Ammissione Scuola Normale 2007 - quesito 5

[@aiax7637]

È una parola arrivarci!

[@max031066]

Bella risoluzione Gaetano. Propongo anche questa (relazione che ho ottenuto utilizzando coefficienti incogniti e l'identità tra polinomi): a^2-5b^2 = 2(3a+b)(2a+3b) - 11(a+b)^2

[@GaetanoDiCaprio]

ottimo

[@giuliofalco9816]

La mia dimostrazione è più semplice: Sappiamo che 2 a + 3 b = 0 mod 11 2 a = - 3 b mod 11 2a = 8 b mod 11 a = 4 b mod 11 di conseguenza il numero a^2 - 5 b^2 = (4b)^2 - 5 b^2 mod 11 16 b^2 - 5 b^2 = 11 b^2 = 0 mod 11

[@GaetanoDiCaprio]

Molto bella! Non vedo tanta differenza in termini di difficoltà: nella tua c'è una idea fondamentale che è quella di scrivere 2a=8b mod 11, nella mia quelle di scrivere -9b^2 -11b^2. Anche come lunghezza sono analoghe. Comunque ribadisco molto bella la tua!

[@gianlucaurbanelli]

Ho capito che hai usato l'algebra modulare, o dell'orologio ma non mi è chiaro il terzo passaggio, ho capito che tu hai fatto -3 +11 = +8 ma perchè 2a è rimasto lo stesso ?

[@GaetanoDiCaprio]

@@gianlucaurbanelli La relazione di congruenza modulo k è compatibile con le operazioni di somma e prodotto. In soldoni vuol dire che sostituendo un qualsiasi fattore di un prodotto con un fattore congruente il prodotto non cambia. Quindi si può tranquillamente scrivere 8 al posto di -3 senza introdurre nessun altro cambiamento nell'equazione. Si tratta di una sostituzione che nulla ha che vedere con i principi di equivalenza delle equazioni.

[@alessiodaini7907]

tipico di uno studente di ingegneria informatica. Anch'io avevo pensato di ragionare in termini simili

[@alessiodaini7907]

@@gianlucaurbanelli semplice: ha aggiunto 11b nel modulo di (-3b)mod11, che è equivalente alla precedente, perché all'interno del modulo aggiungere un multiplo dell'indice di modulo è come non metterci niente. Per fare un esempio: (15)mod11 = (4 + 11) mod11 =( (4)mod11 + (11)mod11)mod11 = (4)mod11= 4. Ecco qui ha fatto la stessa cosa, ma al contrario

[@dzuddas]

Con l'aritmetica mod 11 si ha: 2a + 3b = 0 quindi (a, b) = c(3, -2) ovvero a = 3c, b = -2c, qualunque sia c intero mod 11. Sostituendo: 9 c^2 - 5*4 c^2 = -11 c^2 = 0, che dimostra l'asserto.

[@lulipoldbloom]

Ottimo video, spero ce ne siano di più sull'ammissione alla normale

[@GaetanoDiCaprio]

Ne ho già preparato un altro...😉

[@lulipoldbloom]

@@GaetanoDiCaprio risorsa utilissima per noi studenti che vogliamo provare l'esame, grazie mille! Sarebbero molto utili anche video sulle strategie più generali per risolvere problemi come quelli della normale e di cesenatico

[@GaetanoDiCaprio]

@@lulipoldbloom Ho in cantiere almeno altri cinque o sei video su quesiti di ammissione alla Normale. Per quanto riguarda invece le gare olimpioniche a dire il vero non sono molto bravo in quelle... Grazie per i consigli!

[@bernysaudino5929]

Io ho sfruttato l'aritmetica modulare cioè Ip 11 | 2a+3b; Th 11 | → a²-5b² 2a+3b ≡ 0 mod 11 → 2a ≡ -3b mod 11 2*(-5) = -10 ≡ 1 mod 11 inverso modulare a ≡ (-3)(-5)b mod 11 → a ≡ 15b mod 11 → a ≡ 4b mod 11 sostituisco (4b)²-5b² = 16b²-5b² = 11b² → 11 | 11b² 11 | a²-5b² Perr trovare l'inverso modulare ho usato l'identità di Bezout 1=1*11+(-5)*2

[@GaetanoDiCaprio]

Ottimo

[@sunrise9535]

Sarebbe interessante capire qual è il processo che porta a trovare la dimostrazione. Qual è il ragionamento in base al quale si scegliere il fattore 4 all'inizio della dimostrazione? È frutto di vari tentativi, o c'è un modo preciso di ragionare per la scelta giusta? Grazie, per questo e tutti gli altri video, molto interessanti.

[@GaetanoDiCaprio]

Sono partito dall'identità (2a+3b)(2a-3b)=(4a^2-9a^2), per cui ho deciso di moltiplicare per 4 la quantità a^2-5b^2. Grazie a lei per l'attenzione verso il canale

[@annapiamazzeo8414]

Bellissima dimostrazione

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@pinkusbotzo2559]

A me piace usare i metodi e gli algoritmi standard per risolvere (tentare di risolvere) i problemi. Qui dire che (2a + 3b) è divisibile per 11 equivale a scrivere l'equazione diofantea (2a + 3b) = 11k , dove k è il parametro intero risultato della divisione. L'equazione diofantea è di primo grado, e il metodo risolutivo generale può essere applicato a questo caso. Conviene però sempre riscrivere una equazione di questo tipo con il coefficiente maggiore all'inizio: (3b + 2a) = 11k I coefficienti 3 e 2 sono primi tra loro, quindi una soluzione particolare si trova considerando il termine noto uguale a 1 (che è il loro MCD), e riscrivendo l'equazione come (teorema di Bézout, confesso che non lo conoscevo): (3m + 2n) = 1, con soluzioni particolari b = 11m e a = 11n (oppure, come detto prima, b = 11km e a = 11kn perchè noi abbiamo il parametro k) da cui si ricava facilmente che, poiché deve essere 3m = 1MOD(2), cioè si divide 3 per 2: m = 1 e n = -1, e due soluzioni particolari sono quindi b = 11mk a = -11nk cioè b = 11k a = -11k Tutte le altre soluzioni si trovano con le espressioni b = 11k - 2t a = -11k + 3t con t intero qualunque, positivo o negativo, o anche zero. Infatti con k = 1 (cioè l'equazione diciamo di “base” 3b + 2a = 11) t = 1 dà b = 9, a = -8 t = 2 dà b = 7, a = -5 t = 4 dà b = 3, a = 1 t = 11 dà b = -11, a = 22 , ecc Poichè la seconda parte del problema dice che a e b devono essere tali da avere (a^2 - 5b^2) divisibile per 11, significa che sia a che b devono essere divisibili per 11. Qundi le uniche soluzioni che funzionano sono date dal parametro t che a sua volta sia multiplo di 11, cioè per t = 11h. Così facendo, si ha l'espressione (a^2 - 5b^2), espressa inglobando le soluzioni generali dell'equazione di partenza, a = -11k + 33h b = 11k - 22h che diventa (-11k + 33h)^2 - 5(11k - 22h)^2 che è sicuramente divisibile per 11 perchè fattorizzabile.

[@GaetanoDiCaprio]

Non ti è chiaro forse il concetto di ipotesi e tesi. La proprietà: "a^2 - 5b^2 divisibile per 11" è la TESI, non è la "seconda parte del problema". La devi dimostrare a partire dalle ipotesi non fare in modo che sia vera CAMBIANDO le ipotesi.

[@pinkusbotzo2559]

OK, ci riprovo (non credo di aver cambiato l'ipotesi, io tendo a procedere con metodi “bruti”, cioè cercando soluzioni alle equazioni): IPOTESI: (2a + 3b) è divisibile per 11 TESI: (a^2 - 5b^2) è divisibile per 11 Dire che (2a + 3b) è divisibile per 11 equivale a scrivere che [1] (2a + 3b) = 11k (con k parametro intero). Sotto questa ipotesi, a e b devono avere valori che sono soluzione dell'equazione diofantea lineare di 1mo grado [1]. Le soluzioni sono infinite, e esprimibili come a = - 11k + 3t b = 11k - 2t con t parametro intero, come k. Qualche esempio (ma sono pronto a scommettere che sono corrette): con k = -1, t = 1, si ha a = 14, b = -13, e (2a + 3b) = -11 con k = 1, t = 1, si ha a = -8, b = 9, e (2a + 3b) = 11 con k = 1, t = 3, si ha a = -2, b = 5, e (2a + 3b) = 11 con k = 2, t = 2, si ha a = -16, b = 18, e (2a + 3b) = 22 con k = 3, t = 1, si ha a = -30, b = 31, e (2a + 3b) = 33 se a e b assumono questi valori, l'ipotesi è soddisfatta, cioè (2a + 3b) è sicuramente divisibile per 11, Ora si tratta di dimostrare la tesi, e cioè che con a e b che assumono quei valori, conseguentemente (a^2-5b^2) è divisibile per 11. Quindi, sostituisco i valori di a e b che soddisfano l'ipotesi, nell'espressione della tesi, che chiamo F. F = (-11k+3t)^2 - 5 (11k-2t)^2 deve quindi essere divisibile per 11. Vedo di dimostrarlo sviluppando prima l'espressione: F = (-11)^2 k^2 - 66 kt + 9 t^2 - 5 [(11^2 k^2 - 44 kt + 4 t^2)] = = (-11)^2 k^2 - 66 kt + 9 t^2 - 5 (11^2) k^2 + 5 * 44 kt - 5* 4 t^2 ordino il polinomio secondo k^2, kt, t^2, e valuto i tre relativi coefficienti numerici. Il coefficiente di k^2 è [(-11)^2 - 5(11)^2] che è chiaramente divisibile per 11 Il coefficiente di t^2 è [ 9 - 5*4 ] = 11 che è chiaramente divisibile per 11 Il coefficiente di kt è [ -66 + 5*44 ] che è chiaramente divisibile per 11 Quindi, ricordando che k e t sono parametri interi, l'espressione F, contenente a e b espressi secondo ipotesi, è formata da tre monomi interi i cui coefficienti numerici sono tutti divisibili per 11. Ergo, potendo raccogliere 11 a fattor comune, F è globalmente divisibile per 11. Credo sia formalmente corretto.

[@GaetanoDiCaprio]

@@pinkusbotzo2559 Sì, è corretta, forse la forma in cui l'avevi espressa nel primo commento mi ha portato erroneamente a concludere che non lo fosse. Quello che mi aveva lasciato perplesso è che tu affermavi che a e b dovessero necessariamente essere divisibili per 11, cosa ovviamente non vera. Grazie per averci riprovato! 👍

[@miccapcapo8376]

Chiedo: perché dovrebbe venire in mente di moltiplicare per 4 per il binomio a^2 -5b^2

[@GaetanoDiCaprio]

Per fare tornare i conti, naturalmente

[@francesrod7883]

Ciao, ottima dimostrazione. Il teorema che hai citato non lo conoscevo, dove potrei trovare l'enunciato

[@GaetanoDiCaprio]

Ciao, grazie. Si tratta davvero di un teorema di base, lo trovi in qualsiasi testo di teoria dei numeri. In italiano, ad esempio, lo trovi a pag. 62 del testo "Teoria dei numeri" di Salvatore Damantino, della collana "U Math"

[@mcumer]

Ho trovato, ricavando a in funzione di b e prendendo le parti intere, due soluzioni particolari dell'equazione diofantea 2a+3b=11, cioè (1;3) e (4-;1).. esse possono essere generalizzate attraverso la formula (1+3n;3-2n) con n intero.. sostituendo nella formula a^2-5b^2 si ottiene un polinomio multiplo di 11.. poiché, inoltre, 2, 3 e 11 sono primi tra loro, se al posto di 11 mettiamo un multiplo di 11 stesso, otteniamo soluzioni multiple delle soluzioni di 2a+3b=11..inoltre gli esponenti di a e b sono uguali nella formula a^2-5b^2 e per questo se moltiplico per un medesimo fattore a e b, il risultato della formula sarà proporzionale al quadrato del fattore utilizzato e quindi ancora divisibile per 11..L'unico aspetto che non riesco a dimostrare rigorosamente è che la formula (1+3n;3-2n) descriva davvero tutte le soluzioni dell'equazione diofantea

[@francescoabbruzzese170]

Vedendo il tutto come equazioni mod 11 tutto diventa abbastanza banale e spontaneo senza richiedere una analisi per tentativi e fallimenti. 2a+3b = 0 mod 11. Risolviamo per a e sostituiamo nella seconda e vediamo se otteniamo 0 mod 11. Essendo in un anello non possiamo dividere per cui dobbiamo sostituire 2a e non a nella seconda. Quindi dobbiamo moltiplicare per 4 la seconda equazione, cosa che non ne cambia le soluzioni poichè 4 ≠ 0 mod 11. Quindi procediamo: 2a=-3b mod 11, (2a)^2 -20b^2. Sostituendo: (-3b)^2-20b^2 = mod 11 = (9-20)b^2 = 0 mod 11. Q.E.D.

[@GaetanoDiCaprio]

Molto simile alla mia senza congruenze. C'è un commento di un altro iscritto che usa le congruenze in maniera molto più veloce

[@francescoabbruzzese170]

@@GaetanoDiCaprio , si ho fatto una cosa superficiale essendo mod 11 ed essendo 11 primo siamo in un campo e quindi 2 ha un inverso che è 6, Posso quindi risolvere rispetto ad a direttamente e sostituire nell'altra equazione senza moltiplicarla per 2.

[@andreabrigenti7680]

ciao, io ho semplicemente applicato la divisione tra polinomi tra a^2-5b^2 e 2a+3b. Ottengo che a^2-5b^2= (2a+3b)(0,5a-0,75b)-11b^2. A questo punto raccogliendo b2 otteniamo un numero che moltiplica 2a+3b (che è sicuramente multiplo di 11) diminuito di 11 ( e quindi ancora multiplo di 11.

[@GaetanoDiCaprio]

Il resto della divisione è errato, quello corretto è -11/4 b^2

[@antoniodesario9618]

Bellissima!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@sergiobuschi4201]

Nelle classi resto modulo 11 si ha: a^2 - 5b^2 è la differenza di due quadrati poichè 7^2=5, quindi a^2 - 5b^2= a^2 - (7b)^2 = (a+7b)(a-7b) ; inoltre da 2^{-1}=6, da 2a + 3b=0 moltiplicando per 6 segue a + 7b= 0, da cui l'asserto (è divisibile).

[@GaetanoDiCaprio]

👏

[@ninoporcino5790]

si poteva risolvere con le congruenze?

[@GaetanoDiCaprio]

Sì

[@nicolovalle4859]

Ciao, sarebbe fattibile anche con il metodo per induzione?

[@GaetanoDiCaprio]

Non credo, qui ci sono due variabili in gioco, mentre l'induzione funziona per una proposizione P(n) con n naturale

[@Shedir]

se 2a+3b è divisibile per 11, significa che può essere scritto come 2a+3b=11N ma allora a=(11N-3b)/2 sostituendo al numero a^2-5b^2 devo ottenere un altro numero divisibile per 11 quindi (11N-3b)^2-20b^2 121N2-66Nb-11B^2 è multiplo di 11 perché può essere scritto 11(11N^2-6b-1b^2) that's all folks

[@GaetanoDiCaprio]

Ottimo, grazie!

[@giampierogiancipoli7780]

2a+3b multiplo di 11 si traduce 2a+3b = 0 (mod 11) => 2a = -3b (mod 11) => 2a = 8b (mod 11) => a = 4b (mod 11). quindi a^2-5b^2 (mod 11) diventa (4b)^2-5b^2 =16b^2-5b^2 = 11b^2 = 0 (mod 11) => a^2-5b^2 è multiplo di 11.

[@GaetanoDiCaprio]

Perfetto

[@dandeleanu3648]

Scusi non parlo Italiano The problem could be solved as a diofantine eq. 2a + 3b = 11 => a = 4 + 3t ; b = 1 - 2t , and t is any integer a^2 - 5b^2 = (4 + 3t)^2 - 5(1 - 2t)^2 = -11t^2 + 44t - 11 which is divisible by 11 q.e.d.

[@GaetanoDiCaprio]

Very nice solution, thank you!

[@pinkusbotzo2559]

Yes, this is what I have just posted now, with the minor difference that 2a + 3b = 11k, because if (2a + 3b) is divisible by 11, then must be 2a + 3b = 11k, not only 11. 🙂

[@dandeleanu3648]

@@pinkusbotzo2559 A pensarci bene hai ragione

[@cicciopancetta5200]

Io ho posto 2a+3b=11k, e ho sostituito b in a^2-5b^2 = (1/9)*(-11a^2+220ak-605k^2). Questo è un intero, il numeratore è divisibile per 11, e non ha fattori 11 a denominatore.

[@GaetanoDiCaprio]

Molto bene!

[@giuseppedesantis9455]

Io avevo sbagliato,alle lettere avevo sostituito lo stesso numero,sono rimasto spiazzato,parecchie nozioni non so,nella divisibilità mi sono imbattuto del più e meno

[@GaetanoDiCaprio]

Metto in cantiere un video sulla divisibilità allora

[@Gianni_X]

Per a = 3 e b = 5 non funziona; 3^2-5*5^2= 9-125=(-116); -116 diviso undici non è intero

[@GaetanoDiCaprio]

Forse ti è sfuggita l'ipotesi: 2a+3b deve essere divisibile per 11, con a=3 e b=5 l'ipotesi non vale

[@FR4NKTUB3]

​@@GaetanoDiCaprio infatti 21 non è divisibile per 11

[@danielelinari9097]

Scusate ma volevo sapere se il mio approccio era corretto, ovvero: 2a + 3b = 11k (con k intero) a=(11k-3b)/2 da cui ((11k-3b)/2)²-5b² (121k²+9b²-66bk-20b²)/4 11(11k²-b²-6bk)/4 Da cui si ha che il valore inferiore ha un fattore undici, ed è quindi divisibile per 11. Ma non sono per nulla sicuro se ciò che ho fatto sia corretto.

[@GaetanoDiCaprio]

Sì è corretto anche se un purista nel lavorare con gli interi non userebbe mai la divisione (è un'operazione non definita negli interi). Insomma quel /4 non è proprio bello ma comunque il tutto funziona!

[@gregorioeugenioragazzini1824]

Ciao! Anche io ho utilizzato la stessa strada! Arrivato alla uguaglianza: (a^2-5b^2)=(11/4)•(11k^2-b^2-6kb) ho cercato di andare avanti, possiamo scrivere: (a^2-5b^2)/11=(11k^2-b^2-6kb)/4 Quindi dimostrare che (a^2-5b^2) sia divisibile per 11 equivale a dimostrare che (11k^2-b^2-6kb) sia divisibile per 4. Torniamo alla condizione 2a+3b=11k. Possiamo notare che 2a sarà sempre pari, per cui a b pari corrisponderanno k pari e per b dispari corrisponderanno k dispari. Abbiamo quindi due casi: A) b=2M;k=2L (caso pari) B) b=2M+1;k=2L+1 (caso dispari) Applichiamo le sostituzioni di b e k nei due casi all'espressione (11k^2-b^2-6kb), ottenendo: A) 4(11L^2-M^2-6ML) B) 4(11L^2-M^2-6ML+8L-4M+1) Quindi in entrambi i casi la quantità (11k^2-b^2-6kb) è divisibile per 4 e concludiamo che a^2-5b^2 è divisibile per 11 come cercavamo. È corretto? Il video mi è piaciuto ma non avevo proprio pensato di partire considerando 4(a^2-5b^2) e poi procedere da lì! Grazie mille!

[@GaetanoDiCaprio]

@@gregorioeugenioragazzini1824 sì mi sembra corretto

[@parsecgilly1495]

io lo dimostrerei in maniera piuttosto elementare in questo modo: partiamo quindi dal fatto che 2a+3b è divisibile per 11, cioè, posso scrivere: (2a+3b)/11=k , dove k è un numero intero; risolvendo rispetto a 2a, ottengo: 2a=11k-3b (*) consideriamo ora il secondo binomio, è ovvio che se ipotizziamo a^2-5b^2 divisibile per 11, lo sarà lo stesso binomio moltiplicato per quattro: cioè 4a^2-20b^2, che posso scrivere così: (2a)^2-20b^2 a questo punto sostituisco in quest'ultima il valore di 2a espresso dalla (*) ottengo: (11k-3b)^2-20b^2 sviluppando il quadrato del primo termine e riordinando ottengo: 121k^2-11b^2-66kb a questo punto, posso raccogliere 11 a fattor comune: 11(11k^2-b^2-6kb) (**) si noti ora che all'interno della parentesi ho una somma algebrica di interi (per come è definito il problema), per cui, dividendola (**) per 11, ottengo un numero ancora intero. azz...mi scuso, leggendo la soluzione dell'utente. Shedir, mi rendo conto di aver scritto (senza saperlo) la sua stessa dimostrazione! :)

[@GaetanoDiCaprio]

👍😃