【50年未解決】証明が鮮やかすぎる神秘の定理とは？【ゆっくり解説】

[@Prsk102]

さらっと無限の点を打つ発想が出るド文系がいてたまるか

[@Coda-2]

えびまラボさんで知った定理 あっちは短くてスタイリッシュ、こっちは丁寧でわかりやすい

[@KJIUYHN]

2点だけを通る直線は必ず存在しますが、もし2点を結ぶ直線が必ず第三の点を通るという性質を持つとき、全ての点が一直線上にあるということになります。

[@加茂-r3n]

要するに･･･ ①証明したい命題「平面上で2つの点のみを通る直線は必ず存在する」 　⇒この逆の「平面上で2つの点のみを通る直線は存在しない」=「3点以上を通る直線しか存在しない」を仮定 ②「3点以上を通る直線しか存在しない」とすると、（動画で説明されたように）最小距離の 点と直線 の組み合わせに矛盾が生じる ③よって「3点以上を通る直線しか存在しない」という仮定が間違っている⇒「平面上で2つの点のみを通る直線は必ず存在する」 ということですかね？

[@しろ-u7e4j]

数学科です 「大体」合っています。 というのもその論理展開では「1点だけ通る」直線があってもいいはずです。動画ではこの部分が語られていないので不十分ッスね。

[@Saka-Pisu]

背理使ってるってこと？

[@うめざわとしゆき]

@@しろ-u7e4j全体集合が2点以上を通る直線だから1点しか通らないものは考慮されていない

[@ハカセ-q3c]

@@うめざわとしゆき 全体集合が2点以上を通る直線、っていうのはどこから出てきたものですか？ 普通に、コメ主の「平面上のちょうど2点を通る直線は存在しない」⇔「3点以上を通る直線しか存在しない」は、上で言われている理由等から誤りでは？（⇒の方向が誤り） まぁ動画上の説明はコメ主の記述の通りで、それが厳密には不十分という話ですが

[@うめざわとしゆき]

@@ハカセ-q3c 2点のみを通る直線は引けますか？という命題なので、全体集合を2点以上を通る全ての直線、にした上で、2点以上を通る全ての直線が3点以上を通る（2点のみを通る直線は存在しない）と仮定すると矛盾するので2点以上を通る直線には3点以上を通らない=2点しか通らない直線が存在する、という構築です。

[@hitoshiyamauchi]

なんとなく組み合わせ論的な証明なのかと思っていたら，幾何学的な証明という発想が面白かったです。動画をありがとうございました。 😀

[@cleaning9660]

今日のオチすき

[@いつもの通りすがりの猫]

「不完全」な証明（ウッドウォールの証明）って、どういうのだったのか知りたいな。

[@kmish5100]

点が高々有限であることと全ての点が同一直線上にないことをうまく使ってて好きなんだよなこの証明 些末な話ですが、5:53では各pi/liは適当にでもp1/l1/p2/l2…と表記した方がわかりやすいし、しっくりくると思います

[@xxcammyyoungxx]

まあ、あとからすぐにp1、p2を使うので……

[@kmish5100]

@@xxcammyyoungxx 確かに ただpi/liが乱立してるのかなり違和感あるんですよね

[@ゆーじし-u2c]

平面上の直線はいくらでもあるけど点を任意に打ったときに2点を通る直線全体を考えて、それらは全て3点以上を通ることを仮定してるのかな。

[@きよぴー-q7q]

有限個範囲でたくさん点があってもその領域の縁にある点から考えたら何となく２点だけでいけそうなのは分かる。 縁の外には点がないから縁の点同士の２点だけで線が引けることになる。 1:47のように長方形の格子状に点があったら長方形の一番外枠のにある点同士を探せば２点だけになる。

[@夜草箏]

やべぇ！ マジで理解できないの初かもww 何周かしなきゃ…w

[@takoyaki-ha-yummy.]

5：50あたりで最もl0に近い点はp0って仮定してるぜ　上で待ってるぞ

[@夜草箏]

​@@takoyaki-ha-yummy. 分からない原因が分かった！！！ 点が線から最も近ければどんな組み合わせでも良いと思い込んでた！ 無数に存在する中から最も点と線の距離が1番近い組み合わせを使って証明が進んでたのか！！ 完全な把握漏れ… 上に行けたぞい！ww ありがとます！！

[@kw-sh8pt]

なんか分からんな… P1から斜め上に引いても別に点がある訳じゃなかろう？なぜ最近点が更新されるのか。他を調べるか

[@kw-sh8pt]

5:58 自己解決。全ての組み合わせ中から最小距離になるものを選んだと仮定したのか。ある線分に最小と勘違い

[@ninomiya-27]

私も同じ勘違いしてました

[@kw-sh8pt]

北見工大さんや津山高専さんのPDFが参考になりました

[@アセチルコリン-u1m]

知ってしまえばなんてことないけど、５０年も未解決だったとは、興味深いですね。

[@MultiYUUHI]

いやおかしい。P0とP2を結ぶ線なぞ引けない。P0よりL0に近い点が無いからである。

[@聡福地]

確か２点の格子点のみを通る直線があることを証明せよ、という問題が京大で出題されたことがあったと記憶しているがこの元ネタはこの証明だったのかな？

[@ME-dx7tv]

そんな直線存在します？ ある点(n,m)を通る直線のうち格子点(p+n,q+m)を通る直線は格子点(-p+n,-q+m)も常に通る よって格子点を2点通る直線は3点以上通ることが示される と思うのですが 「1点の格子点のみを通る直線があること」、「格子点を通らない直線が存在すること」であれば問題になると思います

[@hatopoppo_niki]

不可能でしょ 格子点は無限に続くからそんな直線はあり得ない 線分なら非常に簡単に表せるが

[@tsubossie]

​​@@ME-dx7tv 傾きが無理数なら、1点までしか通らなくなるのかな あと切片が無理数で傾きが有理数なら１点？

[@pien_nayo]

@@hatopoppo_niki 感覚的にはそうかもしれないけど、無限でも存在することにはならない。

[@hatopoppo_niki]

@@pien_nayo 感覚的にじゃなくて証明不可でしょ、線分なら可能だが直線ならば際限なく伸びるので格子点を2点を通るなら次の格子点を通過する

[@qwertyfhfsrth]

答えを聞いてみれば簡単なのに、これが50年間未解決だったのがすごい

[@KOYUKINEMI]

それこの人の説明が上手すぎるからじゃない？

[@chinamensuki8170]

「すべての点は同一直線上にない」は「n個すべての点を通る直線が存在しない」ということですよね

[@hatopoppo_niki]

点が同一直線上にあれば平面の2次元の話じゃなくて直線の1次元の話になりますからねー

[@花房藤人]

そもそも定期してから19世紀あと6年しか残ってない……

[@gomadaratack2508]

発想凄い

[@ぱんけーき-t5k]

おもしろい

[@yamato-takeru]

コンテンツ作成お疲れさまです。 ハイリハイリフレハイリ法～♪ よう分からん時には唄ってごまかす(笑)

[@gatchangatchan5593]

おお！！このガライさんの妹のお嫁に行った先のおっかさんの甥の娘が私の曽祖母です。

[@烏丸天狗見習い]

甥の娘が男の娘に見えた。 無数の点を睨みつけていたので目が疲れたらしい。

[@ヨンスタンコヴィッチ]

遠すぎて草

[@名城葵]

もはや他人！

[@ホワイト-s1b]

この前の九大の入試問題はこれ意識してたのかな

[@親子丼-c6o]

他チャンネルさんの名前を出すのは良くないことだとわかっているけど、どうしても言わせてほしい サムネが謎解きラボさんに似ている

[@U_Anata]

5:20 仮定として、必ず3点以上含まれるとする 1:24 2点の線が引けたので仮定が間違っている。証明終わり。 とはならないの？

[@じょん太郎-x3d]

ならないですね 1:24 のときはたしかに2点の線が引けますが、だからといって点が100個、1000個、999999999個………の時にも同じように引けるかどうかは分かりません 無限に存在する点の置き方すべてにおいて2点の線を引くことができれば証明できますが、それが不可能だから動画のように証明する必要があります

[@U_Anata]

必ず3点以上通る必要があるってことを否定したいだけなら2点しか通らないものが1つでもあれば十分だと思うけど なんか誤謬がある言い方をしてるんかな

[@じょん太郎-x3d]

逆に言えば、「3点以上通る直線しか引けない場合」があったとすると、「2点だけを通る直線が必ず存在する」とは言えないですよね だからすべての場合で「3点以上通る直線しか引けない」ことを否定する必要があります しかしそれは不可能なので、動画のような証明が必要になります

[@tomomasa28]

♪ハイリ ハイリフレ 背理法 ハイリフレ フレ ホーホー 丸大ハンバーグ♪

[@ksksrs4015]

思ったんですが、この証明だと、点が無限子あっても2点しか通らない線が引けちゃうってことも証明できている気がするんですが。 無限子あったらそもそも距離が最短の点と直線を定義できないからそこは証明されないとかいう制限がちゃんとついてるんですかね？

[@anakinsleepy]

xy平面のすべての点を含む集合（xy平面自体）だとどの直線も無限の点を含むのです

[@S_Koh]

線は点の集合

[@ksksrs4015]

@@S_Koh 難しすぎてわかんにゃい　ฅ^•ω•^ฅ

[@ahraeeja]

確かに、最短の点と直線が定義できるなら証明できそうですね！ 点の間に近くなりすぎないとかの距離の制約とかつければ無限個あっても行けそうです

[@S_Koh]

@@ksksrs4015 ごめん、証明内容の議論のことだったら「そもそも距離が最短の点と直線が定義できない」って認識は合ってますよ 最短を仮定しても、拡大すればもっと近くにありますよってなっちゃいますからね ただ、平面上に点が無限個ある状態っていうのは、平面そのものを表してる=点の無い箇所が存在しない x軸上ならx=1にも1/10にも1/100にも1/1000にも1/100...000にも点があるってことだから んでその平面=無限個の点にどう直線を引いてもそりゃ無限個の点踏んじゃうよねってんで議論がそもそも必要ニャいんだ≡^•ω•^≡

[@takayukimys]

「2点だけを通る直線は存在しない」という仮定をぜずとも「３点以上を通る直線と最小距離との組み合わせ」に 矛盾を導けてしまって、背理法が成り立ってないように思うんですがどうなんでしょう？ 「2点だけを通る直線は存在しない」ならば「３点以上を通る直線には最小距離の点が必ず存在する」という関係があるんでしょうか？ 証明自体はすごく面白いんだけど、背理法のところが理解できなくて気持ちよくなれない。

[@うめざわとしゆき]

全ての直線は3点以上を通る、と仮定すると最小距離の定義に矛盾が生じるので仮定が棄却されるというお話です。

[@takayukimys]

@@うめざわとしゆき それだと1点だけ通る直線は存在しないも証明しないといけないのではないでしょうか？

[@じょん太郎-x3d]

5:18 にもあるけど、「2点だけを通る直線は存在しない」ならば「直線には3点以上含まれる」ことになる 「直線には3点以上含まれる」という条件において点と直線の最小距離を考えると矛盾が生じる つまり「直線には3点以上含まれる」が間違ってる→「2点だけを通る直線は存在しない」が間違ってるになるってこと

[@うめざわとしゆき]

@@takayukimys2点だけを通る直線が引けるか？と言う話題なので2点以上を通る直線の集合の中で考えれば十分です。

[@takayukimys]

@@うめざわとしゆき @user-xf8iq8ev7e ご回答いただきありがとうございます。 ようやく理解できました。

[@non-mtg]

感覚的には有限個の点なら一番外側の点から二つ選べば達成できそうなのであんまりすごさを感じない

[@r.t.2895]

正三角形の3頂点を打ちます 各辺の中点にも打ちます(計3点) ↑で打った点同士を結ぶ線分の中点を打ちます(計3点) 以上で得られる9点の図形は、どの外側6点から2点選んでも必ず3点以上通ります。したがってその感覚は実は正しくないです。

[@opaiopai881]

@@r.t.2895そんな特殊な場合をコメ主は想定してないやろ😂

[@zolt55]

コメ主は​​「できそう」だけど普通に厳密には「できない」ってことだけだけどな

[@melonkatakata7069]

⁠@@r.t.2895この場合でも、できると思いますよ。 　　　　・ 　　・　・　・ 　　　・ ・ ・　　　・　　　・ 上記の図で、下から2行目の 点２つを結べばできると思います。

[@devil495years]

@@melonkatakata7069 それr.t.2895さんと同じこと言ってるよ

[@MultiYUUHI]

Lと1が見分けにくい！

[@MacchaGreen]

ハーリハリハリハイリホー ハリハリハリーホッホー

[@katsumiookouchi2954]

背理背理振れ背理法背理背理フレホッホッーだろ

[@rodechang]

毎回これかくことにしてるのにパクるな

[@fumizow]

P0とl0、P1とl1の最短距離が違うの当たり前やないの？

[@あき-s1u1q]

シルベスターてスタローン以外にいたのね

[@tes6517]

それは有名人が、という意味合いでいいか？

[@ガムテイン]

動画まだ見てないけど、なんか、鳩の巣原理使えそうな気がするねー

[@コアラのMARCH]

この点はでねぇよ！！

[@jalmar40298]

命題の否定を考えるとき、「ある」とか「すべての」とかの量化をないがしろにするなよ

[@日十-m6z]

片桐はいり☺️ﾎ~

[@福田英人-v2w]

証明出来てるのか。🥺💩

[@あきごっち]

私は地獄の空気どころか、霊夢の天然に「萌え━━━━❣️😍」てなるから合格☀️

[@lemon_games3sub]

〇　〇 　〇 〇　〇 ってすればできないはず

[@いとしん-r5y]

縦か横の2つで行けるのでは？

[@zip8251]

─〇─〇─ 　 〇 ─〇─〇─

[@user-ks5pe4qu7i]

本気で言ってますか？

[@オヤシロ様-y1h]

唐突に障害者湧いてて草