Встреча 43 - Иван о расстоянии между окружностями в пучке

[@user-tanpim]

Игорь, огромное спасибо за подробный тщательный тайминг!!!

[@ИгорьСтарк-ц8ц]

Пока составлял тайминг, понял, что разговор об аксиоматике и аксиоматическом построении теорий, как в физике, так и в математике, весьма актуален. Предлагаю включить в планы встреч; предлагаю себя в качестве основного спикера, но беседу провести не в виде доклада, а в виде обсуждения, отталкиваясь от трёх аксиоматик (Евклид, Лобачевский и Гильберт). Материал для обсуждения берусь подготовить в виде файла, включающего в себя, всё необходимое для обсуждения.

[@user-tanpim]

@@ИгорьСтарк-ц8ц Игорь, это очень хорошая идея, Иван за, сейчас скопирую ваше предложение Револьту, большущее спасибо за такое тёплое участие в нашем кружке!!!

[@ИгорьСтарк-ц8ц]

43:40 "об аксиоматичности" используемых понятий, в частности, понятия угла. У Евклида аксиомам предшествуют определения. С 8-го по 12-е определений касаются понятия угла. При этом следует иметь в виду природу определённости используемых слов и понятий. Формальное определение сводится к сопоставлению определяемого (термина и понятия) и некоторой совокупности терминов, считающейся необходимой и достаточной для утверждения искомой определённости. Очевидно, что при таком подходе определяющая часть должна быть безупречной (в части собственной определённости). Мы имеем заколдованный круг, выход из которого возможен только при наличии источников неформальной определённости. И такой выход имеется, если мы доверяем своим органам восприятия реальности. Присваивая названия реальным предметам, реальным явлениям, реальным свойствам, реальным отношениям, то есть той реальности, которая даётся нам непосредственно в ощущениях, мы этим названиям не даём (да и не можем дать) формальных определений. Напротив, опираясь на эти обыденные обозначения реальных (фактических) объектов окружающего мира, мы строим формальные системы (теории, концепции, отдельные суждения и утверждения). Линии, их пересечения, образующие углы, мы воспринимаем наглядно. Геометрия циркуля и линейки (наглядная геометрия) лежит в основании формальной геометрии (геометрии идеальных понятий). Идеальное или идеализированное или абстрактное - это прямое следствие обобщений эмпирического, чувственного восприятия реальности. Теряя связь с реальностью, с естественной природой наших представлений, мы теряем фундамент любых знаний. Аксиоматические теории строятся не на домыслах и гипотезах, требующих последующих экспериментальных обоснований, а на обобщениях реального практического опыта (идеализациях, не противоречащих эмпирике, а уточняющих её). Формальная система, строящаяся на основании недостоверных положений, обладает недостоверностью этих исходных посылок.

[@ИгорьСтарк-ц8ц]

Тайминг: 0:12 Р.Р. о готовящейся книге, первая часть которой выложена в телеграмме. Предложение к прочтению и содержательным высказываниям. 2:15 Вопрос к Ване. Обсудить немного задачу, приснившуюся Диме, или сразу перейти к основной теме встречи? Обсуждение задачи. 11:00 Добавления Димы (по теме задачи о переносе фигур). О Безиковиче и его построениях, в частности о нулевой мере и отрезке единичной длины. 12:10 разные понятия расстояний между множествами. 21:02 множество геодезических, исходящих из точки в одном и том же направлении. 22:50 Д.Б.: Выпуклая геометрия - это то же самое, что кривизна. Р.Р.: Выпуклая геометрия возможна на плоскости, у которой кривизна - ноль. … Кривизна не является необходимым параметром. 23:20 Неравенства Безиковича. 23:30 Объём риманова куба. 25:35 Начало сообщения Ивана Никитина. 26:05 о расстояниях между окружностями. … углы между пересекающимися окружностями. 27:20 что можно сказать о расположении окружностей, касающихся в одной точке. 28:05 понятие радикальной оси пучка. … понятие степени точки. 33:00 построение радикальной оси для двух окружностей. 34:50 перпендикулярность радикальных осей перпендикулярных пучков окружностей (двойственных пучков). 35:50 угол между окружностями. 36:30 аддитивность угла. 37:02 Д.Б.: аддитивность угла между прямыми - совсем не тривиальный факт. 43:20 Несогласие Димы (в активной полемике Ивана и Револьта об аддитивности углов), упирающееся в неопределённость используемого языка. 43:40 об аксиоматическом понятии угла. 43:54 Д.Б.: всюду ничего нигде не определено, всё висит. Можно начать с любой аксиоматики. Например аксиоматики Гильберта и аддитивности углов. 44:05 Иван: Обычная евклидова плоскость. 44:25 Д.Б.: определения угла, как скалярного произведения … далее можно построить комплексную экспоненту. … 45:05 Р.Р.: Есть аксиоматика Гильберта, восходящая к Евклиду. Угол - некое неопределяемое понятие. 45:35 Д.Б.: превращения угла в число там не происходит. 45:45 Иван: перпендикулярность определяется, а дальше можно делить пополам … 46:02 Р.Р. об аксиоматичности и доказательности. 47:30 об аддитивности углов и аддитивности расстояний. 48:00 угол между пересекающимися окружностями - это угол междк касательными прямыми в точке пересечения. 48:53 обобщение на углы между непересекающимися окружностями. 49:20 Инверсное расстояние. 50:07 Коксетер 1966 52:00 модель Пуанкаре. … в пространстве Лобачевского перпендикулярность сфер идеальной плоскости. 56:24 формулы для инверсного расстояния. 1:02:10 Инверсное расстояние, инверсный угол. 1:04:30 зависимость диапазонов значений I (расстояния) от расположения окружностей 1:06:05 гиперболический угол 1:08:45 демонстрация рисунков 1:09:55 разграничение употреблений терминов "расстояние" и "угол". 1:10:00 Д.Б.: доп.пояснения. 1:12:30 двойное отношение при инверсиях 1:14:40 при инверсиях двойное отношение сохраняется. 1:18:15 инвариант двух окружностей 1:20:22 ещё раз об аддитивности 1:25:13 Случай касающихся окружностей. 1:25:20 Перерыв. 1:27:25 две окружности и разные касательные к ним. 1:28:17 Д.Б.: Очень легко доказывать теоремы, опираясь на аксиомы. Рассматриваем доказательство в одной системе аксиом, а потом берём другую систему аксиом. Это не жульничество, это магия. … Те же самые разговоры про аддитивность угла. … Что такое угол? Что такое угол в "этой"(?) системе вообще не очень понятно. Иван: "Что такое в этой?" Дима: "В декартовой системе координат." Револьт: Декартовость лишняя. У Евклида, что такое угол, понятно. Дима: Мне не понятно. … Речь не о понимании, речь о доказательстве, речь о математике. Мы уже поняли, что мы не понимаем. У нас разные понятия о понимании. … Если мне говорят, что это интуитивно верно, я сразу выпадаю. 1:31:13 Д.Б.: Аксиоматика Гильберта недостроена. 1:31:30 Давайте говорить не какая-то аксиоматика, а конкретная … Давайте напишем список аксиом. 1:33:54 Р.Р.: Сегодня мы планировали говорить не об основаниях геометрии и я не готов … Я не уверен что кто-то из нас готов обозначить любую аксиоматику Д.Б.: Ну почему? Я могу … Обозначить - это значит привести наизусть все аксиомы. Р.Р.: Ты же будешь базироваться на понятии числа Д.Б.: Разумеется. … Понятие вещественного числа потянет за собой теорию множеств. 1:38:30 красивая формула отношения касательных. 1:38:47 Случай, когда все окружности касаются в одной точке. 1:56:55 Р.Р.: Револьт Иванович определял геометрию через числа, квадраты которых могли равняться единице, минус единице и нулю. Насколько я понимаю. С помощью этого он находил расстояния 1:57:57 Эллиптический, гиперболический и параболлический пучки. 1:58:33 Р.Р.: Я не видел ясного изложения этой темы ни у кого. 2:01:00 Завершение рассказа Ивана. 2:02:00 Р.Р.: Попробую пояснить, откуда вообще берутся комплексные числа. Как я это понимаю. Как известно, что является понятным =- это у каждого своё. 2:03:00 Первый факт ЭГ, что любые три точки можно совместить с любыми тремя другими. 2:03:13 Иван: Любыми тремя парами точек определяется дробно-линейное преобразование. 2:04:50 четвёртая точка задаёт комплексное число. 2:18:00 Конец и прощания.

[@РевольтПименов-ц5и]

спасибо за тайминг. Уточняю первую строку - предложение и просьба делиться впечатлениями. Оценки можно не ставить.

[@AEF23C20]

а расскажите пожалуйста, что такое окружность? геометрическая бла-бла равноудалённые точки - это тривиально существует ли "алгебраическая" окружность? а существует ли такая "алгебраическая" окружность, она суть гладкая бесконечная линия? где бесконечная гладкая линия "намотана" на геометрическую окружность [радиус конечен] почему так? потому что окружность легко спроецировать в волну, это очевидно но окружность должна быть бесконечной, что бы получилась бесконечная волна итд итп

[@РевольтПименов-ц5и]

Спасибо за выступление. Но всё же ужасно звучит "угол между непересекающимися окружностями" "инверсное расстояние" - звучит куда приятней.

[@pier-bezuhoff]

Я называл это "гиперболическим углом". Обычный угол можно рассматривать как меру секторов окружности, гиперболический же угол -- как меру "секторов" гиперболы. И он часто берётся как чисто мнимая величина iδ, превращая обычные триг. функции в гиперболические.

[@РевольтПименов-ц5и]

@@pier-bezuhoff да, отрезок тоже можно назвать по разному