無限のパラドックス！自然数の最後がまさかの結果に・・・【ゆっくり解説】

無限って不思議(^^)
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/ @yukkuri_suugaku
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[@vitamizer]

最後の駄洒落がだんだん癖になってきた。

[@ひよっこ-f2n]

｢羊羹を食べる｣という行為を無限回できるわけだから、｢羊羹を無限に食べれる｣という言葉の定義によっては無限ようかんの定理は成り立つね

[@knsyu]

解釈変えられるような前提の上に成り立ってるのを定理とはいわないよ

[@圭-b9x]

定理は前提から出た結論を指す 「羊羹を食べる」という行為を前提として分解すると無限羊羹の定理の場合 1.羊羹は有限の物質である 2.現在の羊羹を均等に2等分できる 3.2等分後の羊羹を味わう に分解できる。 有名なアキレスと亀のパラドックスと同じように永遠に食べられるように感じるが、同じようにアキレスと亀の論法で間違っていることが分かる 即ち、前提3の羊羹を味わうという行為は消費量に合わせて減ることがわかる。 仮に1本分の羊羹で1時間楽しめるとしよう、半分は30分、四分の1は15分、八分の1で7分半...と楽しめる時間が減っていく、最終的に合計で1時間になるのは言うまでもない。 また、では切り分ける時間を一定とした場合はどうなるかと言うと、切り分ける時間は確かに無限になる、仮に1秒で半分にできるとしても無限回切り分けると無限の時間をかけても終わることはない。 しかし、同時に羊羹を味わうという結果にも辿り着いてないので無限に羊羹を食べてることにはならない。 分子や原子とかの物理的なものを無視したとしても、「羊羹を食べる」為に「2等分する」限り無限に食べることは出来ない

[@aetos382]

現実には最後の方の羊羹は原子1個分とかになっちゃうけどね。数学的には限界がなくても、物理学的には限界がある。

[@yamamoto65536]

ざっくり羊羹の長さを10cm、羊羹分子の大きさを0.17nmとすると、29回食べると残った羊羹の厚さが分子1個になりますね

[@大岡俊彦]

つまり「われわれの直感による無限作業回数」は30回程度、多く見積もっても100回程度というわけか。数式や図でも3回くらいやってあとは「…」で、その「…」は多くて100くらいまでしかイメージできてないと。

[@ccxxii7816]

まだ素粒子がある

[@knsyu]

@@ccxxii7816 そうなるともう羊羹ではないじゃん

[@ccxxii7816]

素粒子そのものは切れなくなっても確率分布なら無限に切れるかと思った。もっとも味覚や消化器が機能するより遥かに小さいから多分食べた気はしないだろうけど。

[@mazeofknowledge1528]

高校で習う等式の証明の手順として、「A=B」を証明するために「A≦B」と「A≧B」の2個を証明する方法があるけど、濃度が同じであることを証明するのに全単射を調べるのは感覚的にはこれとほぼ同じ。 より具体的にはAからBへの写像fが単射である事を示すのが「A≦B」、全射である事を示すのが「A≧B」になるイメージ。

[@志賀寺アタル]

単写、全射、全単射の定義は一応理解してるつもりだけど、言ってるイメージがさっぱりイメージできん。どういうこと！？

[@mazeofknowledge1528]

@@志賀寺アタル 直観的なイメージとしては以下の通りです。 (長くなるため、2コメントに分けます。) 2つの集合A,Bと写像f:A→Bを考えた時に、B上の元bに対して以下の2条件を考えます。 ①:「あるa∈Aによって、b=f(a)となる」 ②:「すべてのa∈Aで、b≠f(a)となる」 この時①に当てはまるB上の元全体の集合をB1、②に当てはまるB上の元全体の集合をB2とすると、B上のすべての元は必ず①か②のうちどちらかに属し、なおかつ②は①の否定なので、B1とB2は一方がもう一方の補集合(共通部分を持たず、和集合を取ると大元の集合と一致する)になり、元の濃度の大小と言う観点で、形式的にB=B1+B2と考えられます。 (B1はfによるAからBへの像(Image)全体の集合を指しているので、一般にf(A)や、Im.fと表現されます。) このB1,B2の状態について考えると、B1に関しては写像f:A→Bによって、A上のすべての元に対して対応するB上の元f(a)が定まっているため、A≧B1が言えます。(A上の異なる元a1,a2がB上の同じ元bに対応する可能性もあるため、「=」ではなく、「≧」になります。) 一方B2はAとは全く関わりのないBの部分集合なので、Aとの間に大小関係のようなものはなく、単に「B2≧0」ということだけが言えます。

[@mazeofknowledge1528]

(上記の続きです。) ここで、単射と全射それぞれについて見ていくと、 まず単射については「写像f:A→Bが単射」の定義「任意のa1,a2∈Aに対して、a1≠a2⇒f(a1)≠f(a2)」は言い換えると、「A上の元全てを写像fによってB上の相異なる元に対応させられる(f(a1)=f(a2)となる事で、B1の元の数がAより少なくなる可能性が消える)」と言うことなので、上記の「A≧B1」を「A=B1」にできます。 よって、「B2≧0」と併せてA=B1≦B1+B2=Bとなって、「A≦B」と考えることができます。 一方全射については「写像f:A→Bが全射」の定義「任意のb∈Bに対して、f(a)=bとなるa∈Aが存在する」は言い換えると、「全てのa∈Aに対してb≠f(a)となるb∈Bは存在しない」と言うことでもあるので、「B2≧0」を「B2=0」と言い換えることができます。 よって「A≧B1」と併せてA≧B1=B1+0=B1+B2=Bとなって、「A≧B」と考えることができます。 そして全単射、即ち全射かつ単射であることを示すのは「A≧B」かつ「A≦B」を示す事になるため、「A=B」を示す結果に繋がると言う事になります。 (なお今更ですが、等式や不等式の証明との関わりを見やすくするために濃度の大小のイメージとして「≦」や「≧」などの記号や数字を使っていましたが、A,B,B1,B2は数ではなく集合なので、このように表記するのは本来正しくないのでご注意ください。)

[@志賀寺アタル]

@@mazeofknowledge1528 すみません、こちらの理解力不足で申し訳ないのですが、A≧B1といった表記は何を表していますか？集合の濃度でしたら|A|≧|B1|ですし包含関係でしたらA⊃B1ですよね。 集合A, Bは数の集合とは限らないのでいきなりA≧B1と言われても何の大小関係を表しているのか分からずそこから先に進めません…。

[@mazeofknowledge1528]

@@志賀寺アタル 自分は「A≧B1」は「A⊇B1」と言う包含関係のイメージで書きました。(ただ濃度による不等式評価でも同じ結果にたどり着くはずなので、イメージしやすい方で考えて問題ないと思います。) おっしゃる通りで、A,B,B1,B2は全て集合で本来上で書いたような集合そのものへの不等式や「B2=0」と言う表記は正しい表現ではないです。(濃度に置き直して考えるか、包含関係による評価で示すべきで、0も空集合と言うべき。) 最初のコメントで言った、 (数や数式に対する)等式「A=B」を示すのに「A≦B,かつA≧B」を示す方法が「集合A,Bが同じ濃度」を示す中で、(写像f:A→Bを考えて)「fが単射、かつfが全射」を示すのと感覚的にはほぼ同じ。 というのを意識して数に対する不等式的な表現をしましたが、今にして考えるとあまり適切な表現ではなかったなと思います。 混乱を招く書き方をしてしまい、大変失礼しました。

[@miho4106]

面白かったです。

[@5362o-a]

トムソンのランプ、プランク時間(時間の最小単位)の存在を加味したらスイッチを押す回数は有限になると思うけど、それでも気が遠くなるくらいの回数になりそう。

[@夜草箏]

無限のようかんじゃなくて 1本のようかんを無限回食べる！

[@yusukem]

答えが発散するから存在しないですかね？ これはかなり面白いテーマで数学の面白さが伝わりそうです！

[@風丸-r3j]

この動画見てるとめっちゃ羊羹食べたくなる

[@user24t3r7]

バカテスで吉井がカップ麺の半分を食えば無限に食えれるってやってたな --- 蛍光灯は1秒間に50回 or 60回点滅しているけど 人間にはついているようにみるからな、2分後だろうと付いてるな！

[@DeathScytheKO]

理系の人間ではないですが、そもそも有限の羊羹を分割していくという行為の時点で無限に続くものではない、という考えは出来る気がします。 真円が存在しないように、無限に切り分けられる羊羹は概念の中にしか存在しないものなのだと考えれば、どこかで「分割できない」壁にぶつかり、処理は終了すると思います。

[@nagisa_kurokami]

無限は奥が深い😊

[@山崎洋一-j8c]

「可算(countable)」の字が「加算(addition)」になってますね……はおいといて、前に別動画のコメでも書いたけど、0.999…＝0.9＋0.09＋0.009＋…などの級数（部分和の極限）を、「作業」とみなすことが間違い（無限級数は無限に「足す」わけではない）とは思います。ただ、哲学的話としては面白い： 「アキレスと亀」で、飼い犬がアキレスと亀の間を往復している（向きを変えるのにかかる時間は無視）。アキレスが亀に追いつく時刻に、犬は左右どっちを向いているでしょう？

[@付和雷同-j5b]

哲学としても案外面白くないかも…実際、最後の自然数が未定義なので、偶数か奇数かは未定義だよ♪　でOKだと思います。動画の説明だとちょっと分かりにくいですが、そもそも論として、「羊羹が食べれる」の例えって、どっちかと言うと数列の収束の議論に近い（有限の値に収束するので「食べ切れる」）一方で、自然数の最後の数と言うのは文字通り存在しないはずですので、このあたりがちょっとごっちゃになっているだけのような気がします（疑似問題）。だから、まー、哲学としてもちょっとな、と思うのですが…。

[@タピオカ-p5j]

羊羮はよう噛んでください。

[@博士-g2x]

あなたのおかげで地球温暖化が減退しました！

[@BlackDia0109]

皆さん地獄の空気でさようなら

[@タピオカ-p5j]

地獄の空気な羊羮(予感)......

[@瘋癲-r2m]

きっといつかこのチャンネルの登録者数が∞人になります。

[@糀谷浩一-x6v]

ドラえもんを召喚してバイバインをかけて貰う。無限に食べられるぞ？ それか、羊羹の全元素を構成する陽子・中性子中にあるクオークに力を加えて引き離そうとすると、クオークが増えるので、この方法で羊羹を倍増するとか。

[@eggmanx100]

霊夢の「ようかんを無限に食べ続ける」という希望を実現することはあながち不可能でもない（寿命が無限にあるとして）。 ようかんを食べきる時間をようかんの残存量に比例させる必要はないからだ。 例えば、ようかんの残存量が1/2になろうが1/4になろうが同じ時間をかけて食べ続ければよい。 つまり、最初の量の半分を１分で食べきるとする。次の半分の半分も同じ１分で食べきる。次の半分の半分の半分も１分で食べきる。これを延々と続けていくのだ。 すると霊夢は永遠にようかんを食べ続けることができる（笑）。

[@山崎洋一-j8c]

中公新書の野崎昭弘『逆説論理学』だったかにあったネタの翻案： 霊夢をコンピュータのバーチャル世界に閉じ込めて（シミュレーションの存在にして）、そこでようかんを食べてもらう。CPUの動作速度が、ようかんの残存量に応じて速くなるようにする（ようかんが1/2のときは1/2秒、1/4のときは1/4秒で同じタスクをする）。すると霊夢は自己の体感時間で無限にようかんを食べ続けることができるが、外の世界では2秒後にプログラムが終了するｗ

[@アクステ]

まあ、現実では原子の大きさより小さく切断することは出来ないから、有限なんだけどね

[@eggmanx100]

@@アクステ 数学の話なので自然科学（物理学等）は無関係（笑）

[@嶋田一]

スタート時の羊羹が一本なんだから、合計が一本なのは当然っちゃ当然。

[@pikopikochannels1405]

たまには魔理沙から地獄の空気を発して欲しい気もする😂

[@chicha5358]

無限羊羹のパラドックスみたいなの、なんか漫画でありませんでしたっけ？

[@p0kMNyziCA-o5r]

某カードゲームでは∞は偶数

[@京のさとし]

アキレスと亀の話を思い出しました。

[@rodechang]

地獄の空気に気づかなかった

[@sakuya61]

無限を好む現代、それに付いてくる当代、哲学的に絶対、答えは出るのか本題

[@mtaka7963]

自然数において奇数と偶数は交互に出現する 自然数は1(奇数)から始まる 自然数の奇数と偶数の数は同じ よって自然数の最後は偶数になる (｡･ω´･｡)ﾄﾞﾔｯ

[@ぬぬ-s3r]

奇数と偶数の数が同じと言えるのはなぜですか？

[@mtaka7963]

@@ぬぬ-s3r n=1～∞とすると 自然数の全ての偶数は2nで表せる 自然数の全ての奇数は2n-1で表せる よって自然数の奇数と偶数の数は同じ (｡･ω´･｡)ﾄﾞﾔｯ

[@user-akasatanaha]

1を除いた奇数と偶数の数(濃度)も等しいので、 246 357… とすると最後は奇数になってしまいます

[@aetos382]

「自然数において」という設定が恣意的で「非負整数において」とすれば0から始まるので奇数で終わることになるな。

[@ぬぬ-s3r]

@@mtaka7963 学が無くて申し訳ないのですが、1~∞と仮定した時点で有限個の話をしているように思えてしまいます。 そこについては大丈夫なのでしょうか？

[@sonicck777]

ちなみに、主流の説は、自然数の最後は偶数でも奇数でもないという説。

[@MM-yc3tv]

ようかんを切らしていたのでもなかを食べました( ﾟдﾟ)つ旦~

[@envyjunior134]

量は1本分かもしれないが、「本数」は無限になるぜ！ 限りなく小さいサイズでも一本は一本として数えればいい 満足だろう？w

[@knsyu]

だからさいしょにａを定義してるのに…

[@MikuHatsune-np4dj]

あれふ

[@ぼぅ-t9y]

実数と自然数の個数は違うと言うのは一般的に対角線論法で説明されると思うんですけど、何故かその対角線論法って実数に使うことしかしてないんですよね。 要は、対角線論法によって自然数と同じ濃度かどうかを正しく振り分けられるかどうか、きちんと証明されたところを見たことが無いということ。 自然数は桁数が有限ですが、その上の桁全てを0で埋めた無限桁の数として表すことも可能。実数に対して対角線論法を使う時は小数点以下で行いますが、自然数に対して行う時は上述の通り無限桁に変換した上で小数点より上の桁へ向けて行うだけなので、結果は実数の時と変わらないはずです。

[@佐藤A-b9n]

背理法を認めてないのかな？ あと自然数を上の桁に無限に拡張したものはp進数と呼ばれており、自然数とは別のものとして扱われていて、これは実数と同じ濃度になってる。

[@VOICEROID-vd4cz]

自然数の場合はどんな無限列でもいいわけではないので、対角線論法で重要な「どの自然数とも一致しないものが存在する」ことを言えません。実際にやってみましょうか。 1→…001 2→…002 3→…003 こんな風に自然数を「そのまま」対応させる全単射を考えます。 このとき、nのn桁目と一致するように数を取ってくると、…001となります。 ここで、各桁の数字を1つずつズラすと…112になります。2桁目以降の全部が1です。 実数の場合、このズラしたものが実数なのに対応するものがないから背理法が使えました。 でも自然数の場合は、…1112なんて自然数は存在しないので…1112に対応する自然数がなくても矛盾せず、背理法が使えません。 自然数は途中から0で埋め尽くされるから、どこまでも0じゃないものが出てくる実数とは違う結果になるんです。

[@ぼぅ-t9y]

@@佐藤A-b9n 背理法が成立するのは、その理論が正しい時です。そもそも間違った理論から背理法を使っても、背理法の意味がありません。なので対角線論法で正しく振り分けられるかを検証する必要があると思っているんですが、それを検証してる所を見た事が無いんです。

[@ぼぅ-t9y]

@@VOICEROID-vd4cz 対角線論法は自然数に使えば自然数以外の数が生まれてしまう論法だと言う事を理解されてるということですよね。 僕が「対角線論法が誤りである」と思っている理由のひとつがこれです。

[@yukiminoly4526]

1-0.999…をした時の存在するのに存在しない1について考えるような感じやな

[@toisaa]

渚に白いパラソル　心は砂時計よ あなたお尻鯛　愛の羊羹

[@英明遠藤-t8m]

羊羮は洋館にあります。

[@ponhrub]

もりのようかん！

[@kalisumahikaru]

地獄の空気作るな。

[@辻義行-t2k]

数学上、自然数の加算には時間は不要なので自然数の最大値は無限大∞と考えることができます。すると１／∞は０となります。そして∞に関する矛盾はすべて解消されます。 しかしながらこのような常識的な考え方は、カントールによる「対角線論法」で無視されて、それに代わって「可算無限」「非可算無限」などからなる「集合論」がでっちあげられました。 興味のある方は『０歳からの経験と知性』（武久出版）をご参照ください。

[@yhmv]

∞は自然数の最大値、すなわち∞を自然数と捉えているわけですね。しかしこれでは、任意の自然数に1を足したものは自然数であることに反するため、最大値を設定した時点で「自然数」と呼ぶべきではありません。 それに、1/∞ = 0 なら、両辺に∞をかけると1=0×∞になると思うんですけど、0×∞=1ということですか？あんまり直感的でないように感じます。

[@yhmv]

∞を自然数の最大値、すなわち自然数の一つとするなら、 0×0=0 0×1=0 0×2=0 … 0×1000000=0 … 0×∞=1 となるのは不自然だと思います。

[@辻義行-t2k]

∞は有限値と異なり、自然数、実数、偶数、奇数などの区別はなく、どのような上限の定められない増加数列も共通的に∞到達します。またご指摘の数列は０，０，０・・・ですからどこまでも０です。@@yhmv

[@辻義行-t2k]

通常、∞は有限値と直接演算はできません。∞についての演算は無限数列を介して可能です。0×∞の形となる無限数列にはさまざまな形があり得るので一般的には「不定値」といわざるをえません。くわしくは『０歳からの経験と知性』武久出版、を見ていただけると幸いです。

[@user-ds1bu2gk1b]

いちこめ