伝説の入試数学 図形問題【超シンプルなのに難問】

[@passlabo]

最後まで動画を見た方へ ↓ これが、ほぼ全ての図形問題にも応用できる「素敵なレシピ」です。 後は色々な問題を通じてこの3つのポイント意識して演習を積めばかなり得意になるはず！楽しいよ👍 また大学入試ならではの別解(座標やベクトル)も考えられるので、思いついた方はぜひコメントしてね📝

[@yasu1234]

自分が思いついたやり方 三角形ABPと三角形CBQが合同になるように正方形の外部に点Qを取る 三角形BPQは直角二等辺三角形になりPQ=5√2 一方三角形PQCに注目するとCQ=7、CP=1で三平方の定理が成り立つので角PCQ=90° よって角BAP+BCP=90°より角APC=180°と分かり答えが出る

[@tt9682]

この問題を初めて解いたときの解き方なのですが、この解き方でも記述で点数がもらえるか知りたいです。 正方形の一辺の長さをxとおく。∠PBA=θとおく。(0＜θ＜2/π)∠PBA=θより、∠PBC=π/2−θ。三角形PBAについて余弦定理より、cosθ＝(x²−24)/10x→①。三角形PBCについて余弦定理より、cos(π/2−θ)＝(x²＋24)/10x。また、cos(π/2−θ)＝sinθより、sinθ＝(x²₊24)/10x→②。そして、①、②の両辺をそれぞれ二乗して足し合わせると、sin²θ＋cos²θ＝(2x⁴＋1152)/100x²。sin²θ＋cos²θ＝1より、1＝(2x⁴＋1152)/100x²。この式を変形して、(x²−18)(x²−32)=0。また、0＜θ＜2/πより、0＜cosθ＜1。x²＝18のとき、x＞0より、x＝3√2なので、cosθ＝−√2/10となり不適。x²＝32のとき、x＞0より、x＝4√2なので、cosθ＝√2/10となり、適当。よって、x²＝32となり、正方形の面積は32。 個人的に気になっているのは、途中で式を二乗していることで条件が緩くなってしまい、xの候補が2つ出てしまうのでcosθの値によってxを絞りましたが、一旦条件が緩んでしまうとxの候補の2つとも間違っている可能性があり、cosθの値によって絞り込むだけではx²＝32が正しいとは言い切れないのではないか、というものです。もしもこの方法ではx²＝32が正しいと言い切れない場合、ここからx²＝32が正しいと証明できる方法がないのか知りたいです。その方法が非効率的で使う意味がないとしても、条件で正しい答えを絞り込む一つのテクニックとして知っておきたいです。

[@user-hh5cs7yj7j]

yasu 123 BAP＋BCP=90だけで対角線ということがわかるんですか？

[@yasu1234]

イニエスタアンドレス 正確にはABC=90°、BAP+BCP=90°なのでAPC=180°これは四角形ABCPの内角の和が360°である事を使ってます

[@yasu1234]

t t 記述に問題はないですよ もしx^2=18,32の両方とも不適だった場合、答えとしては「このような正方形は存在しない」になります 二乗のくだりですが、文字通り条件を緩めただけなので元々の答えが失われることはありません(数学的に言うと条件を緩めた結果必要条件を求めたことになる) 確かめかたですが今回はまさにcosの値を調べたのが解が妥当かの確かめにあたります。なのでx=32は正しいと言い切れます

[@dy1714]

正方形の中に1点Pを取ると、AP^2+CP^2=BP^2+DP^2が常に成り立つんですよね。シンプルな良問ですね。

[@epsom2024]

一般に，長方形 ABCD の平面上の任意の点を P とすると，PA^2+PC^2=PB^2+PD^2 である。

[@jisyoushin]

⬆️？

[@user-db7xh7ld4k]

※図形は正確ではありません

[@relux3925]

でかい1cmですな

[@MrSyokuen716]

授業するKZbinrの中で1番分かりやすいです その問題だけ解ける解法だけでなく、図形問題におけるポイントを最初に書き出す。 子供をを飽きさせないテンションとスピード 子供への発問の多さ ちょっと凄すぎて感動しました

[@seizonblog]

AP=7(な) BP=5(ご) AC=8(や) これはつまり名古屋大学からの隠されたメッセージ…？！

[@wakky1038]

すごいw

[@IcanKanji]

めっちゃこじつけなるけど AP=7（な） BP=5（ご） AC=8（や） DP=5（こ） CP=1（い） 全部の数字使ったら 名古屋来い になったのです

[@user-cf6wq2dz1p]

もうどういうことか分かるよね

[@user-ry7yd7ux7v]

来ようとしたら落とすくせに

[@tk-rn5bc]

@@user-cf6wq2dz1p 信じるか信じないかは

[@sho1715]

2:55 あそこで天守閣思い浮かぶのはは天才だと思う笑

[@user-pw1fb8og9d]

"不覚"にも笑ってしまった

[@user-zf8wd4fi4b]

名古屋だしねw

[@medbyhi5114]

センスと閃き💡

[@user-xt2zo5kq1c]

編集済みなのに誤字ってて草

[@onigiriponko2_88]

内閣もあるw

[@michinokukenta4850]

Pを通る補助線と対角線を利用したのは「目から鱗」です。 安直に解くなら、辺をx（面積は勿論xの自乗）、∠PBA＝α（0

[@user-df5yr9km8d]

余弦定理でゴリゴリいったら解けました！

[@molevabination]

にてるね

[@popo4636]

次のような解き方はどうでしょうか。　△PBCをBを中心に反時計回りに90°回転させて、PがP’に移動したとすると、△P’BPはP’B=PB=5の直角二等辺三角形となり、P’P=5√2となる。すると△P’APはの3辺の比が1:7:5√2の直角三角形となる。同様に△PABをBを中心に時計回りに90°回転させて、PがP’’に移動したとすると、(中略)△PCP’’も3辺の比が1:7:5√2の直角三角形となる。△P’PP’’が直角二等辺三角形となることを考慮すると、PはAC上にあることがわかり、対角線の長さは7+1=8とわかる。

[@user-yy5hz9og1l]

高校受験の図形問題めっちゃ練習したけど、結局この３つなんですね！

[@user-rg8pd5id1g]

^_^七松かた

[@user-ff6sf2rw1z]

教員やってる時にこの問題を数人の優秀な生徒に出したけど、出来たのは2人だったなぁ 懐かしいねー

[@user-mn9sb1hy9n]

てか2人出来たんかい

[@user-cj6qu6fm3k]

図形と整数の問題めちゃ苦手だから、最近の数学動画私得でしかない、、ありがたい！！！ なんか出来そうな気がしてくる笑

[@user-qe3sw4px9t]

ちなみに補助線引かなくても解けました。 解法 ①角PBC=θ , 角ABP=90°-θ , 正方形の一辺の長さをaと置きます。 ②三角形ABP , PBCの余弦定理を立てます。 ③cos90°-θ = sinθと変換します。 ④余弦定理を「sinθ= 」,「cosθ= 」の形に変換してから sin^2 θ+cos^2 θ=1 にブチ込みます。 ⑤うまく展開できるとa^4-50a^2+576の形になるので、それをさらに因数分解し、 （a^2 -18）（a^2 -32）=0 とします。 ＊576は24^2です。 ⑥ひとまず落ち着いてお茶を飲みます。 ⑦さっきの余弦定理にaを代入し、適する方（この場合、a^2=32）を選んで傍に退けておきます。（この時、③の変換後のsinθに代入すると符号が負になるのでわかりやすいです。） ⑧要らなくなった（a^2-18）をゴミ箱に捨て、a^2 =32を皿に盛り付ければ完成です。

[@h.o.1256]

最初は無駄にテンション高いから色物動画かと思ったけど、結構しっかり説明してて、しかも分かりやすいな。

[@kunimiya]

3:50、急にトーンが下がるの好き

[@deya7200]

三角形ABPとAPCで余弦定理を使うと a=AB=AC θ=ABPの角度 とおけば 49=25+a^2-10a cosθ -① 1=25+a^2-10a cos(90°-θ）-② (ただし三角不等式から4

[@user-xq3bk9jw6x]

正方形の一辺の長さをt>0として,座標平面上で3つの円 C1:(x-t)^2+y^2=1 C2:x^2+y^2=25 C3:x^2+(y-t)^2=49 を考える. C1とC2の交点のx座標は (t^2+24)/2t, C2とC3の交点のy座標は (t^2-24)/2t. よって, x1=(t^2+24)/2t, y1=(t^2-24)/2t とすれば,3つの円は点P(x1,y1)で交わる. C2の式にx=x1,y=y1を代入して解くと, t=√18,√32. 与えられた図から, 点Pが第1象限にあるときを考えるべきであり, t=√18のときはy1

[@user-cu2lc1pn9g]

すみません自分苦手なんで聞きたいんですが、交点の座標って引き算してすぐに出したのですか。原点を点Bにして考えてるんですか？

[@user-xq3bk9jw6x]

ブリックス グラフの交点の座標は、グラフの式の連立方程式を解くことで求めることができます。 つまり、C1とC2の交点の座標を求めるときは、 ①(x-t)^2+y^2=1 ②x^2+y^2=25 の連立方程式を解けば交点の座標が求まります。②-①をすれば2次の項が全て消えて、xについての1次方程式が出てきます。なのでおっしゃる通り、「引き算ですぐに出す」ことが出来ますね。 C1,C2,C3の式の設定では、これもおっしゃる通りBを原点において考えています。

[@user-cu2lc1pn9g]

ありがとうございます。

[@user-wf1kh5ud2j]

すばる先生、メリハリがあり、とてもわかりやすい講座有難うございます。

[@user-np4mb6mu9j]

実は対角線なのめっちゃ腹立つ

[@user-zs8de2tw9v]

受験あるあるですね笑

[@----fafafafafafafa----]

僕の県は図形は全て正しく書かれるのでこんな事起こらないので楽です笑

[@NT-zf8dx]

図形の見た目が定義に沿ってないのはよくある

[@user-wc3ll2ct2l]

俺はどんでんがえしみたいで好き。 自分が出されたときは怒り散らすけど

[@user-js6fb2yi7j]

実質「対角線じゃないよ」って言ってるようなもんなのにね

[@user-zp2ju1by6k]

数学分からんのにやりすぎて苦手になりかけてたけどすばるくんの動画見たらやっぱ数学楽しいな〜っていつも思います！

[@keta8315]

中学3年生だけど結構わかって嬉しかった！ 正方形の対角線が分かったならそのまま一辺も出せそうですね 対角線は 8 で特別な三角形の辺の長さの比によって 1:√2 ＝ X:8 X＝4√2 ですかね？

[@user-is1dc4qh3i]

パッと見た時にAP+PCが対角線になってくれたら一番シンプルだと思った ⇒面積を具体的に求めるんだから、図形自体が一意に定まる形になってるんじゃね？ ⇒対角線の時以外だと内部に点が取れないので、結果的にその他の答えは存在しない、みたいな帰結になってくれないかと期待して進める AP+PC=ACとなる場合 AB=t(t>0)とおいて、AP+PC=AC=√2t=8⇔t=4√2 ABCDの面積S=t^2=32 三角不等式を用い、以下の２パターンを考える AP+PC>ACと仮定した場合 8>√2t⇔t>4√2 及び BP+PC

[@user-pl5kx2pg7v]

志望校の問題ありがとうございます🙇‍♀️ 名古屋大学の数学の問題は難しいけど良問が多いと担任で卒業生の先生が言ってました。名古屋大学の問題良かったらまたお願いします！朝からいい勉強になりました！本当にありがとうございます！

[@kirara1890]

落ちるよ？

[@user-rd3vj6bn6v]

きむそくじんあいごー 頑張って下さい！あなたが受かることを信じています！

[@777bucky7]

正方形の一辺の長さをXと置きます。 Pから辺ABへの垂線を引き、ABとの交点をQ Pから辺CDへの垂線を引き、CDとの交点をR Pから辺BCへの垂線を引き、BCとの交点をS として、 PQ=a PR=b PS=c と置きます。 三平方の定理から ①a^2+c^2=5^2=25 ②(X-c)^2+a^2=7^2=49 ③b^2+c^2=1^2=1 また ④a+b=X も成り立ちます。 ①-③より a^2-b^2=24 (a+b)(a-b)=24 ④より X(a-b)=24…⑤ ②-①より X^2-2cX=24 X(X-2c)=24…⑥ ⑤⑥から a-b=X-2c 両辺に2bを足すと a+b=X-2c+2b ④から X=X+2(b-c) ∴b=c 従って点Pは正方形ABCDの対角線上にあることが分かります。

[@user-wb1il3pt9l]

Bを原点とし、Aの座標を(0,c)、Cの座標を(c,0)、Bの座標を(a,b)とおく。条件から、2点間の距離の公式より、a＾2+c＾2-2bc+b＾2=49…① a＾2+b＾2=25…② a＾2-2ac+c＾2+b＾2=1…③ ②を①、③に代入して整理すると c＾2-2bc=24…①' c＾2-2ac=-24…③' まず、これらの式をc＾2=(右辺)の形にすれば、次の式が立つ 24+2bc=-24+2ac これを整理して、 24=c(a-b)…④ また、③の両辺を-1倍すれば、次の式が立つ c＾2-2bc=-c＾2+2ac c≠0から、これを整理して、 a+b=c…⑤ これを④に代入して、 24=(a+b)(a-b) ⇒24=a＾2-b＾2…④' ④'と②を連立させて解くと、 a=±7/√2 , b=±1/√2 a,bはともに非負だから、 a=7/√2 , b=1/√2 ⑤より、c=4√2 よって、正方形ABCDの面積はc＾2=(4√2)＾2=32

[@anubisu1024]

自分の解法 正方形の一辺の長さを a とする。 点Pから辺AB, BC, CD, DAに下ろした垂線の足をそれぞれ点E, F, G, Hとすると 　PA² - AE² = PB² - BE² (= PE²)　…① 　PB² - BF² = PC² - CF² (= PF²)　…② 式①について 　7² - AE² = 5² - (a - AE)² ⇒AE = (24 + a²) / 2a　…③ 式②について 　5² - BF² = 1² - (a - BF)² ⇒BF = (24 + a²) / 2a 　…④ 式③，④より 　AE = BF であるから、□AEPHは正方形である。したがって 　√2 · AE = AP ⇒√2 · (24 + a²) / 2a = 7 ⇒a² - (7√2)a + 24 = 0 ⇒a = 4√2, 3√2 ⇒a² = 32, 18　…⑤ 点Pは□ABCDの内部にあるので 　AE < AB ⇒(24 + a²) / 2a < a ⇒24 < a²　…⑥ 式⑤，⑥より 　 a² = 32 答：32

[@user-ml1ef2nh7w]

もっと早く解くんだったら△PBCを点Bを中心としてCBとACが重なるまで回転させて、Pが移った移った点をP’として ∠PBP’+P’AP=180°でA,P’,B,Pが同一円周上、PP’=√2PB＝5√2なのでトレミーの定理でAB=4√2がでてそれの2乗ですかね

[@Iolite-gm3vq]

対角線✖︎対角線✖︎1/2忘れてました。恥ずかしい.....

[@YUU-cq2gd]

一般人 それはあかん…

[@Luke_addiction]

まぁ知らなくても解けるしいいでしょ

[@user-sl3zx5um2e]

本質的じゃないしね。気にする方が変

[@user-ik1tk7xf4w]

角ABP=θ(0

[@user-hz9oh1zz4w]

今日の図形を見た瞬間、私は 進物包装のイメージ練習してしまった(笑)数学の勉強としてもすごく解りやすかったです。こんなに数学って楽しかったかな？ありがとうございます。

[@Yuyo1984]

おはようございます。 よくわからない間に解けてしまった、、、凄い。 ちゃんと復習しておきます！

[@kaiton.981]

自分であんなにいっぱい新しい文字置くのは難しいな…、絶対解けるって自信が無いと訳分からなくなりそう笑

[@utunosanaka]

「絶対解ける」ようになるためにいっぱい文字を置くのだ……！

[@uutaroneko]

@@utunosanaka なるほど〜

[@hulegaut123]

実はこれ一つの文字で解ける

[@nao5332]

やっと時間通りに見れました！シンプルに対角線×対角線×1/2を知らなかった。これからも大学入試問題の数学をどんどん解説していってほしいです

[@elmma8123]

高校数学でない、という事に気付けるかが一番のやまであったとは…

[@user-cy2hx9js7p]

△ABPを時計回りに90°回転させてくっつけたら□PBP'Cで∠PBP'=90°だからその外接円の直径5√2になって正弦定理使ったら45°出てきて「うおっっ！？」ってなった

[@user-cy2hx9js7p]

そんなんしなくても円周角で一発じゃん □PBP'Cが円に内接するのが重要か

[@user-ol9ck2ki5i]

ぼくもその解き方で解きました！ 高校への数学にこれの正三角形ver.があったので

[@user-od5os4yo1f]

図形は苦手、方程式は得意なので、方程式になおして解く。 Pから辺AB,BCに下ろした垂線の足をそれぞれQ,Rとおき、 AQ=a, QB=b, BR=c, RC=d とする。 □ABCDは正方形なので、a+b=c+d≠0 …① 三平方の定理を用いて、 a^2+c^2=49…②、b^2+c^2=25…③、b^2+d^2=1…④ ②-③より、a^2-b^2=24 よって、(a-b)(a+b)=24 ③-④より、c^2-d^2=24 よって、(c-d)(c+d)=24 よって、(a-b)(a+b)=(c-d)(c+d) これと①より、a-b=c-d　これと①より、a=c, b=d がともに成り立つ。 よって、△AQP, △PRCはそれぞれ斜辺の長さが 7, 1 の直角二等辺三角形であり、これより、３点APCは一直線上にあり、AC=8。 よって、正方形ABCDは対角線の長さが8であるので、面積は (1/2) * 8^2 = 32

[@user-jb3ly7yr6p]

△ABPと△BPCをそれぞれ点A，点Cを中心に回転させて、ABがAD，BCがDCに重なるところまで持っていっても解けますね。

[@user-kl3sz4mn6w]

⊿PBCをBを中心にして左に90°回転させる解き方もありますね。 Pが移動した点をP'とすると、⊿P'BPは直角三角形となり、PP'=√50。⊿AP'Pにおいて三平方の定理が成り立つので∠P'AP=90°。 従って∠PAB+∠PCB=∠PAB+∠P'AB=90°。これはAPCが一直線であり対角線になっていることを示し、長さは7+1=8。正方形の面積は8×8÷2=32。 解けた後で見ると、もう1本の対角線を引くと3辺の長さが3，4，5の直角三角形ができることが分かります。他の長さから成る直角三角形を持ってくれば同様の問題を作れます。 問題を見た時にもしAPCが一直線かも知れないと気付いたら、それを想定してBDを結ぶ線を引けば上記の結果になるので答を得ることもできますよ。

[@komusasabi]

黒丸a 黒三角b pをc q をd とおいてなんですが、 １：a+b=c+d ２：a^2+c^2=49 ３：b^2+c^2=25 ４：b^2+d^2=1 から行くルート（x=5を求めないルート） ２ー３：a^2-b^2=24 ３－４：c^2-b^2=24 に気がつくとハッピーになれます。５：(a+b)(a-b)=24=(c+d)(c-d) １から５の両辺をa+bで割ると、 ６：a-b=c-d ６の両辺の値をyとでもおいて ７：a=b+y, c=d+y ７を１に代入 2b+y=2d+y から８： b=d ８を７に代入して, a=b+y=d+y=c で９：a=c　と１０： b=d ９を１に代入するのと１０を４に代入するのから a=c=7/√2, b=d=1/√2 a+b=8/√2 なので二乗して32。

[@komusasabi]

６と１を連立させて a=c, b=d のほうが簡単ですね。

[@taiseisekiguchi2978]

一辺の長さと∠CBPをxとθとおいて∠ABPをπ/2と-θとすれば余弦定理を2回使うことで連立できてx^2が求められる。 Pが正方形の内部にあることから2解のうち片方が消えて残りが答えになる。 この方法でとくのが高校生としては一般的かな

[@poipubay1991]

高校数学を使えば結構簡単だよね。易問の部類だと思う。 ただ中学の範囲でと言われると途端に難しくなる。

[@sonnawakana]

結局、最初の意図的に歪んだ図に騙されたのだった。

[@user-vw5zp1gf5i]

垂直に補助線引いて90°を使うのはあまり意識してませんでした！　勉強になります！

[@user-kp6we1vs8m]

この動画と関連して長方形ABCDの内部に点Pがあるとき 　　　AP^2+CP^2=BP^2+DP^2 が成り立ちます。 この公式は動画と同じように垂線を引いて三平方の定理を使って証明出来ます。 大学入試だけでなく、高校入試でもこれと似たような問題が出ているのでこの公式を覚えていると役に立つかも？

[@firsttips1050]

それでDPが5って分かれば、合同から対角線だってことがすぐ分かっちゃうね！

[@tune_tk]

答えを出すだけなら速いけど途中式まで書く必要がある場合、この公式をいきなり使っても解答として満点もらえるんかな？ どのみち証明をつける必要があるなら動画の解法を書くことになりそう。 三平方の定理みたいに、有名な名前のついた定理なのですか？

[@user-dg4si9cd3t]

受験生にとってあの合同が見えた時まじで光が差してくる

[@ender1873]

10:51 ｽｧｰﾝが好きすぎる

[@YoshioHasegawa421]

正方形や正三角形のように等しい角や辺がある場合は、２つの三角形で等しい辺や角を集めるのも定番の解法ですね（ご紹介がなかったですが、①に該当する考え方ですね） 今回の場合、△PBCを点Bを中心として反時計回りに90度回転させたものを考えれば簡単です。 回転したあとのPの対応する頂点をQとおけば(B=B, C=A)、 ∠QBP=90度、QB=PB=5より、PQ=5√2。 △APQの三辺の長さが分かったので余弦定理を使って、 cos∠QAP={1^2+7^2-(5√2)^2}/2×1×7=0. 0°＜∠QAP＜180°より、∠QAP=90° 従って∠BQC+∠APB＝180°、すなわち∠BPC+∠APB=180°よりA,P,Cは同一直線上にある。

[@MYoN2566]

つまり図形に描かれてる線がたとえかくかくしても、条件を満たしてれば直線だと考えていいんですね？

[@tak04]

BPCをBを中心に左に回転させるとP'BPは直角2等辺三角形。P'P=5√２,AP'=1,AP=7 でこれは三平方の定理が成立するのでBAP+BCP=90度ということなりAPCは1直線上にあることが判明する

[@user-mm1lp6xw9x]

中学では未学習ですが、図形の内部点についての問題はベクトル使えば大体解けると思っています。 今回は ①AB=(→a)、AD=(→b)、内部点をPとしてPから辺AB、ADに下ろした垂線が各辺をそれぞれs:1-s、t:1-tに内分するとして、 ②AP、BP、CPの大きさがそれぞれ7,5,1である方程式を作り、 ③うまい具合に共通項があるのでそれを消去するとs=tとわかる (→a、→bはベクトルです) 正方形のため(→a)と(→b)の内積が０になるのも大きいですね。 閃くのに時間を使いたくない、ごりごり解くタイプなので学生時代はsとtで内分するのは重宝しました。 以上、久々にベクトル使って楽しかったのでコメントさせていただきました。 長文失礼いたしました。

[@user-zh7mh1qh5z]

対角線×対角線×1/2や直角を作り出すのは勉強になりました！

[@user-hariku_kakkoii]

めっちゃ初手で座標軸おきたくなった

[@ajajaujaja2004]

凄いわかりやすかった！この定石に当てはめれば全て出来そうです！凄い！

[@perimetros314]

この手の問題では長さそのものではなく、長さの比こそ主役、比さえ合ってれば後で適当に拡大縮小すれば良いと考えるのがいいですね つまりAP:BP:CP = 7:5:1、ABCは直角二等辺三角形がミソ そこで円AP:BP = 7:5、BP:CP = 5:1というアポロニウスの円を考えてA(0,1),B(0,0),C(0,1)とすれば前者の円は(0,5/12),(0,-5/2)を直径とする円だからx² + (y-5/12)(y+5/2) = 0、後者の円は(5/6,0),(5/4,0)を直径とする円だから(x - 5/6)(x - 5/4) + y² = 0であり、といてP(7/8,1/8)が出る 動画では∠PCB=45°を導出して出してましたけどこれは本物たまたまそうなってただけでその特殊性を利用しなければでないという類の問題ではないですね

[@user-mk1zp4hw8b]

この場合はこのように対処する・・・と整理しておけば、時間に限りのある入試では 大いに役立つ、ということですね。 いつもながら、役立つ『頭の体操』だと信じて、拝聴しています。

[@epsom2024]

中学生の解法　△PBC を点 B を中心に反時計回りに 90°回転させ点 P が移った点を Q とすると ∠PBQ=90° PQ^2=BP^2+BQ^2=5^2+5^2=50 AP^2+AQ^2=7^2+1^2=50=PQ^2 よって ∠PAQ=90° 四角形 APBQ は円に内接する ∠APB=∠ABQ=∠CBP , ∠BPQ=∠BAQ=∠BCP ∠APB=∠APB+∠BPQ=∠CBP+∠BCP より ∠APB は△BCP の外角 したがって 点 P は線分 AC 上にある。よって，AC=8 高校生の解法1　AB=x, ∠ABP=α,∠CBP=β とおくと cosα=(x^2-24)/10x , cosβ=(x^2+24)/10x cosα>0 より x^2>24 α+β=90°だから sinα=cosβ (sinα)^2+(cosα)^2=1 より (x^4-24^2)/50x^2=1 が導かれ (x^2-25)^2=25^-24^=7^2 x^2>24 より x^2=32 高校生の解法2 中線定理より正方形 ABCD の平面上の任意の点を P とすると，PA^2+PC^2=PB^2+PD^2 である。 PD^2=7^2-5^2+1^2=5^2=PB^2

[@user-ql4pd6mj4f]

PASDLABOさんってこんなに面白かったっけ？wすごい分かりやすいです！

[@daisukehirano7929]

もうこいつの解説が面白いと言うか素晴らしすぎる。大学受験なんて関係ない30半ばのおっさんだがつい見てしまう 鉄緑会出身なんだけどこの人が鉄緑会講師だったら信者になってたね

[@user-ie9fr9wr9g]

すごいなんか今高校受験やったら無双できそう。高2だけど

[@user-db1cy7mq6l]

大学受験でも無双しようや

[@Ja816A]

中高一貫の一貫生で高校入試の問題解いたら全部授業中に取り扱ったことある問題のやや発展とかの問題だった笑

[@user-or3jb7wt3t]

伊藤カイジ 俺も一貫校の高2や

[@user-sn7yq8ch4j]

伊藤カイジ 隙あらば自分語りやめろ

[@vancrew_pac]

隙を見せたお前が悪い

[@user-cw9qt7hg9n]

多分正答率はまあまあ高いと思う。 ただ、この解法じゃなく、以下の第二余弦定理で解いた人がほとんどじゃないかな？ AB=x、角ABP=θとする。 第二余弦定理より、7^2=5^2+x^2-2*5*x*cosθかつ1^1=25+x^2-2*5*x*sinθ 10xcosθ=x^2-24、10xsinθ=x^2+24 両辺は明らかに正より、両辺を二乗して足し合わせると、100x^2((sinθ)^2+(cosθ)^2)=2x^4+1152 100x^2=2x^4+1152 x^4-50x^2+576=0 (x^2-18)(x^2-32)=0 cosθは明らかに正より、x^2-24>0 したがって、x^2=32 よって、正方形の面積は32となる。 この方法だと結構簡単だし、高校1年程度の学力があれば解けるんじゃないかな？

[@BathroomGO]

いい図形問題ですね！参考になりました

[@user-dq2cb3pc9v]

図形めっちゃ苦手でセンスないからっていつも諦めてたけど、定石通りにしたら解けるってすばるさんが言ってくれたので謎の自信が湧いてきました！！！今日は図形問題めちゃくちゃ頑張ります

[@user-xs3pj9ez3l]

(→)BP＝x(→)BC+y(→)BAとおいて、諸条件から関係式を立てると…。確かにx+y＝1が得られるので、点Pが線分AC上にあると言えますね。でも、圧倒的に三平方の定理を使うほうがラクです。参りました。 ※(→)はベクトルを指します。

[@user-vn9ev1pv1j]

あまり系統だったやり方ではありませんが、正方形や正三角形があればその頂点の周りの回転移動を考えるのは定石ですね（その方針だとPをBの回りで90度回転移動したP'を取り三平方の定理の逆からP'APが直角三角形であることが自然に思いつけます）。

[@user-du4ic4fc6f]

高校数学でゴリゴリ。大学入試なので使っても問題ないですよね…？ 一辺をxとおく。（xは正の実数）三辺が1、5、xの三角形と4、7、xの三角形で余弦定理。∠EBCをαとおくと、cos∠ABE=sinαとなるため、余弦定理の2式をcosα=、sinα=と整理して二乗して整理。cos^2α+sin^2α=（x^4+24^2）/50x^2となるのでx=√18or√32（x>0より） ここで、AP+PC=8≧AC=√2xを成立させない√18はxになり得ない。 よってx=√32から正方形の面積は32

[@user-hz5br6ew3c]

高校数学的な想定模範解答としては余弦定理使ったこちらかもしれませんね

[@user-vk6uq8qp6n]

今さらお伺いして申し訳ないんですが、√18も最後の不等式を満たしていませんか？ 正しく解の範囲を求めるためには sinθ=(x^2-24)/10x>0,x>0より x>=√24なのでx=√32=4√2 みたいな感じですかね？

[@user-du4ic4fc6f]

@@user-vk6uq8qp6n 満たしてますね😂 それで合ってると思います！

[@user-mo9ok5rt4w]

AB＝BCをkと置くと、ACは√2k 角APBをθ 角BPCをθ’と置くと、角APCは360-(θ＋’θ) ３つの三角形の余弦定理で未知数３つ消えるやろって思ったら、加法定理出てきて、詰んだ。。。って人🙋‍♂️

[@jpcrest3931]

この動画、何回も見たくなります。

[@Po_po_Mr]

すごい褒め上手。絶対授業楽しい

[@user-we8oq9xc8y]

正方形の1辺をX、∠ABP＝θとおいて、三角形ABPの∠ABPで余弦定理1。また三角形CBPの∠CBPで余弦定理2。 余弦定理1と余弦定理2の二乗の和が1よりxの方程式。解くとxの二乗は18か32。18だとθが90°超えるのでxの二乗は32。今回の隠されたポイントは、7×7−5×5=5×5-1×1であることと思う。これがあるから、対角線×対角線に持ち込みスムーズに解けたのだと思う。 追伸　この問題の状況で 2×BP×BP＝AP×AP＋CP×CPが成り立っているとき、3点A、P、Cは一直線上にあること、余弦定理で証明できました。受験生時代図形問題苦手で、自分で補助線引いて解ける人憧れてました(笑)

[@fu-k0]

問題を疑わせる旧帝大やっぱり奥が深すぎる 解けないけど

[@user-rc4by2sk2t]

余弦定理だけで解けました △BPCをBを中心に左に90°回転すると (ABとBCが重なるように) 点Pが正方形の左の外側に出てP'とする △P'BPは直角二等辺三角形でPP'=5√2 △P'APで余弦定理使って、PP'^2=1^2+7^2-2･1･7･cos∠P'AP cos∠P'AP=0で、∠P'AP=90°　四角形の内角使って ∠AP'B+∠APB=180°　つまり、∠CPB+∠APB=180°でACが対角線になる これも、POINTの三つ同じですね

[@user-gu6ye4wu9j]

ひっくり返したら合同って所この動画見なかったら一生できなかったかも。 ありがとうございました！

[@bbbb-cc1fx]

三角関数とかで式大量に用意してからスタートしそうです。

[@user-nt1ps4pb9f]

初めてパスラボさんの動画を拝見しましたが、とても面白かったです！！こんな風に１問１問しっかりとした解説は本当に助かります🥳他の動画もチェックしようと思います！

[@user-pr4lm2ww6h]

初心者にも解ける問題でありがたいです！数学がとても楽しく思えてきました。

[@toms3967]

図形問題楽しいよね。すごい好き。補助線決まったときの一気に解ける感覚がたまらん

[@soratakekoizumi7901]

こういう簡単そうに見える問題程、深い面白みがありますよね ありがとうございます

[@user-hw2bj9go3h]

32 ①　a^2 + b^2 = 49 ②　b^2 + c^2 = 25 ③　c^2 + d^2 = 1 ① - ② + ③ = a^2 + d^2 = 50 ⇒ DP = 5 AP = AP, AB = AD, BP = DP, よって ∠BAP = ∠DAP = 45° 同じく、CP = CP, BC = CD, BP = DP, よって ∠BCP = ∠DCP = 45° A,P,Cが一直線となり、ACは対角線である。 面積ABCD = 1/2 * AC^2 = 0.5 * (7 + 1)^2 = 32

[@MrrclbzMrrclbz]

Qiita内でリンクしました。ありがとうございました。 ???類題でしょうか。「高校入試チャレンジ問題　BC=?」折っただけでしょうか？ 正方形751の面積の問題(名大数学 参考より)「中学生にもわかる名古屋大学入試問題」をChatGPTとsympyとFreeCADでやってみたい。

[@jackdorson7584]

幼稚園の時に同じような事をやったな〜。懐かしい…

[@user-ln9qr1rl7t]

人生二週目が通う幼稚園かな？

[@komusasabi]

公文式のかなり後ろの単元をやっている幼稚園生がいたと思いますがそういう系ですか？

[@user-bu4yc8do2h]

凄まじくわかりやすかった…！

[@TNKtanuki]

困難は三角形に分割せよ。ですね

[@passlabo]

上手いww

[@user-lb2bt1fm5z]

ルロイのこの言葉を忘れないでくださ

[@user-sy1fs7zx8g]

🤞🤞🤞🤞🤞

[@user-cq2vb7lc7i]

面白い🤣🤣🤣🤣

[@user-vy7ov8xz9w]

ahaha ahaha デカルトじゃないん？

[@LS-eh1uo]

受験生なら、座標設定してx,y消去したときに出てくるaについての四次方程式の解と、x,yの条件からaが一つに定まる！ という機械的解法が王道ですかね。何も考えなくても5分くらいで答え出るから。でもやっぱりパズルみたいな綺麗で面白い解法も魅力的😍

[@Raruvaeater]

浪人生です。角CBPをθと置いたら角ABPが90-θとなって余弦定理で割と綺麗に行ったんですが、動画見て感動しました。別解を求め続ける心を忘れないようにしたいです。これからも応援してます。

[@user-iu2wq3ji8m]

説明聞いても途中から分からなくなった。この手の問題サクッと解ける人すごいと思う。

[@gummy850321]

対角線の交点をOとすると、OPは△PAC，△PBDそれぞれの中線です。 中線定理およびOA＝OBより、 5^2＋PD^2＝7^2＋1^2 ∴PD＝5 よってPB＝PDだから、点Pが対角線AC上の点だと分かります。

[@NatureJapan3776]

正方形の1辺をa、左下Bを原点P(x,y)と置くと、x²+y²=5², x²+(a-y)²=7², (a-x)²+y²=1 の3つの式からa²は出ました。

[@user-cc4gk5qs1w]

一番怖いのがこれを見てわかった気になったり勉強した気になることなんだよな。 結局テストになると全て消える

[@user-eb1vc3nc1y]

いやーまさかほんとに中学生でも解けるとは…… ピタゴラスのさわりだけ教科書みといてよかった

[@user-yn7ed1cg5g]

点Bを原点にして点Pの座標を(a,b)正方形の辺の長さをxとして点A、B、CからPまでの距離の式を3つ作ってxを求めて解くという方法でもいけました〜　個人的にはこっちの方が簡単かなと

[@Awzrv__]

これ9月の駿台中学生テストでほぼ同じ問題出てた

[@user-it5rr9fc5u]

これは感動です！ありがとうございました！

[@TO-lu3ns]

三角形ABPを時計回りに９０度回転させる。 点Aは点Cに重なる。回転後の点Pの位置をQとする。 三角形BPQにおいて、角PBQは直角なので、三平方の定理より、PQ^2=50。よって、三角形PCQの３辺は三平方の定理をみたしているので、角PCQ＝９０度 四角形BPCQにおいて角BPC+角BQC＝３６０度ー角PBQ−角PCQ＝３６０度−９０度−９０度＝１８０度 角APB＝角BQCなので、角BPC＋角APB=180度より、角APC=１８０度。 よって、AP＋PCは対角線。以下同じ。

[@saketaro4246]

コンパスつかって8cm、7cm,5cm,1cmで線を完成させたら感動したのでオススメです。素敵な問題ありがとうございます

[@user-vb2gl2cc1b]

一辺をxとおいて、余弦定理使ってゴリゴリやる方法しか思いつかんかった

[@user-jp8kc3xr6z]

Light Moon 預言使いたくなりますよね

[@user-cw9qt7hg9n]

@@user-jp8kc3xr6z しかも手間ほとんどかかりませんしねｗ

[@ryojitakei71]

これは良動画 いやまじで

[@dreamer4957]

僕は座標軸を設定して解きました。そうする事によって補助線を引かなくても求められます。 正方形の中心を原点(0,0)とすると、正方形の点ABCDはそれぞれ(-a,a) (-a,-a) (a,-a) (a,a)と置けるので、後は点Pを(x,y)とおいてAP、BP、CPの長さについての方程式を3つ作って解けばaが求まり、最終的に正方形の面積は2a×2a=4a2で求まる。 この時aの解が複数出てくるが、点Pが正方形の内部にある事に注意する

[@springroll2624]

三平方の定理より、AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2 (*) つまり7^2 + 1^2 = 5^2 + DP^2 なので DP=5 BP=DPなのでAPCが対角線 (*) B, C, A, P をそれぞれ(0,0), (a+b,0), (0,c+d), (a,c) とすると AP^2 = a^2 + d^2 CP^2 = b^2 + c^2 よって AP^2 + CP^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 BP^2 = a^2 + c^2 DP^2 = b^2 + d^2 よって BP^2 + DP^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

[@user-xx4wl2sv5z]

くぁーーー！！おもれぇ！！！！なんやこの問題！！！ 教える人もわかりやすい

[@user-mm2pq5qh3l]

積分漸化式についての授業して欲しいです🙇‍♀️

[@zoo3037]

受験生の時図形問題が得意で解説聞かずにチャレンジ使用と思ったが、解けなかったです・・・ でも解法聞いてすごく納得できました！！