Scuola Normale admission test, 2016

1/x + 1/y = 1/6

[@andreapedron568]

Complimenti per questo canale che ho scoperto da poco, ma che trovo di qualità, estremamente piacevole e stimolante. Ho trovato molto elegante la soluzione al problema, ottenuta per fattorializzazione dell'espressione e ricerca dei divisori del termine noto. Io ho utilizzato un metodo più farraginoso che comunque le propongo. Da xy=6x+6y ottengo x=6x/y+6, poiché x intero y è divisore di 6x e dunque tutti i fattori primi di y diversi da 2 e da 3 sono presenti in x con esponente almeno uguale all'esponente con cui compaiono in y. Per la simmetria del problema, scrivendo y=6+6y/x si ha che tutti i fattori primi di x diversi da 2 e da 3 sono presenti in y con esponente almeno uguale all'esponente con cui compaiono in x e dunque ogni fattore primo diverso da 2 e da 3 compare in x e y con lo stesso esponente. Per quanto riguarda i fattori 2 e 3 questi, essendo i fattori di 6, possono comparire con esponenti diversi in x e y ma gli esponenti possono differire al più di 1. A questo punto il rapporto r=y/x deve essere scrivibile come una frazione, che dopo semplificazione, ha numeratore e denominatore ottenuti combinando i fattori 2 e 3 presi solo una volta. Ipotizzando y>=x, i soli rapporti r possibili per y e x sono allora {1, 2, 3, 6, 3/2} a cui vanno affiancati i valori per y

[@GaetanoDiCaprio]

Molto interessante! ottimo

[@koenigkiss]

Gent.mo , la Sua capacità di spiegare e far apprendere è davvero notevole, come già successo apprezzo e La ringrazio.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie a lei!

[@BC107BP]

L'inverso della prima riscrittura dell'equazione mostrata nel video, che quindi sarebbe xy/(x+y), è una formula basilare in elettrotecnica per calcolare la resistenza equivalente di un parallelo di due resistenze (ad es. la resistenza di un parallelo tra 150 Ω e 75 Ω equivale a 50 Ω, così come un parallelo tra due resistenze da 100 Ω è sempre 50 Ω, ecc.). Da tecnico infatti leggendo la domanda ho subito pensato al suo risvolto "fisico", ovvero "mi stanno chiedendo di trovare due resistenze di valore intero che messe in parallelo mi diano 6 (Ω)". Per questo, ritengo, il vincolo sulla positività dei valori di X e Y. Ottima spiegazione comunque, complimenti!

[@GaetanoDiCaprio]

Molto interessante, grazie!

[@MegaMarco1906]

Basterebbe isolare la x o la y nell'equazione iniziale trovando quindi x=(6y)/(y-6) con y >6 trovi tutte le coppie possibili

[@GaetanoDiCaprio]

Sì è un valido metodo alternativo

[@18feb2013]

Però si andrebbe a tentativi per trovare le coppie? Per esempio, con y=11, la coppia che si ottiene sarebbe da scartare perché x non è intero.

[@luigibaronchelli3183]

prima di procedere a tentativi dovresti però trovare un margine superiore per y oltre il quale sei sicuro di non trovare più valori di x interi, altrimenti non hai modo di sapere se le coppie da te trovate siano effettivamente tutte quelle esistenti. Il problema però è che posta l'equazione in quella forma non vedo modo di ricavare facilmente un possibile margine

[@alessandrolocatelli]

In realtà il margine superiore è 12 (compreso), data la simmetria del problema. Oltre a questo valore infatti si ritroverebbero per y gli stessi valori già trovati per x (es. y=15, x=10).

[@francescoabbruzzese170]

In realtà anche la ricerca per tentativi è abbastanza facile. Se supponiamo che x sia il maggiore deve essere compreso tra 7 e 12 altrimenti o quanlunque altro y non gli farebbe mai raggiungere 1/6 (se fosse maggiore di 12) o da solo 1/x raggiungerebbe 1/6 (se fosse minore di 7). A quel punto per ogni x tra 7 e 12csi trova y dato x ed è fatta. L'unico valore che non porta a soluzioni è x=11. Analoghe maggiorazioni si possono fare anche considerando che i numeri possono essere negativi, ma purtroppo in questo caso si raddoppiano i tentativi da fare perchè si deve scendere a x=1. La tua soluzione invece permette di ottenere le soluzioni negative per simmetria. Credo che il fatto di poter ottenere le negative per simmetria, però sia vero per una classe moltoi più ampia di equazioni deofantine che hanno le possibili soluzioni limitate in un intervallo (come accade in questo caso). Per quanto intuisca che una opportuna traslazione e successiva traslazione inversa possano ottenere lo scopo non ho trovato ancor un modo generale di trovare in centro di simmetria nel quale effettuare la traslazione. Di certo quando le soluzioni sono limitate in un intervallo una traslazione elimina la seccatura di gestire valori negativi, però credo che sotto condizioni abbastanza generali (ma non sempre) esista un centro di simmetria che permetta di dimezzare poi il lavoro da fare per tentativi. Se trovo come fare (quando ho tempo) lo pubblico qui...

[@GaetanoDiCaprio]

Non vedo l'ora

[@user-bx7rw1pt4p]

Secondo me da 2:04 si potrebbe anche isolare la x, in modo da ottenere x=6+36/(y-6) ed essendo x intero si può dire che y-6 è un divisore di 36... da qui seguono i vari casi... il suo metodo sicuramente è più immediato ma richiede quel colpo d'occhio di fare +-36

[@GaetanoDiCaprio]

Metodo alternativo assolutamente corretto! C'è da dire, però, che, in realtà, ricavando la x si ottiene x=(6y)/(y-6), e per passare a x=6+36/(y-6) ci vuole comunque un "guizzo" non ovvio...

[@antonioorlando5246]

Il guizzo sarebbe trasformare la frazione 'impropria' in un numero mixto, e comunque il procedimento è equivalente poi al suo con il 36 ... è la parte creativa che accennava - complimenti per il canale Professore DiCaprio. L'ho scoperto da pochissimo e mi sono subito iscritto. La seguo dall'Argentina. Grazie e Ad maiora semper@@GaetanoDiCaprio

[@GaetanoDiCaprio]

@@antonioorlando5246 grazie mille!

[@ciaolucio]

Quesiti davvero stuzzicanti, ottima esposizione.

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@wilhelm840904]

Si può osservare che se x>12 allora 6

[@GaetanoDiCaprio]

Sì è un valido metodo alternativo

[@terter3033]

Io l'ho risolto differentemente. Ho supposto x >= y cosai che 1/y >= 1/x. Quindi possiamo notare che 1/x+1/y

[@GaetanoDiCaprio]

Molto bene!

[@carlorossi2788]

geniale

[@Zonnymaka]

L'ho risolto anch'io col medesimo ragionamento ma decisamente più semplificato. Osservo banalmente che le soluzioni sono simmetriche. Quindi partiamo vedendo se x=y è una soluzione (ed è così) e la utilizzo come massimo. Poi noto che 1/y6. Per cui 6

[@salvatorerandazzo2137]

Sig. Di Caprio, nella congettura di Erdos Strauss gli interi x, y, z devono differire tra loro o potrebbe esserci, ad esempio x=y?

[@GaetanoDiCaprio]

La congettura originaria non richiede che x, y e z siano distinti.

[@salvatorerandazzo2137]

@@GaetanoDiCaprio grazie per la risposta

[@marcelloberlich1803]

Seguo da poco e sono un po' 'digiuno': la scelta del '36' non è arbitraria, serve proprio quel numero giusto? Generalizzando: se nell'equazione di partenza anziché 1/6 avessimo avuto 1/8, avremmo usato 64, o mi sfugge qualcosa?

[@GaetanoDiCaprio]

Certo, soltanto il 36 funziona e se fosse stato 8 avremmo usato 64

[@Yuriy627]

not sure why was it recommended to me (I speak no Italian), but it's cool that you're promoting math (and have a pleasant voice too)

[@GaetanoDiCaprio]

Thank you! Do you usually watch math videos?

[@Yuriy627]

@@GaetanoDiCaprio yes 😊 mainly 3blue1brown

[@GaetanoDiCaprio]

@@Yuriy627 wow, that's super cool! Anyway I will start to add english subtitles to my videos... Stay tuned!

[@Yuriy627]

@@GaetanoDiCaprio great idea! Hope you'll attract more viewers 😊

[@18feb2013]

Non penso mi sarebbe mai venuto in mente quel passaggio del video!! Pulito e rapido il procedimento. Io, dopo intense elucubrazioni e aver sostituito y con x+a e risolto per x, ho dovuto scomodare le terne pitagoriche!!! Passaggi: xy -6x - 6y = 0 Si pone y = x + a, a intero positivo (questa restrizione non cambia i calcoli data l'intercambiabilità delle incognite -- se fosse negativo, basterebbe sostituire a x y + |a| e risolvere rispetto a y). Sostituendo, si ottiene: x^2 + (a-12)x - 6a = 0 le cui soluzioni sono x =(1/2)(12 - a +/- radq(a^2+12^2)) Se a = 0, x = y = 12. Se a è diverso da 0, perché x sia maggiore di 0 si considera il segno positivo davanti alla radice quadrata radq(.). Siccome b = radq(.) dev'essere un numero intero, a, 12, b costituiscono una terna pitagorica. Le uniche terne pitagoriche fondamentali che contengono 12 o suoi sottomultipli sono: (3, 4, 5), (5, 12, 13),(12, 35, 37). Nel caso di (3, 4, 5), le terne derivate possono essere o (12, 16, 20), con a = 16 e b = 20, e quindi x = 8 e y = 24; oppure (9, 12, 15), con a = 9 e b = 15, e quindi x = 9 e y = 18. Nel caso di (5, 12, 13), a = 5, b = 13, quindi x = 10 e y = 15 Infine nel caso di (12, 35, 37), a = 35 e b = 37, quindi x = 7 e y = 42. Per x, y negativi i passaggi sono analoghi.

[@GaetanoDiCaprio]

Molto originale!!! Interessante! Forse potrebbe interessarle questo mio video sulle terne pitagoriche kzbin.info/www/bejne/mJ_PdGqwgqZ2r5Y

[@perakojot6524]

Since (x+y)=xy/6 assuming that x

[@GaetanoDiCaprio]

Nice

[@marcoaltamura7512]

Non so se sia stato detto nel video ma le coppie ordinate che sono soluzioni sono il doppio di quelle mostrate per la simmetria del problema, corretto?

[@GaetanoDiCaprio]

La risposta ovviamente è nel video

[@SigfriedNothung]

Ottima spiegazione esauriente

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@ikarugaxx3749]

Certo è curioso fare una congettura come quella che chiude questo video. Se non è stata dimostrata, come viene in mente?

[@GaetanoDiCaprio]

Ci sono molte congetture non dimostrate in matematica. Possono venire in mente magari dall'osservazione di molti casi particolari. O da altri misteriosi meccanismi della mente dei grandi matematici.

[@stefanomagrinialunno8166]

La congettura di erdos la si potrebbe provare a formulare generalizzandola (Magari assistendosi con dei pc) In pratica per ogni frazione trovo il numero minimo di frazioni unitarie che possono rappresentarlo come somma egiziana. E boh, magari uno nota una qualche regola...

[@GaetanoDiCaprio]

Prova!

[@sergiodorsi6457]

Bellissimo! grazie!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@danielecini2403]

Professore io avevo pensato di scrivere la relazione in modo che y= k*x (con k appartenente ad N). Ed ho trovato altre soluzioni (e, come potete notare, sono infinite al variare di "n"). Ho pensato di modificare così il problema perché sta scritto, nella traccia, di trovare degli interi positivi e nulla mi diceva che non potessi stabilire una relazione del genere. Come mai è errore assumere una tale relazione tra x ed y?

[@user-bx7rw1pt4p]

Se k sta in N allora stai assumendo che x dividi y (che tra l'altro neanche è vero essendo la coppia (10,15) una soluzione).. quindi dovresti scrivere: k sta in Q t.x. kx intero. Però credo che renderesti piu complesso il problema

[@GaetanoDiCaprio]

Prima di risponderti ti chiedo: mi dici almeno una delle soluzioni aggiuntive che hai trovato?

[@danielecini2403]

@@GaetanoDiCaprioIn realtà mi sono accorto che quelle soluzioni che ritenevo aggiuntive in realtà sono comprese e che, inoltre, non riesco ad ottenere infinite soluzioni ed anzi: le soluzioni (10; 15) e (15; 10) non posso ricavarle in alcun modo se "k" appartiene ad N. Chiedo scusa per la mia distrazione😅. Credo che l'errore stia nell'assumere una proprietà P solamente perché il problema mi fornisce un' indeterminazione su questo suo utilizzo. Giusto? Grazie in anticipo per la risposta🙂.

[@GaetanoDiCaprio]

@@danielecini2403 Dato che x e y sono interi non si può supporre che uno sia multiplo dell'altro, è una condizione aggiuntiva che non ha nulla a che vedere col problema. Se x e y fossero reali allora un approccio del genere potrebbe avere senso

[@andreadevescovi4166]

Bello, avevo preso una strada sbagliata cercando i prodotti tra due numeri 6 volte superiori alla loro somma….. finendo sulle eq. di secondo grado somma prodotto delle radici…. Insomma un casino :)

[@GaetanoDiCaprio]

Tentare di risolvere un quesito, anche non riuscendoci, è sempre un ottimo esercizio

[@sergiobuschi4201]

da 1/y=1/6-1/x= (x-6)/6x segue y= 6x/(x-6), posto s:= x-6 segue il sistema: x= 6+s, y= 6 + 36/s s= 1, 2, 3, , 4, 12, 18, 36.

[@GaetanoDiCaprio]

👍

[@riccardorizzi79]

Ottimo 👍👍👍

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie

[@andreaboraschi7872]

Ottimo, ricordo una variazione sul tema in una olimpiade di mate del ‘93 o ‘94 ,

[@GaetanoDiCaprio]

👍

[@diegosimonetti7496]

una soluzione dell' equazione potrebbe eddere x = - 2 e y = 3

[@GaetanoDiCaprio]

no, x=2 e y=-3. Ma ce ne sono tante altre

[@andbet71]

Io l'ho risolto con lo studio di funzioni: y= 6x/ (x-6)

[@GaetanoDiCaprio]

👍

[@ikarugaxx3749]

Ma lei, proprietario di questo canale, è stato un Normalista?

[@GaetanoDiCaprio]

No. Scelgo questi problemi perché mi piacciono molto e, a quanto pare, suscitano molto interesse.

[@mariapiapiro3718]

Non mi è del tutto chiaro

[@GaetanoDiCaprio]

Mi dispiace

[@stefanoiseppi9782]

y=Kx x=6(k+1)/k y=6(k+1) x e y diversi da 0

[@GaetanoDiCaprio]

?

[@parsecgilly1495]

Caro Gaetano, bellissimo video, le propongo la mia soluzione che fa uso di una parametrizazione dell'equazione di partenza: data l'equazione di partenza: 1/x + 1/y = 1/6 , con passaggi analoghi a quelli da lei illustrati, posso esplicitare rispetto a x, ottenedo: x = 6y/(y-6) a questo punto introduco un parametro intero "t" che "esplora" l'intero insieme N, per cui, ponendo la y in funzione del parametro intero "t" scriverò: y = 2t +6 , fatto ciò, la x per quanto ricavato sopra, omettendo i passaggi, potrà essere scritta così: x = 6 + 18/t abbiamo quindi le due relazioni parametriche: y = 2t +6 x = 6 + 18/t per definizione, t è intero, quindi la prima delle due produce y sempre intere, per quanto riguarda la seconda relazione, invece, x sarà intera quando t è un divisore intero di 18, cioè quando t, assume i valori: t= 1, 2, 3, 6, 9, 18, a sua volta, t, non può superare il valore 18, in quanto, genereremmo sempre un valore frazionario di x. Quindi ci siamo assicurati anche l'interezza di x; a questo punto, possiamo costruire la seguente tabella: t = 1, 2, 3, 6, 9, 18 (x,y) = (24,8), (15,10), (12,12), (9,18), (8,24), (7,42)

[@GaetanoDiCaprio]

Assolutamente corretta! 👏

[@18feb2013]

Mi ci è voluto un po' per capire perché porre y = 2t + 6. Perché uno tra x e y è sicuramente pari e in ogni caso sia x che y sono maggiori di 6, giusto? Complimenti!!! Bella soluzione!

[@parsecgilly1495]

@@18feb2013 buongiorno Carla, l'aver posto y = 2t +6 è una "manovra" che, mi serviva per "ripulire " il più possibile il denominatore che esprime la x; infatti, nella terza riga io avevo ottenuto, risolvendo rispetto a x: x= 6y/(y-6) , ebbene, quel denominatore che contiene "y-6" era proprio fastidioso e non consentiva di costruire degli x interi, per cui, ho pensato di costruire una parametrizzazione ad hoc per la y (cioè, y=2t+6), la quale mi assicura ovviamente l'interezza degli "y", ma, in secondo luogo "addomestica" il denominatore di x = 6y/(y-6)

[@18feb2013]

@@parsecgilly1495 Ti ringrazio molto per la risposta, però penso che operativamente una parametrizzazione arbitraria di y non sia corretta. Mi spiego: ai fini di addomesticare l'espressione di x, a pari diritto si sarebbe potuto porre y= 3t + 6, o y = 6t + 6, fino a y=30t + 6, però in ciascuno di questi casi (al contrario dei due casi in cui si ponga y = t + 6 e y = 2t +6) si limiterebbe il numero di soluzioni, e quindi di coppie, che si possono ottenere. Per esempio, nel secondo caso, x = 6y/(y - 6) = 6 + 6/t, che è soddisfatta solo da t = 1, 2, 3. Quindi, volendo generalizzare, se al posto di 6 ci fosse un intero "a" qualsiasi, per includere tutte le soluzioni possibili, l'unica parametrizzazione valida in tutti i casi sarebbe y = t + a, e non t = mt + a, dove m è un sottomultiplo di a^2 , mentre, se "a" è pari, è possibile anche porre y = 2t + a, senza incorrere nel rischio di limitare le soluzioni possibili.

[@parsecgilly1495]

@@18feb2013 hai perfettamente ragione, adesso non ricordo bene, però credo, quando ho "inventato" la sostituzione y = 2t +6 di aver sentito nella mia testa balenare la scintilla dell'illuminazione ed ero troppo contento per aver trovato questa soluzione, diciamo che mi è andata...bene, il porre qualcosa di diverso non avrebbe prodotto lo stesso risultato...diciamo che ho avuto fortuna! ;)