Z/nZ 4 : Théorème des restes chinois version théorique

[@josephlaudet2188]

J'ADORE !!!! Si c'est pas trop tard continue la série sur Z/nZ je veux en savoir plus !!

[@vegetossgss1114]

Vos vidéos en algèbre sont meilleures que celles en analyse! On sent votre forte passion pour l'algèbre! Pour montrer le théorème chinois, pourquoi ne pas construire un morphisme et montrer qu'il est bijectif?

[@MathsAdultes]

le morphisme est donné c'est d -> (d,d) et après on montre qu'il est injectif donc bijectif pour des raisons de cardinalité. Donc on fait exactement ce que vous dites non ?

[@vegetossgss1114]

@@MathsAdultes au temps pour moi!

[@alainrogez8485]

0:48 "Si ça c'est du chinois", blague excellente pour démarrer le théorème des restes chinois.

[@patheba4394]

Grand merci à vous ! Vous vidéos sont excellentes.

[@patheba4394]

À quand une série de vidéos sur la théorie de Galois ?

[@ericlaffitte2141]

Un vrai régal comme d'habitude !!

[@christofhullaert1709]

18:12 - SI j'en trouve une troisième je pourrais dire que c'est trivial. Ne changez rien :-)

[@nicolaslecoq8693]

Merci, j'ai enfin compris ce théorème.

[@jeannefaucher3069]

17:45 Le SG G est pourtant composé de deux anneaux de cardinaux différents ???

[@MathsAdultes]

bien sûr, on parcourt les cases du tableau comme dans l'exemple précédent....

[@claudebalzano7031]

Bonjour, Tout d'abord, un grand merci pour ces vidéos passionnantes. Je suis un vieux prof de calcul de banlieue à la retraite, et me replonger dans ces mathématiques-là est un vrai bonheur pour moi. Ma question : à l'instant 12:08, vous dites que le groupe engendré par un élément doit finir (à force d'additions) par tomber sur l'élément neutre du groupe, "si le groupe est fini". Est-il possible que cela ne soit pas le cas dans un groupe infini ? Je tourne et retourne mes essais de réponse perso, je n'y arrive pas. Merci

[@MathsAdultes]

Tu prends (Z,+) par exemple :-)

[@claudebalzano7031]

@@MathsAdultes Merci. C'était tout bête, en fait...

[@bastiengarnier1032]

Trop bien ces vidéos

[@luciec.3037]

Bonjour Merci beaucoup pour toutes vos vidéos ! Une question pour le cas général de ce théorème dans un anneau : il faut que l'anneau soit commutatif et y a-t-il une autre condition sur le type d'anneau ? anneau euclidien ? principal ? factoriel ?

[@MathsAdultes]

Non je ne pense pas qu'une hypothèse supplémentaire quelconque soit utile...

[@luciec.3037]

@@MathsAdultes Ok merci pour votre réponse rapide ! Bonne journée !

[@loicdevilliers6199]

Bonjour, Il y a quelque chose que je ne comprends pas, quand vous définissez le groupe G engendré par (1,1) dans votre preuve à 17:30, vous dites que G est isomorphe à Z/dZ à ce moment là, je comprends que c'est un isomorphisme de groupe (car tout groupe cyclique à d éléments est isomorphe à Z/dZ). Ainsi, une fois que vous avez prouvé que G=Z/nmZ, cela vous donne un isomorphisme de groupe et non d'anneau ? Désolé par avance si ma question est stupide. Bravo pour tout votre travail -- Loïc

[@MathsAdultes]

C'est en fait un isomorphisme d'anneau (et c'est assez simple à voir vu que c'est juste une duplication des éléments de Z/dZ) mais j'avoue ne pas l'avoir dit clairement...

[@loicdevilliers6199]

@@MathsAdultes Oui vous avez raison, merci de votre réponse !

[@nayldev9185]

J'aime bien tes vidéos !

[@marcpremium7442]

A-t-on le droit de généraliser le théorème des restes chinois aux corps de nombres finis? C’est-à-dire: a-t-on le droit d’écrire que pour tout (p,q) premiers, Q1 et Q2 polynômes irréductibles premiers entre eux Zp[X]/(Q1)xZq[X](Q2) est isomorphe à Zpq[X]/(Q1Q2)?

[@MathsAdultes]

Oui oui et ça se généralise à deux idéaux d'anneaux commutatifs quelconques (voir la fin de la vidéo :-) )

[@marcpremium7442]

@@MathsAdultes Merci. Quelque chose m’échappe toujours… Si Q1 et Q2 sont de degré 2, Zpq[X]/(Q1Q2) est composé de (pq)^4 éléments puisqu’il correspond au reste d’une division euclidienne par un polynôme de degré 4. A priori, il ne peut pas être isomorphe à Zp[X]/(Q1)xZq[X]/(Q2) composés de p^2*q^2… qu’est-ce que je n’ai pas compris?

[@MathsAdultes]

ok j'avais mal lu ton énoncé, c'est Zp[X]/(Q1)xZp[X](Q2) qui est isomorphe à Zp[X]/(Q1Q2)

[@marcpremium7442]

@@MathsAdultes merci! du coup, c’est plus une généralisation du théorème des restes chinois… en existe-t-il une version avec Zp[X]/(Q1) et Zq[X]/(Q2) ? Je pense que si Q1=Q2, cad quand il existe un polynôme irréductible à la fois sur Zp et Zq alors ça doit marcher… mais je me méfie…?

[@MathsAdultes]

Je ne sais pas du tout !!!

[@celastus]

Top, top, top !

[@celastus]

Je suis un tout petit peu perturbé à 20:40, j'ai l'impression qu'on passe d'un isomorphisme de groupe à un isomorphisme d'anneau sans explications. Je vois bien que %phi(k)=(k,k) est un isomorphisme de groupe de Z/nmZ dans Z/nZ x Z/mZ, mais il manquerait que %phi(kl) = (kl, kl) et %phi(k) %phi(l) = (k,k) (l,l) = (kl,kl). Bon à bien y penser c'est assez évident :D

[@celastus]

Je vois que quelqu'un a déjà fait ce commentaire et a déjà eu la réponse ;)

[@MathsAdultes]

bien vu ;-)

[@bouabdelliamine2272]

j'avoue que votre air de présentatrice météo ne me laisse pas indiffèrent

[@benjib007]

Vite, la suite :) !

[@Mr123antikapa]

Merci

[@misspasteque2738]

On voit bien l'isomorphisme de groupe, mais pourquoi isomorphisme d'anneaux ?

[@celastus]

D"une part : %phi(kl) = (kl, kl) D'autre part : %phi(k) %phi(l) = (k,k) (l,l) = (kl,kl) donc %phi(kl- = %phi(k) %phi(l)

[@GiordanoChristian-t1e]

Bonjour, d'abord un grand merci pour vos videos qui me permettent de travailler l'agrégation et de progresser. Je cherchai la démonstration de la réciproque du théorème des restes chinois "Si Z/nmZ est isomorphe à Z/nZxZ/mZ alors m et n sont premier entre eux". Vous avez démontré la contraposée "Si m et n ne sont pas premiers entre eux alors Z/nmZ n'est pas isomorphe à Z/nZxZ/mZ) Excellent. J'avais une question dans votre 2ème démonstration à la 17ème minute , celle du théorème des restes chinois, a quel moment utiliser vous l'hypothèse "m et n sont premiers entre eux" ? Peut-on aussi démonter en construisant l'application x--> (x , x) de Z/nmZ dans Z/nZxZ/mZ et en prouvant qu'il s'agit d'un isomorphisme d'anneau ? Il semble que vous évoquer cette idée en début de video. Cordialement

[@bastiengarnier1032]

Je n'ai pas vu depuis quand ça date, mais le nouveau son au début tape moins fort, c'est bien

[@tomofadown]

Je t'aime Léa DRGS

[@glsdev]

Actuellement je rédige un mémoire de master sur ce théorème. J'aimerais échanger avec vous si possible

[@MathsAdultes]

écris moi à mathsadultes_at_gmail.com

[@ouraghyoussef5612]

Pour la résolution des systèmes linéaires je vous recommande de voir de près le SCHEMA D'OURAGH:

[@ouraghyoussef5612]

..... systèmes linéaires aux congruences....