A simple Diophantine Equation

[@leszekczarnecki9965]

Mam uwagę do zadania x+2xy+y=16 !!! Otóż podane pary (x,y), czyli (1,5) i (5,1) oraz sposób rozwiązania, nie są jedynymi rozwiązaniami tego równania dla x,y€R+ , bowiem takich par jest nieskończenie wiele, na przykład para (4/3 ; 4) , (4 ; 4/3) , (5+√22 ; 5-√22) , (5-√22 ; 5+√22) , itd . Chyba, że pokazujący dążył do uzyskania tylko rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych dodatnich , ale przeczy temu podane założenie x>0 i y>0 . Dla przykładu, równanie x+2xy+y=16 (x+y=10 i 2xy=6 ) ... albo także x+2xy+y=16 ( x=4 i 2xy+y=12 ) ... a nawet rozszerzając założenie na cały zbiór liczb rzeczywistych (x,y€R) ,to np: x+2xy+y=16 ( y=-2 i x+2xy=18 ) ( y=-2 i x-4x=18 ) ( y=-2 i -3x=18 |:(-3)) ( y=-2 i x=-6 ) (x,y)=(-6,-2) Sprawdzenie: L = -6+2•(-6)•(-2)+(-2) = -6+24-2 = 24-8 = 16 = P Odpowiedź: Para liczb (-6 ,-2) jest także rozwiązaniem równania x+2xy+y=16 . Zatem co tak naprawdę chciał nam pokazać ów Pan ??? Może w przyszłości dokładniej sprawdzić i przemyśleć każdy problem. Życzę więc powodzenia !!!

[@leszekczarnecki9965]

Na początku dziękuję za wyróżnienie mojego komentarza.Dodam, że sposób w jaki wyznaczono owe dwie pary (1,5) i (5,1) jest prawidłowy przy założeniu , że chcemy otrzymać rozwiązania w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, czyli takich że pary (x,y) € N+ × N+ . Korzystając jednak z możliwości odpowiedzi, pozwólcie, że coś jeszcze dodam do tego tematu. Otóż zauważcie , że wielomian x+2xy+y jest symetryczny, zatem W(x,y)=W(y,x)=x+2xy+y=16 . Oznacza to, że jeżeli para (x,y) jest rozwiązaniem tego równania,to również para (y,x) jest też jego rozwiązaniem . A może taki pokaz zrobić tak: 1) Rozwiązuję dane równanie w zbiorze liczb rzeczywistych, czyli x+2xy+y=16 2xy+y=16-x y(2x+1)=16-x y=(16-x)/(2x+1) i x#-1/2 (x,y)=(x,(16-x)/(2x+1)) , gdzie x € R\{-1/2}=(-co,-1/2)u(-1/2,+co) . Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań tego równania w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór {(x,y)u(y,x): x€R\{-1/2} i y=(16-x)/(2x+1)} , czyli zbiór nieskończenie wielu par liczb postaci (x, (16-x)/(2x+1)) lub ((16-x)/(2x+1), x), gdzie x € R\{-1/2} , czyli np: zbiór par {...,(-4,-20/7),(-20/7,-4),(-2/3,-50), (-50,-2/3),(0,16),(16,0),(1/2;31/4), (31,4;1/2),(1,5),(5,1),(8,8/17), (8/17;8),(9,7/19),(7/19;9),...} . 2) Dane równanie rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych. Przedstawię inny sposób niż podał prowadzący.Rozwiązujemy jak wyżej, czyli: x+2xy+y=16 ... (x,y)=(x , (16-x)/(2x+1)) , gdzie x € R\{-1/2} . Następnie wykonujemy dzielenie wielomianów sposobem pisemnym i otrzymujemy (16-x):(2x+1) = -1/2+ (33/2)/(2x+1) =-1/2 + 33/(2(2x+1)) Niech teraz A , będzie zbiorem tych wszystkich x€C, dla których y€C . Wówczas powyżej otrzymane y=(16-x)/(2x+1)=-1/2+33/(2(2x+1)) € C A={x€C: (2x+1)|33 i 2x+1€C }={x€C: 2x+1€{-33,-11,-3,-1, 1,3,11,33}}={x€C: 2x€{-34,-12,-4,-2, 0,2,10,32}}={x€C: x€{-17,-6,-2,-1,0,1, 5,16}}={-17,-6,-2,-1,0,1,5,16 } . Zatem dla x=-17 mamy y=(16+17):(2•(-17)+1) =33:(-34+1)=33:(-33)=-1 , x=-6 mamy y=(16+6):(2•(-6)+1)= 22:(-12+1)=22:(-11)=-2 , ...dla pozostałych x proszę dalej rachunki wykonać we własnym zakresie, aż do ostatniego x=16 mamy y=(16-16):(2•16+1)= 0:(32+1)=0:33=0 . Przyjmując teraz, że B jest zbiorem wszystkich par całkowitych będących rozwiązaniem tego równania ostatecznie otrzymujemy, że: B={(x,y)€C×C: x€A i y=(16-x):(2x+1)}={(-17,-1),(-6,-2),(-2,-6),(-1,-17),(0,16),(1,5),(5,1),(16,0)} . Odpowiedź: W zbiorze liczb całkowitych zbiorem rozwiązań równania x+2xy+y=16 jest zbiór {(-17,-1),(-6,-2),(-2,-6),(-1,-17),(0,16), (1,5),(5,1),(16,0)} , czyli jest dokładnie osiem takich par całkowitych. Myślę, że spodoba wam się także ten mój dodatkowy uzupełniający komentarz. Zatem dziękuję i życzę wszystkim powodzenia i dobrego dnia !!!