Petit suisse🇨🇭au dessert : l'EPFL nous régale avec un exo - Suite récurrente et série inverse

[@girianshiido]

Salut, tu commences par dire que f'(t)>=2 pour tout t dans R puis tu intègres cette inégalité entre 0 et x. Il y a deux problèmes : le premier c'est que tu ne sais pas si f' est intégrable et le deuxième c'est que l'inégalité n'est conservée que si x>=0. On peut y remédier en utilisant le théorème des accroissements finis : f(x)-f(0)=f(x)=f'(c)x avec c compris entre 0 et x donc f(x)>=2x si x>=0 et on a bien sûr l'inégalité inverse si x

[@deego19]

- intégrable ? toute fonction continue s'intègre sur un segment, ce qui est le cas ici, puisque f(0) = 0 et f dérivable donc continue - il est bien évidemment sur R+ parce qu'il étudie une suite (an)n minorée par 1, donc tlm s'en fiche de ce qui se passe chez les négatifs

[@TheMathsTailor]

Merci girianshiido pour la précision car en effet je n’ai fait quelque chose de juste que pour x>0 j’ai oublié de traiter le reste des cas ! Deego tu as raison sur le fait qu’on s’en fiche en fait de R- mais je dois reconnaître que je ne l’ai pas argumenté bien sur ce fait et ai plutôt oublié de traiter le cas 😅

[@girianshiido]

@deego19 attention, c’est f' qui est intégrée ici, pas f.

[@ArnoBERGER-np2ip]

​@@TheMathsTailoret pour l'integrabilité? On doit pas dire que f est C1 plutôt?

[@TheMathsTailor]

Zut tu as raison si elle est C1 ça roule, sinon il est possible qu'en fait on ne puisse échapper aux accroissements finis 😅

[@rafjeevarafjeeva5952]

Soit f une telle application (c'est à dire vérifiant les conditions de l'énoncé) Alors pour tout x dans R+, en intégrant f' de 0 à x on obtient que f(x)>=2x, ainsi par récurrence on peut montrer que pour tout n dans N, a_n>=2^n d'où 0

[@TheMathsTailor]

C’est exactement ça !

[@girianshiido]

@@rafjeevarafjeeva5952 attention, il n’y aucune raison que f' soit intégrable.

[@rafjeevarafjeeva5952]

@@girianshiido Pourquoi ? f' est la dérivée de f donc f est une primitive de f' non ? Après à la limite si je ne peux pas intégrer je pose g(x)=f(x)-2x ce qui donne g(0)=0 et pour tout x g'(x)=f(x)-2>=0 ainsi g est croissante d'où pour tout x dans R+ g(x)>=g(0)=0 ce qui implique f(x)>=2x.

[@girianshiido]

@ hélas, ce n’est pas si simple que cela dans le monde de l’intégration : il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n’est pas intégrable au sens de Riemann. C’est passionnant mais bien compliqué à détailler ici. Chercher "integrability of derivatives".

[@girianshiido]

@ voir alpha.math.uga.edu/%7Epete/Goffman77.pdf

[@Inventor8350]

Bonjour, pourriez vous me dire où vous avez trouvé cet exo? Merci d avance.

[@TheMathsTailor]

Quelqu'un de la communauté me l'a transmis ! Environ 4000 membres sur discord (en description) qui partagent leurs sujets et exos qu'ils trouvent intéressants ;)