An diesem Problem bin ich selbst gescheitert...

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Eine gute Sammelstelle für den aktuellen Stand der Forschung liefert der englische Wikipedia-Artikel:
en.wikipedia.o...
Der Beweis, dass die obere Dichte größer als 0,18577 und die untere Dichte kleiner als 0,1138 ist, findet sich hier:
Justin Gilmer - On the Density of Happy Numbers
arxiv.org/abs/...
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