【ゆっくり解説】数学界の異端児「無理数」を分数で表す！？

[@mazeofknowledge1528]

ちなみに無理数の正則連分数展開が無限に続く事を利用すれば高校1年で必ず聞くであろう「√2は無理数」の証明を背理法なしでできる。

[@おののかお]

あべなおとかな？

[@Jun.Hirata]

循環論法にならないのです？

[@反町琥治郎]

連分数が収束しない証明は？

[@mazeofknowledge1528]

@@Jun.Hirata 誤解を招くような言い方をしてすみません。 正確には「xの正則連分数展開(分子部分が1になる連分数展開)が有限回で終わらない⇒xは無理数」です。(上のコメントだと仮定と結論が逆のような書き方になってますね。) 肝心の命題の真偽ですが、対偶である「xは有理数⇒xは有限回で正則連分数展開できる」を考えると、動画内にある (☆)「有理数a/bを整数部分pと小数部分q/bでa/b=p+q/bに分ける(その後小数部分の逆数b/qをとって同じ作業を小数が0になるまで繰り返す)」作業を、 (★)「aをbで割った商pと余りqでa=bp+qに分ける(その後被除数をb、除数をqにして余りが0になるまで同じ作業を繰り返す)」として考えると、 (★)は必ず有限回で終了する計算作業(繰り返していくと除数が小さくなり、それに伴って余りも小さくなって最終的に0になるから)のため、真になると分かり、同時にこの命題の対偶である元々の命題「xの正則連分数展開が有限回で終わらない⇒xは無理数」も真になります。 そして√2の正則連分数展開が無限回続くことはこの動画内にある通りなので、「√2は無理数」を背理法を使うことなく証明できると言う流れになります。

[@VOICEROID-vd4cz]

@@mazeofknowledge1528 なるほど…確かにユークリッドの互除法みたいにすれば既約分数は有限の正則連分数表示で表せる そして正則連分数表示は一意的だから有限じゃなければ無理数になるのか

[@professor_t]

このチャンネル全体的にサムネが釣り気味だから見るの避けてたけど 解説も丁寧で「わかりやすい(マジで)」からもったいない 高評価チャンネル登録不可避

[@一般決闘者-r2x]

無理数は「既約分数で表せない」が正しい言い方なのでこれは遵守してますね(塾講師並感) ただこのような規則性や連分数の考え方は面白いので、紹介自体は良いものだと思います

[@くくちきさき]

あそうなん、整数同士の分数やと思ってたんやけど、若干ちゃうんかな

[@ドラゴン仮]

@@くくちきさき 整数同士の分数でも間違いではないですが2/4などは1/2に約分できるので約分出来ない形を既約分数と言います。

[@一般決闘者-r2x]

@@くくちきさき よく行われる√2が無理数である証明(背理法)では有理数を分母と分子が互いに素、つまり既約分数だと仮定して解かないと矛盾に繋がらないんですよね

[@くくちきさき]

@@ドラゴン仮 言ってることは一緒か、すまんなありがとう

[@くくちきさき]

@@一般決闘者-r2x m/n とおくっていっつもやってるんやけどま

[@こっまちゃい]

お笑いコンビハリセンボンがハリセンボンの針は何本あるかって実験で350本ぐらいってなったことあったけど、これもフィボナッチ数列の377ではないのかなと密かに思ってます

[@ハバネロ公国]

もしそうだったら面白いな

[@語り名アーマー]

ハリセンボンの針は350本〜400本（個体差あり）らしい。 葉っぱの生え方のくだりみたいな生え方してる可能性は大いにある。いつかハリセンボン釣れたら調べてみましょうかね。

[@ロムねこの部屋]

フィボナッチ数列の一般項を導出してる時に出てくる何気ない二次方程式を解こうとすると永遠に1の連分数(黄金比)が出てくるの、おや？ってなるから好き 解の公式使ったら1発だし、黄金比覚えてたら式だけで分かるけど、それでも綺麗 方程式の解が連分数になる系はほんとおや？って出来て面白い(見た目普通だし)

[@hosamu7077]

連分数を上手に使うと、たとえば「√2の小数点以下N桁までを正確に再現する近似分数」を簡単に作ることができます。計算練習としてお試しあれ。＞霊夢様 円周率の無限正則連分数展開の式は、分母に出てくる数に規則性が見られないといいますが、本当かしらん。＞魔理沙様 ネイピア数の無限正則連分数展開の式では、分母に出てくる数が ｛1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, …, 1, 2n, 1,…｝ という規則性を持っているそうですけれど、これってどうやって求めるのかしらん。＞魔理沙様

[@9cmParabellum]

連分数にすると周期性が出るんだよなあ。無限小数

[@AMIWsement]

連分数展開は抵抗、コイル、コンデンサで回路を作る時にも使います

[@健太郎浅井-j5h]

無理数を連分数で表そうとする試みに 天動説に基づく惑星軌道を表そうとした 何かを感じる。

[@kentak1012]

無限に続く連分数は、無限続く実数表現と同じなので、整数の分数表記で表せるとは言えない。 有理数では無いので、無理数であることを分数表現で書き換えているだけでは無いでしょうか。

[@takkie841]

そうなんだけど、小数点表記なら規則性が皆無なのに、連分数表記だと規則性が出てくるから面白いって話でしょ。コンピュータで平方根を高い桁まで計算する役にも立つから実用上も有意義だし。

[@mayataz2250]

一見してランダムに見えるものから 法則性を発見するのは画期的ですね。

[@tac1606]

高校数学の問題集でよく見た式にこんな秘密があったなんて！ 出題者は、学生達がいつ気が付くかとニヤニヤしながら問題を出していたんだろうなぁ。 僕もこの動画に出会わなければ、この秘密を知ることがなく終わるところでした。 ありがとうございました。😄

[@はやぶさ-e5n]

無限を許して良いならe＝∑[k＝1→∞]1/k!なので...ちなみにこんな風に有理数を無限に足すと無理数になることあるけど実数を無限に足しても虚数にはなりません。当たり前に感じるけど面白いね

[@関暁夫尊師-t8z]

実数の完備性

[@puranoia]

このチャンネルのサムネ、理系ホイホイすぎる

[@ペペロン-h9w]

そしてうまいこと捕まってしまう俺たち

[@ゆーら]

完全に投稿主の思うツボだぜ

[@yuhshasama]

一夜一夜に人見ゴロ ゴロはゴロ巻き、つまり喧嘩のことです。

[@モティ-e8u]

ここの導入の霊夢でド文系のイメージが着々と固まっていく

[@cccc-k5i]

このチャンネルわかりやすいな

[@nayutaito9421]

無限を許すと表せる数の世界が大きく広がりますね

[@LandMark291]

黄金数の性質や、フィボナッチ数の定義や求め方についても解説を頼みたい(笑)

[@丸投げ製麺]

ゴリゴリ文系頭の親と見ました｡ めっちゃ楽しかったけど最後マジで地獄の空気になったぞ

[@rinphongrinfone7720]

0:07 √2は覚え方によっては「いよいよ兄さん○さん」という語呂合わせにもなるのでむしろ√3よりも凶悪犯になり兼ねません。

[@palmhamaura01]

コロニーさん？

[@rinphongrinfone7720]

確認しましたが「コロニーさん」が合ってますね

[@松本幸夫-l7z]

無限に続く連分数だと 整数/整数にならないヨ。

[@ぽったーぽったー]

11:45 バーゼル問題を彷彿とさせる数たち！

[@3o1415926535]

この二人が出てくるゲームに出てきそうな弾幕配置

[@清水一聡-e7i]

無限回の処理があると無理数になるのでは？

[@hellohub9540]

このチャンネル最近見つけたがおもろすぎる

[@Sub-rasukudayo]

√2は いよいよ兄さん殺し頃 だからガチサイコ

[@final-bento]

こう言う言い方を許すなら「五次方程式の解の公式」も存在する事になるそうです。

[@hosamu7077]

解の一般式の有無に関係なく、与えられた代数方程式のすべての複素解を数値計算するテクニックというのはあるそうですので、それの解説をお願いいたしたく。＞魔理沙様霊夢様

[@osietekudasee]

分母や分子が有理数と限らないんだったら、そりゃ無理数も分数で表せますよね。 e/piとかもそう。 もっといえばpi= pi^2/pi

[@osietekudasee]

1/xも無理数になる。 ただしxは任意の無理数の逆数

[@とはよひねひてなの]

それな、連分数は極限とってるから有理数の繰り返しでも分母は無理数になり得る。例えば有理数の無限和が無理数になるみたいに

[@とはよひねひてなの]

結局、既約分数で表せて無い。

[@やつぽこ-u8b]

連分数の魅力を伝えたい

[@n-bun1um3]

懐かし…活動再開しないかなぁ

[@服部浩行]

分数の一般的な定義は基本「既約分数」。なので無理数が分数で表せないのは当然ですし、「表せる」と言われても？という感じです。 連分数なら当然表せるのですが、それがなに？と思います。

[@ああああ-h1g2n]

待ってました

[@腑抜け-v6n]

万物の根源は数であると言ったピタゴラス。本当にその通りかもしれない。

[@菅沼域雄]

でも、この人たち、二等辺直角三角形の三角定規を携帯する人たちを拒否されたんでしょ?

[@mosaic47]

理系だけど連分数嫌いなんですよね どうしたら連分数のことを好きになれますか？

[@hosamu7077]

連分数がお嫌いならば、繁分数（分子にも分数を含むような分数）はもっとお嫌いでしょうね。

[@mosaic47]

@@hosamu7077 もっと嫌いですね…

[@Ssazanni]

くそおもれえや!?!?

[@kazutchi1910]

√5は　例の宗教が地下鉄でテロをしたとき　ほぼクラス全員が覚えたな・・・しかも　富士山ろくで逮捕されて

[@nanananan-v2r]

整数分の整数で表せないって先生が言ってた

[@Yashichi847]

ロマネスコはフィボナッチ以外にフラクタル幾何学まで出てきてますね

[@あに-q8x]

有理数の小数は循環するっていうから、てっきり長さ無限の数字の羅列が循環していると考えるのかと思ったら全然ちがった

[@you2409]

無限に繰り返した分数は存在しないと思う。 バーゼル問題の極限にπが出てくるけど、あくまで極限で有理数に何をしても有理数。

[@hosamu7077]

なら、「無限に繰り返した分数」を定義しちまえ、というのが数学の面白みです。もっとも、数学「以外」の分野からそういう発想が生まれた例はたくさんありますね。「ディラックのδ関数（デルタかんすう）」などに代表される超関数はその一例。ポール・ディラック（1902-1984）自身は物理学者ではあったけれど数学者ではなかったために、δ関数の有用性を提唱した当初は数学界の連中から基地外扱いされたとか。

[@you2409]

​@@hosamu7077 有難うございます。ちょっとここで質問していいのか分からないのですが、以前から実数というものが本当に存在しているのか疑問です。 ルート2という実数は無限小数なので有限の表現方法で表すことができまんが、ルートという記号と２という数で表現できます。πも同じです。 ただ、あまり知られていない実数は、桁が無限で、各桁に規則性がないので、有限の表現で表すことができません。 自然数の場合は、それ自体が無限でも、自然数の各要素は有限の表現方法で表せるので、各要素が存在しているのが実感できます。

[@adgtpmwmgtd]

このチャンネルめちゃ面白い

[@あきち-o2u]

πの連分数を紹介したのなら、e（ネイピア数）の連分数も紹介してほしかったなーというわがまま。 気になって調べてみたらπとくらべて複雑なんですね。。不思議だ

[@大野ひろき-y7w]

？？？「連分数の魅力を伝えた～い！」

[@あああああ-v7e]

AKITOさんw

[@MGT36480]

無限連分数で表すのは無限小数で表すのと同じことだなあ。

[@furusatonotkokyou]

6:52 循環しないだけで、規則性がないことは証明されてなかったような気がしたけどどうだろうか…

[@VanGogh-kh6yw]

｢規則性が無い｣事の証明ってめちゃくちゃ難しそうだな…(小並感)

[@user-river_mountain]

そうね、数の出方が完全にランダムな数を正規数というけど、ある無理数が正規数であることはチャンパーノウン定数、コープランド-エルデシュ定数のように定義的に明らかに正規数を作ろうとしているような無理数についてしか証明はされていないね。

[@TNmath-zv6ri]

規則的ではあるけど循環しない無限小数なら簡単に作れるわけで。反例があるなら証明できるわけないよね。 例えば無理数 0.101001000100001000001000000100000001000000001…… について考えてみる程度でもいいんじゃないかな。

[@furusatonotkokyou]

@@TNmath-zv6ri 無理数全体の話じゃなくて、ルート２の場合の話です

[@VOICEROID-vd4cz]

@@VanGogh-kh6yw 「規則性のない」の定義も結構難しかったりするので、それを証明するとなると更に難しいでしょうね……

[@いんきゃ-j4n]

π=円周/直径だから無理数じゃないってこと？！？！？！

[@hosamu7077]

除算については無理数とか有理数とかは特に制限なし。あるとすれば、分母を0にしてはいけないということくらいでしょう。

[@gongon505]

円周率を連分数表示にするの不思議！

[@松本-f8d]

異端児も何も濃度で言えば有理数の方が異端児だろ

[@hosamu7077]

そのことを、中村義作先生の数学エッセイ（海鳴社刊『常識を超えた数の世界』1979年初版）で読んで初めて知ったときのショックは、未だ忘れられず。当方が高校生の頃の話ですから、もう40年以上前のことになります。

[@mtrk_09]

ど文系です！初めて数学が面白いと思いました！

[@kazyukkuri]

なんとなく連分数かなと思ったけどあってた！なんか嬉しい！

[@behappy510]

√2の小数値がわからずに直接連分数を求めることはできないですか。

[@diceman1125]

自然界とフィボナッチ数はこじつけと聞いたこともあるけどな

[@ゆうよし-z3f]

円周率＝円周÷直径なのに何故分数で表せられないんだろう

[@yozoRa-d5j]

学校でπは無理数で無理数は分数で表せないって教わったときに「円周率は円周割る直径じゃん」って言ったら怒られました。何かおかしなことを言ったでしょうか?

[@塔樹]

その理屈だと、√2/2は無理数割る有理数で分数に表すことが出来るということになりませんか？概念を表す文字どうしで分数を作れてしまっては、そのどちらかの文字が無理数だった場合に成り立ちません。

[@kerosuke2434]

なぜおかしいかを説明できずに感情的になる教師、酷いね

[@hosamu7077]

「円周率は～」はあくまでも定義です。そのことと、円周率が無理数かどうかとは、まったく別の話ですね。

[@yozoRa-d5j]

だって俺は円周率は無理数って言われたからツッコんだだけだもん

[@hosamu7077]

@@kerosuke2434 文科省推奨の返答でなかったために、拒絶反応を示したのでしょうね。

[@gongon505]

ホエー。連分数って、初めて知りました。凄い！

[@channneltgtv4034]

2人の中ではひとなみにおごれやのおごれの漢字は傲れじゃなくて奢れなのか。 まあ、どっちでもいいけど。

[@やひろひろし]

ロマネスコ、つむじ(風)かな。 ちょっと、中心から均等ぽく広がるフラクタル図形。 　あんまりあれこれいうとよくないかもしれないが、韓国のリテウォンのハロウィンも、よく数学や建築、土木、行政学、群衆心理等等、研究すれば、入っていきやすく、出ていきやすい街が作れるのでは。 　あのようなかなしいことは、起きてほしくない。

[@taimur3917]

黄金数が凄すぎる

[@hosamu7077]

『ドナルドのさんすうマジック』（1959年公開）というディズニーアニメの前半部は、黄金数の紹介で占められています。

[@a.m.8310]

連分数以外に、無限級数和がありますね。

[@hosamu7077]

無限積もあります。たとえば、正弦関数は無限級数としても無限積としても表現できます。

[@2cost1boost]

そっちの奢れやだったんだ

[@aetos382]

無理数の非循環性の証明ってどうやるんだろ。何億桁とか先で循環したりはしないの？

[@Aetonal]

連分数でも規則性が見いだせない無理数はあるでしょうか。またそういう無理数全般に名称はあるでしょうか。超越数はπが該当するけど連分数的には規則性があるので違いますね。

[@mazeofknowledge1528]

ネイピア数(自然対数の底)も正則連分数展開すると小数点部分に出てくる分母が1→2→1→1→4→1→1→6→1→…と、「1→偶数→1」がループして偶数部分も2→4→6→…と綺麗に増える、規則的な表記になる。

[@VOICEROID-vd4cz]

「規則性」の定義にもよるけど、例えば有限長の論理式で定義不能な実数はそれに該当するね(具体的な例は出せないけど)

[@三竹山-m2r]

@@VOICEROID-vd4cz そんな実数が存在するんですか？ 全く考えたこともありませんでした

[@Gadona143]

規則性が見出せないって証明があるかどうか知らないけど（って言うかっこれが命題として成立してない気がする）チャンパーノウン定数の連分数化はなかなか興味深いです。 0.123456789101112131415... って感じなんですけど、連分数にすると、、、興味のある方はググってみてください

[@VOICEROID-vd4cz]

@@三竹山-m2r 僕自身論理式については詳しくないのでWikipediaの「定義可能実数」のページとか調べてみるといいかも 文字が可算種類(自然数と同じ個数)しかない言語なら、有限個並べても可算濃度にしかならないから非可算濃度の実数全てを記述することは絶対にできない

[@荻野憲一-p7o]

連分数を分数と呼ぶかどうかは、 「分数で表せる」という言葉の定義しだいだな。 個人的には、冪級数は多項式ではないと思っているので、 その言い方は騙しでしかないと考える。

[@アンダーソン木村]

‪√‬2は、いよいよ兄さん○す って語呂も読めるからおしとやかは嘘だゾ

[@dobdobd]

π/3は有理数ですか

[@oligami_]

自分、繁分数って習った気がする

[@hosamu7077]

分子の中に分母を含むような分数ですね。ネイピア数の繁分数表現は簡単に求められますけれど、連分数表現はどうやって求めるのかしらん。

[@ohagenoputan]

πはコンピューターの速度（性能）が向上しているので、間もなく割り切れて有理数になるらしい。

[@mcanthe]

分数で表したとまでは言えない感じ。循環小数を小数として式の中に取り込む時点でアウトだと思います。あくまで1/(ルート２)-1は(ルート２)+1であって小数で表すことは出来ません。

[@n-bun1um3]

(アウトじゃ)ないです

[@グラードン]

数学において「思います」とか「感じ」とか…… 国語の感想文や道徳じゃないんだから〜

[@hosamu7077]

@@グラードン その「思います」とか「感じ」とかを巧みに取り込んで数式化してしまうところに、数学の面白みがあると「思います」。……自己回帰ループに嵌ってしまっていますね、これ(^_^)ゞ

[@ここ日本語もいけるんやで]

やっぱり連分数だ

[@tubukiti2008]

ルート2分のルート6

[@user-zu5mk2kl5l]

√3になる

[@hosamu7077]

@@user-zu5mk2kl5l それは10進数計算の場合。もし、たとえば7進数計算を行えば……？

[@さとうゆちか]

「無理数は分数で表せない」は偽ですね。 ただ分数というだけなら例えば √8 / 2 の形でも分数です。

[@しろいひろや]

国語は残念なのね……

[@hosamu7077]

でも、国語ができない人には数学は難しいと思います。数学の論文は、意外なほどに文章で占められていますので。数式がやたらと登場する論文は、数学よりもむしろ物理学の分野に多いと思います。