Why 1 = 0.9999...

There are many ways to prove 1 = 0.999... but I think they are all unconvincing to those who are not clear.
In this article, I will give a more rigorous and irrefutable proof.
By the way, you can still get to the bottom of this, so if you are interested, please study it at university!

[@kedan7391]

店員｢1000円になります。｣ 僕　｢じゃあ、999.999･･･円で良いですよね。｣ 僕　｢値段って切り捨てですよね。つまり999円ですよね。｣ 店員｢え、｣ 僕　｢じゃ、998.999･･･円で良いですよね。｣ 僕　｢つまり998円ですよね。｣ 店員｢え、、｣ 　　　　･ 　　　　･ 　　　　･ 僕　｢0円で良いですね。｣ 店員｢は?｣

[@ib4950]

ま、10回目くらいで追い出され 20回目くらいで警察が来るでしょう

[@銀の騎士]

本当これ。これが通らないなら、0.999999…は1未満であり1じゃない。

[@しゃんしゃん-i9w]

都合いいとこだけ切り捨て使ってて面白い笑笑

[@六月14]

その時間でバイトしろ

[@くぼ-b4n]

マジレスすると999.999…円を切り捨てた時点で999円ですわよ。 それ以上値切れませんわよ。 それやったら飲み屋で3500円の所を3000円まで値切ってる飲み屋のにいちゃんの方が凄いわよね。

[@itomaru0203]

昔塾の先生に「無限というのは現実に到達することのない仮想的な値であって、0.999…という数字は9が無限に続いた先にある仮想的な数字のこと。一方で私たちは0.999…という数字を見た時に、実在する0.99….9という”末尾がある数字”を想像してしまうから混乱するんだよ」というふうに言われて妙に納得した覚えがある。

[@oto_oto]

宇宙は無限にあると考えたときに自分たちは宇宙が無限に続いてるのを考えられないのと同じような気がする

[@Mokkon]

自分は小さい頃、延々とつづく数値の先、無限に行っても届かないほど遠くに9以外の何かが並んでいたら面白いなとか妄想していました。 そんな事を考えても仕方がないと思いつつ、でも数学の勉強を続けているとそれも結構重要だったという事実を知ったりしてびっくりしました。 さらにプログラムを勉強したら今度は、適当な実数xと i 番桁指定の関数 f(x,i) を考えたとき、i が小数点以下を示していたら無条件で 9 を返す手抜き関数を取り扱っているのであって、実在だし夢も希望も考察の余地もないみたいな事態に(笑) こちらの考えの延長線上だと、末尾近辺に対応しない9など無い(手抜き関数はエラーを出さずいつでも機能する)訳ですからεN論法していないのに証明できてしまいますね。

[@saburousaitoh]

この質問は多いので、 楽しい解釈を纏めてみました。すっかり納得できると思います。　楽しい。 viXra:1905.0008 submitted on 2019-05-01 20:40:00, (255 unique-IP downloads) An Interpretation of the Identity $ 0.999999...... =1$ Authors: Saburou Saitoh

[@エンジェル-y6i]

数字ではなくて数です。もう少し厳密に言うと、実数です。

[@YjM630Rf1963]

@@エンジェル-y6i わかればいいじゃん…(馬鹿)

[@takumablenderstudio]

シンエヴァの「シンクロ率、無限大です」はこれと同じ事だったかな？

[@ブラックゴーン]

天才的発想

[@奥田修-w4k]

ネタバレじゃないですかw

[@なしゅー-n7d]

@@奥田修-w4k この時期でネタバレは意味わからん

[@サイバー部]

@@なしゅー-n7d コロナのせいで観れてない人も少なからず居ると思うよ

[@はにわチョコレート]

@@奥田修-w4k もうとっくに公式がネタバレ解禁してるんだよなぁ

[@アエ-f5m]

「無限」という言葉自体は小学校で出会い、その便利さ，言葉の強さから気軽に友達との間で冗談混じりに使われてきた。 ただ、二十余年生きてまだ「無限」の本質をわかってない。

[@user-zf8lx4ix4p]

限り無く

[@そらえもん-m2h]

つづく

[@あいうえお-t7i2m]

終わりのないのが

[@かちぐみ-i7r]

終わり

[@名も無き者-k8t]

それが

[@satoryuta4714]

一般人に比べて、異次元レベルで頭いいのに、私たちのことまで考えて、腑に落ちない点なども含めて解説しているところがやっぱり格の違いを見せつけられる

[@コメ活系どこにでもいるハムスター100]

「これがこう」までは出来る人多いけど「じゃあここおかしいよね」も組み込むのは天才

[@aa-ew6bq]

頭いいってのは要するに凡人の理解量+膨大な追加分であって、俺らと全く違うとこから勉強を始めてるわけじゃないからな 俺らがこの人と同じレベルで物事を見ることはできないけど、逆はそりゃできる

[@musclecansavetheworld]

@@aa-ew6bq 一を聞いて十を知る ってことだな

[@44234423100]

理系じゃない自分としては、｢そもそも∞は"数値"ではなく"状態"を表す概念｣と塾の先生に言われ腑に落ちた記憶があります

[@tomo-nl9uk]

いやマジでそれな

[@Hatomaru-l5s]

考えてみれば確かにそうやな

[@虹色流星]

n→∞は、nはドンドンとデカくなりオマケに限りなく大きい数 というかドンドン大きくなる という概念の形容詞なのに、 数名詞ぽぃ記号だと思う 定まった数値、ではないようだ ぜったいそんな概念ぽぃ感じ

[@_legeneko]

まあ仮に∞を数値として考えたって感じよな。

[@シン-l3x]

∞人入れる宿があります まず∞人入ります その後∞人入ります その後・・・ ∞なんだから入れるよねでも∞－∞は0にならなきゃおかしくね？ じゃあ∞って数字じゃないんじゃない？ 納得(´ー｀*)

[@digtakumi]

自分は1-0.99999...をやった時に 永遠に0.0000と0が続くから差がないと思いました

[@ぺにぃさん-t6h]

おお、これは中学生の俺でもわかるぞぉ！！

[@gamer22-d6e]

まじ天才

[@遠藤優生-m6s]

最後に1がくる

[@ヒガ-c8x]

@@遠藤優生-m6s 0.999999...は無限に続くので最後はないです！ 0.000000...と永遠に続いていきます。 （③の解説と同じですね）

[@朴念仁-r9d]

永遠の0

[@ilovenick7392]

ワイ文系、なぜ従来の証明が腑に落ちないのかが腑に落ちない

[@xy8066]

腑に落ちろ

[@フルーツパンチ-m8j]

@@xy8066 恋に落ちた

[@サブ垢-q5v]

@@フルーツパンチ-m8j 僕達は

[@涙目のイルカ-o9n]

@@えっちゃん-n8i 旅の途中で出会い

[@お茶子ちゃん可愛い]

@@涙目のイルカ-o9n 手を取り合って歩いた

[@karura-1078]

どんなに頑張っても永遠に9が続き1になることが出来ない出来損ないを=で結ぶのが許せないだけなんです

[@necoco360sx]

@通りすがりの数学者 それは0.9999...をαとおくとα=0.9999...って言ってるのと同じだから話が違くないですか？

[@necoco360sx]

@通りすがりの数学者 1=0.9999...は未知の法則を証明するものだが、α=0.9999...やπ=(円周率の実数値)は定義から自明なものと考えます。

[@necoco360sx]

@通りすがりの数学者 それは1/3=0.333...みたいな感じですね。 1/3=0.333...が許容できたら1=0.999...も同様だと思うのでいい例えだと思います。

[@sei2486]

@通りすがりの数学者 横から失礼、なんで1=0.999...が許せないとπ＝3.14...が許せないのかさっぱりわからないですが むしろ、1＝0.999...が許せるなら、π＝３が許せるのかって話だとおもうのですが……

[@sei2486]

@通りすがりの数学者 だから、なんで1＝１と1＝0.999…の間にπ＝3．１４…があると思うのかがわからないって質問なんですが… 自分の感覚では間にあるのはπ＝3.14…=3なんですよね π＝３が暴論なら、π＝3.14でもπ＝3.1415でもπ＝3.1416いいですよ。最後の…がなければ何桁でも言いたい事は同じですから

[@hun08753]

目次 1:15 軽い証明① 2:25 軽い証明② 4:00 軽い証明③ 5:45 言い返せない証明

[@uraya1223]

助かります(´；ω；｀) ちょうどメモして勉強しようとして居たのでありがとうございます！

[@明日の昼はラ王がいいな]

女性問題の人みたいだね。

[@たかっち-y4z]

@@uraya1223 お前頭悪いって言われない？

[@uraya1223]

@@たかっち-y4z まぁ言われますね

[@ルア-f7h]

ε-N論法とε-δ論法は大学数学の最初にぶち当たる壁な気がするから噛み砕いて理解するのに非常に分かりやすくて良い例だと思う。

[@ぽいずんわさび]

素通りした私は、実は大学生ではなかった説。

[@user-nj9gr7ld5k]

@@ぽいずんわさび すげええええええええええええええええええええええええええええええ

[@リザード-o5c]

ちょうどぶち当たってたから助かった

[@user-ll2rk5lk1l]

理解するのを諦めて進みました

[@mangtar_njggd]

河野さんの説明って 0.9＝0.8999999… 0.8＝0.7999999… ってことだよね？ そしたらこの世の数字全て＝になるくね？

[@interior.design.justice]

限度があると思ってるものも、ただ単に完全なものになる前の状態なのかなって気づけました。 入れ子的な🪆 この動画を見て、数学が得意な人は我が強くシロクロはっきりさせるというイメージから、 本当の数学って曖昧な自然を表してるんだなぁと感慨深くも思えました！

[@haru-ug2rv]

天才的に頭がいいかつそれを的確に人に共有できるのって本当にすごい

[@nwdoggydogg8212]

これからやばい天才たちが出てきそうやな。

[@fujami0409]

賢い人は難しい事を簡単に説明できるって聞いたことある

[@nwdoggydogg8212]

@@fujami0409 難しいにも限度とかあるやろ、なんぼ天才でもアホに相対性理論を簡単には教えられへん。 簡単に教えれると言ってもなんとなくとかやから正式に教えれたとは言えへんよな

[@Ffggg847]

@@nwdoggydogg8212 関西弁って文字にするとキモいね

[@おっ-z2s]

@@Ffggg847 それはショック

[@明日も生きろ]

こうやってみると数字って永遠に遊べる最高の遊び道具だな

[@ysy_255]

今100!を計算してるw(中学生)

[@ガキの頃のニモは意外とトラウマ]

かっこいいこと言うね

[@yarukinonaineko]

@@ysy_255 スターリングの近似式で調べてみな

[@あああああ-v7e]

@@ysy_255 計算機っていうのをおすすめします！

[@flog_in_a_well_but_knows_lakes]

@@ysy_255 でっていう

[@km-qq7fu]

0.9999･･･はいつまでもどこまでも1になろうとする『意思』を持っているんだから、証明なんてしなくても僕は同じ1だと認めてやりたい

[@somethingyoulike9153]

優しい

[@htmath2020]

証明から言えることは「有限差はない」。ということは「差はあっても無限小」。 ・「実数で考える」なら差は0しかありえない。 ・「実数で無くとも構わない」なら差が正の無限小となる代数が存在する。

[@ゼラニウム-u5k]

なっとく

[@KokiAMAKAWA]

結局はただこねる中学生を丸め込むためのねこだましってことか

[@htmath2020]

​@@KokiAMAKAWA 丸め込まれてるのはむしろ学者かも・・・

[@地球正三面体論者]

いや、超実数で考えても0.9..は1だけど？

[@htmath2020]

@@地球正三面体論者 0.999・・・ は超実数でも厳密には捉えられないはずですよ。 0.999・・・に分類される多数の関数は存在しますが。 （注）超実数は実数を拡大してるので、こういうところで厄介になるんで、私は超有理数で考えたい。

[@sapyong718]

これ、循環小数を分数で表せってのを習ったときに自分で試してみて「？」ってなったやつです！

[@fast7562]

ふむ、最後の証明が1番腑に落ちない…

[@user-qi5zm7qi2k]

小数点以下の桁数がx桁（xは有限）で9がx個続いてるときに、(x+1)桁の数字の方が1に近くなる。xの値が大きくなり1に近似していき、xが∞となったときに1に限りなく近づくってことを言ってるんですけど、1になる証明ではないとは思うんですよね。

[@eraser8212]

なるほど、ということは最後の証明が0.9999…番腑に落ちないというわけだな(？)

[@あいも-c2k]

どれだけ1に近い数字を持ってきても0.999…の方が1に近いよねってこと

[@user-pc4gm6se1c]

困った時の背理法

[@すてーくる]

伝　統　芸　能

[@緑の毛布]

今高一で背理法数1でやったんですが難しすぎましたw

[@たけだくうりん]

型覚えるだけや

[@さかなちゃん-f5x]

@@たけだくうりん 高校数学なんてそんなもんですよね笑

[@とーてむぽーる-v8u]

@@さかなちゃん-f5x 難しいって言ってるんだからいいじゃん。マウント取ってるようにしか見えないぞ

[@Shamuneko_black-and-white]

∞という限度がないものを限度があるものを使って行う数学と相容れないものを感じる。

[@bz6mj]

∞は常に動いている数字と考えられるので計算に用いる段階ではその動きの途中のスクショを取っているだけでそれは∞の全体像ではないんでしょうね。概念であって姿はない。

[@kitawaaa]

同感 ∞って概念上の物って感じで、哲学みたいな話と思う 数字は無限というのも宇宙は無限っていうのもどちらも間違ってるかな、と 「0.999･･･」にも常にプラスすることでピッタリ1になる数字が存在すると思うし「0.000･･･1」とでも言えばいいのかこんな書き方は無いだろうけどイメージで

[@ksrp_bb]

数学は数式の都合に合わせてやってるイメージ

[@user-go3pv5wu7y]

無限に飛ばしたものについてはそのように「プラスして1になるような数」は存在しません

[@kitawaaa]

@@user-go3pv5wu7y 多分、自分は数字は有限であると考えちゃうから「プラスして1になるような数」があると思っちゃうんだろうな 数字の一番最後の値は∞であると定義されてるのかもしれないけど、それが納得できないんだよね

[@さとうよしお-v1d]

厳密に近くはなっても 1は距離ではないからどんなに近づいても0.99...は1にはならない。

[@大好きお昼寝-s3j]

ほんこれ

[@gale_straits2695]

実数の稠密性を考える時、0.999・・・　と１の中間に位置する実数が存在しなくてはならないと思うんだよね。

[@空手踊り]

@@gale_straits2695 開集合(0, 1)内の点列の収束先が(0, 1)に入るとは限らない

[@玉皮踊る]

@@空手踊り 収束先がその範囲に入るとは限らないとはどういう場合なのでしょうか。実例で示していただけるとありがたく。

[@りのはな-w5x]

0.99999でも1に0.00001届かないんだよね

[@yuu05130]

素朴な疑問を明確に説明されているのが大変興味深かったです。ありがとうございます。 また、数字という記号は、離散的な表現であって連続的な概念を表現するようにできていないんだなぁと何となく思いました。 こういう動画面白いです。

[@アイスが食べたい-f6v]

同感です。 連続と相性悪いですよね。 連続数学を研究している人はすごいなと思います。

[@squallrain8347]

証明　 1円玉がちょっとだけ削られても一円として使える

[@たこ-g6g]

おもしろい

[@imu-chan]

すき

[@エンジェル-y6i]

じゃあ１０円玉を真っ二つにしたら5円として使えるのか？

[@開く胡麻]

ガッツリ犯罪で草

[@色々変えすぎて後には引けなくな]

上の式が合ってるとすると 10÷2≠5 （10円玉 二つに割る それは5円ではない） になるのか？

[@alive7866]

動画の内容と関係ないけど「勉強はコスパ最強の遊びだ」ってカッコよすぎ

[@メロンパン-m5n]

俺の競馬はコスパ最悪

[@user-popopopopopo__]

@@メロンパン-m5n 金欠になってるもんね。

[@somethingyoulike9153]

@@user-popopopopopo__ 草

[@yonkgameplay3289]

店員:「1000円になります。」 俺:「君に1000が0になる証明を教えよう。」

[@tomo-os5he]

迷惑客やんけ)

[@てんぴ-e9c]

@@白夜王ヤイバ 1の0乗＝0の0乗 が成り立つので底は等しい。よって1＝0 両辺を1000倍して1000＝0(大嘘)

[@930strats930]

ではこちらの商品も0なのでお渡し出来ませんね

[@伯方の塩非公式チャンネル]

@冷めたホットドッグ 0で割っちゃってるから、、、

[@紅茶先生-j5x]

店員「お前の存在=0 も証明してやろう」

[@リン-h1y]

学校で極限習うときにεN論法の定義について細かく説明してくれた先生に感謝

[@francois8441]

=という記号は便利だが、極限を考えるときに混乱のもとになるんですね

[@i_love_sex]

リミットは非アルゴリズミックな汎関数だからね　っていうのが全ての答え

[@JinLeonard]

lim を＝で表すのはよくないと思う

[@i_love_sex]

@@JinLeonard 表す場合には特に学生にはちゃんと説明してあげてほしい

[@senuchan5860]

1秒後は未来であり現在であり…みたいなこと言われてるようで難しい🤯

[@小田原城-r7z]

1秒後は未来であり、現在であり…について 基準として現在の時刻を0秒とする。1秒後が未来であり、現在あることを示すには0+1=q=0 (n＞0)を示せばよい。 ここでa=bとなる自然数a,bを考えると aa=ab　(両辺にaをかけた) aa-bb=ab-bb　(両辺からbbをひいた) (a-b)(a+b)=(a-b)b　(それぞれ整理した) a+b=b　(両辺をa-bでわった) a=bなので代入すると a+a=a　→2a=a 2=1　(両辺をaでわった) 1=0　(両辺から1をひいた) このあと全辺に1を足す操作を続けて 0+1=1+1=2+1=…=c+1=…　(m∈ℕ) 0=1=2=…=d=…=e=…を得る…① ここでd/e=0/0=0/1=…1/1=1/2=…=2/1=…なので任意の正有理数q=0…② ①②より、0+1=q=0であり、1秒後は未来であり、現在であり…が示された。(Ⅰ) ここで、0=1について両辺から1をひくと 0-1=1-1なので −1=0 ①と同様に1をひきつづけることで、0=-1=…=−f=…=−g=…　(f,g＞0)…③ ②と同様に0=−f/gなので任意の負有理数−p=0…④ ③④より、0-1=−p=0であり、−1秒後は過去であり、未来であり…が示された。(ⅱ) (Ⅰ)(ⅱ)より、−p=0=qなので、有理数ℚ秒後は過去であり、未来であり、現在である Q.E.D

[@ぱんぴん-j9d]

a-bすなわち0で割ってしまってるので1秒後は未来ですね

[@小田原城-r7z]

@@ぱんぴん-j9d ? ０でわることを認めた以上、１=正数になる理由がないことは示してますが

[@wolfgangvonkempelen3534]

0=1のネタは｢0で割ることを認めてしまった場合｣というネタなので、｢そもそも0で割るのがダメだよね｣っていうマジレス(このネタの場合ここまでネタだと個人的には思ってる)には返せるとしたら｢そういうネタだよ｣ぐらいしかないと思うんですが。 論理に関してはマジレスに対して反論の余地はないと思いますよ

[@小田原城-r7z]

@@wolfgangvonkempelen3534 こちらのネタ無関係に０除算で未来(正の数)になるも大概ネタだけど。あなたにとってのマジレスがお水さんのコメントなら反論の余地しかないよ。

[@baru_eraiza]

なんか高校の体験授業の時に違う数同士は間の数が必ずあるけど1と0.999･･･は間の数がないってやつめっちゃおお〜ってなった記憶がある

[@玉皮踊る]

私は似たような話で、開区間(a,b)には最大値も最小値も存在しない、の意味がわかったときにおお〜となりました。

[@saburousaitoh]

実は簡単です。１を無限に分けているだけです。発想を逆に考えれば当たり前。

[@somethingyoulike9153]

@@玉皮踊る それ単調性が前提にあるのでは(そこじゃない)

[@ジオバンナ-d6u]

[どんなに1に近い数を選んでも] [より1に近付ける] この時点で1＝ではない証明では？

[@いあ-u1o5q]

0.999...ってのが極限値だとして、その極限値が1と等しいという証明だから動画は間違ってないかと。1に近づくことができるのは循環少数0.999....じゃないよ

[@ジオバンナ-d6u]

@@いあ-u1o5q えっと、α 自体がこの性質を持った数字ですよね。どこかのタイミングでαより近い数字になるというのが理論として成り立たないかと。

[@いあ-u1o5q]

@@ジオバンナ-d6u そんなことは言ってないよ。αの話をすると、0.999...と言う循環小数をαと置いただけ。で、仮にこれが1ではないと仮定すると、矛盾が生じる。だから1ではないっていう仮定は誤りでα=1ってこと。

[@いあ-u1o5q]

で、そんな数列（An）についてn→∞とした極限が0.9999...であり、αであり、さらにこれが1に等しいって言うことを言ってる

[@ジオバンナ-d6u]

@@いあ-u1o5q ではαとされた数字にはこの性質は当てはまらないと？

[@kelloggHAKASE]

数学じゃないかもしれなけど、小数点以下9が延々と続くのはイメージ的に1とイコールと考えるのに抵抗がある。 しかし小数点以下、0が延々に続く数は0とイコールと言われてもあまり抵抗が無い。 1－0.9999‥＝0.0000‥なんだから0.9999/‥はイコール1って、なんか私的にはそれで納得できそうな気がする。

[@t5744]

俺も自分なりに再解釈してみてこの考えにたどり着いた 0.000000...が無限に続くならなんか納得出来るね 不思議

[@kelloggHAKASE]

@@t5744 様　でしょ！！0が延々に続く数はイコール0ですよね。

[@g4rnet742]

0.999…と書かれている時点で9がいつまで続いても１になりえないとしか考えられない...

[@みと-x9o]

[...]という記号は無限に続く、という意味で「数字」そのものではありません １は数字ですが、0[.999...]は実際の数字ではなく「1に限りなく近づく数式」を表しています 例えば円周率πは3.14から始まる無限に割り切れない特殊な数式を記号で表現したもので、今回の0.9...もそれに近しいものです。(厳密には違いますが、それは別のお話)

[@mirimiri3300]

上の方の言う通りだと思う。 この問題って4/2は自然数なのか？みたいなもんだと思う。自然数の表記は0〜9の数字を並べたものしか許されてないから、/とかいう謎の記号が入ってる4/2の表記自体は自然数ではない。ただし4/2の先にある演算結果が自然数だから、演算と演算結果を同一視して、普通は4/2を自然数として見てるんよね。 0.999…も実際には0.の後に9を無限個並べるって言う操作でしかなくて、この表記は実数の少数展開の表記とかなり似てるけど厳密には異なる。つまりこの表記自体は実数じゃない。でも、極限を取るって演算の先にある演算結果が実数だから、演算と演算結果を同一視して、0.999…を1と見なしてるんだと思う。 まあ何がいいたいかって言うと、そもそも構文論的には0.999…は実数ですらなくて、意味論的には0.999…は実数のモデルの1に対応するって２つの話を多くの人は都合よくごっちゃにしてるんかなって思ってる

[@saburousaitoh]

この質問は多いので、 楽しい解釈を纏めてみました。すっかり納得できると思います。　楽しい。 viXra:1905.0008 submitted on 2019-05-01 20:40:00, (255 unique-IP downloads) An Interpretation of the Identity $ 0.999999...... =1$ Authors: Saburou Saitoh

[@桐生メンディー]

その考え方を捨てるといいよ

[@イダリット]

端的に、「１に近づく」って言ってる時点で１じゃないって認めてない？

[@sai7128]

5年間この問題について真剣に考えましたが、結論は「どっちでもいいや」に至りました

[@loruno804]

記号だけでなく、論理から解法を導かれるんですね〜 勉強になります

[@ゆうたろー]

計算する上では｢それで問題ない｣｢そうせざるをえない｣からイコールとしているだけで、極めて近い別物という感じを拭えない。

[@お花のあんちきしょう]

ぶっちゃけこれめんどくさいからもう1でいいんじゃね？1にしよう！って感じの説明に聞こえるの

[@ぱわふる-e6z]

でもその考えだと背理法全部を否定することになるのでは？ 「√2は無理数」の証明だって「無理数と言わざるをえない」という結論だからね。 「0.999...≠1という仮定は誤っている」と分かった時点で「0.999...=1」は便宜上でも何でもない「紛れもない事実」なんよ。 それでも別物に感じてしまうのは、「十進法」という表記法による錯覚なんよ。

[@user-mp9zo5hz2l]

@@ぱわふる-e6z そうそう 10進数では循環小数でもn進数では有限小数になるものがあるしね

[@youdenkisho455]

それで問題ない（十分性） そうせざるをえない（必要性） これを必要十分または同値という。

[@中ピピン]

それはそうです。1÷3の答えだって言うなれば今も計算途中の0.333…であって完全に1÷3の答えとして出てきたことはありません。本来1÷3≒0.333…なのです。

[@みみ-u7r1b]

最近こういう動画見て頭が良くなった気分になるの好き

[@むし-r8z]

実際キミは頭が良くなっているよ

[@march783]

1は1でええやん……

[@アガサクリスティ-u8k]

千○大悟

[@kheita2991]

人類がε-N論法に出会う瞬間を再現してるのすき

[@あるふぁる]

空想上の概念と数字を混ぜて考える事が出来るなんて、人間の想像力ってすごいよなー

[@ontakechan-JPN]

ホールケーキ3等分するやろ?切るとき包丁使うやろ?クリームが包丁につくやろ?つまりそういうことだ

[@明日はなんの日だ]

わかりやすい

[@oo2500]

なるほど

[@user-ic7lw3gm7j]

天才か

[@ネジ-q5k]

いやそれは360度を3で割って120度だから割り切れるしこの証明になってない。(マジレス)

[@珠那-t7h]

なるほどわからん

[@hironobuyamada3833]

数学ガールでの説明 ・・・は、数字が無限に続く事を表すのではなく、無限に続く時に収束する値を表す数学の記号であるという説明をしていて、とても腑に落ちた

[@htmath2020]

完備解釈ではそうなりますね。 超数解釈では0.999・・・は小数第n桁が「有限nでは」9の数を表します。「nが無限大」の時は9とは限りません。 1 > 0.999・・・（その差は無限小）となります。

[@中株売]

腑に落ちてはいけないとおもいます。・・・はあくまで繰り返し記号であって。収束するかどうかの意味は含まれません。

[@iroiromiru0]

”等しい”の意味を、相互に置き換えられると定義すれば、分かりやすいかも。

[@3fplk__]

③と似てますが、0.999…=0.9+0.09+0.009+… →9/10+9/100+9/1000+… →初項9/10,公比が1/10の無限等比級数より9/10／1-(1/10)=1 というのを自習の時間で考えてました

[@kamuo-xi4pl]

無限等比級数でも極限値∞をとるから、結局は極限の定義に行き着くます。それがεN論法ですから、最終的には全部同じ話に帰着します。 まあ言ってしまえば、1=0.999999…を要請しているって表現が1番簡単かも知れませんね。

[@Mokkon]

@@kamuo-xi4pl 結局 ... の部分があいまいで、人によってどう捉えるか解釈に幅ができるんだと思います。 lim(n→∞) Σ(i=1 to n) 9/10^i この様にとらえた場合にのみεN論法不可避になります。 もっと別の捉え方をするとεN論法不要になったり、無限小入りだとそもそも1≠0.999...になってしまったり。

[@kou4120]

3進数に置き換えてもできそうですね

[@トマトの妖精-r9q]

天才「よく見ますよね？」 自分「いいえ」

[@終わコン]

何回も言われてるけど、数学において 0と∞って本当に異質な存在だよね

[@ゆら-e2e]

1もね

[@table-tennis_club_member]

液体でいう水

[@そこら辺の学生-t7k]

数学科に入って｢0｣についての研究と、これの研究したかったのに。僕の夢終わりました

[@ひかりふぁいばー]

なんなら数Ⅲ習えば自分で求められるようになるから…

[@高橋一性器]

なんで終わったん？

[@IM-ir8nb]

@@高橋一性器 河野玄斗さんが証明しちゃったので研究するまでもないってことじゃないですか？？

[@高橋一性器]

@@IM-ir8nb なるほどwネタとは思うけど正直研究したいのにこの動画で辞めるゆうなら覚悟があめっぞ

[@趣味で数学をやっている者-g1b]

零環で1=2の証明でもしててもらってw

[@ルーム-j2e]

いぷしろんえぬ論法⭐︎ 解析学で1番初めに習ったなぁ めちゃめちゃ感動したけど、同時になんでこれで証明になるんだっけと頭クルクルなってしまったヤツ

[@vtuber6904]

イプシロンデルタ論法の直感的な説明なんだろうなぁと思いつつ大学数学をどこで踏み外したか迫ってくる感じが何とも言えない

[@user-lc9fr9vw1d]

δじゃねぇよ😂😂😂😂

[@user-xz5hg9ev6q]

誤差なんか気にしない人生を歩みたい

[@のりしお侍]

@@希望匿名-u4j 何言ってんだこいつ…

[@0320-h3g]

@@希望匿名-u4j 小説読みすぎた末路

[@xepxe1soula]

@@希望匿名-u4j なんか好き

[@Manoji-fw3dm]

@@希望匿名-u4j ｢のぞみ とくな｣君か… 覚えておくとしよう

[@tanukineiri]

@@Manoji-fw3dm とくめいですよ

[@秋明土成]

これこの前中学で数学の先生がサラッとやってて、腑に落ちなかったので助かりました！

[@囚人番号340番]

0.00…1って無限に続くとしたら存在しないんよね。1が来たらそこで無限じゃなくなって矛盾しちゃうから。だから0.00…1は1が来ないって事で0って考えられるから0.9999…は1ってなる。

[@しゅん-r6x]

中学の頃これなんでだろうって めちゃめちゃ考えてた笑

[@Masatoshi_Ohrui]

そもそも無限小数の連点は同じ数が無限に続くことを意味するから0.999…は1との差が0.000…＝0でしかない 無限番目なんて概念は数学ではない

[@gd7029]

わかりやすいありごとう

[@おけだい-o9y]

いや、0.999…は1との差が0.000…1だからゼロではない、

[@gero-ev4lg]

@@おけだい-o9y 日本語わからなくて草

[@グレイティ]

一番分かりやすいかも。0が無限に続くから0。いや0.9999という数字自体、本来は存在しないが正解かも。

[@koto_ha]

@@おけだい-o9y この場合の0.000…の「…」には0が「無限に」続くので、どこまで行っても1が来ることはないんです

[@iso0point5tsu]

大学の講義で全く理解できなかったεなんちゃら論法をお酒のみながら１０分でそれがどんなものか分かってしまった！すごい

[@ジャム助]

大学でめっちゃ真剣に証明するん。最大値Mの証明。

[@glaceonlover5887]

大学だと最大値とは言わずに上限と言うようになる

[@megulinear]

↑上限は上界の最小値であって、最大値とは違います（例えば開区間(a,b) (a,bはa

[@sinlo767]

@@megulinear 疑問に思ったんですけど、上界の最小値に言葉が割り振られてるということは、上界の最大値にもそれに準ずる言葉があるんですか？

[@megulinear]

@@sinlo767 上界の定義を知っていればすぐわかるのですが、上界の最大値というものを考える意味は全くないし、そもそも存在しません。当然それに対応する言葉はありません。

[@glaceonlover5887]

@@megulinear この言い方だと最大値という言葉を定義を同じでただ上限と言い換えるというようになってしまいますね 大学では最大値がない時でも上限を考えられることがあり、最大値があるならそれは上限だから上限の方が広い意味で最も大きい値を知ることができるようになるから上限を使うようになりますとコメントするべきでした

[@9_shiro_taiga]

②の証明は無限というものが限りなく大きな′数′ではなく概念そのものだということを理解すれば腑に落ちると思う 10x-xを考えた時、10xの少数部分からxの少数部分への写像は無限に存在し続けるからね

[@glaceonlover5887]

右辺の9の後ろの・・・の本質が分かったとき、本当に等号の意味が理解できるようになる

[@chokochoko128]

@Cd Ab 3.14…とπ これと同じ関係 1という“数字”に対して0.999…は数字ではなく1に限りなく近いという意味を持つ“数式” 3.14…はどれだけ…が続こうが一生πと同値にはなれないけどπに限りなく近い数字 なので3.14…＝πとなる …がある時点でその数を数値として見てはいけない

[@koux2752]

@Cd Ab πは3.14…に限りなくに近い値であるということを再認識すると、0.99…が1になる理由がわかるかもしれないですね。

[@mewnagi]

@@koux2752 限りなく近い値って=で結んで良いものなのでしょうか……？　自分はそこら辺の理解が曖昧で……

[@羽依里-h5d]

@@mewnagi 横から失礼します。無限に続く数を考える場合、「○＝☆」という式における「＝」は「完全に等しい」という意味ではなく、「○と☆は限りなく近い値である」という別の意味になります。 言葉が文脈によって意味が変わるように、数学の記号も文脈によって意味が変わるのです。

[@koux2752]

@@mewnagi 正直難しいですよね笑笑 自分も高校数学をならい終わった程度なのでなんともいけませんが… 0.999………9 と終わりがあるのではなくいつまでも続くという意味ですからね。 この時、1-0.999…=0.000…と考えてもやはりこの等式がなりたたないということはないですよね

[@medaka-kr8yn]

ブラッディマンデイの13.00秒は12秒台っていうのを思い出したわ

[@reokun119]

『J』が言ってたね

[@しん-g2t5o]

くわしく！

[@minisutoppurabu]

この動画の2つ目の証明方法使ってたよね

[@松尾芭蕉-q9o]

12.9999…秒よりも遅いから13秒台だと感じてしまう

[@ゆーと-w8i]

@千本彼岸 だまれ

[@ちゅう-t5e]

ε-N論法は結局、③と同じ。 どこかで壁を置いても、必ずその壁を超えてくる(より1に近くなる)ものは、収束値(ここでは1)と同じと見なしていいのではと カントールが唱えたことが始まりと先生が言ってた。

[@ksh-kc7yl]

どんな法則も∞を取り入れたら崩壊するよな笑

[@wisteria-wist]

そもそも考え方が違うからな

[@user-zg6xb4qn3n]

無限は数字じゃないからね

[@すろうどすろ氏]

無限大ですね

[@byebye_Lullaby]

無限を無下に扱うな！って事やね。

[@べろべろぐだぐだ]

困ったら「高々可算」っつーとけってばーちゃんが言ってた

[@tokumei_user]

これ高校の先生が同じ説明してくれて、 あぁ…確かにそれなら納得やなぁ ってなったの思い出した

[@cpirania7895]

洗脳されてるだけです

[@grow1586]

1に極限に近い＝1ってのは腑に落ちない

[@zebra2]

実際1も1.000…って無限になってるはずだしね

[@youdenkisho455]

『近い』というのは元々物理的な距離の話なので、メートルで例える。極限に近いということについて、近さ0[m]という表現を認めるならこれは何らおかしくない。近付ける限界が0[m]だから。 認めないなら近さa[m]（a＞0）と表せるように適当なaを見つけないといけない。 しかしa＞0の範囲ではどうしてもそれを見つけられない。 だから0[m]と言う他ない。 だから極限に近い＝差がない。 極限に近いことと差が生じることは両立しない。

[@tinge__nsai]

あなたは正しいと思う。極限だから別物の1だと

[@ウィチハ]

∞個に切ったピザ１切れ分は0gであり、0gの物をいくら集めても0gなので、実質ピザ一枚は0kcal❗

[@Pachedoll]

そんなんしてまでピザ食いてぇか？

[@k.f2281]

まじでTiktokで見た説明の∞倍分かりやすいわ。 あざます！

[@oo2500]

TikTokは0では？

[@k.f2281]

@@oo2500 そうですね笑

[@悠ゆうですよ-v7e]

@ツYu[牧瀬紅莉栖] え……！？‪w

[@悠ゆうですよ-v7e]

@ツYu[牧瀬紅莉栖] ここにも居たんですね‪w

[@Stylish_Ponta5]

@@白夜王ヤイバ ほな0乗しよか〜^^

[@milkmanjuu]

大学数学の話を噛み砕いて説明しようとしてくれているのはわかるのですが、ε-N論法で1番重要かつ肝心な厳密性の部分の議論を端折っているせいで、大学である程度解析学を学んだ人間でないと、逆に腑に落ちなくなっている気がします。

[@htmath2020]

仮定が足りなくて「本来はできないはずの証明」ができたことになっていますよね。 「実数に無限小は取れない」とか「実数では0になる」とかなら少なくとも嘘ではないのですが、 代数を何も指定せず「無限小は無い」では無限小解析の否定証明になってしまいます。

[@pinton123]

厳密性と相手の理解度を上げるのを両立させるのは不可能に近い。 自分で理解するだけならまだしも、他人に説明するならどこか厳密性は妥協しないといけないよ。

[@Sai-yo5ut]

無限とは終わりがないということだから そもそも無限番目が存在しないんだよな

[@cpirania7895]

それ言っちゃダメ 消されるぞ

[@hwt_ott7075]

無限(わからない数の仮定)

[@nm-pe9mb]

@@hwt_ott7075 それは定数じゃないの？

[@mori-c2267]

「0.999 ･･･ 」というのは、単に「0.999 ･･･ 9 」の長さを伸ばしたときに「それが近づく先の値」を「表記」しているだけ、 と説明するのが、数学をあまり知らない人に対しては親切だと思います。 近づく先は誰が見たって 1 ですよね。 そもそも「･･･」は定義が曖昧なので、この話題は「証明」以前の話だと思います。 逆に「･･･」の定義をはっきりさせてしまえば、数学の問題ですから色々やり方はありますよね。 定義が曖昧なまま話をスタートさせて、εｰN 論法を持ち出すのはいかがなものかと。

[@user-ig7hz1nj9r]

逆張りええて

[@ooo4630]

だよねぇ。むしろεｰN 論法は直観的には分かりにくい。 たとえばケーキを３等分しようと実行しようとした時、「0.333・・・と無限に３が続くから、３等分できません」なんて事はない。つまり、数字では0.333・・・と終わりがないのに、現実ではそこに境目がある。 つまり、0.333・・・とは『数字の表記法則から外れた、数と数の隙間の状態』。 １つのモノを３つに分割する時の状態（１/３）を、0.333・・・と表現しているにすぎない。 拠って、0.999・・・とは、『１に限りなく近づく１でない状態』ではなく、『１に限りなく近づいて１になった状態』でしかない。これはどちらかというと、定義の問題に近いと思う。

[@htmath2020]

@@user-ig7hz1nj9r 天動説を信じている人に地動説を説いたら「逆張り」って言う方？ ・・・を正確に定義する事は大事。それが代数を指定する事になる。 代数を定義しないまま 「無限小なんて取れない」と無限小解析を否定し、 ε-N 論法の説明と称して「背理法で論理的に証明」した気になっているが、 「無限小なんてない」という非論理的な思い込みに矛盾させている。 ε-N 論法の概要説明というなら分かるが、 　反論の余地のない本当の証明 なのだそうだ。 手続きは合っているが、前提が足りない。 そんな事にならないように大学数学では（面倒だが）「集合論を用意して実数を定義」する。 ※私は集合論には否定的だが、「自然科学にとって必ずしも集合論は必要無い」という意味であって、 　集合論自体は理論的には正しい。

[@MO-kg4uo]

この動画のコメ欄で納得する人の多さに疑問を感じてましたがやっぱおかしかったんですね

[@htmath2020]

@@MO-kg4uo 聞く側が「勝手に実数などを想定」して話を聞くと、話が合ってしまいますね。 たとえば「大学の『実数論』のε-N論法の分かり難い点を説明します」とかであれば、おかしくないんです。 「代数を指定せず、・・・の解釈も与えず、厳密な証明だ」としてしまったから、 （その気はなくとも）無限小解析の否定になってしまいました。 動画冒頭の説明も「実数」と断っていれば「実数に無限小はない」ですが、 代数を指定しないと「無限小なんて物はありえない」に、なってしまうんですよね。

[@源義経-s9j]

体育会系では１＋１が３にも４にもなると教わったぞ

[@youdenkisho455]

ペアノの公理を満たさない体育会系の世界

[@wisteria-wist]

そもそも1を3で割りきれない10進法さんが悪いだけなんだよなぁ。ほんと3進法さんを見習って欲しい。

[@rei_3444]

3進法さんだと1を偶数で割れないからなぁ。 2進法さんを見習って欲しい()

[@チキン野郎-l2r]

以下無限ループ

[@okot6188]

∞進法でいこう

[@ino167]

@@okot6188 いつまで経っても繰り上がらへんw 10=∞ じゃんそれww

[@いなさん-i3f]

@@ino167数字に 無限個の種類あるの好きｗ

[@Karimia_clover]

有限の無限、無限の終わり、存在しないけど存在する... 混乱するなぁ

[@dgpdt]

最後の説明で納得できてしまった… 0.999...は1です、間違いない

[@g-9196]

∞番目って言葉が納得できない

[@55MM22TT44GG]

無限に関する説明が腑に落ちないという人は、無限大に対して「めちゃくちゃ大きい有限の数」のイメージを持ってしまっているんだと思います。 有限の感覚を無限の分野に持ち込むとエラい目に遭います（笑）

[@他人のそら豆]

無限にはルールがないってことですか？ 何もないんですか？

[@bdiwisjdbhhkkqoqk]

@@他人のそら豆 誰もそんなこと言ってないけどね🤭

[@うんこうたろう]

攻撃的すぎだろ

[@bananaboo5592]

教えてくれるのありがてぇ。 一般人にもわかるようにお願いします。

[@TheNimbus1170]

0.9+0.1=1 0.99+0.01=1 0.999+0.001=1 0.9999+0.0001=1 これを無限に繰り返すことを考える。 左辺2項目の0.000…1の方に着目し、…は0が無限に並んでいるものとすると、右端の1は決して現れないということになる。右端の1が現れれば、並んだ0は有限ということになるからである。 右端の1が決して現れないのであれば、そこには0しか存在せず、0.000…1=0となり、したがって冒頭の式に当てはめれば、0.999…=1となる。 結論「無限とはそういう（特別な）もの」 （右端の1が決して現れないのだから、0.000…1と表記すること自体が誤解を招くものであり、これは便宜的な表現と言うべきである。）

[@ふぃんふぃんふぃん-y5u]

「ほほう、これは逆説を使ってるんだな(ｷﾗﾘ)」と思った瞬間、「これはイプシロンN論法を噛み砕いた話で…」で昇天した(ﾁｰﾝ

[@ななし-c1l]

数学でいかつい名前だけ聞くだけでやる気なくすやつだ

[@ふぃんふぃんふぃん-y5u]

@@ななし-c1l あまりにナイスタイミングで空振ったんで、つい…汗

[@6コスブロンズ]

ﾁｰﾝ

[@わどY]

収束の考え方の基本ですよね ε-N論法とε-δ論法 もうね、名前からして格好いいのよ

[@saburousaitoh]

この質問は多いので、 楽しい解釈を纏めてみました。すっかり納得できると思います。　楽しい。 viXra:1905.0008 submitted on 2019-05-01 20:40:00, (255 unique-IP downloads) An Interpretation of the Identity $ 0.999999...... =1$ Authors: Saburou Saitoh

[@kokoa_shumia_lockhart]

1を3で割る時そもそも割り切れていないから 1÷3≒0.33333 の方が適切な気がする だから 1≒0.3333

[@チェジョンはん]

最後間違えてますよー

[@toritorichicken]

∞の定義についてケチをつけたら一応(？) というか2番とかでは-∞桁と -∞+1桁 というケチが許されてるのに 最後では無限より大きい無限(？)というケチはだめなんかな？

[@bbdd1737]

イプシロンデルタ論法学ぶべ

[@AkaoRange]

数学難しくて理解が追いつかないけど… 「1に無限に近いけど1よりは小さい数」 じゃダメなのかい…？

[@JesusItsDylan]

ダメです

[@Miyabi0292]

ダメです

[@べろべろぐだぐだ]

「1に無限に近いけど1よりは小さい数」を具体的に考えよう →「無限に云々」とか「...」とかの表現が曖昧 →曖昧な部分を排除しようと思い、数列の極限（収束値）として構成してみた →本当に1より小さいなら1との差が正の数として出てくるはずなので確認してみよう →どんなに小さな正の数 ε を考えても、「1 との差がその ε より小さい」（＝正数の差が見つけられない）としか言えない部分数列が見つかってしまう →正数の差が見つけられない以上、「1よりは小さい」が証明できない（むしろ否定してしまう） →実は「1よりは小さい」が誤り（つまり「1以上」）なんじゃないか →とはいってもさすがに「1より大きい」は否定できるので「1以下」である →「1以上」かつ「1以下」ならば「1に等しい」という結論になる

[@JesusItsDylan]

@@べろべろぐだぐだ うるさいです

[@kimjack446]

@@べろべろぐだぐだ 口調ウザい

[@thetruth605]

ということは、全ての『１』という存在は、もしかすると、とてつもなく『1』に近い存在であって、『１』ではないのかもしれない。 それを『1』として認識することで、成り立たそうとしているのかも。 ならば、『1』である『個』も同じく、宇宙での『個』も限りなく『個』に近い存在であるが、『個』ではない。 全て繋がっていると感じました。 勉強になりました、ありがとうございます。

[@ななし-c1l]

それ1-0.999999...をやるのでもイメージしやすい気がする。何か限りなく小さな数と比べても、その式の値は０がもっと遠くまで続くからどんな数より小さいよねみたいな。ただ筆算のイメージを証明に取り入れるのがかなり大変かもしれないとは思った。

[@S10-t9d]

結局無限って言ってもさ、 人間って面白いよね。 末尾を考えちゃうのよ。 だから無限を作ってもそれより 上はあるでしょ？ってなるのよ。 ∞＝終わりがない。

[@AlaAla-zm8gj]

これで納得できるなら1～3でとっくに納得できてそう． 1～3で納得できなければ最後のはそもそも話についていけなさそう

[@ayama8759]

0.99999999・・・・は、0.0000000000・・・1(1がくる位は少数第∞番目とする)を足さないと1にならない感じが感覚的にはする

[@kohumaruGT]

それだと「0.9999…」じゃなくて「0.9999…9」になっちゃうんですよね ∞を考える時に頭のどこかで有限の数字を考えがちなのでこれの解釈ってめちゃめちゃ難しくなっちゃうんですよ…

[@user-Koyu_1123]

無限小数は「だいたいこれぐら〜い！☆」 って考えてて、どうしてそうなるのか考えたことなかったのでとても勉強になりました…！

[@社会不適合者-e7b]

河野さんが1=0.999...て言うのが1番の証明

[@somethingyoulike9153]

今度1=2って言ってもらおう

[@田中太郎-p5q]

無限という概念に対して、0.99999・・・と記載して考えるのがそもそもナンセンス。 無限はその性質上、文字式と言葉だけでしか説明できないはず。

[@國知]

「0.9999…　ただし…の後は無限個の9がある」と書けば文句がないというわけですよね。 なら皆がただし以降の言葉を前もって了解しているのならば、省略してもいいですよね。 つまり言葉で説明したけどそれを省略しただけなのですからナンセンスでもなんでもないです。

[@kazusitezuka]

0.999...=lim{1-10^(-n)}=1 １個目のイコールは定義するのイコール ２個目のイコールは収束するのイコール イコールを一義的に考える事が全ての誤りの始まり

[@mirimiri3300]

これこれ

[@somethingyoulike9153]

int a = 1; のイコールは代入するのイコール

[@木下とも-c1j]

めっちゃ分かりやすかったです。みんなに自慢しますがいいですかね？w知れて良かったです。ありがとう御座います。

[@あお-d8z8j]

1とか2とかの方法しか思い付けんかった

[@KK-rx1xm]

最近毎日1000人ずつ登録者増えてる気がする、、😏あともう少しだ60万人！！

[@unun2621]

自分なりに納得いく証明はできた 似たところで腑に落ちないのは4と5あたりだと思うけど補足でそれなりに説明できてると思う 1. 定義として「0.999...」を「整数部0の後の小数点以下に9が無限に続く数」とします。 2. 0.999... ≠ 1 と仮定します。 3. 0.999... > 1ではないので0.999... < 1 です。 4. この場合、0.999... < a < 1 を満たす数aが必ず存在します。 5. aの小数点以下の数字には9でない数が必ず含まれます。 6. このとき、aが持つ9でない数字を9に変えた数bも必ず存在します。 7. 0~8のどの数字よりも9は大きいので、a < bです。 8. bの小数点以下の数字はすべて9なのでb ≤ 0.999...を必ず満たします。 9. a < b ≤ 0.999...なので、a < 0.999...です。 10. step9で導かれたa < 0.999...はstep4のa > 0.999...と矛盾しました。 11. このとき未解決の仮定はstep2の仮定（0.999... ≠ 1）のみです よって、step2の仮定が誤りであり、0.999… = 1 であることが証明されました 補足4.「0.999... < a < 1 を満たす数aが必ず存在します。」の証明 4-1. 0.999... < a < 1 を満たす数aが存在しないと仮定します。 4-2. (Step3より) 0.999... < 1 なので差d = 1 - 0.999... > 0です。 4-3. このときd > d/2です。 4-4. すると1 - d < 1 - d/2 < 1 - 0となり、0.999... < 1 - d/2 < 1と整理できます。 4-5. このとき1 - d/2は0.999... < a < 1 を満たすのでstep4-1の仮定は誤りです。 したがって0.999... < a < 1 を満たす数aが必ず存在します。 補足5.「aの小数点以下の数字には9でない数が必ず含まれます。」の証明 5-1. aの小数点以下の数字がすべて9ならa = 0.999...です。 5-2. 実際には4の整理よりa > 0.999...なので、step5-1の仮定は誤りです。 よってaの小数点以下の数字には9でない数が含まれます。 補足8. 「bの小数点以下の数字はすべて9なのでb ≤ 0.999...を必ず満たします。」の説明 8-1. bの小数点以下の9が有限個なら、無限個の0.999...より小さいのでb < 0.999...です。 8-2. bも無限個ならb = 0.999...です。

[@winter_mute9929]

証明にあったもやもや感を、うまく言葉にしてくれているのがうれしい。

[@user-zf8lx4ix4p]

「どんなに1に近い数を選んでも、 あるタイミング以降では『より1に近づける』」 この説が正しい証明がないので、題意が確実なものとは言えないと思います。

[@レイファン-w9v]

同意です。これを認めることは 1/3=0.3333…で3が∞に続くから3倍して 1=0.9999…でも証明成り立ちますね。

[@mas-b8d]

同意。雑な証明でがっかり。

[@kabosuke0301]

じゃあ逆に反例を教えてください。

[@user-zf8lx4ix4p]

かぼ助 反例がないことを証明してください そういう話ですから

[@kabosuke0301]

@@user-zf8lx4ix4p 反例がないなんて言ってません。反例があるなら教えろと言ってるんです。

[@マカマカ-x4t]

コメ欄で今の気持ち共感しに行こと思ったらアウェイやった

[@morita..]

コメ欄で気付いたけどこの式使えば帰納的にどれだけ大きくても0に近付いていくんだな

[@コアラのポーチ]

数字が違うってのは差が出ることだから 1と0.9999999•••は差が永遠に出ないので 1=0.99999999•••が成り立つって聞いたお

[@ホワイト-i8x]

@ε-δ論法 1-0.99999…をした時に値が出ないって話じゃない？？

[@コアラのポーチ]

ちがいます！！ 0.111111•••だと 差が0.89999•••となってしまい、差が出ているので 1≠0.11111••• となります！！

[@Stephen-mp1lh]

@ε-δ論法 何言ってんだw 1-0.9999999･･･=0.000000･･･になるから永遠に差が出ないってことだと思うけど

[@阪神応援チャンネル虎]

@@user-zosan 確定値じゃなくない？

[@へっぽこ太一]

何いってんだ！証明にもなってない

[@ryokutyaaaaaaaaaa]

何処かで諦めなければ「1」が人類がどれだけ頑張ってもたどり着くことの無い数になるから妥協が大事やなって勝手に思った

[@Djigrlakkxmc]

最後の証明、「(1ではない)1に近い数」の代わりに「1そのもの」を使うと、全く同じ理由で「0.999…が1ではない」ことが言えてしまうと思うのですが。

[@Djigrlakkxmc]

最後の証明のやり方は「アキレスと亀」そのものではないですか？

[@km2858]

同じ理由で？

[@Djigrlakkxmc]

@@km2858 最後の証明は、「どこかの段階でその数より1に近くなるタイミングが来る」ことが証明の根拠です。上の状況を考えると「どのタイミングにおいても」比較対象の1よりも1に近くなるタイミングは来ないことが言えますよね？

[@Djigrlakkxmc]

@@空手踊り いや、こちらは背理法を使って証明しようとしているのではなくて、逆の状況を設定したら同じ理由で逆のことが言えますよね、ってことを言っているのです。

[@Djigrlakkxmc]

@@空手踊り そもそもε-δ論法は厳密な等価性を示すためのものではなく、「等価と置ければ有用だけど、厳密な議論はしたくない」ってときのための道具立てだと思っています。 同値性を厳密に論じたい場合においては、ε-δ論法においてε>0なるεを前提としたこと自体が、誤った証明結果を招くことはあります。

[@グリムグリム-c5f]

0.9999... 9が無限に続く 1=1.0000... 0が無限に続く 1.0000...-0.9999.... を考えると、小数点以下のどの桁を見ても0-9=-1と差異が発生する 故に1.0000...=0.9999...はありえない