An aperiodic monotile!

[@paul2188]

Il ne reste plus qu'à trouver un carreleur qui vend ce genre de dalles.

[@manolosardo3661]

J'en ai pas trouvé, donc j'ai commencé à découper les carreaux de carrelage à la main (oui je fais des travaux chez moi)

[@qzrnuiqntp]

Et là, que dalle.

[@infographie]

Excellent

[@fredericmazoit1441]

Même si c'est assez étonnant au premier abord, il est en fait assez compréhensible qu'on puisse obtenir un pavage apériodique à partir d'un pavage périodique de dimension supérieure. Je vais en donner un exemple. Prenons un repère classique en 2 dimensions avec les directions x et y. L'ensemble des points de coordonnées entière définie les sommets d'un pavage par des carrés de côté 1. Maintenant, si on prend un droite D de pente alpha. On peut paver D par des segments. Pour cela, il suffit de donner l'ensemble des points qui correspondent aux extrémités des segments. L'intersection de D avec notre pavage carré donne donc un pavage de la droite et il n'est pas trop difficile de se rendre compte que le pavage ainsi obtenu est périodique si et seulement si la pente alpha est rationnelle. C'est exactement ce qui se passe avec les pavages de Penrose.

[@Thomaths]

Merci pour votre commentaire ! C'est une belle illustration. Si je comprends bien, on obtient une infinité de motifs (une infinité de segments différents) par contre. - Alex

[@fredericmazoit1441]

@@Thomaths Effectivement, l'ensemble des tuiles n'est pas régulier. C'est pour ça qu'il faut monter en dimension 5 pour Penrose.

[@Goultard-b5e]

"on voit que"

[@geoffroydelaitre5966]

@@Thomaths En fait on procède à une opération de "coupe et projection". En restreignant la projection des nœuds du réseau sur la droite à une fenêtre de largeur adéquate, on peut garantir d'avoir seulement deux "tuiles" pour produire une chaîne de Fibonacci par exemple.

[@cyberlaurent2101]

Étonnant. Merci.

[@antoinebrgt]

Magnifique!

[@damiennicolas4645]

Mignon le chapeau et la tortue

[@fabiprad]

Génial, MERCI beaucoup pour ce partage, cette synthèse cette pédagogie. Avec le sourire !

[@burrakauchy3715]

Absolument géniallissime ! Et super inspirant pour la recherche :D

[@olivierblaize8813]

Merci beaucoup vos vidéos sont toujours passionnantes !!!

[@randm7216]

Trop cool la vidéo !

[@aymericgarnier9558]

Super intéressant. Merci

[@benoitleger-derville6986]

Excellente pédagogie 👍 Bravo

[@Ny0s]

Excellente vidéo sur un sujet vraiment passionnant. Clair et pédagogique. Super découverte pour moi, merci !!

[@loicgeeraerts]

C'est génial, je vais utiliser ça avec mes étudiants. Encore merci pour le partage.

[@azerqerty2277]

Fabuleux vraiment (même si je pige pas tout)

[@jamelbenahmed4788]

A une 🍅?

[@justrelaxfr]

Super intéressant ! Merci beaucoup pour cette vidéo :)

[@ThePat123456ify]

Super vidéo qui mériterait plus de vues 😊

[@ooxari]

Nice

[@savonliquide7677]

magnifique❤❤❤❤

[@alberttomasi1724]

Merci beaucoup pour vos vidéos qui sont très concises, claires et riches d'informations. Un vrai plaisir ! Quel dommage qu'on ne puisse pas a priori visualiser des pavages en dimension supérieures, ça doit être si beau 🤩

[@eksunflower]

Super vidéo! 👍👏 Elle est cependant passée sous mon radar lors de sa parution parce que je n'ai pas compris tout de suite avec la miniature qu'il s'agissait d'une découverte récente. C'est dommage, peut-être une miniature plus alléchante aurait eu plus d'efficacité... Mais le mal est réparé donc tout va bien 😅

[@CM63_France]

Bonjour, Ok, great! En encore Scott Joplin !

[@jean-louistiberghien9552]

Excellente nouvelle, et belle vidéo. Peut-être qu'une partie des questions posées trouverait leur réponse dans l'analyse de notre goût perso pour les pavages et les dimensions.. ? Personnellement en étudiant les zelliges marocains, j'ai pensé qu'ils aportaient de façon empirique une réponse visuelle au problème mathématique de la "virgule flottante" et autre défaut structurel de cette science. Mais c'est une autre histoire; en attendant, je regarde les avancées sur ce motif et espère d'autres vidéos de votre part.

[@NosKetful]

C'est l'heure de l'apério !! Ah non c'pas ça. 🤷‍♂🍻

[@Juju_7632]

Merci pour cette vidéo ! Je me demandais si l'utilisation de ce type de pavage pour un revêtement de pneu aurait une incidence sur l' adhérence de celui-ci ? Je cherche à comprendre l'applicabilité de ce type de pavages d'un côté industriel. Merci pour votre éclairage 🙌

[@Thomaths]

Bonjour, Merci pour votre intérêt. N'étant pas un expert des matériaux, je ne peux que spéculer. Je sais que dans certains cas, on veut à la fois un motif répétitif pour avoir une production simple, sans trop de régularité pour éviter des phénomènes de résonance. Il y a par exemple une nouvelle technologie dans les vitres de trains qui permet de faire passer les ondes de téléphone (pour Internet et les appels), mais pas celles de la chaleur. Ces vitres utilisent un pavage avec des hexagones non-réguliers. Je vais peut-être en parler dans une future vidéo. - Alex

[@Juju_7632]

@@Thomaths oh ce serait super ! Merci pour cette réponse 👍

[@yvesbiger8653]

J’avais cru lire apéro mais je me suis trompé 😂😂😂

[@Benoit-Pierre]

👍🏻

[@gadeu2724]

Ça pave tout le plan. Mais ça peut pas paver une pièce carrée sans laisser de trou. C est dommage

[@Benoit-Pierre]

T inquiète, j'ai une bonne disqueuse, et elle est gourmande. sinon, tu peux opter de commencer par paver ton salon, puis de dresser les murs après la pose du carrelage ( mais tu risque de fâcher ton maçon )

[@maloukemallouke9735]

Merci encore pour tes vidéos. puis je te suggérer de faire des vidéos du genre" comment aborder les maths ??? "

[@Thomaths]

Bonjour, Merci pour ton intérêt. Par "aborder les maths", tu veux dire quoi ? De quel point de vue, d'un amateur, étudiant ou d'un chercheur ? - Alex

[@maloukemallouke9735]

les deux , il est difficile d échanger par vidéo je ne sais pas si c est possible pour des questions plus détaillées. si cela te dérange ce n' est pas grave.

[@christianbarnay2499]

Pour moi on n'est pas encore sur un "Einstein" puisqu'on utilise 2 pièces. Elles sont symétriques entre elles ce qui est un progrès par rapport aux pavages apériodiques connus jusque là. Mais ça reste deux pièces distinctes. À mon sens la véritable révolution ici c'est d'avoir produit une famille continue de pièces qui produisent toutes des pavages apériodiques. Ceci va permettre de rechercher des caractéristiques générales des pavages apériodiques qui ne soient pas spécifiquement liées à un seul cas particulier. Pour l'analyse par diffraction, j'espère me tromper, mais j'ai peu d'espoir qu'on y trouve autre chose que les caractéristiques du pavage hexagonal régulier sur lequel s'appuie cette construction. Il va surement falloir aller fouiller dans les détails du motif de diffraction pour trouver des informations nouvelles sur le plan théorique. Et s'agissant de détails il y a fort à parier que pour les applications réelles en cristallographie ils seront inexploitables car noyés dans le bruit des imperfections (dimensions des grains et impuretés).

[@Thomaths]

Merci pour ce retour très intéressant !

[@ambrosesabbat9385]

Superbe vidéo ! (petite faute de pronontiation de Goodman-Strauss, Chaim est un prénom hébreu qui se prononce "hɑ́jm" selon l'alphabet IPA !)

[@Thomaths]

Merci de me le dire !

[@marclemaitre]

C'est curieux ce terme de "symétrie par translation"; "invariant par translation" ne serait pas plus juste ?

[@Thomaths]

Vous avez raison, il vaut mieux dire "le pavage est invariant par une translation", ou bien "il existe une symétrie qui est une translation".

[@stormxploit3675]

Hello. La vidéo était super intéressante. J'ai cherché sur internet des papiers en français/ anglais qui traitent sur la méthode de projections de pavages périodiques donnant des pavages apériodiques, la projection de pavages en général sur les dimensions plus petites. Je ne trouve pas de référence à ce sujet. Est-ce vous pourriez m'en conseiller ? Merci d'avance !

[@Thomaths]

Bonjour, Voici un site avec pas mal de références : www.nathaniel.ai/de-bruijn-projections/ L'article de base qui prouve que les pavages de Penrose proviennent de pavages réguliers en dimension 5 est de N.G. de Bruijn. - Alex

[@stormxploit3675]

@@Thomaths merci beaucoup !

[@Syklhun-e1x]

Ces formes je les ai découvert en 2013 et annoncé même que si elle devait être redécouvert les personnes s appelerai Kaplan et Smith David , n est ce pas une bonne preuve d exemple

[@nicolas.vallet]

Tu parles d'applications en optique et de difraction. Peux-tu en dire plus sur cela? Quelles sont les recherches en cours? Tu as des sources? Merci pour la chaine qui est superbe!

[@Thomaths]

Bonsoir, Si on veut savoir si ce pavage existe dans la nature, on analyse d'abord ses propriétés par diffraction : on imagine le pavage fait en métal très fin et on pointe une lumière sur le pavage pour capter derrière le motif de diffraction. Une source de pavages dans la nature sont des cristaux et quasi-cristaux. Pour voir leur structure (qui est microscopique), on les illumine avec un laser pour faire apparaître une figure de diffraction. Avec un peu de chance, on trouvera un quasi-cristal avec la même figure de diffraction que celle du chapeau apériodique. J'ai lu (dans un des articles cités en description de la vidéo, je me souviens plus duquel) que des physiciens travaillent sur cela.

[@patvitesse]

Bonjour, un pavage aperiodique peut donc avoir des symétries par rotation ?

[@tHekilLerProDu72]

le termes "périodicité" correspond a appliquer une translation du plan tout en préservant le pavage (on dit d'ailleurs qu'il est invariant par translation). Si une rotation non triviale (je parle ici d'une rotation d'angle 2pi ou 0 ce qui correspond en fait à l'identité) préserve le plan, alors on peut associer une structure de groupe aux isométries qui conservent ce pavage, par exemple, le pavage de Voderberg (celui présent sur son t-shirt) est un pavage techniquement apériodique mais on peut lui associer le groupe C2 en son centre de symétrie (ce qui peut être vue comme une forme de périodicité). Faut-il affiner la définition d'apériodicité, oui je pense.

[@Thomaths]

Bonjour, La réponse est oui. Dans la définition d'un pavage périodique ou apériodique, on ne parle que de translations. Il existe par exemple des pavages de Penrose avec une symétrie par rotation d'ordre 5 (une symétrie qui ne peut pas exister pour un pavage périodique). Pour le chapeau, je ne sais pas s'il y a des pavages avec une symétrie par rotation. Il suffirait de trouver une configuration finie avec cette symétrie, puis d'appliquer le procédé d'inflation. - Alex

[@Goultard-b5e]

Mais au final tu annonces a la fin qu'on utilise l'image mirroir, tout ca pour ca ?

[@_yukulele]

6:06 comment le pavage peut il être déformé du chapeau à la tortue alors que le chapeau est composé de 8 cerf-volants et que la tortue en comporte 10 ?

[@Thomaths]

Bonjour, Avec la méthode d'Escher on peut changer beaucoup de choses : le nombre de sommets, la forme globale et aussi le nombre de cerf-volants utilisé. Il est probable que les cerf-volants de la tortue soient plus petits que ceux du chapeau. Vous pouvez analyser la vidéo qui montre la déformation plus en détail et nous partager vos observations. Alex

[@christianm1024]

J'ai essayé de modéliser ce truc sur un logiciel 3D. Je ne ni un spécialiste du pavage, ni même matheux, mais le modèle que tu présentes à 4:58 ne va pas du tout car les 8 "cerf-volants" jaunes pâle, en haut au milieu ne vont pas. Ca mord sur le orange de gauche.

[@Thomaths]

Bonjour, j'utilise Powerpoint pour les animations et il est vrai que ce n'est pas une science exacte. Le pavage est en effet assez imprécis, parfois les motifs ne s'emboîtent pas parfaitement. En revanche, je l'ai calqué sur le "vrai" pavage dans l'article, donc la position des motifs sur la grille, à petite imprécision près, est la bonne. C'est bien ça que tu veux dire ? - Eve

[@christianm1024]

@@Thomaths oui, pas de souçis, je comprends le challenge de faire ce genre d'animation sous pp :) et ça m'a permis de comprendre qu'il y a une dalle et son miroir en réalité. Autrement dit pour du carrelage il faudrait bien 2 types de carreaux différents.

[@maloukemallouke9735]

est ce que c est possible d'avoir ton mail je souhaite échanger avec toi ? Merci d'avance

[@Thomaths]

Bonjour, le mail est visible dans l'onglet "à propos" sur notre chaîne. Autrement, nous sommes aussi disponibles sur Twitter @Thomaths2 (messages ouverts à tous). N'hésitez pas !

[@cutepotato001]

Une 🍅 qui fait des maths ? Ça fait quoi une 🥔 alors ?

[@shaihulud69]

c est pas clair tout ca et ca sert a quoi?