4 Integrali difficili per vedere se sei pronto per Analisi 1

[@ClearMath1]

*ATTENSCION:* Segnalo un errore nell'ultimo integrale: a un certo punto quel √(1-x^2)^3 l'ho scritto come √(1-x^2). Chiaramente l'elevamento al cubo doveva esserci, come ho scritto nello schema dell'integrazione per parti. Scusate!

[@zarath69]

Mi sembra che hai dimenticato anche -1/3 del secondo integrale...

[@Francesco-ib7dx]

Non mi stancherò mai di dire che questo canale è sottovalutatissimo. Da dove hai imparato a usare minim?

[@ClearMath1]

Ciao! Grazie per il tuo supporto costante, lo apprezzo tanto. Guarda ho imparato manim da "autodidatta", nel senso che ho imparato le basi guardando i tutorial di "theorem of Beethoven" e poi ho sperimentato, chiedendo anche consigli alla community di reddit. All'inizio è tosta (specie se non hai forti basi di programmazione come fu nel mio caso) ma poi da tante soddisfazioni.

[@kylekatarn1986]

L'ultimo integrale l'ho risolto per sostituzione. Viene bello lunghino però XD. Allora, abbiamo: integ[x^3*rad(1-x^2)dx]. Applico la sostituzione x=sint => dx=costdt. Diventa: integ[sin^3(t)*rad(1-sin^2(t))*costdt]. Il radicale lo possiamo convertire in cost, e quindi abbiamo: integ[sin^3(t)*cos^2(t)dt]. Sapendo che cos^2(t)=1-sin^2(t), facciamo questa sostituzione e diventa: integ[sin^3(t)*(1-sin^2(t))dt] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt]. Questi due integrali si risolvono allo stesso modo in cui si risolve l'integrale di sin^2(t), ossia integriamo per parti. Partiamo dal primo integrale: integ[sin^3(t)dt] = integ[sin(t)*sin^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + integ[cos(t)*2sin(t)cos(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sin(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt] Riassumendo, abbiamo: integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) + 2integ[sintdt] - 2integ[sin^3(t)dt] Allora, l'ultimo integrale lo si porta al primo membro e abbiamo: 3integ[sin^3(t)dt] = -cos(t)sin^2(t) -2cost = -cos(t)*[sin^2(t) + 2] e quindi integ[sin^3(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] Abbiamo risolto il primo integrale, ora passiamo al secondo: integ[sin^5(t)dt] = integ[sin(t)*sin^4(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + integ[cos(t)*(4sin^3(t)cos(t))dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)cos^2(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)*(1-sin^2(t))dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt]. Riassumento di nuovo, abbiamo: integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) + 4integ[sin^3(t)dt] - 4integ[sin^5(t)dt] Dato che abbiamo gia risolto l'integrale di sin^3(t), portiamo al primo membro l'ultimo integrale e abbiamo: 5integ[sin^5(t)dt] = -cos(t)sin^4(t) - [4cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] integ[sin^5(t)dt] = - [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)] Avendo risolto i due integrali, possiamo ora eseguire la differenza: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = -[cos(t)/3]*[sin^2(t) + 2] + [cos(t)/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^2(t) + 2)] prendiamo in evidenza cost, e abbiamo: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{[1/5]*[sin^4(t) + (4/3)*(sin^(t) + 2) - (1/3)*(sin^2(t)+2)} A questo punto eseguiamo le varie moltiplicazioni dentro la parentesi graffa. Si ottiene: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = cost*{(sin^4(t)/5) + (4sin^2(t)/15) + (8/15) - (sin^2(t)/3) - (2/3)} Eseguiamo le somme algebriche e portiamo il denominatore comune fuori dalla parentesi. Si ottiene: integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) + 4sin^2(t) + 8 - 5sin^2(t) -10} = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c Abbbiamo finito. Dobbiamo solo riportare tutto alla variabile di partenza, avendo posto x = sint. Ricordando che cost = rad(1 - sin^2(t)), allora: integ[x^3*rad(1-x^2)dx] = integ[sin^3(t)dt] - integ[sin^5(t)dt] = (cost/15)*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c= [rad(1 - sin^2(t))/15]*{3sin^4(t) - sin^2(t) -2} + c = [rad(1 - x^2)/15]*{3x^4 - x^2 -2} + c

[@ClearMath1]

complimenti per la spiegazione così precisa e dettagliata!

[@brayandesilva7947]

"ho raccolto per fare il figo" hahah

[@ChrisRossaroDidatticaDigitale]

L’ultimo integrale per parti, si poteva anche fare con il cambiamento di variabile x=sin(t).

[@ClearMath1]

giusto, anche quel metodo sarebbe stato molto valido. bravo!

[@loekvanderzijde1701]

che bello guardare i video di analisi senza sapere niente (sono in terza). Quest'estate mi imparo almeno fino ad analisi 2

[@sev7ncry9]

Io sono in secondo e giuro che l'analisi è diventata una fissazione, ti giuro che se provi a capirli sei praticamente a bordo, non importa se sono argomenti di quinto/uni

[@loekvanderzijde1701]

@@sev7ncry9 so che li capirei facilmente, ma adesso mi sto concentrando sulle olimpiadi della matematica, giusto per essere sicuro di passare a Cesenatico, poi vedrò cosa fare. Poi ci sarebbe anche fisica...

[@sev7ncry9]

@@loekvanderzijde1701 Si guarda io te l'ho detto giusto per ricordarti l'immensità di questa fantastica disciplina hahaha, sono felice del fatto che sei così interessato anche alle olimpiadi e soprattutto all'ambito fisica. per cui posso soltanto dirti buona fortuna con gli studi

[@loekvanderzijde1701]

@@sev7ncry9 :)

[@ClearMath1]

Non sapete quanto mi faccia piacere leggere di così tanti ragazzi giovanissimi appassionati all'analisi, non sapevo esistesse questa specie così rara! Confermo tutto quello che avete detto: analisi 2 è una FIGATA. Sto lavorando a un corso di analisi 2 da mesi e lo sto riempendo di animazioni 3d perché studiarla in questo modo è una gioia per gli occhi. Fatevi aiutare da più asili visivi possibili perché così capirete veramente bene l'essenza di questa materia.

[@davideluci5091]

ho seguito tutto e fatto gli esercizi ma no, non mi sento pronto. forza roma

[@ClearMath1]

la roma da, la roma daje

[@Laewlash]

Svolgendo per parti l'ultimo integrale, f'(x)g(x) non dovrebbe essere integrale di [ (2/3)x (1-x^2)^(3/2)]? Dato che la l'integrale svolto nel "box" restituisce - (1-x^2)^(3/2) tutto diviso 3?

[@ClearMath1]

ciao! sì purtroppo quello è stato un errore di distrazione, come ho segnalato sotto al video. Per qualsiasi altra cosa sono a disposizione!

[@vincenzodiperna5536]

my nigga ho motivo di credere che l'ultimo integrale sia sbagliato

[@ClearMath1]

e c'hai ragione sai? ho scordato di continuare a scrivere l'elevamento al cubo dentro la radice quadrata dopo aver applicato la formula per parti. Grazie per la segnalazione, ora metto un disclaimer

[@justendeavor]

Il terzo, il secondo integrale non poteva diventare 16( 1/2 arctan (radicedix/2) )

[@pietroesposito9450]

Studio fisioterapia,mi sono ritrovato qui per caso,ho i mal di testa.

[@federicoprognoli2564]

Sapete integrare lnx/(x^2 +1) (integrale indefinito)

[@SilviaMichelotti-r2f]

Buongiorno, nell'ultimo esercizio poteva essere utilizzato il metodo di sostituzione? Ponendo: t=√/1-x^2), oppure no? Grazie mille

[@ClearMath1]

Ciao! Si certo, potevamo usare anche quel metodo

[@francescorange]

Se non sbaglio l'ultimo integrale si può fare anche con la sostituzione t²=1-x² , lo dico da non amante dell'integrazione per parti

[@ClearMath1]

sì esatto, ottima osservazione!

[@Gabriele-Gorreri]

Dove posso trovare quell'algoritmo che hai mostrato nel video?

[@ClearMath1]

nel mio corso su Smartimede. puoi acquistare la lezione singola dove viene mostrato quell'algoritmo o il pacchetto completo. Trovi il link in descrizione

[@lattedipino2173]

perché li ho fatti tutti e 4 a mente

[@ClearMath1]

perché vuol dire che sei pronto per l'esame 💪

[@lattedipino2173]

@@ClearMath1 c'è un problema, sono in 5°😂😅

[@schematism]

​@@lattedipino2173, anche a me sembra strano.

[@pietrosmusi2410]

Che applicazione hai usato oer scrivere?

[@ClearMath1]

Per scrivere gli esercizi Microsoft WhiteBoard, per le animazioni Manim

[@schematism]

Buonasera, sono studente del dipartimento di filosofia ed ho intenzione di seguire Analisi I come crediti liberi. Quindi, questo è il livello generale richiesto come preparazione sugli integrali?

[@ClearMath1]

Ciao Stefano! Dipende molto dal professore e dalla facoltà in cui vuoi sostenere l'esame. Molti professori non si accontentano di far trovare le primitive, ma danno esercizi sul significato profondo dell'operatore integrale: si spazia quindi sugli integrali impropri, su grafici delle funzioni primitive, su integrali di funzioni pari-dispari ecc. Ti consiglio quindi di vedere prima il programma del corso specifico per poi stilare un piano di studi efficace. Se vuoi stare tranquillo e avere una guida completa per irrobustire velocemente le tue competenze in materia, ti rimando a questo mio elenco di lezioni sugli integrali definiti e indefiniti: www.udemy.com/course/analisi-matematica-integrali-con-esercizi-e-animazioni/?referralCode= Con queste puoi apprendere tutti i metodi di risoluzione sugli esercizi che troverai all'esame Analisi 1 con animazioni che aiutano ad afferrare più velocemente ogni tecnica e concetto. Spero di essere stato utile!

[@schematism]

@@ClearMath1, grazie di cuore per l'esaustiva risposta. Sì, mi sei (possiamo darci del tu?) stato di grande aiuto. Sicuramente frequenterò il corso e mi atterrò alle esigenze del professore, ma pensavo di prepararmi un po' prima per non arrivare proprio a digiuno. Per questo motivo, ti ringrazio ancora infinitamente, per avermi indicato una fonte per studiare in modo sistematico l'argomento. Grazie per il vostro lavoro! Sono un filosofo, ma adoro l'analisi matematica!

[@ClearMath1]

@@schematism ma grazie a te per i complimenti! Per qualsiasi altra domanda sono a disposizione!

[@tommasomauro9369]

BRAVO!!! Alcuni di questi trucchi per risolvere gli integrali non mi erano mai venuti in mente!!! Grazie!!! unica cosa... potresti parlare un pò più lentamente e lasciare le videate un pò più a lungo? credo eviterebbe a tanti (me compreso) di fermare più volte il video e anche, a volte, dover tornare un pò indietro per risentire e capire bene!!! Cmq sti metodi sono una FIGATA!!! W JUVE SEMPRE!!!

[@ClearMath1]

Grazie mille davvero! E grazie anche del feedback, cercherò di essere meno frettoloso!