13:40 agora é necessário explicar a importância do Teorema, no outro comentário expliquei o que o Teorema diz, agora qual motivo estuda-se isso? Quando juntamos as duas informações do TFC, o Newton e o Lebniz descobriram algo muito importante sobre a natureza, se você tiver uma grandeza que a taxa de variação só depende do tempo, você não precisa fazer medições da grandeza o tempo todo pra saber como ela se comporta. o TFC nos diz o seguinte: se a mudança de uma grandeza for contínua ao longo do tempo, se eu souber qual a taxa de variação e o valor da grandeza em algum instante, então eu vou saber o comportamento da grandeza para sempre. Isso é o fenomenal, e pode ser qualquer grandeza na natureza. Se a mudança é contínua ao longo do tempo, você pode trocar duas informações 1 - como a grandeza muda 2 - o valor da grandeza em algum instante de tempo Por uma quantidade infinita de informação, que é o comportamento da grandeza em todos os tempos. Isso é o sonho de todo cientista. Com duas informações apenas, você recebe infinitas informações. Pra comparar, no teorema de Pitagoras, em um triângulo retângulo você troca duas informações por uma só. Ou seja, num triângulo retângulo se você sabe a medida de dois lados, você sabe a medida do terceiro lado. Mas no TFC você troca duas informações por uma CAPACIDADE DE PREDIÇÃO INFINITA sobre a natureza. E por isso estudamos esse teorema por quase 400 anos Essa capacidade de predição infinita foi o início de todo esse boom tecnológico que temos. Mas tudo isso graças a quadratura do círculo e o problema da reta tangente.

E finalmente em 13:40 chegamos ao Teorema Fundamental do Cálculo que é, sem sombra de dúvida, o maior resultado científico que a humanidade ja teve. E ele se chama fundamental porque ele veio primeiro, quando Newton e Lebniz provaram o resultado que apareceu ai na tela, não existia o conceito de limite, esse foi inventado por Cauchy, e o conceito de limite com epsilon e delta que é o que você estudou, foi inventado por Weierstrass. Mas acho que o ideal pra essa exposição seria focar, no que diz o Teorema e por que ele é tão importante assim. O que diz o Teorema: O Teorema diz duas coisas, só tem uma escrita na tela, e eu vou dizer na linguagem atual (Newton e Lebniz provaram com outra linguagem) 1 - Se uma função for contínua então a integral dela é derivável e a derivada é ela mesma. Essa é justamente a propriedade da área abaixo do gráfico que você esboçou lá atrás na função A(x), aquela função é derivável porque a função f é contínua, e também de certa forma aqui entra o que você tenta dizer ao longo dos outros 13 minutos de vídeo, que integral e derivada são de certa forma opostas, de modo que se você tem uma função contínua, integra e deriva o resultado, você obtêm a própria função de novo, a gente não pensou no teorema por causa disso, A gente descobriu isso por causa do Teorema E claro, é necessário dizer, a ordem importa, se você tem uma função contínua, você pode integrar e depois derivar. O inverso nem sempre é possível. 2 - O Teorema Fundamental do Cálculo também diz o que está em tela, se uma função é derivada de uma outra (essa outra se chama primitiva), então calcular a integral da função num intervalo é o mesmo que calcular a diferença da primitiva avaliada nos extremos desse intervalo. Note que os cursos de cálculo quase sempre, se concentram em ENCONTRAR A PRIMITIVA e não calcular a integral por um processo de limite. Então a integral que a gente calcula não é a do Riemann, é aquela que vem do TFC, que vem desde Newton e Lebniz.

13:10 mais uma vez, o Riemann não definiu a integral, ele apenas deu uma forma de calcular esse número. Os problemas elencados não estão bem postos, por exemplo o que seriam "muitas dedescontinuidades" ? A integral de Riemann funciona pra funções com uma quantidade infinita enumerável descontinuidades. E não funciona bem com limites significar exatamente o que? Limites se sequências de funções? E sim, existem outras formas de calcular esse número, em particular se destaca a teoria de Henry Lesbegue. A ideia Riemann era basicamente encurtar os intervalos e torcer pra que com intervalos menores a função tivesse uma variação pequena, a ideia do Lesbegue é o oposto, ele já parte de onde a função tem uma variação pequena, o problema dele era que onde a função variava pouco, esse conjunto poderia não ser um subintervalo, o Riemann trabalhava com subintervalos porque eles a gente sabe medir facilmente. Então Lesbegue teve que criar uma teoria pra medir os conjuntos onde as funções variam pouco, uma teoria da medida. Então são formas diferentes de calcular esse número. E não, nem toda integral, quer capturar a área abaixo do gráfico de uma função. A integral de Riemann -Stieltjes citada, não desejar calcular esse número, e sim o comportamento de um campo de vetores ao longo de uma curva, isso por causa da ideia física de trabalho, que é a ideia na física mais associada ao uso de integrais.

11:51 isso não é verdade. O conceito de integral nasceu com Leibniz e Newton. O que o Riemann fez foi dar uma forma de calcular esse número através de um processo de limite, eu versarei sobre isso no próximo mas quando Leibniz e Newton demonstraram o Teorema Fundamental do Cálculo o conceito de limite não existia. Mas em resumo O Riemann criou esse processo, chamado de somas de Riemann, que no limite resultava na integral. Mas isso é operacional, ou seja, uma forma de facilitar as contas. Não é conceitual.

11:45 aqui sim, tem um problema que é mais do que uma imprecisão. Você dá a entender que pra integrar uma função, é necessário que ela seja a derivada de alguma outra função e isso não é verdade (!) Ou ainda, não é necessário que o gráfico da função se transforme numa reta, quando você dá zoom em qualquer ponto,para que você encontre a área abaixo do gráfico. por exemplo f(x)=1-|x|, quando você da zoom no ponto (0,1) o gráfico dessa função nunca se transforma numa reta, mas é trivial encontrar a área abaixo desse gráfico é basicamente um triângulo.

10:00 o ponto é, se a função for derivável em um intervalo (ou seja, possui derivada em todos os pontos de um intervalo aberto) então se você der zoom em qualquer ponto o gráfico vira uma reta e área abaixo de uma reta sabemos calcular, então essa é a relação entre área e reta tangente. Acredito que isso seja uma abordagem seja preferível à fórmula que aparece na tela aos 10:07. e falta explicar que o erro em vermelho só depende de h, e que o erro comparado ao h é pequeno, ou seja, quando o h é bem pequeno o erro é menor Desde que a função seja derivável.

8:00 será que toda função é a derivada de alguma outra função ? A resposta é obviamente não. Mas os motivos desse não, poderiam ter sido explicados no vídeo anterior

4:47 na realidade essa é só metade da idéia. A ideia em si é aproximar a área por "falta" e por "excesso". Inclusive uma das características de funções integráveis é essa, dado um erro (epsilon), eu consigo partição do intervalo de modo que a diferença entre a aproximação por "falta" e a aproximação por "excesso" é ainda menor do que esse erro que foi estipulado arbitrário.

4:21 na verdade a quadratura da parábola foi feita pelo arquimedes. 300 depois de cristo. Isso não é bem um erro porque é uma imprecisão histórica

Vc é fera professor.

Excelente explicação professor.

Esse video oficialmente finaliza nossa minissérie explorando o calculo, espero que tenham gostado de como os gigantes que vieram antes de nós domara a besta conhecida como o Infinito. Qualquer duvida, deixem nos comentários e tentarei responder!

Show

Gostei, explicação rápido e símples🎉😊

fiz uma revisão graças a @PHdosRB007 , eu cometi um pequeno erro na marca de tempo 7:55 o problema é que o 'h' (a altura do triângulo) e na hora de escrever eu devo ter confundido com o h de hipotenusa e ter escrito a equação errado. Para usar o teorema de Pitágoras a equação correta em 7:55 seria: h² + ((√5 - 1)/4)² = 1² tanto que apesar desse erro os valores de sen(18°), cos(18°) e sen(3°) estão corretos (verifiquei com a calculadora só pra ter certeza)

9:18 a reta tangencia o gráfico LOCALMENTE, ou seja, a reta só toca o gráfico naquele ponto, numa vizinhança bem pequena do ponto. lá longe pode ser que a reta toque o gráfico novamente, mas longe não interessa, só interessa o comportamento naquele instante. sugestão poderia simplesmente dizer que quando você da zoom no gráfico de uma função fixado um ponto, o gráfico a partir de certo momento fica reto. se o zoom fosse infinito vc chamaria a reta que o gráfico se tornou naquele ponto, de reta tangente ao gráfico naquele ponto. seria interessante dizer que não é com toda função que o gráfico vai "se tornar" uma reta quando você der zoom em qualquer ponto. O exemplo clássico é o gráfico da função modular, a famosa figura V

3:03 esse operador é uma função. Uma função só está bem definida quando Você diz o domínio (quais funções eu posso aplicar nesse operador mudança?) O contradomínio (quais funções eu obtenho a partir desse operador) E uma lei que lhe permita dizer precisamente quem é Mu(f(x))

2:26 deveria deixar explicito que a formula escrita é válida quando: 1) o referencial é inercial 2) a aceleração é constante ao longo do tempo.

2:19 outra frase extremamente problemática. Deixo como exercício ver o motivo.

2:02 você colocou dois gráficos juntos, sendo que são coisas diferentes Nesse gráfico O eixo horizontal significa o tempo, ok. Mas e o eixo vertical, ele se relaciona com qual grandeza exatamente? Km percorridos ? Ou km por hora?

1:51 frase extremamente problemática. A velocidade não muda ao longo do tempo Mas a posição muda. É bom sempre enfatizar isso.

1:28 pra frente. Ok, aqui tem um problema porque essa definição de velocidade ai posta, não consegue capturar informações sobre a posição do objeto (mesmo no movimento audiovisual), você começou o vídeo falando de mudança mas a distância ai não necessariamente tem a ver com mudança, a sugestão é trocar distância pela diferença de posição, (isso permite calcular velocidade para movimentos n-dimensionais) . Sobre a fórmula : Existe um problema conceitual sobre usar a física pra motivar o cálculo, porque as fórmulas da física clássica foram obtidas a partir do cálculo, no ensino médio deixamos passar por não ter cálculo lá. Mas pra falar de cálculo, seria interessante a física vir depois. Até pra poder explicar que essa fórmula que esta ai, é válida quando o objeto em movimento está em algo que chamam de referencial inercial.

0:58 note que as informações de quilômetros percorridos em determinado tempo não dizem nada sobre a posição do carro, mesmo que fosse um.movimento unidimensional. Poderiam ate dizer, mas pra isso eu precisaria de uma terceira informação. Que a velocidade ao longo desse trajetória foi constante.

0:43 - na realidade usamos funções normalmente pra descrever o comportamento das grandezas ao longo do tempo. No cálculo I principalmente

0:31 - seria interessante distinguir que a posição de um carro não é uma grandeza que podemos medir com um único número (visto que um carro não se movimenta de forma uni dimensional como um trem por exemplo) diferente das outras duas grandezas que você citou. Seria interessante dizer que a forma de capturar a mudança na posição de um carro (diferença de vetores), não necessariamente é a mesma dos outros dois exemplos (diferença de números).

0:13 acredito que em termos matemáticos e pra ser mais preciso, a mudança está relacionada a operação de subtração. Grandeza é aquilo que podemos fazer uma medição, estado é a medição da grandeza em determinado momento. Se num intervalo de tempo você efetuar a subtração das medições da grandeza nos extremos desse intervalo, se essa diferença não for 0, dizemos que houve uma mudança no estado da grandeza nesse intervalo. Mas e se for 0, será que dá pra dizer que a grandeza se manteve constante ao longo do intervalo de tempo que você considerou?

Cara só uma pergunta, na parte do seno e cosseno de 18°, o valor do cosseno não deveria ser √10-2√5 sobre 4, tipo ao invés do mais seria menos, foi o que deu para mim

Como se resolve a derivada de e elevado a f(x)? Lembrei q vc tem um vídeo explicando sobre o e, vou reve-lo

❤❤

Adorei seu vídeo e alguns comentários. 🤭

Questãozinha de matar a pau

Tive a honra de colocar o centésimo like. Muito bom! É interessante que, intuitivamente, pensemos só em números inteiros, mas a natureza esteja cheia de irracionais e complexos.

Poderia fazer um vídeo contando a história dos logaritmos? e se possível por no vídeo como calcular eles na mão com algum método de aproximação

Muito bom !! Vídeo foda demais. Se puder, um dia, traga um vídeo sobre a temática de fractais e sua relação com a natureza. Abraços

Otimo. Jeronymo

3:35 Mas nem o agiota mais canguinha pra cobrar um juro desse. Nem a Crefisa... Se bem que a Crefisa é bem possível...

É complicado ensinar isso, falando que um artigo publicou que 90% dos brasileiros não sabem matematica básica, então esta falando para 10% do povo

Incrível irmão🎉

Parabéns pelo vídeo, uma abordagem bem amigável a derivadas! Um grande serviço a educação. Sucesso mestre!! 👏👏

Espero que tenham gostado do segundo vídeo da serie de cálculo. No próximo video falaremos do conceito de integral e como ele se relaciona diretamente com a derivada. Caso tenham alguma duvida sintam-se livres para perguntar e tentarei responder do melhor jeito possível!

Muito bom... Agora entendi porque a derivada de e^x é a própria função! Parabéns pela explicação! Ganhou um like e uma inscrição...

Sensacional demonstração. Simples e direta. Parabéns e obrigado. 👏👏👏👏👏

UAU...👏👏👏👏👏👏👏

Novo escrito no seu canal.

Excelente explicação professor.