# 256. 整数問題（分数）

[@moraimon]

元文系です。グラフでまずは視覚化することから始めました。マイナスの値を取り得るのは8a+8のみなのでこっちは絶対値でくくるとグラフで視覚的に処理しやすくなりました。y=|8a+8|とy=a^2+4a+12のグラフを書いて、分母と分子の大小関係からaの範囲を絞り込んで求めました。a=±2、-10の地点が交点であることから与式=±1。a>2、-2

[@mathkarat6427]

グラフで見るという発想はかなり大切です。 お見事です。

[@hiroezk2501]

グラフを使った解答のコメントが見当たらないので書き込もうとしたらこちらにあったので良かったです。 分子が1次式で分母が2次式なので、与式が整数となる（つまり分子＞＝分母となる）範囲は有限だと見当がつきます。 気を付けないといけないのは、分子を絶対値として考えないといけないことでしょう。後は有限個の場合分けでゴリゴリと。 他のコメントによると高校入試問題にもあったようですが、グラフがイメージできれば確かに中学生でも解けそうです。

[@mathkarat6427]

「気を付けないといけないのは、分子を絶対値として考えないといけないことでしょう。」→　まさに、そこです。分子＜0 を忘れないことですね。

[@YouTube_Japan1]

分子は明らかに偶数なので分母も偶数になる必要があり、それを満たすのはa^2が偶数となる時で、即ちaの絶対値が偶数の時と分かる。 したがって、1番最後の-10≦a≦-2の虱潰しの部分は絶対値が偶数になる-10,-8,-6,-4,-2に絞れます

[@Mr.G1999]

コメントを見ると皆さん解法2が思いつくようでしたが、私としては逆に解法1のように必要条件から追っていく方法しか思いつきませんでした。 新しい発見がありいつも助かっています。

[@mathkarat6427]

今回は、「解法１」が最速と思います。 それを最初に思いつくのは、素晴らしいです。

[@カビゴン-w9u]

1しか思いつきませんでした… 多角的に考える事の大切さを思い知らされますね

[@mathkarat6427]

「解法１」が最速ですので、お見事です。 ただ、「解法２」の知識はもっておいた方がよいです。

[@ゴプ-r8q]

いつも寝る前に興味本位で見てます。 とても発想力が豊かになっている気がしてすごく良いです✨

[@mathkarat6427]

恐縮です。 嬉しいコメントありがとうございます。

[@ori_313]

解法3好きすぎる〜〜〜

[@mathkarat6427]

理系の方ですね。きっと・・・

[@ロロ-m2o]

与式=k-①と置き、分母の次数が2分子が1だからa>N(N∈Z)⇒0

[@mathkarat6427]

恐らく今回はおっしゃる通りと思います。

[@ttofu28]

開放1と3が思いつきました。 定数分離は解の個数を求める問題で真価を発揮するので、分数の微分は文系でも勉強すると役に立つと思います

[@mathkarat6427]

おっしゃる通り、文系でも「分数の微分およびグラフ」はかけた方が、いざというとき助かると思います。

[@トポロジー-e3b]

全体をf(a)とおく (1)f(-1)=0 (2)a+1で分子と分母を割ると、分子が8、分母はa+2+9/a+1になる つまり、分子が8なので、全体が整数になるには分母が8の約数になれば良い。そして大前提9/a+1も整数にならないといけないから、a+1=9.3.1.-9.-3.-1が確定する。 これらのaを当てはめてf(a)が整数になるものを探すと4つのaが出るから(1).(2)より5つの答えがわかる

[@hirokimorita9153]

問題作る人もすごいですね。うまいこと分解できるので。

[@mathkarat6427]

おっしゃる通り、問題の形もきれいで、良問と思います。

[@tarake3]

「分数が整数になる必要条件＝分母の絶対値＞分子の絶対値(分母＝0に注意)」 ついでに分数が有限小数になる十分条件も考えておくと良いかも〜 「a/bにおいてb＝2^m×5^n＝有限小数(互いに素、約数に注意)」

[@mathkarat6427]

ご丁寧な記載に感謝致します。

[@タイガース虎吉]

自分は解法1と解法2両方思い付きました。 いずれにしても、0は別に分けないといけないことに気を付けないといけない問題ですね

[@mathkarat6427]

「自分は解法1と解法2両方思い付きました。」 → 見てすぐに２つの解法が思いつくのは、上級者と思います。

[@タイガース虎吉]

解法3は定数分離の考え方で解いたのですね✨なるほどです👍️👍️👍️

[@mathkarat6427]

「解法３」は、方針を記憶しておけば、あとは計算するだけです。

[@タイガース虎吉]

​@@mathkarat6427さん プラス数学Ⅲの微分の知識も必要ですね

[@mathkarat6427]

数Ⅲの知識は、もちろんあった方がよいのですが、逆にその知識で苦しめられることもあります。 動画 # 138. 東大 2011年（理系問１）では、数Ⅲで解けますが、ⅠAⅡBの方が明らかに簡単です。

[@gyroplane95]

ぱっと見たときに、左辺をf(a)として、f(a)は1次式÷2次式で分母は正だから、|a|がある程度大きければ0

[@mathkarat6427]

「解法（の方針）が思いつくかどうかが重要。」 →　おっしゃる通りです。解法の方針の経験がなければ、入試の時間内に思いつかないと思います。コメントありがとうございます。

[@HanseiDonder]

自分は 解法1と同様に(与式)=kとおいて、 kを含むaの二次方程式にする 解と係数の関係から解α,βについて α+β=4/k ー4、αβ=12ー 8/kとなる そしてaが整数のとき、これらの数は整数となるため…と考えました

[@mathkarat6427]

「解と係数の関係」利用もとても良いと思います。

[@wtpotom]

分子は常に偶数ですが分母はaが奇数のとき奇数になっちゃいますね

[@否定ペンギン-n9d]

9:45 ここは9個全て代入しなくてもaが奇数の場合明らかに割り切れないのでちょっと偶数だけ確かめても良いかもですね

[@mathkarat6427]

おっしゃる通りなのですが、きちんとそれを記述するより、９個なら調べた方が確実かな？と個人的には思います。 a= -7 のとき、分子＝８×（ - 6 )＝-８×２×３となります。

[@火神槌]

僕はa^2+4a+12=(a+2)^2+8>0よりaが整数の時a^2+4a+12が0になることはないということを示した上で解法1で解きました。 解法2と3は思いつかなかったので面白かったです！

[@mathkarat6427]

「解法１」で解けて、お見事です。これが恐らく最速です。 「解法２」は、知識がないと困る問題がでてきますので、是非ともつかんで下さい。

[@らっきーるーら24]

６５で定年になって、頭の体操としてとかせていただいてます。 解法２の場合、aの範囲を絞ったときに、式自体が割り切れることも前提なのでｆ（奇数）は計算しなくてもいいのではないでしょうか。

[@MURAKAMI1958]

この問題によく似た超難問の話を偶然に耳にしました。 a,bは自然数であり (a^2+b^2)/(ab+1) は、割り切れるときこれは平方数になるを証明せよ。 で、数学オリンピックで最高に難しい問題だったそうです。ヴェタジャンプという思考で解くそうです。 ４つの段階で解く方法が、先生の動画解法によく似てるかもと思いました。（思考法は、記述が長いのでやめておきます）

[@mathkarat6427]

「Vieta jumping」をよくご存じですね。

[@mathseeker2718]

私は解法2でしたが、1の方が良いですね❗️

[@mathkarat6427]

今回は、（解法１）が最速解法と思いますが、（解法２）の方が応用が効くと思います。

[@express-channel]

分数が整数といえば|分子|≧|分母|が最初に思いつくなー

[@mathkarat6427]

お見事です。

[@ハト-u9i]

a²+4a+12=(a+2)²+8なので、a=4m-2(m∈Z)と表されることを考え、元の式に代入して、 2m²+1≦|4m-1|を解き、後は十分性を確認して解けました。aが自然数ではなく整数というのに少し抵抗を感じましたね。

[@ularaippanjin1484]

D/4 = -8k^2-8k+16 が因数分解できるのを見落として解法1を挫折してしまいました……

[@今山はるゆき]

地理や歴史を好んで勉強していますが文系だと思ったことは一度もありません。高校数学ぐらいは理解していて当たり前と考えているのでユーチューブで数学の問題をよく見るようにしています。

[@mathkarat6427]

「高校数学ぐらいは理解していて当たり前と考えているので・・・」 凄い志しです。

[@ぴよこちゃん-j5r]

文系だと解法が限定されるので、理系に出して欲しい問題ですね。

[@mathkarat6427]

なるほど、です。

[@徳山筋肉君]

解法1が凄く綺麗

[@mathkarat6427]

「凄く綺麗」→ 素敵な表現ですね。

[@kako1448]

12:20あたり、f(a)が72/9などになれば整数となる気がします

[@mathkarat6427]

ご指摘ありがとうございます。 説明不十分でした。 動画は、対応致しました。

[@バズーカ-t3l]

いつも見ています！解法をたくさん用意していただいて、とても勉強になってます！地方の高校生なので恩につきます！お願いがあるのですが、再生リストにまとめて頂けるとありがたいです！！お時間ある時にお願いします！

[@kako1448]

​@@mathkarat6427いえいえ。いつも丁寧でためになる動画をありがとうございます。

[@mathkarat6427]

今回は、助けていただきました。 感謝申し上げます。

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 分野別には、再生リストを分けております。 いずれは、使い勝手がよくなるようにしなければ・・・と考えております。 ご不便をおかけし申し訳ありません。

[@IamReaa]

分子が既約なのが難しいポイントですね。 正の整数aなら(分子)≧(分母)の必要条件からa=2が求まりますが負も許すと難しいですね aが大きくなると分母の発散のほうが早いのでaの絶対値はそこまで大きくはなれず、aが-1で無く、かつ負の時、a≡2,6(mod8)に限られるから -10 -4 -2あたりだろうと予想は尽きましたがそこからの-10より小さいものがないことの論述でつまずきました。数lllの微分を用いる方法はエレガントで素晴らしいですね！

[@mathkarat6427]

「れあ」さんの発想力は、いつも凄いですね。勉強になります。

[@節句寿司太陽-r6v]

aを負の整数と仮定した上で両辺-1かければ(分子)≧(分母)の関係使えるのでは？

[@marimooooo9765]

すいません、数学弱者です！ |(分子)|≧|(分母)|で場合分けしてaを絞って解いたんですがこれって記述的には間違いんなんでしょうか？ 分子≧0、分子≦0で場合分けするとその条件aでは、判別式から分母はどっちも分母>0となるので分母の場合分けはしなかったです。 結局解法2に帰結して計算量も多いし見栄えも良くないですが、自力で解けたのが嬉しくて解法があってるのか知りたいと思いまして、すいません🙇

[@kottnk0214]

求めるaが整数なので、|分子|≧|分母|になる範囲を求めてのゴリ押しもできそう 分母はどう見ても正ですし

[@mathkarat6427]

おっしゃる通りで、分子|≧|分母| の発想があれば、いろいろな解き方で対応できると思います。

[@ajpadt]

この考え方は汎用性高いですよね

[@mathkarat6427]

まさに、その通りです。

[@ぱせり-s9t]

解法3しか思いつきませんでした。 最適な解き方は解法1だと思うのですが、難しい大学になってくると最適な解法以外だと計算量やステップが多くなって時間がかかるのでしょうか

[@mathkarat6427]

難関大に関わらず、数学は解き方次第と思います。またそれも経験によるものと私は考えます。

[@ぱせり-s9t]

@@mathkarat6427 返信ありがとうございます 量をこなして感覚を養うというのが大切なんですね。 大学受験は今週終わりましたが、解法がいくつも紹介されていて面白かったので今後他の動画もみていきたいと思います。

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 貴方のように、細やかな配慮ができる人は、意外と少ないと思います。 将来は、上層部にいらっしゃると思います。 人として素晴らしいということです。

[@dyingbreedryo]

解方1でした。コレが一番シンプルだと思います。

[@mathkarat6427]

おっしゃる通り、一番シンプルと思います。

[@redanntube]

解放2の力技感が好きですが、出題者は解放3を求めているのかな😮

[@mathkarat6427]

恐らく解法２がスタンダードと思います。

[@まどぅ-r6l]

分母≦分子で範囲考えました

[@mathkarat6427]

とても良いと思います。 ただ、一般的に分母≧分子のケースも考えられます。 （例）分母（3）、分子（-6 ）です。

[@Unchidelivery]

離散的な状況でも連続関数みたく処理するパターンってたまにありますよね（東大の過去問にも整数問題を二次方程式の解の存在範囲に読み替える問題がありました）

[@mathkarat6427]

おっしゃる通りです。それなりに使う解法と思います。

[@ねぎげんしん]

河合塾のハイパー数IAで似た形の最大値、最小値求める問題の解き方が解法1に似てるからすぐ思いつけた！

[@ねぎげんしん]

1と3は思いついたけど2の発想でんかった

[@mathkarat6427]

お見事です。整数が絡むと「解法１」は、なかなか思いつかないと思います。

[@mathkarat6427]

「解法２」は、応用が効きますので是非つかんで下さい。

[@user-rx5bq8tw2m]

即微分が思いつく理系

[@mathkarat6427]

お見事です。

[@sincossunshine2570]

俺は理系なので、3がパッと思いついてしまいました。2もなんとか思いつきましたが、1は出ませんでした。

[@mathkarat6427]

「解法２」が思いついた、とのことですので、良いと思います。 最も応用が効く解法と思います。

[@netaroQ]

分母と分子を(a+1)で割って、分子が８，分母がまた分数式になる。 与式が整数になる⇒分母が8の約数である・・・条件① 分母の分数式の分母と分子をまた(a+1)で割る a^2+4a+12=(a+1)(a+3)+9, なので 与式が整数になる⇒(a+3)+9/(a+1)が整数である⇔a+1が9の約数である・・・条件② 条件②を満たすaは-10,-4,-2,0,2,8の6つであり、このうち①を満たすものが答えである。 とやって見事に与式＝０の場合を抜かしましたｗ 文字で割るときは0か調べるという基本

[@mathkarat6427]

「文字で割るときは0か調べるという基本」 →　大切ですね。

[@ぺにのこ]

自分だったら、整数問題で分数式の時はまず解法2でやっちゃうな 分子の方が分母より大きくないといけないのと、負の場合は分子の方が小さくないといけないの場合分け

[@mathkarat6427]

おっしゃる通りで、解法２の方が応用が効きます。 さすがです。

[@ilove5music9verysomuchmuchmuch]

高一ですが解法1は出てきました 予習進めないと3は分からん💦

[@mathkarat6427]

高1で「解法１」がすんなりでてくるのは、素晴らしいです。 整数問題をなかなかこのような発想に持っていけないと思います。good！です。

[@うんこうたろう]

逆に3以外思いつかんくなってくるから大丈夫

[@ああ-j5g3g]

立教新座高校でまんま同じの問題が出題されたことがありましたね。

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。

[@user-ly3jr5pg1p]

高一ですが、解法1しか思いつきませんでした。

[@mathkarat6427]

「解法１」が最速です。お見事です。

[@ファースト-o1d]

解法1が出るようにしたい

[@mathkarat6427]

#63.でも解説していますが、「２次方程式で困ったら、とりあえず判別式をとってみよう」と生徒さんにお話ししております。それだけで、見通しがよくなったり、解けてしまうことがそれなりにあるからです。

[@user-hyakuiki]

3が1番汎用性高いかなぁ

[@mathkarat6427]

この判断は、微妙です。 難しいところを突きますね・・・

[@redberry-kan]

とりあえずa=100入れたら分母デカくて1にすらならなかったから解法2に至った

[@mathkarat6427]

「解法2に至った」 →　すんなり「解法２」が浮かぶ時点で、凄いと思います。

[@yutakakawai4208]

グラフはつかえますか？

[@mathkarat6427]

使えます。実は、今回の解法以外に３つの解法を準備していて、そのうちの一つがグラフ利用です。基本的に不等式を解くのとあまり変わりません。

[@hirokimorita9153]

この程度の問題で微分は飛び道具感がありますね。

[@mathkarat6427]

「飛び道具感」 →　こういう表現もあるのですね。なるほどです。使わせていただきます。

[@serena9825]

k=0から、a=-1 分母と分子の偶奇は一致するということから、a=2bとして 4(4b+2)/4(b^2+2b+3)、同様に b=2c+1として、 2(4c+3)/2(2c^2+4c+3) 2c^2=0より、b=1、a=2 としたのですがどこが違うのでしょうか?

[@ルクラ-v4o]

まず、分子が偶数なら分母が奇数なのはあり得る あと、4c+3

[@な33]

すごくよく分かる解説だけど声が催眠学習w ボイロとかにしたほうが理解を妨げないと思う

[@mathkarat6427]

申し訳ございません。

[@yp22_]

解法1しか思いつかなかった

[@mathkarat6427]

今回は、「解法１」が最速と思います。

[@Tomo-z8f]

コメント失礼します。 ０は整数ではないので、 答えではないと思いますが、ご意見お聞かせください

[@mathkarat6427]

0は、整数と思いますが、いかがでしょうか？

[@Birrrrrrs]

千葉大ってこんな簡単な問題出るんだ。誘導かな？

[@mathkarat6427]

医学部「医学科」です。（工学部・理学部でも同じ出題） 誘導はありません。

[@Birrrrrrs]

@@mathkarat6427 めちゃくちゃ簡単ですね。

[@mathkarat6427]

私は、「めちゃくちゃ簡単」とは思いません。 時間制限のプレッシャーがかかる中ですので・・・