'aboutit pas à une négation. L'ensemble des axiomes reste cohérent. En revanche, vous pouvez être d'avis que cette conclusion n'est pas souhaitable. Et du coup, considérer qu'il faut retirer des axiomes. Et en effet, pourquoi pas celui de l'infini que je considère moi aussi être davantage responsable du problème que l'axiome du choix. Mais en aucun cas ici, on ne parle de théories incohérentes. Ces théories sont cohérentes.

[@regivanx]

​@@PasseScience Après y avoir réfléchi une deuxième fois, je pense que nous nous trompons tous les deux. En fait, l'axiome de l'infini ne permet pas de démontrer que 1 boule égale 2 boules. L'erreur provient de la confusion entre l'opérateur UNION et l'opérateur APPARTIENT À, et d'autres opérateurs topologiques. En effet, l'ensemble: S1={a∪b∪c∪d∪e} (la boule) N'est pas égal à l'ensemble: S2={a,b,c,d,e} (l'ensemble des 5 parties de la boule) La relation entre S1 et S2 n'est pas une relation d'égalité mais un autre type de relation, une relation de "fragmentation". De même lorsqu'on substitue a' à a et d' à d: S3={a',b,c,d',e} On n'est toujours pas dans une relation d'égalité, mais une relation de "rotation", et S3≠S2. Par contre, lorsqu'on substitue a∪c∪d∪e à a' et a∪b∪d∪e à d', on est dans une relation d'égalité: S3={{a∪c∪d∪e},b,c,{a∪b∪d∪e},e} Ensuite on a: S4={{a∪c∪d∪e},b,c",{a"∪b"∪d"∪e"},e} Où deux éléments de S4 sont une translation de deux éléments de S3, et donc S4 n'est pas dans une relation d'égalité avec S3. Enfin on a: S5={{a∪b∪c∪d∪e},{a"∪b"∪c"∪d"∪e"},e} S5 n'est pas dans une relation d'égalité avec S4, mais dans une relation topologique de "fusion" particulière. Comme il n'y a pas seulement des relations d'égalité entre les ensembles mais d'autres types de relations topologiques (fragmentation, rotation, translation, fusion), il n'y a pas d'incohérence mathématique, et le théorème de Banach-Tarski ne démontre pas que 1=2.

[@PasseScience]

@@regivanx Je ne suis pas certain de ce que vous essayez de démontrer avec vos notations, mais juste pour vérifier, je vais vous ré-énoncer le théorème. Ce qu'il dit (et démontre), c'est que si vous prenez une boule pleine de l'espace R3, vous pouvez la partitionner en un certain nombre d'ensembles, de mémoire 5 (partitionner au sens mathématique du terme, chaque point de la boule appartient à une et une seule des parties). La boule initiale est du coup l'union de ces morceaux. (Ce sont des morceaux qui ont une sale tête, ce sont des nuages de points, mais ce sont quand même des morceaux dont l'union est la boule entière). Et ces morceaux sont conçus tels qu'en les déplaçant par de simples mouvements de translation et de rotation, on puisse recomposer deux boules identiques à l'originale, (de même taille, donc de deux fois le volume), sans qu'il ne manque aucun point ni qu'aucun point des morceaux ne se chevauchent. C'est vraiment ça que le théorème fait: on a bien initialement un certain nombre de morceaux dont l'union est une seule boule qui après déplacement et rotation est toujours un ensemble du même nombre de morceaux qui n'ont pas été déformés, qui n'ont pas été dilatés, mais dont l'union est maintenant égale à deux boules de même taille que l'originale. Je voulais vérifier que vous compreniez bien le théorème. C'est ça qui l'établit et qui le démontre en fait. (C'est un théorème que je connais assez bien, je sais le démontrer, je pense que je pourrais probablement retrouver la démonstration de tête). Qu'est-ce que ce théorème fondamentalement soulève comme problème ? Au sens mathématique du terme, il ne soulève pas d'incohérence, comme je l'ai expliqué, il soulève juste un résultat qui est extrêmement contre intuitif. Il démontre d'autres choses, il démontre par exemple que la notion de volume, ce qu'on appelle en mathématiques une mesure, ne peut pas être définie pour toute partie de R3. Sinon on aurait une contradiction, on aurait ici doublé le volume et c'est anormal. En pratique, ces nuages de points qui forment les fragments de pièces sont des nuages de points pour lesquels la notion de volume ne peut pas être définie. C'est pour ça qu'il n'y a pas de contradiction vis-à-vis du volume parce qu'on passe par des pièces intermédiaires pour lesquelles le volume n'a pas de sens. Qu'est-ce qui est responsable de quoi dans ce résultat étrange ? Comme je l'explique dans la vidéo sur les mathématiciens, il y a l'axiome du choix qui joue un rôle important ici. Sans l'axiome du choix, on ne peut plus faire cette chose avec une boule. On peut encore faire cette espèce de duplication de structures, mais sur des structures un peu plus bizarres. Pour pouvoir la faire avec une boule, qui est un objet plein avec un volume, on a besoin de l'axiome du choix. Quand on retire cet axiome du choix, on peut encore faire cette duplication sur les structures bizarres. Et si ça ne nous convient pas non plus, il faudrait retirer l'axiome de l'infini pour que, y compris sur des structures bizarres, ce ne soit pas non plus possible.

[@regivanx]

@@PasseScience "deux boules identiques à l'originale" C'est ici qu'il y a une ambiguïté. En mathématique, deux objets ne peuvent être absolument identiques sans quoi ils ont les mêmes propriétés et représentent le même objet (unique). Deux objets similaires en tout point mais distincts doivent différer d'au moins une propriété, par exemple une des boules doit être un peu à droite de la deuxième, ou avoir fait l'objet d'une translation. Autre exemple, en informatique, vous pouvez enregistrer deux séquences de bits égales à deux endroits différents de votre disque dur, les fichiers physiques diffèrent ainsi par une opération de translation, mais vous ne pouvez pas enregistrer deux séquences de bits égales au même endroit de votre disque dur: les séquences vont fusionner et il n'y aura en fait qu'une seule et unique séquence de bits. Dans la démonstration, il est essentiel que les opérations de rotation et de translation ne conservent pas la propriété d'égalité ensembliste, sans quoi on se retrouverait à démontrer que 1=2, ce qui est contradictoire. Mon erreur est liée à une vidéo de vulgarisation, dans laquelle le réalisateur laissait entendre que les transformations sur les sous-ensembles conservaient la propriété d'égalité, ce qui n'est en fait pas toujours le cas: alors que la rotation d'une boule sur son centre préserve sa propriété d'égalité à elle-même, puisque tous les points sont indistincts, la rotation d'un sous-ensemble de cette boule, comme un nuage de points ou même une demi-boule, ne la préserve généralement pas, et la rotation créée un nouvel ensemble, distinct du précédent, dont les points ont de nouvelles coordonnées. En géométrie euclidienne, la translation d'une boule créée toujours une nouvelle boule, un nouvel ensemble. Le vulgarisateur avait aussi une utilisation incorrecte du symbole UNION, en lieu et place du symbole VIRGULE qui définit des éléments distincts et donc non-égaux dans un ensemble, ce qui ajoutait à la confusion. Comme vous pouvez le constater, mon objection ne portait pas sur l'axiome du choix, mais plutôt sur une compréhension erronée du théorème, qui en fait ne démontre pas que 1=2, parce que les transformations effectuées sur les sous-ensembles de la boule ne préservent pas la propriété d'égalité ensembliste.

[@PasseScience]

@@regivanx *par exemple une des boules doit être un peu à droite de la deuxième* Oui ici on parle d'objet solide, "identique" veut dire ici à une translation et rotation près. *on se retrouverait à démontrer que 1=2* On a justement jamais dit que c'était ce que faisait Banach Tarski, c'est bien pour cela que j'ai énoncé le théorème, il concerne ce qu'on peut faire avec une boule dans R3 et des mouvements solides de pièces, pas de rapport avec démontrer 1=2. Au passage ce "1=2" est intéressant pour illustrer ce que serait une théorie inconsistante, pour être inconsistante il faudrait qu'elle autorise à démontrer 1=2 ET AUSSI 1 différent de 2. Si elle ne peut pas démontrer les deux elles ne serait pas incohérentes.

[@renaldgrandjean8134]

A 7mn 44 je comprend pas: les boites sont rangées dans l'ordre des nombres a l'interieur? Parce que sinon,pour moi, même si il n'a pas ouvert 2 boites, il a une chance sur 2 de se tromper en designant la boite precedente... (Meme si il a la bonne valeure)

[@PasseScience]

Non non les boites ne sont pas rangées en fonction de l'interieur, ya 100 suites de boites dont la composition et l' ordre est défini avant dans la vidéo: la suite des boites 1,101,201,301, etc... celle des boites 2,102,202,302, etc.... jusqu'a celle des 100,200,300,.... et elles restent dans cet ordre. Du coup je n'ai pas compris la suite du commentaire (mais jimagine que ca pourra etre reformulé plus clairement avec ma precision precedente)

[@renaldgrandjean8134]

​@@PasseScienceen gros: le mathématicien dois trouver une valeur qui a le plus de chance de ce trouver dans une boîte ... Pourquoi choisir arbitrairement la boîte précédente et être sur que c'est celle là qui contient cette valeure? Et pas 2 boîte avant, si les valeure a l'intérieur sont placées dans un ordre aléatoire? de plus en parlant de suite qui se rejoignent, avec des valeurs en commun... Il y a une infinité de nombre, donc il peuvent tous être unique...

[@renaldgrandjean8134]

​​@@PasseSciencesuffit de prendre le problème avec 100 boîtes, si j'en ouvre 98, j'aurai une chance sur 2 de me tromper de boîte ... (Et 2 choix...) Dans le cas de l'infinité de valeure, j'aurai une infinité de choix....

[@PasseScience]

@@renaldgrandjean8134 En fait, s'il prédit la boîte qui est juste avant ce qu'il a ouvert, c'est pour que l'indice de la boîte qu'il prédit corresponde à l'indice le plus élevé qu'il a observé être celui au bout duquel les suites dont les autres mathématiciens s'occupent deviennent égales à leurs représentants. Du coup, en faisant ça lui tout seul, il ne peut pas s'assurer en effet que sa prédiction sera correcte, mais si les mathématiciens font tous cette stratégie-là, comme ils vont tous voir les suites des autres, il n'y a que celui qui s'occupe de la suite qui devient égale au plus tard à son représentant qui va se tromper. (un autre mathématicien, en prédisant à cet indice-là, va lui prédire après que sa suite devienne égale à son représentant et donc prédire correctement.)

[@renaldgrandjean8134]

En gros,l'infini se divise pas,ça reste infini,qu'ils soient 100 ou une infinité a ouvrir chacun une boîte, le problème reste le même : si il reste 2 boîtes fermées on a 50 pourcent de chance de se tromper, surtout qu'il n'est pas précisé que chaque nombre apparaît une fois au minimum...

[@GabrielPettier]

Je ne suis pas mathématicien, mais plus j'en apprend sur les infinis, plus je suis radicalisé contre, je pense qu'il faut tout simplement les proscrire, ça n'existe pas, et ça amène a des résultats complètement cassés, si refuser ces résultats nécessite de refuser les infinis, alors je signe. Déso pas déso, 1+2+3+…+n ne fait pas et ne fera jamais -1/12.

[@PasseScience]

Oui l'infini est un problème dans beaucoup de cas, mais il est malheureusement aussi nécessaire pour montrer beaucoup de résultats intuitifs ^^. Sur le "1+2+3+…+n ne fait pas et ne fera jamais -1/12" En fait c'est intéressant comme exemple car deja ce n'est pas vraiment ce qu'un vrai mathématicien dit, c'est une sorte de raccourci d'écriture, n'importe quel mathématicien rigoureusement dira bien que la somme des entiers diverge. C'est dans un certain sens que cette écriture prend du sens. Si je trouve cet exemple intéressant c'est parce que je serais pres a parier que si vous aviez vu pourquoi on dit cela (la bonne raison, pas certaine représentation erronée) vous seriez plutot d'accord, car c'est un résultat tres constructif et tres intuitif, en fait, ca remarque juste qu'il ya une certaine fonction, qu'on peut prolonger d'une maniere tres naturelle et que ça aboutit à ce résultat dans un "certains sens" de la somme. La meilleure vidéo la dessus est celle de 3blue1brown si l'anglais ne vous gêne pas. Vous verrez que c'est tres beau, tres visuel et surtout parfaitement intuitif: kzbin.info/www/bejne/qXWTf52YrNafj9k

[@GabrielPettier]

@@PasseScience J’avais regardé cette vidéo il me semble (et oui, c’est une très bonne chaîne, même si malgré les efforts pédagogiques, je décroche souvent 😅, quand j’arrive à suivre c’est vraiment instructif et passionant), et aussi celle de numberphile qui a fait pas mal de bruit et je comprend leur "démonstration" mais je pense que le vice est dès le début quand ils choisissent en effet de faire la moyenne de -1+1-1…+1 à l’infinie, avec les manips suivantes ils arrivent à des résultats délirants à cause de ce genre de torsions de la définition d’égalité. Pour en revenir à votre vidéo, je pense en effet que l’infinie joue en bonne partie dans le paradoxe, rien que le fait qu’on puisse choisir arbitrairement nos chances de succès en simulant un nombre toujours plus grand de mathématiciens imaginaires, me semble être un bon indice, mais bon, peut être que je ne comprends pas assez bien l’axiome du choix pour voir sa part de responsabilité dans le problème. Merci pour la réponse :).

[@PasseScience]

@@GabrielPettier *"quand ils choisissent en effet de faire la moyenne de -1+1-1…+1 à l’infinie"* ceci c'est du bidouillage, ce n'est ni rigoureux ni la vraie raison pour laquelle on parle de -1/12 (c'est pour ca que je précisais la bonne demo) La raison naturelle c'est vraiment le prolongement de zeta car il n'est ni mystique ni arbitraire. Mais sinon oui l'infini peut etre un monstre!

[@recorr]

J'ai l'impression que le seul paradoxe est comme souvent en matière d'infini, le fait que le mot infini est le même pour différents nombres d'imbrications d'infinis. Comme si on faisait disparaitre des différences entre des ordres de grandeurs différents. Un peu comme si, on prétendait que le nombre de lentilles dans un paquet de lentilles était le même que le nombre de grains de sable sur la terre, c'est à dire, tous les deux = "beaucoup" Je crois que perso, je vais éviter de me torturer avec un paradoxe qui contient la notion d'infini. J'attend qu'une IA objective cette notion d'infini en effectuant la traduction entre les mathématiques et les capacités d'objectivation d'un réseau de neurones biologique. J'ai déjà du mal à m'expliquer pourquoi dans le paradoxe des deux enveloppes, on ne peut pas dire qu'il y a une équiprobabilité d'avoir dans l'enveloppe non choisie le double ou la moitié de ce qu'il y a dans l'enveloppe choisie. Je dis bien "de m'expliquer pourquoi on ne peut pas le dire" et non "pourquoi ce n'est pas vrai", car c'est précisément parce qu'il est évident que ce n'est pas vrai qu'il est paradoxal de ne pas pouvoir se l'expliquer verbalement avec la même évidence.

[@arsa2661]

A mon tour de faire une prevision - quand tu as choisi nb de la 1ere boite, 1729, tu as pensé a un mathematicien Indien sur son lit de mort...vrai ou pas?

[@PasseScience]

@@arsa2661 Ou alors j'avais besoin d'un taxi :) Plus généralement, toutes les constantes que j'ai utilisées dans la vidéo, (a priori) sont des Easter eggs.

[@fabiendesmaziers9018]

Bonjour, désolé si ce raisonnement a déjà été posté, flemme de tout lire. :D Je pense qu'on ne peut pas créer la famille des suites équivalentes. En effet, le nombre entier N qui est le max des écarts entre les suites ne peut pas être majoré. Il suffit de prendre 2 suites qui on un écart de N et on construit facilement une suite qui aura un écart de N+1. N ne pouvant être majoré par aucun entier, il est infini. Ce qui contredit l'hypothèse car dans la famille les écarts sont finis. Donc le raisonnement est faux et les mathématiciens sont foutus !

[@PasseScience]

@@fabiendesmaziers9018 J'ai l'impression que vous confondez fini et borné. Prenons, par exemple, la famille des nombres entiers impairs. Si vous choisissez deux nombres impairs dans cette famille, l'écart entre ces deux nombres est fini. Pourtant, vous voyez bien qu'il est toujours possible de trouver deux nombres impairs dont l'écart est plus grand qu'une valeur fixée. Ainsi, l'écart entre deux nombres impairs n'est pas borné. Ce sont donc deux notions distinctes: Vous ne pouvez pas majorer l'écart entre deux nombres impairs a priori. Mais lorsque vous avez exhibé deux nombres impairs, leur écart est nécessairement un nombre fini, calculé par la différence entre les deux. J'ai l'impression que votre raisonnement conclurait que la famille des nombres entiers impairs n'existe pas.

[@fabiendesmaziers9018]

@@PasseScience Merci pour votre réponse. Je ne pense pas confondre fini et borné, je dis que (fini => borné) est équivalent par contraposée à (non borné => infini). Et comme la première proposition me semble vraie, la seconde l'est aussi. Sur l'exemple de l'ensemble des nombres impairs, je ne dis pas que la différence entre deux nombres impairs est infinie, je dis que la différence entre TOUS les nombres impairs est infinie (ou bien n'a aucun sens, ce qui revient au même, j'y viens dans la suite). Il faut revenir aux basiques : quand la conclusion d'une démonstration est fausse, une hypothèse et/ou le raisonnement sont faux. Ici nous ne sommes pas face à un paradoxe ou une étrangeté ou qqch de difficile à comprendre, nous sommes face à qqch de faux, tout simplement. La question est de savoir où. Et je propose : ce qui est faux, c'est de parler de l'infini, qui comme Dieu nous dépasse et dont nous devrions parler avec une telle humilité que nous ne devrions simplement pas en parler du tout. Je n'affirme pas que l'ensemble des nombres impairs n'existe pas, j'affirme que nous ne pouvons pas en parler et encore moins essayer de le manipuler car il est infini. En d'autre termes, en parler c'est prendre le risque de dire des choses fausses ou du moins qui nous dépassent. Par exemple, il est impossible, même avec un temps infini de choisir un élément au hasard dans N. Quel que soit le n choisi, je pourrai toujours rétorquer qu'il est tellement proche de 0 qu'il n'est pas choisi au hasard. L'axiome du choix est évidemment faux mais cette évidence n'apparaît pas comme telle car il est indispensable à la manipulation des ensembles infinis. Le péché originel est d'accepter l'infini dans les mathématiques. Et peut-on s'en passer ? Est-ce que remplacer "infini" par "aussi grand que l'on veut" change tant que ça les choses ? (en dehors d'invalider totalement cette prétendue démonstration au résultat mystérieux et d'autres dans le même genre) Et tous cas merci beaucoup vos vidéos que j'adore, ne prenez surtout pas mes propos comme une attaque personnelle, la "démonstration" n'est de toutes façons pas de vous ;)

[@PasseScience]

@@fabiendesmaziers9018 *ce qui est faux, c'est de parler de l'infini* Et je suis parfaitement d'accord mais je le formulerais un peu différemment, Je dirais que ce qui est le plus directement responsable de ce résultat contre intuitif sont les axiomes autour de l'infini (personnellement je n'ai rien contre l'axiome du choix, je le trouve naturel, c'est son interaction avec l'infini qui est un problème et je considère que l'infini est bien davantage responsable du problème que l'axiome du choix) *Je n'affirme pas que l'ensemble des nombres impairs n'existe pas, j'affirme que nous ne pouvons pas en parler et encore moins essayer de le manipuler car il est infini.* Mais c'était étrangement justifié. car si ce qui vous gênerait c'est le caractère infini d'un ensemble, eh bien il suffisait de dire ca "je refuse de manipuler des ensembles infinis" moi j'ai surtout réagit à cette argument d'écart qui ne me semble pas avoir de rapport avec la chose. Après le problème lorsqu'on refuse les axiomes autour de l'infini c'est qu'on va malheureusement se priver d'un nombre impressionnants de résultats qu'on considere naturels et qu'on ne peut, du coup, plus démontrer. *quand la conclusion d'une démonstration est fausse, une hypothèse et/ou le raisonnement sont faux.* Oui mais on ne peut plus de nos jours le formuler vraiment ainsi, car les concepts de vrai faux et de démontrable etc... ont été mis à plat par la vision axiomatique des maths ainsi que par les travaux de Godel. Il n'y a pas de manière de définir, dans l'absolue, les choses vraies et les choses fausses, car ces concepts n'ont de sens qu'étant donné un ensemble d'axiomes et de principe qu'on décide de manière arbitraire. Il faut plutôt le formuler en termes d'intuitif et contre intuitif: un certain ensemble d'axiomes amène à un résultat particulièrement contre intuitif. Le choix en mathématique fondamental ici se résume à: doit on changer l'ensemble d'axiome initial pour éviter cette conséquence contre intuitive mais en faisant une croix sur pas mal de résultats intuitifs qui en découlait, ou doit on garder les conséquence intuitive et accepter le paradoxe pour ce qu'il est, juste contre intuitif. *Le péché originel est d'accepter l'infini dans les mathématiques. Et peut-on s'en passer ? Est-ce que remplacer "infini" par "aussi grand que l'on veut" change tant que ça les choses ?* On peut réfléchir avec des théories moins exotiques, comme dans les mathématiques constructives. *Et tous cas merci beaucoup vos vidéos que j'adore, ne prenez surtout pas mes propos comme une attaque personnelle, la "démonstration" n'est de toutes façons pas de vous ;)* Merci, ici c'est surtout contre intuitif a cause du fait de raconter une histoire avec des vrais personnes, en vrai, ce que dit fondamentalement la démonstration, concerne des objets tres abstraits, et du coup le côté contre intuitif du résultat ne me choque pas tant que cela. Banach Tarski par exemple, ça me choque davantage car c'est encore plus simple de visualiser ce qui se passe et qui mène à un résultat d'apparence absurde.

[@fabiendesmaziers9018]

@@PasseScience Merci pour cette réponse, en me relisant je constate que j'ai fait une erreur. Fini => borné est faux, c'est borné => fini. Vous avez raison de dire que je confonds ces notions. Mais prendre cette famille des suites équivalentes n'est pas forcément une bonne idée pour démontrer les incohérences qu'il ressort des manipulations de l'infini, du moins dans mon cas car mes connaissances sont limitées et c'est un ensemble assez complexe. Le fait qu'il est impossible de choisir un entier naturel au hasard me semble être un meilleur argument. Après, dans les mathématiques, il y a quand même la recherche de l'universalité. Que je refuse ou pas de manipuler l'infini n'intéresse pas grand monde. La question est : est-il légitime de manipuler l'infini pour un être humain ? Je pense que non. Effectivement, quand je dis que le résultat est faux, donc les hypothèses le sont, je devrais dire le résultat démontré est contre intuitif donc les axiomes sont à revoir. A ce sujet, est-ce que dans une arithmétique qui exclu l'infini, le théorème d'incomplétude de Godel reste vrai ? Intuitivement j'ai envie de dire non car si tout est fini alors essayer tous les cas permet toujours de savoir ce qui est vrai ou faux (dans une axiomatique donnée).

[@lewismuster5686]

Rien compris 😅

[@FLMNH]

j'ai pas tout tout compris, même si l'essentiel a fini par passer sur l'axiome du choix, il me semble que les nombres complexes faisaient débat au début. Bien sur comparaison n'est pas raison meme si le parallèle n'est pas complètement absurde