用球座標變換解三重積分的時候, 為什麼 dx dy dz = ρ^2sinθ dρ dθ dφ?

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黑筆紅筆

Күн бұрын

Пікірлер: 31

@bprptw 5 ай бұрын

我圖畫的還可以吧？😆

@fpn12099 5 ай бұрын

[從最新的影片開始每個回覆一個有趣的觀點 ⑤] 哇，升高一時學微積分至今18年多了，那時就是用這個方法理解 dV，想不到這麼久才有老師真的這樣呈現。 Jacobi 你懂的，只有計算沒有精神的東西。反過來講，這算是在嗆Jacobi 行列式嗎？不是，那反而是一種尊敬。即便早期用無窮小的觀點，針對各種 dV，可以亂畫一通，憑著超強直覺得出正確的 dV，得到真理，而到 Jacobi 時期多了些嚴謹的時代，反而把這種以前隨性而起的事情給規律化，建立 SOP了。如果你見過台大陳金次老師的高微影片，在處理 Jacobi行列式之嚴謹，即便有個bug可以當作業來練練手，但足以見識到嚴謹化做事的一種全新的態度。

@曾大一 2 ай бұрын

很棒的教學

@susiyaocuber 5 ай бұрын

我同學一直吵著要去三重學三重積分

@0-1learning35 5 ай бұрын

這張圖很多微積分原文書都有，難怪這麼熟悉！希望有之後green stokes更insight的東西，以及許願更多高等微積分的影片

@HarisRehmanGG 5 ай бұрын

Can't believe this channel exist

@cylau0 5 ай бұрын

希望可以講解Jacobian Matrix的原理，和 i ⨯ j ⨯ k 為何可理解為一個單位的Volume

@cylau0 5 ай бұрын

Suppose (p,q,r) could be transformed from Euclid Coordinate System (x,y,z), such that p = f_p(x,y,z) q = f_q(x,y,z) r = f_q(x,y,z) Then dp = δp/δx * dx + δp/δy * dy + δp/δz * dz dq = δq/δx * dx + δq/δy * dy + δq/δz * dz dr = δr/δx * dx + δr/δy * dy + δr/δz * dz So if we consider the value dp ⨯ dq ⨯ dr, then from the above formula we can see dp δp/δx δp/δy δp/δz dx [ dq ] = [ δq/δx δq/δy δq/δz ] * [ dy ] dr δr/δx δr/δy δr/δz dz So we can see to get dp ⨯ dq ⨯ dr, it is just equal to Jacobian matrix δp/δx δp/δy δp/δz [ δq/δx δq/δy δq/δz ] * ( dx ⨯ dy ⨯ dz) δr/δx δr/δy δr/δz

@cylau0 5 ай бұрын

Also added that dp = lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 { p(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - p(x,y,z) } = lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 { p(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - p(x,y+Δy,z+Δz) + p(x,y+Δy,z+Δz) - p(x,y,z+Δz) + p(x,y,z+Δz) - p(x,y,z) } = lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 { [p(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - p(x,y+Δy,z+Δz)] * Δx/Δx + [p(x,y+Δy,z+Δz) - p(x,y,z+Δz)] * Δy/Δy + [p(x,y,z+Δz) - p(x,y,z)] * Δz/Δz } = lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 { [p(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - p(x,y+Δy,z+Δz)]/Δx * Δx + [p(x,y+Δy,z+Δz) - p(x,y,z+Δz)]/Δy * Δy + [p(x,y,z+Δz) - p(x,y,z)]/Δz * Δz } That lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 [p(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - p(x,y+Δy,z+Δz)]/Δx * Δx = δp/δx * Δx lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 [p(x,y+Δy,z+Δz) - p(x,y,z+Δz)]/Δy * Δy = δp/δy * Δy lim Δx->0, Δy->0, Δz->0 [p(x,y,z+Δz) - p(x,y,z)]/Δz * Δz = δp/δz * Δz Thus dp = δp/δx * Δx + δp/δy * Δy + δp/δz * Δz

@cylau0 5 ай бұрын

@dingjunlin4053 2 ай бұрын

老師，可以解說如何轉換到球座標下的拉普拉斯算子嗎?

@沈威-u9f 5 ай бұрын

直觀易懂👍

@yihsins.1546 5 ай бұрын

老師好，我想請問最後算體積時，相當於把三段長度都視為彼此垂直的線段。但為何無限短的弧等於線段呢？能不能解釋這個關於無窮小的問題，謝謝。

@mumi5484 5 ай бұрын

一條弧線可以當成一堆線段的和，所以無窮小的弧線就被視作線段了，這樣的解釋沒有很完備但希望你能理解

@yihsins.1546 5 ай бұрын

謝謝回覆。我能理解。

@ymj5161 4 ай бұрын

怎么我学的φ是念菲艾

@anonwho5980 5 ай бұрын

我对这则的讲解并不是很满意，这种空间概念在脑中其实是很难建立的，我想了很久，直到我想到（拿到）了地球仪。看着地球仪的经线和纬线的变化，就很容易理解ρ^2sinθ dρ dθ dφ了。：不同经线所在的圆是定长的，取决于ρ，不同纬线所在的圆是不定长的，取决于ρsinθ。一段小的经度弧，就是ρdθ。一段小的纬度弧，就是ρsinθdφ。体积小量=小经度弧 x 小纬度弧 x dρ = ρdθ x ρsinθdφ x dρ = ρ^2sinθdρdθdφ

@ukme12845 5 ай бұрын

老师请问下，怎么把dxdy坐标变换为rdrd(theta) 我自己只能把dxdy变换为rcos(theta)drd(theta) 请问老师怎么变？可以留个邮箱吗？我把具体变换过程发给老师你。你把我指导下，谢谢！

@changchang6806 5 ай бұрын

从原本的r 稍微改变了一点，就是 dr. ；从原本的theta 稍微改变了一点，就是d theta，可是弧度的改变需要用 r *d theta. 所以最后全部乘起来，r dr d theta. 看看视频 5:45 ~ 5:51 & 4:38 ~ 4:42做参考

@吳禹憲 5 ай бұрын

今天剛好才上馬上複習XD

@changchang6806 5 ай бұрын

8:23😂 老师最后为什么叹气😢

@bprptw 5 ай бұрын

因為這部我錄了很多次 haha

@哦-b7r 5 ай бұрын

还没学微积分的我想问 dx和d/dx和dy/dx有什么差别

@hiyayahiyaya5645 5 ай бұрын

一個是微分算符，一個是微分結果的函數。簡單說有 (d/dx)(y)=dy/dx 比喻解說有 (-)1=-1 或者物理一點說 d of f(x)是一個函數 df(x)=f(x+dx)-f(x) 當中dx->0

@哦-b7r 5 ай бұрын

@@hiyayahiyaya5645感谢😍

@hiyayahiyaya5645 5 ай бұрын

@@哦-b7r 忘了跟說，dx只是一個趨向0的東西，並且指名對什麼東西進行微分。另外 d²f(x)=d(df(x))=d(f(x+dx)-f(x)) =f(x+2dx)-f(x+dx)-(f(x+dx)-f(x)) =f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x) d²f=d(d(f)) dx²=dx × dx d(x²)=2xdx 非常物理地說 dx/dx=dy÷dx 但d是一個函數 dy/dx不是y/x 情況就像f(y)/f(x)不是y/x 下面還有一些等式 1÷(dy/dx)=dx/dy dy/dx=(dy/du)×(du/dx)