正三角形と正方形の超おもしろい問題３選！あなたは何問解けるかな！？【毎日少しずつ中学受験算数７２】

[@katekyo-aspiration]

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[@katekyo-aspiration]

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[@kpat1130]

（次のようにもできました。） 【中級問題】（直角二等辺三角形の処理が終わった後の後半について）△CFBを90°回転させて△CEDに連結させると、頂点の角度が30°の二等辺三角形△CEFが出来上がる。このときEからCFに下した垂線の足をHとすると、EH=CE/2=6/2=3。つまり△CEF=△AFE(∵共に底辺が6で高さが3)。よって求める面積は△AFE×2=(6×3÷2)×2=18。 【上級問題】問題の正方形の各点につき左上から反時計回りにA、B、C、Dとし、左右の正三角形の左右両端の頂点をそれぞれE、Fとする。更にその正三角形を追加で2枚用意し、DAの真上とBCの真下にそれぞれ設定したときの上下の頂点をそれぞれG、Hとし、GHとDA、BCとの交点をそれぞれI、Jとする。このとき□GEHFは対角線の長さが10の正方形となる。更に△GAE≡△GABで、△GABは等積変形すると△IABとなる。ゆえに△GAE+△EBH+△HCF+△FDG=□ABCDで、□GEHFの面積は、問題の正三角形の面積4つ分と、問題の正方形の面積2つ分で構成されている。以上より求める面積は、□GEHF/2=(10×10/2)/2=25。

[@RAVEN-ng8qc]

３問目を計算だけで解くのはかなり面倒だけど、これはこれで楽しかったです。 正方形と正三角形で構成された、この図形の辺の長さは全て同じである。 まずはこの図形の一辺の長さaを求める。 正方形の一辺の長さはa、正三角形の高さは√3a/2であり正三角形は２つある。 これらの値を足すと図形全体の長さである10cmとなるので √3a/2×2+a=10 a(√3+1)=10 a=10/√3+1 これを有理化すると 10(√3-1)/(√3+1)(√3-1) =10√3-10/3-1 =5√3-5 となるので、一辺の長さはa=5√3-5cmとなる。 辺の長さが分かったところで、次に正三角形２つ分の面積を求める。 正三角形の面積は√3a^2/4で求められ、それが２つあるので√3a^2/4*2 つまり√3a^2/2となる。 √3(5√3-5)^2/2 =√3(5√3-5)(5√3-5)/2 =√3(100-50√3)/2 =100√3-150/2 =50√3-75 正三角形２つ分の面積は50√3-75cm2となる。 続いて正方形の面積をa^2で求める。 (5√3-5)^2 =(5√3-5)(5√3-5) =100-50√3 正方形の面積は100-50√3cm2となる。 最後にこれらを足して図形全体の面積を求める。 100-50√3+50√3-75 =25 答えは25cm2となる。 これだけルートが出るにも関わらず答えが整数になる、面白い問題だと思いました。

[@WataruFukuhara]

初級の問題で△CDEが二等辺三角形とわかったら∠CEDも75°同じようにして反対側の∠BEAも75°あと∠BECは60°なのでX＝360－75－75－60＝150°と出しました。あと、ちなみに先生の解き方で最後のところ∠EADと∠EDAがそれぞれ15°とわかっているのでAEとEDが等しいことは必要ないのでは？

[@shumirisu]

灘の名作ですね😊 素晴らしい問題ですね😁！ Good job!

[@たりう-z3e]

本人？！　動画見てますよ

[@katekyo-aspiration]

ありがとうございます！ 前回の動画の問題で、シュウさんの解説を参考にさせていただきました（＾＾） シュウさんも、もう少しでチャンネル登録1000人達成ですね。 共に頑張りましょう！

[@katekyo-aspiration]

@@たりう-z3e 私の動画のサムネイルは、実はシュウさんに作り方を教えてもらったんですよ（＾＾）

[@shumirisu]

こばちゃんさんも4000人おめでとうございます㊗️ これからもお互い頑張っていきましょう✨ 例のサムネイルですね😁

[@BlackR6Yamaha]

6:20は三平方の定理を使わないと解けなかったし、12:25は因数分解を使わないと解けなかった💦

[@katekyo-aspiration]

コメントありがとうございます！ そうですね。 中学校や高校の知識を使うと簡単に解ける問題はたくさんあるんですが、個人的には、それを使わずに解くのがゲームの縛りプレイみたいで面白いんですよ(^_^) 中学受験算数の魅力の１つです。

[@BlackR6Yamaha]

@@katekyo-aspiration 汚い大人の手段を使う様になってしまいましたw

[@takada5genki532]

2問目ですが対角線と辺FEが垂直になる根拠言ってないですが大丈夫ですか？

[@takafuchi3620]

2問目は対角線を引いたとき、中点を必ず通っているという証明がないとだめですね。 直角になるのであればいいですがどうやって証明したかです。

[@通りすがりの審判]

この点についてちょっと考えたので、他の方のご意見をお聞きするためのきっかけとしてまとめさせていただきます。 もし間違っていたらご指摘ください。 この問題は『正方形の中に二等辺三角形（正三角形）が「二等辺三角形の等辺の間の角と正方形の角が位置を共有しつつ」「ぴったり(二等辺三角形のすべての角が正方形の辺もしくは角上に存在する)」入っている場合、共有点(今回の場合は点C)から対角線を引くと必ず対角線を中心に左右対称な図形になる』ということが証明不要な前提事項として組み込まれている問題なんだと思います。そのうえで、二等辺三角形を左右対称に二分できる線は、三角形の辺と確実に直角に交わりますので、今回の説明が成立するということなんだと思います。 ■なぜ必ず対角線を中心に左右対称な図形になるかについて 点Cから辺AD上のどこか(E)に線を伸ばす想定をした場合、線CEの長さはEの位置がAに近いほど長くDに近いほど短くなり、線CEが同じ長さになる場所は辺AD上には2か所以上存在できません。つまり逆に考えると、線CEの長さが決まっている場合は、点Cと点Eの位置関係は1パターンしか存在しません。 それを踏まえたうえで辺AB上に点Fを設定しようとしたとき、線CEと同じ長さの線、線CFを引こうと思うと対角線ADを挟んで点Eと鏡合わせの位置に点Fを設置せざるを得ません。 よって、三角形CEFは対角線ADを挟んで左右対称な2つの三角形に二分される、ということです。 以上の前提を成立させるためにも問題文の中に「正方形」「正三角形」「ぴったり」という言葉が明言されているのではないでしょうか。 中学受験の問題は決まり事(特定の条件下で必ず発生する現象)を必ずしも証明する必要がないので、ある程度前提が存在する問題が出題されるのは仕方のないことかもしれませんね。 ※長ったらしい説明で申し訳ないです。私なりの説明ですのでもっときれいな説明の仕方があると思いますので補強していただける方がいれば助かります。

[@hikarutanaka837]

△CDEと△BCFは、CE=CFかつCD=CBのため直角三角形の合同条件を満たします。よってED=FB すなわち AE=AF、従って△AEFは直角二等辺三角形となり、直角から斜辺に引いた垂線はEFの中点となります。

[@恋々]

正三角形の面積は 9√3 AE＝3√2 ここまでしか出せませんでした（汗）

[@毘毅虚喪璃]

[2問目] （左上の直角二等辺三角形の面積） １：√2の比から、6㎝：√2＝ｘ㎝：１　　　ｘ＝３√2㎝　　　３√2ｘ３√2÷２＝９㎝² （右と左下の直角三角形の面積の和） １：２の比から、６ｘ３÷２＝９㎝² 答え　18㎝² [3問目] （正方形の面積） 1辺の長さ→５ｘ（１/（１＋√3））ｘ２＝５√3ー５㎝　　（５√3ー５）²＝100ー50√3㎝² （正三角形の面積の和） 三角形の高さ→５ｘ（√3/（1＋√3））＝7.5ー2.5√3㎝　　｛（5√3ー5）ｘ（7.5ー2.5√3）÷２｝ｘ２＝50√3ー75㎝² 答え　25㎝² と解いた。 動画の解き方、気づかなかった。

[@ブックビッグ]

正三角形　２つと正方形の問題 10/3×10/3×2＝200/9

[@あらたらお]

くやしいーー(>_

[@くれ4]

第3問ゴリゴリ3平方使ってやっと解けた、、、

[@guilty2487]

途中式どんな感じですか？

[@zosuga6253]

@@guilty2487 俺は三角形の高さをh、正方形の一辺をaとして 2h+a=10 と 三角形の三平方で√3/2a=h から S=ah+a^2に代入って感じ。 なんというか自分の頭の固さにクラクラしてきた(笑)

[@くれ4]

@@guilty2487 1辺をXと置くと √3X+X=10になり、解くと X=5√3-5 正方形の面積は 5√3-5 の２乗 正三角形の面積は √3X/2×（5√3-5）÷2 それが2つ分あるから上の式に×２ 正方形と正三角形2つ分を足して25 になりました。 途中式めちゃくちゃ省いてます。

[@ぴこりん-r8v]

ちなみに2問目も変形させて6㎝の正方形ができるから半分にして18平方㎝になるね

[@hikarutanaka837]

変形のヒントくださいm(_ _)m

[@ぴこりん-r8v]

@@hikarutanaka837 △AEF2個で正方形を作ります。その回りに△BCFを4個くっ付けると6cmの正方形が出来ますm(_ _)m

[@hikarutanaka837]

ありがとうございましたm(_ _)m スッキリ出来ました(*^^*)

[@ebi2ch]

2問目と3問目は有名角の辺の比を使って答えは出せたけど、平方根を使わずに解く方法がわからんかった。ぶっちゃけ中学数学より小学算数のほうがむずくね？

[@たりう-z3e]

最後の問題は有名だよね。マジで作問者の頭の中を見てみたいよ。　人間卒業をしてそう😀　 自分はこーゆ系の動画好きですね　コバ先生がすごく分かりやすい解説するから、カッコよく見えますよ。 ホメたから　ピアノ曲をホワイトディーで　 何か弾いた動画のせてね。

[@katekyo-aspiration]

ありがとうございます！ こういう問題面白いですよね。 ピアノは次の発表会の曲を練習中なので、発表会の後に、また動画載せる予定です（＾＾） 大分先になりますが・・・、楽しみに待っていてください(^^♪

[@ポピパ推しのオタク]

三問目考えた人凄いわ

[@katekyo-aspiration]

そうですよね。 私もびっくりしました😄

[@空気-o6z]

効果音といっしょに侍でてきて草

[@Wawawa1222]

すげー

[@すーま-o9d]

発想力が皆無な48歳の脳に刺激を与えました(ボケ防止)

[@jirokato3894]

３問目は中学受験の問題ですか？　説明では、円周角とか中心角、接線の所が９０度とか中学で学ぶ知識ですよね。３平方でも解けるけどこれも中学の範囲。　では小学生に説明するにはどうするか考えてみた。２つの正方形は形が同じでもいいだろ。と言って、それぞれの正方形の対角線は中心を通り半径。だから５ｘ５÷２ｘ２だから２５だと説明する。他に小学生用の説明ありますか？