Wurzeln näherungsweise berechnen - Heron Verfahren

Wurzeln näherungsweise berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) das Heron Verfahren, ein Näherungsverfahren, mit dem man Wurzeln bestimmen kann. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wurzeln näherungsweise berechnen
0:18 Erste Näherung
1:35 Näherungsverfahren
6:31 Bis zum nächsten Video :)
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[@BiesenbachKlein]

Durch die FARBLICHEN Markierungen hast Du dieses komplizierte Verfahren super anschaulich erklärt. Dank und Respekt !👍👏🪷🌷🎄

[@mschumi455]

Susanne, Du bist echt soooo gut. Toll, wie Du es erklärst und darstellst...Weiter so und Danke für Deine Arbeit hier

[@ralfbodemann1542]

Danke für das interessante Verrfahren! Beeindruckend, wie schnell das konvergiert!

[@BangOlafson]

.. und selbst, wenn man das in Excel/Libreoffice mit riesigen Zahlen und einem Startwert, der komplett daneben ist (vorsätzlich! :)), ausprobiert.. nach 3...6 Durchgängen hat man das Ergebnis...

[@Robjay1795]

Immer wieder schön, Etwas zu lernen. Danke!👍

[@chrico2969]

einfach klasse! Man kann immer wieder etwas lernen bei Dir 😇- ich liebe den Kanal 🫶

[@JDAUDIOSHG]

Hallo Frau Susanne, sehr erfrischend, Ihre mathematischen Videos, Ich hatte das nähere Ergebnis schon vorher im Kopf ermittelt. Ich interpoliere allerdings dabei nur . Danke trotzdem und.. Frohe Weihnachtszeit und guten Rutsch.

[@dragon_long7213]

Ich mag deinen Kanal sehr und rechne immer fleißig mit. Was mir auffällt ist, dass meine Generation, Baujahr 1963, mit Mathe ganz eindeutig überwiegend noch viel besser klar kommt, als die computerverwöhnten Nachkommen. ;-) :-)

[@xx_vik_1365]

Hatten das Verfahren damals in der 9. Klasse gelernt. Bin ansich schon fasziniert, dass es so funktionert, egal welchen Startwert man sogar nimmt. Aber wird wahrscheinlcih nie in meinem Kopf bleiben, weil es doch etwas zu aufwendig sein kann Vor allem da man ja ohne Taschenrechner nur mühselig die zahlen rausbekommt, mit Taschenrechner aber eig kein Grund entsteht, ne Wurzel nicht direkt so auszurechnen xD

[@B.Ies_T.Nduhey]

Halli, hab gerade dein Video zu allen Gleichungen, die 6 ergeben müssen, von "vor einem Jahr" gesehen. Das fand ich ja mal spannend! Paar Gleichungen konnte ich blind, bei den anderen hab ich gewaltig was dazu gelernt, und das mit 60 😆 Macht sowieso fast immer Soaß mit und bei dir! Wünsche dir ein wunderbares Weihnachten 🎄 und 2024! 😎💋😎

[@Andreas_Straub]

Cool! Danke für die Auffrischung :-)

[@andreasfahrney]

Da die 43 relativ „mittig“ zwischen 36 und 49 liegt, war meine erste Schätzung für die (Wurzel aus 43) 6,5

[@juergenilse3259]

Eher etwas groesser,weil 43 etwas groesser als das arithmetische Mittel von 6 und 7 ist und weil die Parabel eine monoton zunehmende Steigung hat ... Deswegen lag meine Schaetzung nicht bei 6,5 sondern bei 6,6 ...

[@MrThomashorst]

Geil ... und ich hab immer mit den differenzen gearbeitet. Sowas kann man schön programmieren. Danke!

[@cadeeja.]

Das hat echt Spaß gemacht, weil ich es verstanden hab. 😅

[@ahrwin]

Ein sehr zeitaufwändiges Prinzip, welches ich bisher noch nicht kannte, aber Dank dieses Videos sofort begriffen habe.

[@hajoe01]

Ich kannte es auch nicht, aber das bemerkenswerte ist, dass es extrem schnell zum Ergebnis hin konvergiert. Selbst wenn man einen "schlechten" Startwert nimmt (z.B. immer "1"), dann ist man spätestens nach der 5 Runde schon auf 8 Kommastellen genau!

[@gk...]

Welches Prinzip ist denn schneller?

[@MrUnrealreal]

Ich werde es wohl niemals brauchen, trotzdem schau ich mir die Videos immer bis zum ende an. Vllt. brauch ichs ja doch mal. Danke dass du so gut erklärst.

[@sweethomebgl]

Toll erklärt ohne Schnörksel. Die Farbkodierung vermeidet abschreckende Variablennamen.

[@putinzgazkillz2749]

Ok, das mit dem Startwert ist eine gute Idee, um das ganze abzukürzen. Daran habe ich bisher nicht gedacht, ich habe bisher immer ganz einfach die Hälfte der Zahl unter der Wurzel genommen.

[@baize213]

Danke!!!

[@MaxPrax888]

Hochinteressantes Verfahren, das ich noch nicht kannte. 🤗 In den 60er Jahren haben wir Wurzeln entweder mit Hilfe des Tafelwerks (evtl. mit Interpolation) oder des Rechenstabs ermittelt. Allerdings gab es vom Mathelehrer den Hinweis, dass man die Wurzel auch rechnerisch ermitteln kann. Das Verfahren wäre aber recht aufwendig. Jetzt nach 55 Jahren weiß ich endlich, wie das funktioniert 😊

[@nicoledoll2772]

Es gibt auch noch dieses Verfahren: √43 = 6,55 36 ---- 700 12:5 625 ------ 7500 130:5 6525 .... u.s.w.

[@MaxPrax888]

@@nicoledoll2772 🤔🤔

[@iwenzke4613]

genauso habe ich auch gelernt, ist zwar schon ein paar Jahre her. Taschenrechner gab es nicht bzw zu teuer, Alternative war der Rechenschieber. Mein Mathelehrer sagte immer, wer ist nicht so rechnen kann, ist auch mit Rechenschieber verloren@@nicoledoll2772

[@juergenilse3259]

Der Lehrer meinte vermmutlich ein andere Verfahren, dass auf Anwendung der 1.binomischen Formel basiet und das von unsere Referentin auch schon einmal gezeigt wurde ...

[@nicoledoll2772]

@@MaxPrax888 Kann man hier nicht erkennen, wie es geht? - Immer die zuvor ermittelten Stellen mal 2 nehmen und dann die nächste Stelle für die Multiplikation anfügen. Sonst geht es wie schriftliches Dividieren, aber immer um 2 Stellen weiter.

[@b.b.b81]

Daumen hoch bevor ich dein Video angeschaut habe 🙂

[@RockSonixRockriffs]

Spitze!

[@gruddy]

Toll! Darf ich fragen, welche Software/Notiz-App du verwendest?

[@rumpel8037]

Ich habe vor 140 Jahren in der Schul- bzw. Kreidezeit mal die Intervallschachtelung gelernt. Das Heron Verfahren hier scheint aber etwas schneller und genauer zu sein. (laut Google) Prinzip ist natürlich ähnlich. Aber schon beim reinen Schätzen kommt man auf gefühlt 6,55. Abstand 7 vs. 6.

[@user-butis739ws]

Guten Abend, meine süßeste, wundervolle Lehrerin ❤❤❤

[@tessasanodow]

Lieben Dank für die Erklärung zum Heron Verfahren um Wurzeln "von Hand mit Taschenrechner ohne Wurzelfunktion versteht sich" auszurechnen. Das ist ja ganz erstaunlich. Ich habe eine grö0ere Zahl genommen und völlig falsche Annahme was dabei herauskommen könnte und siehe da, nach 4 Annäherungsschritten hatte ich die Wurzel gelöst. Aus der Schule hatte ich nur in Erinnerung, dass das unnötig schwer ist und kaum lösbar. Das war Quatsch. Es ist super lösbar. Danke schön.

[@erwinlattemann]

Kann man so machen, aber ich bin im Kopf auch gleich auf 6,5 gekommen. Das geht sehr schnell. Und da es nicht genau sein sollte, reichte mir das auch. Erst dann habe ich mir das Video weiter angesehen, Dein Weg ist sehr schön, aber zu kompliziert (um im Kopf zu rechnen). Da war ich dann doch schneller :-) Ja wenn dann noch mehr Kommastellen verlangt werden, dann ist Deine Methode auch nicht schlecht um zum Ziel zu kommen. Aber auch hier, viele Wege führen nach Rom.

[@murdock5537]

Sehr schöne Aufgabe, und super gelöst, vielen Dank. 43 = (6 + x)^2 = 36 + x^2 + 12x ≈ 36 + 12x → x1 = 7/12 → 43 = (6 + 7/12 + x2)^2 = (79/12 + x)^2 = 43 → (79/12)^2 + 79x/6 ≈ 43 → x2= -6(49)/(79)144 → x3 = 79/12 - 6(49)/(79)144 = → ((79^2)(144) - 72(144))/12(79)144 = 79/12 - 49/24(79) = 6,557489451

[@oliver180466]

Ich denke mal, dass das Heronverfahren aus einer Zeit stammt, wo der Taschenrechner noch keine Rolle gespielt hat. Von daher halte ich es für gut, wenn der Kontext erklärt würde und auch die erforderlichen Divisionen händisch durchgeführt würden oder es einen Verweis auf Videos dazu gäbe. Ich halte das Verständnis der Zusammenhänge für sehr wichtig.

[@user-go3zb6bp4b]

Toll

[@rolandgladasch9766]

Hallo, zuvorderst allen Zuschauern und der Dame "MatheTrick" ein friedliches Weihnachtsfest. Für die Aktion in Barcelona (Tanzen und Emotionen) hätte ich ein Hilfangebot für sie. Ein Ansatz, der den Weg zur Verbesserung ebnen könnte. LG aus dem Zentrum des Wahnsinns, Berlin

[@porkonfork2023]

Ich begrüße auf das Herzlichste das Bemühen, sich mit Probieren angenehm die Zeit zu vertreiben. Als Traditionalist bleibe ich bei der Taschenrechner-Methode.

[@user-bi5is4bf9t]

M. W. verwenden Taschenrechner und Computer aber genau das vorgestellte Verfahren!

[@juergenilse3259]

Traditionell waere eher das "schriftlich wurzeltuehen" oder evt. noch de rRechenstab. Beidesduerfte dem heutigen "typischen Schueler" eher unbekannt sein, da es in der Schulle nicht mehr gelehrt wird ...

[@ArKa_47]

Ich erinnere mich, als ich diesen Algorithmus programmieren sollte. Als Beispiel für Rekursivfunktionen. War damals sehr schwer, weil ich noch nie mit Rekursivfolgen zu tun hatte 😄 MfG

[@zapl80]

Geht natürlich auch rekursiv aber gerade sowas wäre doch ein super Beispiel für eine ganz normale iterative Lösung

[@ArKa_47]

@@zapl80 ich fand's iterativ auch logischer (sogar CPU effizienter). Naja Professoren sind manchmal etwas eigen MfG

[@R3V4N]

Also gleich mal vorneweg. Du erklärst echt super. Und ich finde es auch echt interessant, wie man schriftlich ohne Taschenrechner die Wurzel ziehen kann. Letztlich finde ich die Methode aber im Alltag wenig hilfreich. Zumindest ab der zweiten Zeile. 43/6 geht noch simpel im Kopf, aber wenn ich 43/6,584 rechnen will, braucht man entweder nen Taschenrechner, oder wenigstens Stift und Papier. Aber generell fand ich das Thema Wurzeln bzw quadratische Zahlen schon immer interessant. Rein die Systematik bei Zahlen, die einem ähnlich vorkommen. 10, 100, 1000, 10000, 100000. Auf den ersten Blick meint man, die Wurzeln müssten alle gleich sein, sich halt nur in der Kommastelle verschieben. Aber letztlich passiert das nur bei jeder zweiten Zahl. √10 = 3,162 √100 = 10 √1000 = 31,62 √10000 = 100 √100000 = 316,2 usw... Wie kommt das eigentlich zustande?

[@barakjoe]

Das liegt daran, dass die Wurzel einer Zahl diejenige positive Zahl ist, die, wenn man sie mit sich selbst multipliziert, die Ausgangszahl ergibt. Bei den Zahlen 10, 100, 1000, 10000, 100000 handelt es sich um Quadratzahlen, also Zahlen, die das Quadrat einer ganzen Zahl sind. Die Wurzeln dieser Quadratzahlen sind ebenfalls ganze Zahlen. Das erklärt, warum die Wurzeln von 100 und 10000 beispielsweise beide 10 und 100 ergeben. Die anderen Zahlen, wie 10, 1000 und 100000, sind keine Quadratzahlen. Ihre Wurzeln sind daher keine ganzen Zahlen, sondern Dezimalzahlen. Diese Dezimalzahlen sind ungefähr die Wurzeln der nächstkleineren Quadratzahlen. Das erklärt, warum die Wurzel von 10 ungefähr 3,162 und die Wurzel von 1000 ungefähr 31,62 ist. Das Muster, dass die Wurzeln nur bei jeder zweiten Zahl gleich sind, liegt also daran, dass Quadratzahlen und ihre Wurzeln eine besondere Beziehung zueinander haben.

[@juergenilse3259]

Weil die Wurzel aus 10 3.162... ist. Ist die Anzahl der Faktoren 10 gerade, ist die Wurzel wieder eine 10er Potenz, ist sie ungerade, bekommst du einmal die Wiurzel aus 10 mit hinein ...

[@cubexBeats]

Interessant. Ich hatte mir selbst mal eine sehr ähnliche Technik ausgedacht, um solche „Probleme“ zu lösen. Ich habe dafür bspw. auch zunächst geschaut, welche benachbarten Wurzeln ich kenne (Wurzel aus 6 und Wurzel aus 7). Dann habe ich mir die Differenz beider Zahlen berechnen (49-36=13). Dann schaue ich noch, wo meine gesuchte Zahl ungefähr liegt. Die 43 liegt 7 über der 36 und 6 unter der 49, also ziemlich mittig, weswegen ist voraussichtlich schon einmal eine 6,5 werden wird. Dann kann ich aber noch einmal weiter machen, denn ich weiß ja, da 13 Schritte von der einen zur anderen Zahl nötig sind (also um von Wurzel aus 36 zu Wurzel aus 49 zu kommen). Anders gesagt: ich stelle mir vor, dass alle Kommschritte von 6 bis 7 (also 6,0; 6,1; 6,2; 6,3 etc.) in das Raster von 1/13 passen. 1/13 sind rund 0,077. Wenn man nun von folgende Rechnung aufstellt, sollte man sehr nah an die gesuchte Zahl kommen: 6 + (0,077 * 7) = X 6,539 In diesem Fall kommt man demnach aber nur auf die korrekte erste Kommastelle, danach wird es leider nicht korrekt. Da ich mit Mathematik aber absolut nichts am Hut habe, weiß ich nicht, warum man somit nicht auch genau auf das Ergebnis kommt. 😅

[@Beasty-ct5sb]

Danke für das Video . Zufällig habe ich gerade in Forth die Wurzel mit dem Heron Verfahren gelost. - : sqrt dup 2/ 20 0 do 2dup / + 2/ loop swap drop ; Aufruf war 43 sqrt . ergab 6 Das Programm rechnet über 20 Iterationen ohne richtige Rundung dafür bei 32 bit bis über 4 Milliarden .

[@Andreas_Straub]

Aua, FORTH - das weckt Erinnerungen! Die Sprache, die den Menschen als Precompiler benutzt ;-)

[@Birol731]

diese Programmiersprache "Forth", wie viel Zeit würde es dauern, um verschiedene Programme aus dem Bereich Mathematik zu entwickeln? Wird diese Sprache so weit verbreitet wie Python und in welchen Anwendungsbereichen wird Forth typischerweise eingesetzt ?

[@Beasty-ct5sb]

Danke für die Antwort. Richtig Am Anfang steht das Wort . Am Ende das ganze Universum , weswegen ich Forth liebe. In meinem Programm setze ich einen alten Maussensor als Flussmesser ein und verrechne die integer sqrt(x ²+y²) Vektoren mit einem STM32 Mikrocontroller (ähnlich Arduino. Die Geschwindigkeit liegt bei etwa 10000 Vektoren Pro Sekunde. Schöne Feiertage @@Andreas_Straub

[@Beasty-ct5sb]

Danke für die Antwort. Forth ist eine der ersten Programmiersprachen die im Gegensatz zu C oder Python Stack orientiert ist. Wer mit einem alten HP Taschenrechner arbeiten kann, sollte auch Forth schnell lernen können. Forth wird aber sehr maschinennah (Ganzzahlarithmetik)eingesetzt, wenn Assembler zu komplex wird. Mathematisch ist Python die 1. Wahl, gefolgt von C. Wegen der anderen Algorithmen wird Forth gerne von Boing oder NASA eingesetzt, um bei deren Autopiloten oder Navigationscomputer Richtigkeit der Berechnungen zu kontrollieren. Schöne Feiertage. @@Birol731

[@juergenilse3259]

In deinem Programm ist meiner Meinung nach die fehlende Genauigkeit bei den Divisionen das Problem ...

[@arnowaigel2844]

Damals in den 60ern, als man noch Logarithmentafel hatte, machte das Interpolieren viel Spaß, wenn man es besser fühlte als die Linearen Fuzzis.

[@HannesNaturfreund]

👍

[@bernhardmorck7358]

Da 43 etwa in der Mitte zwischen 36 und 49 liegt (Differenz 7 bzw. 6) muss die Wurzel auch etwa in der Mitte zwischen den Wurzeln liegen, also bei etwa 6,5. Wenn man das als Startwert benutzt ist man schon mal um eine Kommastelle näher an der Lösung.

[@brunogrieco5146]

Finde ich sehr Interessante. Ich habe in Schule Wurzeln zu kalkulieren gelernt, aber Heute brauch man nur eine Knopfdruck...

[@Mduepre]

Das habe ich in der Schule auch mal gemacht, wir nannten das " Mittelwertverfahren".

[@pandapultgaming8652]

@MathemaTrick als ich damals (2010) meinen mittleren Abschluss machte, funktionierte mein Taschenrechner nicht mehr und ich musste improvisieren. Meine Näherung, die ich bis heute anwende ist folgende: Wurzel aus 43 als Beispiel Wie beim Heron Verfahren (welches ich damals noch nicht kannte) erstmal schauen, welche Wurzeln vor und nach meiner gesuchten Wurzel liegen. 6 und 7 mit 36 und 49 Dann die Differenz zwischen den beiden ganzen Wurzeln. Also 13. Diese schreibe ich in einen Nenner. Dann die Differenz zwischen der unteren Wurzel (36) und meiner gesuchten Wurzel (43). Das wären dann 7. Die schreibe ich in den Zähler. Somit habe ich dann den Bruch 7/13. Das rechne ich aus (damals schriftlich) und komme auf den Wert: 0,538 auf 2 Nachkommastellen gerunde 0,54. Die addiere ich nun mit der 6, die der unteren Wurzel entspricht und komme somit auf eine Näherung von 6,54. Das hat damals für eine 2 ausgereicht. Im Abitur hat der Taschenrechner dann glücklicherweise funktioniert 😂

[@fritzberg1]

Sehr gut. Das Verfahren habe ich in meiner lange zurückliegenden Studienzeit verwendet als es noch keine Taschenrechner gab. Habe das bei einem anderen Video von Dir hier schon mal angesprochen. (kzbin.info/www/bejne/iILPn4CGpbGEfM0) Wie schon erwähnt funktioniert das sogar mit Startwerten die weit von dem Ergebnis entfernt sind sehr gut. In Zeiten wo man noch mit Rechenschieber (*) gerechnet hat war das Ergebnis immer ausreichend genau. * weiß die heutige Jugend nicht mehr was das ist! 🙂

[@heinzkrix9455]

❤

[@schnuffelchen1976]

Dass man nach der ersten Iteration noch nicht wusste, ob vor dem Komma eine 6 oder eine 7 steht, stimmt - streng genommen - nicht: Zwar lautet bei dieser Iteration eine Zahl 6,... und die andere 7,... - dadurch, dass die Wurzel aus 43 zwischen der Wurzel aus 36 und der Wurzel aus 49 liegt, war aber klar, dass das Ergebnis 6,... lauten wird.

[@SamyL_]

Ich denke sie wollte es nur mal ausführlich und allgemein darstellen. Es hätte auch sein können, dass die Wurzel aus einer Zahl nicht nur einfach zwischen 6 und 7 liegt, sondern beispielsweise zwischen 67 und 99.

[@torstenbroeer1797]

​@@SamyL_Ja, aber je genauer die Schätzung, desto näher ist das Ergebnis am wahren Wert. Und die 2. Näherung kann eklig werden. Da lohnt es sich, am Anfang etwas Gehirnschmalz zu investieren! Und zwischen 67 und 99 ist definitiv zu ungenau!

[@Zombi20087]

Wenn das Ergebnis größer als 6,5 ist, so ist der Start der Iteration mit 7 besser als mit 6.

[@user-jx7up6ip3q]

@@torstenbroeer1797 Es bleibt nicht destotrotz ein Spezialfall und der Algorithmus ist allgemein gefasst und kann somit auch einfach als Computerprogramm implementiert werden. Gerade bei sehr großen Zahlen wirst du nicht leicht die nächstgrößere Quadratzahl finden. Sprich du wirst dich leichter tun einen Startwert wählen, von dem du definitiv weißt, dass er größer/kleiner ist. Dann hat man am Anfang ein paar mehr Iterationen, aber das fällt nicht groß ins Gewicht.

[@Flausch2401]

Du bist so klug

[@e-wie-emil]

Das heißt: Wenn man das Ergebnis auf 3 Nachkommastellen runden will, muss man also vorab in den Näherungen immer eine Nachkommastelle mehr (also 4) angeben, um am Ende die letzte Nachkommastelle im Ergebnis anhand des Mittelwerts der 4. Nachkommastelle der Näherungen richtig runden zu können?

[@N7OmniTool]

Nein, man muss nicht runden, sie hat das optional gemacht. Hätte sie den Schritt ein drittes Mal durchgeführt, hätte man drei Stellen nach dem Komma gehabt. Dann wäre das Ergebnis auf diese drei Stellen genau berechnet.

[@Dr._Spamy]

Wie macht es eigentlich der Taschenrechner ?

[@Beeboop10000]

Unterschied zwischen den beiden Wurzeln 49-36 = 13, davon die Hälfte ist 6,5 36+6,5 = 42,5 49-6,5 = 42,5 Also liegt der Wert irgendwo bei 6,5??², im Kopf gerechnet, also näherungsweise geschätzt ;-). Aber trotzdem wieder ein tolles Video

[@frankklemm1471]

43 liegt zwischen 6*6=36 und 7*7=49, es ist sogar ziemlich nahe an 6*7=42. 6,5*6,5 ist 42,25, d.h. die Quadratwurzel aus 42,25 ist 6,5. 43 liegt 0,75 darüber, die Steilheit von x² an der Stelle 6,5 ist 13. Grob sollte man 0,75/13 addieren. Den Bruch erweitern wir 1,5/26, 3/52, 6/104. 6/104 ~ 0,06, d.h. das Ergebnis ist etwa 6,56. Die Rechnung kann man, wenn man etwas Kopfrechnen gewöhnt ist, in 5 Sekunden durchführen. Etwas genauer wird man, wenn man 6/104 mit etwa 0,057 abschätzt (5% von Nenner und Zähler abziehen) und auf sqrt(43) = 6,557 kommt. Der genaue Wert ist 6,5576923... Was ist eigentlich die Quadratwurzel von 1,234567... ?

[@DominikButz]

Sehr interessantes Verfahren. Allerdings muss man die Nebenrechnungen natürlich schriftlich durchführen, denn mit Taschenrechner kann man auch gleich Wurzel 43 eingeben.

[@horsthorstmann7921]

Sehr schön, allerdings ist man hier ohne Taschenrechner auch aufgeschmissen. Aber man kann sich in der Programmiersprache seiner Wahl leicht eine Wurzel-Funktion bauen. Als zweiten Parameter noch die gewünschte Genauigkeit und fertig ist die Laube.

[@FunIsGoingOn]

Und wie rechne ich die 43 / x immer wieder aus. Da wird man ewig dividieren oder den Taschenrechner nehmen, also kann ich den auch gleich für die Wurzel nehmen.

[@namsawam]

Kein Kopf parat? (x=6)

[@FunIsGoingOn]

@@namsawam Doch klar, mit Kopf war ich auch bei ~6,5 bevor ich das Video geguckt habe. Aber was nützt mir ein Näherungsverfahren wenn es voraussetzt auf 3 Nachkommastellen dividieren zu können?

[@namsawam]

@@FunIsGoingOn Eigentlich müssen Sie gar nichts rechnen, wenn Sie das Heron-Verfahren so anwenden, wie es konzipiert war: Rein geometrisch die Quadratwurzel bestimmen. Ein sehr einfaches und schnelles Verfahren. (Googeln Sie's, wenn Sie kein Elementarmathematikbuch [mehr] haben. Es ist schlicht und reizvoll.) Zu Recht berühmt.

[@NorgeTyskland]

Tipp: Benutzt den Taschenrechner, dann geht's noch schneller 😉

[@tkdive4784]

Unabhängig vom Heron Verfahren, das ich bisher nicht kannte, hatte ich bei der Aufgabe (die Quadratwurzel von 43 schätzen) einen ähnlichen Ansatz, aber der Start ist mMn. sehr naheliegend: Welche Wurzel ist kleiner und welche größer, als die von 43. Damit kann man im Kopf und innerhalb von Sekunden "etwas größer als" 6,5 schätzen, da 43 um 7 größer ist, als die Potenz von 6 und um 6 kleiner als die Potenz von 7. Ich habe mich schnell auf 6,56 festgelegt. Dass das mit dem tatsächlichen Ergebnis übereinstimmt, wenn man auf 2 Nachkommastellen rundet, war (neben der oben beschriebenen Logik) auch Glück. Wenn es nur darum geht, das errechnete Ergebnis zu kontrollieren, dann kommt mir das Heron Verfahren für die Praxis (auch für Zahlen in anderer Größenordnung) zu komplex/umständlich/zeitaufwändig vor. Wann findet es in der Praxis Anwendung?

[@Don_Camillo]

Dein Grinsen fasziniert mich

[@quentinlynch]

Geschätzt: Knapp über 6,5. Warum: 6²=36 und 7²=49. Das Ergebnis muss dazwischen liegen. Mit einem alten Trick (x,5²=x×(x+1)+0,25) quadriert man nun 6,5 und erhält 42,25 (also nur geringfügig weniger als 43).

[@markusgro-bolting6542]

So habe ich das auch gemacht 😉

[@m.h.6470]

Ich benutze für das Berechnen von Wurzeln die Näherungsformel √a ≅ (x² + a)/2x, wobei x für die nächste ganze Quadratzahl steht. Also bei der gegebenen √43: √43 ≅ (36 + 43)/(2*6) ≅ 79/12 ≅ 6,5833... √43 ≅ (49 + 43)/(2*7) ≅ 92/14 ≅ 6,5714... Tatsächliches Ergebnis ist: √43 = 6,557.... Hat also in diesem Fall nur eine Abweichung von 0,02..., was für eine Näherungsformel absolut ausreicht. Vor allem, weil sie extrem schnell und einfach ist.

[@user-bi5is4bf9t]

Das ist aber genau dasselbe Verfahren. Einfach die Näherungsformel durch x kürzen.

[@elektronenschubser6056]

@@user-bi5is4bf9t Nein, denn das ist kein Iterationsverfahren. 79/12 ist bereits die endgültige Näherungslösung. Ich wollte die auch gerade beschreiben, aber da war wieder einmal jemand schneller.

[@m.h.6470]

@@user-bi5is4bf9t nicht ganz. "x² + a" kann nicht mit x gekürzt werden... Die Ergebnisse der Näherungsformel und der ersten Iteration der im Video gezeigten Methode sind ähnlich, aber nicht identisch.

[@user-bi5is4bf9t]

Doch, das ergibt (x + a/x)/2, was genau dem Iterationsschritt im Heronverfahren entspricht.

[@popogast]

4:30 Dass eine 6 an der Vorkommastelle steht, wurde schon bei 1:00 gezeigt.

[@tizwah]

6*6 = 36, 7*7=49, 43 liegt dazwischen (36+49)/2 = 42.5. Also (6+7)/2=6.5. Meine Näherung für sqrt(43).

[@Peter-mj6xr]

6,56

[@FANofFS2004]

Geschätzt habe ich 6,6. 6 x 6 = 36 7 x 7 = 49 49 ist etwas dichter dran, als 36, ergo Wurzel aus 43 liegt knapp oberhalb 6,5.

[@fahrrad1950]

Peter Volgnandt Das ist ein uraltes Verfahren, man nennt es auch babylonisches Wurzelziehen. de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren Aber trotzdem interteressant. Die Babylonier mussten ja schon mit Grundstücksflächen rechnen, und wenn sie ein quadratisches Grundstück brauchten, zum Beispiel, bei einem Tausch, musste man halt die Wurzel ziehen.

[@CaptainWaschbaer]

6,5

[@Desmomatschi]

Hatte so beim ersten gucken mal 6,5 geschätzt

[@REALdavidmiscarriage]

6.5, fertig

[@JuliusCesar2781]

Es hat ein wenig Ähnlichkeit mit dem Iterationsverfahren nach Newton. Tatsächlich ist die schnelle Wurzelberechnung ein Problem beim berechnen von Algorithmen in Computersimulationen. Vor ein paar Jahren hat ein Programmierer eine Preis für ein besonders innovatives Verfahren zur Berechning von 1/sqrt(x) bekommen. Hier ist das Verfahren genau beschrieben : kzbin.info/www/bejne/pmnYkJ5oga6Nr9E . Viel Spaß !!!

[@Rabijeel]

Interessant wäre auch die erklärung "warum" das so funktioniert.

[@sandrap.3399]

Muss die Wurzel nicht auch einen Minusbetrag ergeben?

[@torstenbroeer1797]

Nein!!! Wurzeln sind IMMER positiv. Deshalb heißt es bei den Lösungen quadratischer Gleichungen immer +-✓ Verwechsel da nichts!

[@sandrap.3399]

@@torstenbroeer1797 Ah, stimmt, danke!

[@marcop4107]

Wie funktioniert diese Methode wenn die Wurzel aus 577745 gefragt ist? Ich weiss nicht welche Wurzel davor und dahinter nahe dran kommt

[@juergenilse3259]

Nim als "Wurzel davor" die Wurzel aus 640000 (800) und als "Wurzel danach" die Wirzel aus 490000 (700), dann passt das schon ...

[@marcop4107]

⁠@@juergenilse3259Woher soll ich denn wissen, dass Wurzel aus 640‘000 nah dran ist. Es geht anscheinend darum dies ohne Taschenrechner zu machen. Ansonsten kann man gleich die Wurzel der richtigen Zahl in den Taschenrechner eingeben. Bei so grossen Zahlen weiss man normalerweise nicht auswendig ob es sich um eine Quadratzahl handelt.

[@juergenilse3259]

@@marcop4107 Man streicht fuer eine erste Abschaetzung erst einal eine gerade Zahlvon stellen hinten weg, sodass nur ein oder zwei Stellen verbleiben.. Bei den verbliebenen Stelllen lassen sich einfach die naechstgroessere ud die nachstkkleiere Quadratzahl bestimmen. Da haengt an dann pro 2 wegelassener Stelllen jeweils wieder eine 0 an,und man kommt auf die von mir genannten (gtoben) Naeherungen ...

[@stefans.7681]

Hi, Mir fehlt die geometrische Begründung für die Iterationsformeln: Man versucht iterativ ein Rechteck mit Flächeninhalt 43 in ein Quadrat durch Mittelung der Seiten überzuführen, schon hat man die Formeln. Diese Iterationsvorschrift müsste auch ein Spezialfall des Newton-Verfahrenes sein Lg und schönes Weihnachtsfest

[@deineroehre]

Herr Heron wird das seinerzeit schon sinnvoll begründet haben, wenn es zum allgemeinüblichen Verfahren geworden ist.

[@stefanschreiber774]

6 7/13 oder als reiner Bruch 85/13 hätte ich als Schnell-Lösung gesagt. Die Differenz ist weniger als 0,02. ...eine grobe Schätzlösung, die man ohne Rechnung sofort parat hat.

[@Birol731]

Bei einer genaueren Berechnung ergibt sich der Wert 6,5574.... Die Methode ist äußerst interessant; ich habe sie auch bei der Zahl 157 ausprobiert und bin ebenfalls recht schnell zu einem Ergebnis gekommen: ⇒ √144 < √157 < √169 12 < √157 < 13 12 157/12 = 13,0833.... 12,54166 12,54166 157/12,54166 = 12,51827 12,5300 12,5300 157/12,5300 = 12,5300 12,5300 Demnach: √157 ≈ 12,53 was auch stimmig ist. Herzlich Dank für dieses Verfahren von Heron 🙂🙏

[@joymaster2006]

Gibt es nicht auch das "Netz des....."?

[@ralfurban8165]

Eigentlich spielt der Startwert kaum eine Rolle. Das Verfahren konvergiert recht schnell und selbst bei negativen Startwerten gibt es ein Ergebnis, Beispiel 538729, Startwert -1 ergibt nach 13 Iterationsschritten keine Veränderung mehr nach der 9. Nachkommastelle. Nach dem Vorzeichenwechsel gibt es halt auch die entsprechende Lösung der mit negativem Vorzeichen besetzten Zahlen.

[@georgfahlbusch3968]

morts bulli

[@ralfurban8165]

@@georgfahlbusch3968 Es sind typische Iterationsverfahren und das Heron-verfahren konvergiert recht schnell. Probiere es in Excel aus. Wert, aus dem die Wurzel gezogen werden soll in B2, den Startwert in B3 und das Ergebnis ind B4 schreiben. B2 -> 53872937 B3 -> 1 =$B$2/B3 =(C3+B3)/2 =D3 =$B$2/B4 =(C4+B4)/2 Das lässt sich auch in VBA realisieren, etwas Code, 2 (3) Einagbewerte (Zahl, aus der die Wurzel gezigen werden soll und ein Abbruchkriterium. Wenn du einen Startwert einbgeben willst, benötigts du natürlich 3 Werte.

[@Peter-qd2wp]

Liebe Susanne, toll erklärt. Aber da nehm ich lieber den Taschenrechner und gehe was gutes kochen. (haha). Danke

[@omarezzat6597]

Hey kannst du bitte ein Mal uns erklären wie man ein Winkel auf bogen und grad maß umwandeln kann.🙏

[@unknownidentity2846]

Ich helfe mal aus: Umrechnung von Grad in Bogenmaß durch Multiplikation mit π/180° Beispiel: 30° entspricht im Bogenmaß 30°*(π/180°) = π/6 ≈ 0.5236 Umrechnung von Bogenmaß in Grad durch Multiplikation mit 180°/π Beispiel: 2π/3 (≈ 2.0944) entspicht in Grad (2π/3)*(180°/π) = 120°

[@dorotheaisserstedt9238]

Jaja, während der letzten Schuljahre(Abgang 1975) haben wir noch einige besondere Mathesachen gelernt, die ich später nicht mehr brauchte Da war die Geschichte mit 0 und 1 als Vorläufer der Datenverarbeitung, der Rechenschieber wurde in Gebrauch genommen und Wurzel aus......musste ebenfalls geübt werden. Alles Sachen, die mir später nicht mehr begegnet sind. Aber man sollte wohl nach Lehrermeinung mal davon gehört haben.

[@juergenilse3259]

Bei mir (ABI 1983) kam der Taschenrechner als erlaubtes Hilfsmittel erst in der 10. Klasse. Vorher gab es statt dessen in Klassenarbeiten als erlaubte Rechen-Hilfsmittel nur Papier und Stift sowie Rechenstab ...

[@user-gd9vc3wq2h]

Schön erklärt, aber die Aussage von 2:32, dass "gleich sowieso alles voller Kommazahlen" ist, stimmt zwar offensichtlich, doch sie entspricht keiner Notwendigkeit. Es geht auch ohne die (von der üblichen Verwendung von Taschenrechnern kommende) Fixierung auf Kommazahlen, oder - vornehmer gesagt - auf Dezimalbrüche. Dann steht eben in der 2. Zeile als 1. Wert der Mittelwert von 6 und 43/6, also 1/2*(6+43/6) =(36+43)/12 = 79/12. Als 2. Wert hat man 43/(79/12) =43*12/79=516/79. Der 3. Wert in dieser Zeile ist dann 1/2*(79/12+516/79)= 12433/1896, was ungefähr 6,5574 ist. (Man kann weiter ausrechnen, dass das Quadrat dieses Bruchs ca. 43*(1+1/75000) beträgt, d.h. der Bruch ist ca. (sqrt*43) * (1+1/150000), also um ca. 6/150000=0,00004 zu hoch, so dass die 4 ersten Nachkommastellen auf jeden Fall stimmen.) Diese Berechnungen sind mühsam, aber das zeigt nur, dass man viel davon versteckt, wenn man "kurz mal" mit dem Taschenrechner 43/6,584 rechnet.

[@goooppssgt6549]

Zwischen 36 und 49, näher an 49 also 6,6 sls Schätzung

[@kaltaron1284]

Wenn ich's abschaetzen muesste, wuerde ich einfach sagen, liegt fast mittig zwischen 6^2 und 7^2 also 6.5. Passt auch halbwegs.

[@torstenbroeer1797]

Um nicht soviel mit "krummen" Zahlen rechnen zu müssen, lohnt es sich, am Anfang etwas nachzudenken und mit besseren Naherungen zu beginnen. Der Mittelwert von 6 und 7 läßt sich leicht im Kopf quadrieren. 6,5 ^2 = (6 + 0,5)^2 = 6^2 + 2*6*0,5 + 0,5^2 = 6^2 + 6 + 0,25 = 42,25 Nahe am gesuchten Wert, da wird 6,6 drüber liegen, wer will kann es nachrechnen, einfach noch einmal die 1. Binomische Formel anwenden, das gemischte Glied ist größer als 1. Mit den Näherungen führt das Heron-Verfahren dann schneller zum Ziel. Zugegeben, mit dem Heron-Verfahren hat das nicht viel zu tun, aber ein komplizierterer Lösungsweg nur um ein bestimmtes Verfahren anzuwenden? Ich weiß nicht. Um einen genaueren Wert als "zwischen 6,5 und 6,6" kann man dann ja das Heron-Verfahren benutzen.

[@ericbluerain5090]

Im Prinzip das selbe Verfahren nur nochmal vereinfacht: Man sucht für dein Beispiel die nächste Quadrat Zahl. Das wäre 6 für die √43. Dann bildet man die Differenz aus 43 und 6*6 . Das wäre also 43-36= 7. Diese Zahl teilt man durch 2 und die Quadrat Zahl. Also 7/(2*6) und addiert das Ergebnis zur Quadrat Zahl Ergebnis: 6+O,5833= 6,5833. Das weicht um 0,4% vom tatsächlichen Ergebnis ab und man kann alles im Kopf rechnen.

[@BuggaUgga]

Bei 4:37 wird gesagt, man hätte die 6 vor dem Komma im ersten Schritt noch nicht gewusst. Das stimmt nicht, denn schon bei der Auswahl von 6 und 7 in der anfänglichen Ungleichung war das klar. Man hätte auch gut mit 6,5 starten können, also dem Mittelwert von 6 und 7. Man sollte noch vermitteln, mit welchen Startwerten das Verfahren funktioniert.

[@Rippie1337]

Gut, ich hätte es vermutlich einfacher gemacht und die Position der Zahl zwischen den beiden Quadratzahlen bestimmt und daraus berechnet. 49-36=13 - Differenz ist 13. 43-36=7 = Die Position des Ziels ist 7. Dass die 6 vorne steht ist hier ja bereits klar. Rechnung: 1/(13-1)*7 = 0,5833... 6+0,5833...=6,5833... Keine Ahnung, ob das auch mit Höheren Werten geht, aber ich denke, dass das leicht abgewandelt mit jeder Wurzel geht.

[@georgfahlbusch3968]

very good stuff / ich wäre gespannt, wenn man das adhoc im leistungskurs mathe abfragen würde / pisa läßt grüssen / danke es war wieder wie immer ---- ein sahneteilchen ----

[@zapl80]

Im lk Mathe nimmt man einen Taschenrechner und beschäftigt sich viel mit abstrakteren Dingen als konkrete Zahlen. Sehe wenig Grund warum jemand diesen Algorithmus überhaupt können oder kennen sollte.

[@olynxmano]

6,5 auf den ersten Blick ... beim Thumbnail ;)

[@ricy1173]

6,557

[@ggdk2865]

Schätze 6.5

[@Peter-jl8ej]

Taschenrechner😁

[@Nikioko]

Also, √42,25 = 6,5. Also ist √43 geringfügig größer, etwa 6,6.

[@gelotim7961]

Hier werden Erinnerungen werden wach. Jetzt weiß ich wieder zu 100% wie das Heron Verfahren geht.

[@Jons3000de]

Aaaaalso. Spannendes Verfahren. Eigentlich total logisch und gefühlt hätte man selbst drauf kommen können. Aaaaber. Für den täglichen Einsatz doch eher unpraktisch. Ohne Taschenrechner hab ich ja keine Chance die Berechnung anzustellen. Und wenn ich den schon nutze kann ich ja gleich die Wurzel ziehen. Daraus ergibt sich für mich aber die Frage, wie der Taschenrechner das eigentlich berechnet. Nutzt der einfach dieses Verfahren? (Und hat vermutlich für häufig benötigte Rechnungen einfach ein Tabellenwerk hinterlegt?!)

[@juergenilse3259]

In modernen CPUs werden sowohl fuer Division als auch fuer Wurzelziehen teills Verfahren verwendet, die sowohl Tabellen wie auch Iterationen verwenden. In den Tabellen der ersten Intel Pentium CPUs hatten sich da gleich mehrere Fehler eingeschlichen, die dazu fuehrten, dass die CPUs teils bei Divisionen das falsche Ergebnis lieferten (Stichwort "Pentium FDIV Bug"). Obwohl die Firma damals anbot, auf Anfrage alle betroffenen CPUs durch korrigierte Varanten auszutauschen, brachte dieser Fehler der Firma viell Hohn und Spott ein. So erinnere ich mich an den Spruch ".... und alllen Intell Pentium Nutzern wuenschen wir ein frohes Jahr 1994,69753 ....".

[@florianpranghe8459]

@@juergenilse3259 Danke für die Aufklärung. Dann hatte ich das ja in der richtigen Richtung vermutet. Ja, der FDIV Bug war mir durchaus bekannt. In dem Zusammenhang kann ich vom Podcast "Game Over" die Folge zum Pentium Prozessor empfehlen. In der Folge versucht einer der beiden Redakteure das lifetime Austauschprogramm im Jahr 2023 in Anspruch zu nehmen. (Falls jemand sich das anhören möchte welche - für den Zuhörer unterhaltsame - Odyssey er dabei hatte, es geht los bei 2:23:18)

[@Thor555555]

bin im kopf auf 6,57 ist mir genau genug.

[@VISION-IT]

In 1 7/8 Tagen ist Heillig Abend Welcher Tag ist heute u. wie spät ist es ?

[@cs0576]

Im Kopf würde mir eine Annäherung mit der ersten bin. Formel reichen: 6^2+2hx+h^2 = 43, also 2hx ist ungefähr 7, also ist nach dem Komma (h) ungefähr 3,5 / 6, also 0,6. Macht rund 6,6 ohne quadrieren... Ist jetzt nicht das Heronverfahren, aber der Titel hat mich animiert mal zu überlegen, wie ich schnell Wurzeln schätzen könnte...

[@cs0576]

Und h^2, also mein Fehler, ist immer kleiner 1...

[@Wildcard71]

Mit einem anderen Verfahren, auf dem auch das Theon-Verfahren aufbaut, komme ich auf einen Wert zwischen 400/61 und 341/52 also irgend etwas mit 6,557...

[@DH2UAD]

Solche komplizierte Mathematik hatten wir in der Waldorfschule nicht. Brauch man auch nicht, finde ich.

[@alexanderweigand6758]

6 im Quadrat ist 36 7 im Quadrat 49 Macht 7 und 6 Differenz. Bei Quadraten geht es immer steiler. Also unter 6,5 würde ich sagen.

[@Anson_AKB]

ja, "bei quadraten geht es steiler" und deshalb liegt 6.5^2 zu tief, und das Ergebnis ist "über 6.5" statt "unter 6.5". Aber wenn es knapp wird sollte man sich nicht auf die Intuition verlassen, sondern auf so ein Verfahren, bei dem man natürlich den Startwert geschickt wählen kann, um es etwas zu beschleunigen, wobei 6 (wie gezeigt) oder 6.5 "gut genug" sind, egal ob das Ergebnis nun etwas über oder etwas unter 6.5 ist.

[@rainbarfrex3434]

Hah, hab einfach 6,6 geraten, das ist mir gut genug :D

[@jakobullmann7586]

Ich weiß, es geht um das Heron-Verfahren… aber mein erster Gedanke, als ich das Video gesehen habe: sqrt(43)=sqrt(36+7)=6+7/(2•6)-…=6,5+1/12-… (Taylornäherung 1. Ordnung) Klar habe ich damit noch keine Fehlerschranke, aber ich kann mit wenig Aufwand relativ genau im Kopf abschätzen, wie groß das Ergebnis ist. PS: Eigentlich ist das eine obere Schranke. Außerdem kann ich mir eine untere Schranke besorgen mit sqrt(43)