A zero derivative from a fraction? EPFL revisits a classic of MPSI in maths!

[@Joffrerap]

En fait l'inégalité de l'énoncé est equivalent à f(b)-f(c) et f(c)-f(a) sont de signe différent et non nulles, donc 2 cas possible: f(b)f(a) ou f(b)>f(c) et f(c)

[@arthuralvarez4403]

👍🏻

[@TheMathsTailor]

Je crois qu'on a notre démo ultra efficace ! :D Le caractère C1 donne bien accès à quelque chose de rapide. Merci je le pressentais, mais besoin de vous car j'étais parti dans ma démo à TVI :D !

[@AhmedSouilah-c2x]

@@TheMathsTailor en fait même sans le caractère C1 on pourra justifier l'existence du point avec le fameux théorème de Darboux, ça aurait été plus joli en examen!

[@TheMathsTailor]

@@AhmedSouilah-c2x excellent je le vois peu utilisé celui-ci !

[@QoppaSavanna]

Bonjour, merci pour cet exercice et les solutions proposees. Je propose aussi une preuve sans continuite de f prime ; je supposerai que f(x) est juste derivable : 1) l'hypothese dit que nous sommes dans deux cas possibles: (*) f(c) strict. plus grand que f(a) et f(b) ; (**) f(c) strict. plus petit que f(a) et f(b) ; 2) comme f(x) est continue sur le segment [a,b], elle atteint une valeur maximum et une valeur minimum ; dans le cas (*) le maximum est atteint necessairement en un point d dans (a,b) OUVERT ; dans le cas (**) le minimum est atteint necessairement en un point e dans (a,b) ouvert ; 3) on sait qu'en un point d'extremum dans un ouvert la derivee s'annule (nul besoin de supposer f prime continue, c'est vrai en general); donc dans les cas (*)(**) on a resp. f prime (d) = 0 et f prime (e)=0. Il faut reconnaitre que cette preuve rappelle celle du lemme de Rolle.

[@edriddle]

Sans distinction de cas. Par hypothèse, puisque a < c < b, les quantités (f(b) - f(c))/(b-c) et (f(c) - f(a))/(c-a) sont de signes différents. Mais le TAF appliqué à ces deux quantités fournit s dans [ c , b ] et t dans [ a , c ] tels que (f(b) - f(c))/(b-c) = f '(s) et (f(c) - f(a))/(c-a) = f '(t). Ainsi, la fraction f '(s)/f '(t) est strictement négative, ce qui implique que f '(s) et f '(t) sont de signes différents. On applique le TVI à la fonction continue f ' sur le segment [ s , t ], ce qui donne l'existence de x dans [ s , t ] tel que f ' (x) = 0.

[@legaminouroflroflrofl2471]

Bonjour The Maths Tailor, que conseillerais-tu à quelqu'un qui souhaite reprendre les maths pour mieux aborder tes vidéos ? Je n'en ai pas fait pendant 8 ans, depuis mon BAC S + biostats. De faire Studeo lycée puis prépa ? Merci d'avance. Ton contenu est vraiment top mais il faut vraiment avoir un minimum la tête dans les maths pour l'apprécier je pense.

[@AhmedSouilah-c2x]

Appliquer le TAF sur [c,b] et [a,c] les 2 dérivées sont de signe opposé car la fraction est négative donc par le TVI (f' est continue) il découle qu'il existe un point entre les 2 points du TAF et donc entre a et b dans lequel f' vaut 0. C'est une question relativement facile comparée aux autres de EPFL mais assez intéressante.

[@TheMathsTailor]

Je remarque que le TAF est très présent dans les réponses, plus rapide que de faire un Rolle plus basique, merci de la belle contribution !

[@frankstengel6203]

En fait l'hypothèse C^1 n'est pas nécessaire. Il suffit de continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. La démonstration est une reprise de celle du théorème de Rolle. Avec l'hypothèse f(c)-f(a) et f(b)-f(c) de signe opposés et non nuls, on a f(c)>f(a) et f(c)>f(b) (resp.

[@mathi3u854]

J’avais fait : Traiter le cas f(b)-f(c)0 => la fonction est croissante sur un intervalle inclu dans ]a;c[ et decroissante sur un intervalle inclu dans ]c;b[ => la derive est positive sur l’intervalle inclu dans a;c et negative sur l’autre. Comme f est c1 => f’ continu => tvi sur f’ et => f’ = 0 sur [a;b] ( existe x …)

[@Joffrerap]

c'est pas si évident que f est croissante sur un intervalle inclu dans ]a;c[ mais tu peux dire par TAF que la dérivé est strictement positive à au moins un point de ]a:c[ et de même sur ]c;b[, puis conclure de même manière. Edit : C'est même peut être faux que f est croissante sur un intervalle.

[@mathi3u854]

@ oui oui my bad taf et c bon